2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教A版)

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高三数学一轮复习第4讲直线与圆锥曲线教案-人教版高三全册数学教案

第四讲直线与圆锥曲线一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）直线与圆锥曲线问题的解决思路“三十二字思路”：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；韦达已知，解决问题；遇弦中点，点差优先．（二）直线与椭圆()()()2222222222222010y kx ma kb x mka x a m b x y a b ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=>>⎪⎩，显然，2220a k b +≠；（1）当0∆=时，直线与椭圆只有一个公共点，属于直线与椭圆相切；（2）当0∆>时，直线与椭圆有两个公共点，属于直线与椭圆相交；（三）直线与双曲线()()()22222222222220100y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒-+++=⎨-=>>⎪⎩，，（1）若2220ba kb k a-=⇔=±时，直线平行于双曲线的渐进线，此时，①当0m =时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；②当0m ≠时，直线与双曲线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；（2）若2220b a k b k a-≠⇔≠±时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时，①当0∆=时，直线与双曲线只有一个公共点，属于直线与双曲线相切；②当0∆>时，直线与双曲线有两个公共点，属于直线与双曲线相交；（四）直线与抛物线()()22222020y kx mk x mk p x m y px p =+⎧⎪⇒+-+=⎨=>⎪⎩，（1）若0k =时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；（2）若0k ≠时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，①当0∆=时，直线与抛物线只有一个公共点，属于直线与抛物线相切；②当0∆>时，直线与抛物线有两个公共点，属于直线与抛物线相交；三、精典例析例1：已知曲线22148x y C -=：，定点()10M ，，直线l 经过点()01，，斜率为t ，与曲线C 交于不同的两点A B 、，设AB 的中点为P ，求直线MP 的斜率k 关于t 的函数关系()k f t =．解析：设直线l的方程为1l y tx =+：，()()()112200,A x y B x y P x y ，，，，，则：()222212290148y tx t x tx x y =+⎧⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∴22t ≠， 2904t ∆>⇔<，且1212002222x x y y tx y t ++===-， ∵()()120022112222tx tx tx y t t +++===--，，∴020212y k x t t ==-+-；故()()223321122222k t t t ⎛⎫⎛⎛⎫=∈-- ⎪ ⎪+-⎝⎝⎭⎝⎭，，，．例2：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率36=e ，过点()0A b -，和()0B a ，的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点()10E -，，若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过()10E -，点？请说明理由．解析：（1）直线AB 方程为：0bx ay ab --=，则：22633312c a a ab b a b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪+⎩ ，∴椭圆方程为1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，设()()1122C x y D x y ，，，，则：()22222131290330y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩　， ∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ，且1212221291313k x x x x k k +=-=++⋅，，∵()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++⋅，∴要使以CD 为直径的圆过()10E -，点，当且仅当CE DE ⊥时，则：121212121(1)(1)011y y y y x x x x =-⇔+++=++⋅． ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ， ∴67=k ，经验证，67=k 时符合题意．综上，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过()10E -，点．例3：已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G交于A B 、两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC⋅=．（1）求双曲线G 的渐近线的方程；（2）求双曲线G 的方程；（3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解析：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则： ∵渐近线与圆2210200x y x +-+=12k =⇔=±．故双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（2）设双曲线G 的方程为：224x y m -=，则：()2221438164044y x x x m x y m ⎧=+⎪⇒---=⎨⎪-=⎩， ∴8164 33A B A B mx x x x ++==-，， ∵ 2PA PB PC ⋅=，P A B C 、、、共线且P 在线段AB 上， ∴()()()()()()244164320P A B P P C B A A B A B x x x x x x x x x x x x --=-⇔+--=⇔+++=，例4：（05年湖北卷）设A B 、是椭圆λ=+223y x 上的两点，点()13N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C D、两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A B 、、C D 、四点在同一个圆上？并说明理由．解析：（1）法1：显然，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，设1122()()A x y B x y ，，，，则：22222(1)3(3)2(3)(3)03y k x k x k k x k x y λλ=-+⎧⇒+--+--=⎨+=⎩， ∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->，且21212222(3)(3)33k k k x x x x k k λ---+=⋅=++，，∵点()13N ，是线段AB 的中点， ∴2121(3)312x x k k k k +=⇔-=+⇒=-，直线AB 的方程是： ()3140y x x y -=--⇔+-=．∴12λ>，故λ的取值范围是()12,+∞．法2：设1122()()A x y B x y ，，，，则：221112121212222233()()()()03x y x x x x y y y y x y λλ⎧+=⎪⇒-++-+=⎨+=⎪⎩， ∴12123()AB x x k y y +=-+；∵点()13N ，是线段AB 的中点，∴121226x x y y +=+=，， ∴1AB k =-，直线AB 的方程是()3140y x x y -=--⇔+-=． ∵点()13N ，在椭圆的内部，∴2231312λ>⨯+=．故λ的取值范围是()12,+∞．（2）法1：∵直线CD 垂直平分线段AB ， ∴直线CD 的方程为3120y x x y -=-⇔-+=，又设3344()()C x y D x y ，，，，CD 的中点00()M x y ，，则：2222044403x y x x x y λλ-+=⎧⇒++-=⎨+=⎩， ∴103λ∆>⇔>，且341x x +=-，03400113()2222x x x y x =+=-=+=，，即1322M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴34||||CD x x =-=又22240481603x y x x x y λλ+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，2012λ∆>⇔>，同理可得：12||AB x x =-= ∴当12λ>AB CD ><．假设在在12λ>，使得A B 、、C D 、四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心，点M 到直线AB 的距离为：13|4|2d -+-===，∴222229123||||||||22222AB CD MA MB d λλ--==+=+==．故当12>λ时，A B 、、C D 、四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上．（注：上述解法中最后一步也可如下解法获得：∵A B 、、C D 、共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角2||||||AN CN DN ⇔=⋅，∴2||222CDCD AB d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵3912 2222222CD CDd dλλ⎫⎛⎫⎛⎫--+-==-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即A、B、C、D四点共圆．）例5：（05年江西卷）如图，设抛物线2C y x=：的焦点为F，动点P在直线20l x y--=：上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB、，且与抛物线C分别相切于A B、两点．（1）求△APB的重心G的轨迹方程；（2）PFA PFB∠=∠．解析：（1）设切点()()()22001101A x xB x x x x≠，，，则：切线PA的方程为：20020x x y x--=，切线PB的方程为：21120x x y x--=，联立，解得：P点的坐标为01012x xP x x+⎛⎫⎪⎝⎭，；∴△APB的重心G的坐标为：PPGxxxxx=++=310，2222010*******()43333P P PGy y y x x x x x x x x x yy+++++--====，∴234P G Gy y x=-+，∵点P在直线20l x y--=：上运动，∴从而得到重心G的轨迹方程为：221(34)20(42)3x y x y x x--+-=⇔=-+．（2）法1：∵22010001111114244x xFA x x FP x x FB x x+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，　，，　，，∴cos||||FP FAAFPFP FA⋅∠=201001001201114||||x x x x x x x x FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⎝==；同理，20110110122211112444cos ||||||1||x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∠===⎛⎫+；故PFA PFB ∠=∠．法2：①当100x x =时，由于01x x ≠，不妨设00x =，则：00y =，∴P 点坐标为102x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则P 点到直线AF 的距离为：11||2x d =；而直线BF 的方程212111111114()0444x y x x x x y x x --=⇔--+=， ∴P 点到直线BF 的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+；∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．②当01≠x x 时，直线AF的方程：202000011114(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-；直线BF 的方程：212111111114(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； ∴P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+，同理，P 点到直线BF 的距离：2||012x x d -=，∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．四、课后反思．。

人教A版高中数学选修1-1第三章：直线和圆锥曲线的位置关系学案(无答案)

1直线和圆锥曲线的位置关系一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●会判断直线和圆锥曲线的位置关系； ●掌握直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式； ● 学会圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法。

重点难点：● 重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断、直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用，以及中点弦问题的求解方法。

● 难点：直线与圆锥曲线位置关系的综合应用.学习策略：● 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对联立方程消元后的一元二次方程，如果二次项系数含参数，必须讨论二次项的系数为0和不为0两种情况，再利用判别式；有时也可借助于图形的几何性质.● 直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及交点个数、弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.二、学习与应用知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有（一）直线Ax+By+C ＝0和椭圆+=22221y x a b的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.（1）Δ＞0⇔直线和椭圆 ⇔直线和椭圆有个交点(或个公共点）；“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

（2）Δ＝0⇔直线和椭圆 ⇔直线和椭圆有个切点(或个公共点)；（3）Δ＜0⇔直线和椭圆 ⇔直线和椭圆公共点．（二）直线Ax+By+C ＝0和双曲线-=22221x y a b 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。

（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线，直线和双曲线有个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线，有个交点(或个公共点)；②若Δ＝0，则直线和双曲线，有个切点；③若Δ＜0，则直线和双曲线，公共点.注意：①Δ＞0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线且只有交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的条件，但不是条件；②当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0⇔直线与抛物线；③如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：公共点为；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线，只有交点。

人教a版高考数学(理)一轮课件：9.9直线与圆锥曲线的位置关系

第 9 讲直线与圆锥曲线的位置关系
考纲展示
1.了解圆锥曲线的实际背景 , 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.理解数形结合的思想. 3.了解圆锥曲线的简单应用.
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考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法.
��2 �� 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ��
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
��2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
��2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3�� 2 ≠ 0, �� = (-6 2k)2 + 36(1-3�� 2 ) = 36(1- �� 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值域求出参数的变化范围.

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1

第九节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1，则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题．探究一由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12，设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点，故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0，即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值．解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ，则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43，故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。

高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案

高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋B＋＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线的方程F(x，)＝0，消去(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量)的一元方程．即F(x，)＝0Ax＋B＋＝0，消去，得ax2＋bx＋＝0(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线＝x－＋1与椭圆9x2＋42＝1的位置关系为()A．相交B．相切．相离D．不确定解析：选A直线＝x－＋1＝(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的() A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条解析：选A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线：a2x2－b22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左，右两支都相交的充要条是() A．＞－ab B．＜ab．＞ab或＜－ab D．－ab＜＜ab解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜＜ab 2．(2016·兰州检测)若直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，则过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点个数为()A．至多一个B．2．1 D．0解析：选B∵直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，∴2＋n24＞2，∴2＋n2＜4∴92＋4n2＜92＋44－2＝1－362＜1，∴点(，n)在椭圆9x2＋42＝1的内部，∴过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线＝x＋2与双曲线x2－2＝6的右支交于不同的两点，则的取值范围是()A．1 B．31．，01 D．，－11解析：选D由x2－2＝6＝x＋2，得(1－2)x2－4x－10＝0设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，1)，B(x2，2)，则＞0，－10解得－31＜＜－1即的取值范围是，－11[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，的方程组，消去(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为则＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、堂小结请学生谈一谈本节的收获有哪些。

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆锥曲线的位置关系教案理解析版

基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。

高考一轮复习教案九(5)直线与圆锥曲线的位置关系(教师)文科用

模块：九、二次曲线课题： 5、直线与圆锥曲线的位置关系教学目标：掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用；会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题．重难点：运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题．一、知识要点1、直线与圆锥曲线的位置关系可能通过它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题来讨论．往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想．需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点． 2、弦长公式：若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点()()1122A x y B x y ，，，，则弦长为12AB x =-或12AB y y =-．二、例题精讲例1、已知直线(:tan l y x α=+交椭圆2299x y +=于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围．答案：50,,66πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．例2、已知抛物线212y x ax =-++与直线2y x =．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）求当抛物线的顶点在直线的下方时，a 的取值范围；（3）当a 在(2)的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值答案：（1）联立后易得；（2）22a <<+（3）当min AB =例3、已知双曲线2214x y -=和定点1(2,)2P . （1）过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点；（2）双曲线C 的弦中，以P 点为中点的弦12P P 是否存在？并说明理由答案：（1）过点P 有4条直线与双曲线只有一个公共点；（2）中点弦12P P 不存在．例4、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+y =kx +3对称，求k 的取值范围．答案：10k -<<．例5、已知抛物线22y x =及定点(1,1),(1,0)A B M -，是抛物线上的点，设直线,AM BM 与抛物线的另一个交点分别为12,M M ，求证：当点M 在抛物线上变动时（只要12,M M 存在且1M 与2M 是不同的两点），直线12M M 恒过一定点，并求出定点的坐标．答案：（1，2）．例6、直线12y x =与抛物线2148y x =-交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5y =-交于Q 点．（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．答案：（1）()5,5-；（2）30．例7、直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆通过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）2k -<<（2）存在，65k =-．例8、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）不存在．三、课堂练习1、过点（2，4）作直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有．答案：2条．2、双曲线221x y -=的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是．答案：()(),01,-∞+∞．3、设抛物线2(0)y ax a =>与直线(0)y kx b k =+≠有两个交点，其横坐标分别是12.x x ，而直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标是3x ，那么123,,x x x 的关系是．答案：321111x x x =+． 4、若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为．答案：21． 5、设抛物线22y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，则OA OB ⋅的值．答案：34-． 6、双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是．答案：(,0)(1,)-∞+∞．四、课后作业一、填空题1、抛物线24y x =截直线2y x b =+得弦AB，若AB =F 是抛物线的焦点，则FAB 的周长等于．答案：7+2、已知椭圆2224x y +=，则以()1,1为中点的弦的长度为．3、已知直线:90l x y -+=，以椭圆22412x y +=的焦点为焦点作另一椭圆与直线l 有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是．答案：(5,4)-．4、若直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交于A B 、两点，当m 变化时，AB 的最大值是．． 5、在ABC ∆中，BC m =，()0AB AC n m n +=<<，则ABC ∆的面积的最大值为．答案：146、已知椭圆()22202y x a a +=>与以()2,1A 、()4,3B 为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是．答案：82,⎛⎫⎛+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭．二、选择题7、已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条答案：D ．8、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)F ，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（） A 、14322=-y x B 、13422=-y x C 、12522=-y x D 、15222=-y x 答案：D ．9、椭圆221mx ny +=与直线1y x =-交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为2，则mn的值是（）A 、2B 、3C 、2D 、27答案：A ．三、解答题10、过点()1,0P 的直线1l 与抛物线2y x =交于不同的A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，直线2l 过点M 和()1,0Q -．如果1l 的斜率为k ，12k -和直线2l 的斜率的积为()f k ，求()f k 的函数关系式，并讨论其单调性．答案：()()(),22,04,k ∈-∞--+∞，单调递增．11、已知双曲线2222:1x y C a b-=的实轴长等于2，焦距等于10.（1）求双曲线C 的方程；（2）设M 、N 是双曲线C 的焦点，点P 在双曲线C 上，MP NP ⊥，求PMN ∆的周长；（3）设M 、N 是双曲线C 的顶点，点P 在双曲线C 上，PMN ∆的周长等于6，求点P 的坐标．答案：（1）22124y x -=；（2）24；（3）P ⎛ ⎝．12、过抛物线()220y px p =>上一定点()()00,0P x y y >，作两条直线分别交抛物线于()()1122,,,A x y B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．答案：（1）58p ；（2）2-，0AB p k y =-．。

直线与圆锥曲线的位置关系一教案新课标人教版

直线与圆锥曲线的位置关系一教案一、要点·疑点·考点1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0由(,)0f x yAx By C=⎧⎨++=⎩消元（x或y）若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0，为此有(1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合.(2)若a≠0，设Δ=b2-4ac①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点2.能运用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系二、课前热身1.直线y=kx-k+1与椭圆22194x y+=的位置关系为 ( A )(A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程2214yx-=，过P(1，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ( A )(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是（ D ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.双曲线x2－y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是：（ B ）A、(－∞，0) B、(－∞，0)∪(1，+∞)C 、 (1，+∞)D 、(－∞，－1)∪(1，+∞)5.若直线y =kx +1与曲线x则k 的取值范围是( B ) A ．―2<k<2 B ．―2<k<―1 C ．1<k<2 D ．k<―2或k>2三、能力·思维·方法1. 直线y-ax-1=0与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点.(1)当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点?【解】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程组2222221221(3)2203148(3)0203(y ax y a x ax x y a a x x a a A B =+⎧---=⎨-=⎩⎧∆-->⎪⎨⋅=>⎪-⎩⇒∈⋃消得＝由时，、在同一支上（2）依题意，1212,0OA OB x x y y ⊥∴⋅+⋅= 212121212(1)(1)()12y y ax ax a x x a x x =++=⋅+++=-Q222023a a ∴-=⇒=±- 2.已知双曲线1222=-y x 与点P （1，2），过点P 作直线L 与双曲线交于A 、B 两点，P 为AB 的中点。

高三数学第一轮复习教案第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)(学案)

高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标： 1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为（） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条四．例题分析：例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业：班级学号姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

人教A版高中数学选修高考理科一轮复习第单元直线与圆锥曲线的位置关系课件

a
2 2
,得
a2 b2 a2
=
1 2
,
从而a2=2b2,c=b.
设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+1 2y22=2b2,两式相减得， (x12-x22)+2(y12-y22)=2 0,
即 y1 y2 =- x1 x2 .
____相__交______；当=0时，直线与双曲线⑤_____相__切_____；当 <0时，直
线与双曲线⑥___相__离_______.
(ⅱ)若a=0时，直线与渐近线平行，与双曲线有⑦____一__个______交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或 x)，得到一个一元方程 ax2 bx c 0 (或 ay2 by c 0 )．
2k 1 2k 2
.
直线l:y= 1 x过线段AB的中点( , x1 x2 y1 y2 ),
2
2
2
则 k
1 2k 2
=
1 2

1
2k 2 2k
(ⅰ)当a 0时，用D判定，方法同上．
(ⅱ)当a=0时，直线与抛物线的对称轴⑧ ___平__行_______，只有⑨____一__个______ 交点．
2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程
(1)M=_A__(Bb__x2_是_0ab__，22_椭_xy__0y0 _圆0__)_是____A_a_x.B22_点，的差b中yk22法AB点求k，O1M弦(则a的>b=k斜>⑪ A0B率)的的一步条骤弦是，：

高中数学第一轮总复习第八章 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系教案新人教A版

8.4 直线与圆锥曲线的位置关系巩固·夯实基础一、自主梳理已知直线l:Ax+By+C=0与圆锥曲线C ：f(x,y)=0.1.方程组⎩⎨⎧==++0),(,0y x f C By Ax 解的组数即为l 与C 的交点的个数；方程组的解就是l 与C 的交点的坐标.2.若l 与C 有两个交点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，则线段P 1P 2为直线被圆锥曲线截得的弦，其弦长|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-=21k +|x 1-x 2|.其中k 为直线l 的斜率.3.中点坐标公式：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则线段AB 的中点M(x 0,y 0)的坐标满足： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,2210210y y y x x x4.弦差法求直线的斜率若曲线为mx 2+ny 2=1(m ≠0,n ≠0),则由⎪⎩⎪⎨⎧=++122222121ny m x ny m x ⇒m(x 12-x 22)+n(y 12-y 22)=0⇒k=2121x x y y --=-00ny m x . 二、点击双基1.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则2121x x y y 等于( ) A.-4 B.4 C.-p 2 D.p 2解析：特殊值法.设l 的方程为x=2p ,则x 1=x 2=2p . ∴y 1=-y 2=p.∴2121x x y y =422p p -=-4. 答案：A2.已知双曲线22a x -22by =1与直线y=2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,5) B.(1,5)∪(5，+∞) C.(5，+∞) D.［5,+∞］解析：双曲线的渐近线的斜率k=a b ，要使双曲线22a x -22by =1和直线y=2x 有交点，只要满足a b >2即可，∴aa c 22->2. ∴12-e >2.∴e>5.答案：C3.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A.32 B.23 C.330 D.236 解析：依题设弦端点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4.∴x 12-x 22=-2(y 12-y 22).∴此弦斜率k=2121x x y y --=-)(22121y y x x ++=-21. ∴此弦直线方程为y-1=-21(x-1), 即y=-21x+23代入x 2+2y 2=4, 整理得3x 2-6x+1=0.∴x 1·x 2=31,x 1+x 2=2. ∴|AB|=2)21(1-+·212214)(x x x x -+=25·344-=330. 答案：C4.已知(4,2)是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是______________. 解析：设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k=2121x x y y --=-)(42121y y x x ++ =-2422121y y x x +∙+=-244⨯=-21. 由点斜式可得l 的方程为x+2y-8=0.答案：x+2y-8=05.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=8,O 为坐标原点，则△OAB 的重心的横坐标为______________________________.解析：由题意知抛物线焦点F(1,0).设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).代入抛物线方程消去y 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0.∵k 2≠0,∴x 1+x 2=22)2(2k k +,x 1x 2=1. ∵|AB|=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8,∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为 x=3021x x ++=2. 答案：2诱思·实例点拨【例1】已知直线l:y=tan α(x+22)交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y,得(1+9tan 2α)x 2+362tan 2α·x+72tan 2α-9=0, ∴|AB|=α2tan 1+|x 2-x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+∆ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB|≥2,得tan 2α≤31, ∴-33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0,6π］∪［65π,π］. 讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π,否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况.【例2】讨论直线l:y=kx+1与双曲线C ：x 2-y 2=1的公共点的个数.剖析：直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题.解：联立直线和双曲线方程⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得(1-k 2)x 2-2kx-2=0.当1-k 2=0,即k=±1时，x= 1.当1-k 2≠0,即k ≠±1时，Δ=4k 2+8(1-k 2)=8-4k 2.由Δ>0得-2<k<2;由Δ=0得k=±2;由Δ<0得k<-2或k>2.所以当k ∈(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2)时，直线l 与双曲线C 相交于两点; 当k=±2时，直线l 与双曲线C 相切于一点；当k=±1时，直线l 与双曲线C 相交于一点;当k ∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时，直线l 与双曲线C 没有公共点，直线l 与双曲线C 相离.讲评：该题讨论了过定点(0,1)的直线系与等轴双曲线的位置关系.按1-k 2是否等于0来分类讨论.容易犯的两个错误：一是不讨论二次项系数为零的情况；二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零. 【例3】如图，点A 、B 分别是椭圆362x +202y =1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF.(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.剖析：(1)由⊥，得·=0和椭圆方程联立出方程组求出点P 的坐标.(2)利用函数思想方法，求出d 2的最小值.解：(1)由已知可得点A(-6,0)、F(4,0).设点P 的坐标是(x,y)，则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+,0)4)(6(,12036222y x x y x则2x 2+9x-18=0,x=23或x=-6. 由于y>0,只能x=23,于是y=253. 所以点P 的坐标是(23,253). (2)直线AP 的方程是x-3y+6=0，设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是2|6|+m =|m-6|. 又-6≤m ≤6，解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有d 2=(x-2)2+y 2=x 2-4x+4+20-95x 2=94(x-29)2+15. 由于-6≤x ≤6,∴当x=29时，d 取得最小值15. 讲评：方程组、函数的思想方法在解决平面解析几何中有着非常重要的作用.。

高三数学第十二章圆锥曲线—直线与圆锥曲线的位置关系1 复习教案.doc

第九节直线与圆锥曲线的位置关系一、复习目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。

二、重难点：重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。

难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P126页教师讲解，增强目标意识及参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P126页填空题，教师准对问题讲评）1、直线与圆锥曲线C 的位置关系将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax2+bx+c=0.（1）交点个数①当 a=0或a ≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;(2) 弦长公式：利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 2、中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得2221212121a b x x y y x x y y -=++⋅--即．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．3、对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上4、重难点问题探析：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求②弦中点问题用“点差法”设而不求2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点在椭圆上，则的最小值为4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.8直线与圆锥曲线的

9.8 直线与圆锥曲线的位置关系考纲要求1．了解圆锥曲线的简单应用． 2．理解数形结合思想．1．直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.若圆锥曲线是双曲线或是抛物线，当A ＝0时，表示直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行；当A ≠0时，记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与圆锥曲线__________；②若Δ＝0，则直线与圆锥曲线__________；③若Δ＜0，则直线与圆锥曲线__________．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题若直线与圆锥曲线有两个公共点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，可结合韦达定理，代入弦长公式|MN |＝__________________或|MN |＝________________求距离．若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决．1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．115D ．37163．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )．A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16 5．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．一、直线与圆锥曲线的位置关系【例1－1】求证：不论m 取何值，直线l ：mx －y －m ＋1＝0与椭圆x 216＋y 29＝1总有交点．【例1－2】已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．方法提炼求直线与圆锥曲线的交点时，注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决．在解题时，应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况．请做演练巩固提升1二、直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】过点P (8,1)的直线与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．方法提炼1．当直线与圆锥曲线相交时，涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题，解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，设而不求，利用根与系数的关系解决问题．2．要灵活应用弦长公式和点差法．请做演练巩固提升2三、最值与定值问题【例3－1】已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．【例3－2】(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．方法提炼圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)求最值常见的解法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．提醒：求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．请做演练巩固提升3巧用韦达定理解圆锥曲线问题【典例】(12分)(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．规范解答：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.(2分)结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.(3分)在Rt△AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12AB B S ∆＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2，由题设条12AB B S ∆＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(5分)(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)(7分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P u u u u r ＝(x 1－2，y 1)，2B Q u u u u r＝(x 2－2，y 2)，所以2B P u u u u r ·2B Q u u u u r＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5.(9分)由PB 2⊥QB 2，知2B P u u u u r ·2B Q u u u u r＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.(10分)当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.(12分)答题指导：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点： 1．快速寻求出a ，b ，c ，确定圆锥曲线方程；2．充分利用韦达定理进行巧妙处理；3．涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，例如垂直、中点等．1．(2012辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )．A ．1B ．3C ．－4D ．－82．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )．A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． 4．(2012辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相交相切相离 2．(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] 基础自测1．C 解析：与抛物线相切有2条，与对称轴平行有1条，共3条．2．A 解析：由抛物线y 2＝4x 知直线l 2为其准线，焦点为F (1,0)．由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F (1,0)的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F (1,0)的距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1的距离(如图)，则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.3．B 解析：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，与抛物线方程联立可得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2p ＝4.所以p ＝2，故准线方程为x ＝－1. 4．C 解析：依题意知F (2,0)，所以直线的方程为y ＝x －2.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y ，得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2. 5．85解析：右焦点(3，0)，直线AB 的方程为y ＝x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，得5x 2－83x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，|AB |＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8532－4×85＝85.考点探究突破【例1－1】证法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0，x 216＋y29＝1消去y 得x 216＋(mx －m ＋1)29＝1.整理，得(16m 2＋9)x 2－32m (m －1)x ＋16m 2－32m －128＝0.(*)∵Δ＝322m 2(m －1)2－4(16m 2＋9)(16m 2－32m －128)＝576(15m 2＋2m ＋8)＝576⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1152＋11915＞0，∴方程(*)恒有实根． ∴原方程组恒有解．故直线l 与椭圆总有交点．证法二：直线l 的方程可化为m (x －1)＋(－y ＋1)＝0，故直线l 恒过x －1＝0和－y ＋1＝0的交点A (1,1)．又点A 在椭圆x 216＋y 29＝1内部，∴直线l 与椭圆总有交点．【例1－2】解法一：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0. 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．解法二：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同解法一．【例2】解：设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 12－4y 12＝4，① x 22－4y 22＝4.②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵P 是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. ∴直线AB 的斜率为2.∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.【例3－1】解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以 x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2， y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2， y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E ＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.【例3－2】解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m(x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1.令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2),0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69. 演练巩固提升1．C 解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2. ② ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为y ′| x ＝4＝4， ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.又∵过点Q 的切线斜率为y ′| x ＝－2＝－2， ∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4.2．A 解析：由△ABF 2为锐角三角形得，b 2a 2c ＜tan π4＝1，即b 2＜2ac ，∴c 2－a 2＜2ac . ∴e 2－2e －1＜0，解得1－2＜e ＜1＋2，又e ＞1，∴1＜e ＜1＋ 2.3．(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.① ∵有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0，∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两实根．∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2.②由OP ⊥OQ ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③式②代入式③，化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.∴1a2＋1b2等于定值．(2)解：∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2(1－e 2)． ∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴13≤e 2≤12. ∴54≤a 2≤32. ∴52≤a ≤62，从而长轴长的范围为[5，6]． 4．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 029＋y 02＝1得y 02＝1－x 029，从而x 02y 02＝x 02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 029＝－19⎝⎛⎭⎪⎫x 02－922＋94.当x 02＝92，y 02＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 02x 02－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 02＝1－x 029.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．。

2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教版A版)

2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案（人教版A 版）教学目标：1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法。

2.会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的问题来研究3.能解决直线与圆锥曲线相交所得的弦的有关问题教学重点：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系。

教学难点：①弦长问题 ②中点弦问题教学过程：1.直线与圆锥曲线的位置关系几何角度：直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.无公共点一个公共点两个不同公共点代数角度：直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。

因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.设直线L 的方程为：0=++C By Ax 圆锥曲线C 的方程为：0),(=y x F联立：⎩⎨⎧==++0),(0y x F C By Ax 消y （也可消x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的一元二次方程：02=++c bx ax（1）当a ≠0时，则有下表中的结论：（方程的判别式△=ac b 42-）方程的判别式△ 方程组的解的个数交点个数位置关系 △﹤0 0 0 相离 △=0 1 1 相切 △﹥0 22相交1）相离 3）相交 2）相切（2）当a =0时，即得到一个一次方程，则直线L 与圆锥曲线相交，且只有一个交点。

若C 为双曲线，则直线L 与双曲线的渐近线平行。

若C 为抛物线，则直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

即直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．（对于椭圆来说，这个方程二次项系数一般不为0，不过当直线与椭圆相切时，若已知直线过某点，则当点在椭圆外部时，切线有两条；当点在椭圆上时，切线有一条．）注意：直线与圆锥曲线位置关系问题①常利用数形结合方法解决。

②转化为研究方程组解的问题。

例1.直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点。

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2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案（人教版A 版）教学目标：1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法。

若C 为双曲线，则直线L 与双曲线的渐近线平行。

若C 为抛物线，则直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②转化为研究方程组解的问题。

例1.直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点。

分析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查综合分析问题的能力、数形结合的思想及分类讨论思想。

可以由直线L 与抛物线C 的方程联立方程组解的个数来解决。

解：将L 和C 的方程联立⎩⎨⎧===x y kx y 412消去y 得01)42(22=+-+x k x k ①当k=0时，方程①只有一个解1,41==y x 此时. ∴直线L 与C 只有一个公共点（1,41），此时直线L 平行于抛物线的对称轴。

当k ≠0时，方程①是一个一元二次方程，△ =)1(1616164)42(22--=+-=--k k k k .（1）当△＞0时，即k ﹤1且k ≠0时，L 与C 有两个公共点，此时称直线L 与C 相交; （2）当△=0时，即k=1时，L 与C 有一个公共点，此时称直线L 与C 相切；（3）当△﹤0时，即k ＞1时，L 与C 没有公共点，此时称直线L 与C 相离。

综上所述，当k=1或k=0时，直线L 与C 有一个公共点；当k ﹤1，且k ≠0时，直线直线L 与C 有两个公共点；当k ＞1时，直线L 与C 没有公共点。

点评：当联立所得关于x 的方程为二次方程时，才能用判别式判定其交点个数；当所得关于x 的方程二次项系数带有字母时，应该进行讨论。

2.直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题直线L 的方程为: 0=++C By Ax 圆锥曲线C 的方程为：0),(=y x F L 与C 有两个不同的交点(1P 11,y x ），222,(y x P ），则（11,y x ），22,(y x ）是方程组⎩⎨⎧==++0),(0y x F C By Ax 的两组解，方程组消元（消x 或消y ）后化成关于x （或y ）的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）由根与系数的关系（韦达定理）有a b x x -=+21，acx x =⋅21所以弦长][212212212214))1(1x x x x k x x k P P -++=-+=（或][212212212214))11(11y y y y ky y k P P -++=-+=（注：①当斜率k 不存在时，可求出交出坐标，直接运算（利用轴上两点间的距离公式）②经过圆锥曲线的焦点的弦（也称焦点弦）的长度，应用圆锥曲线的定义，转化成两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷。

如：已知过抛物线p px y (22=＞0）的焦点的直线交抛物线于A,B 两点，设A(11,y x ） B(22,(y x ),则有p x x AB ++=21 或利用性质：AB=α2sin 2p（α为直线AB 的倾斜角）。

例2.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB的长.解析：a=3,b=1,c=22，则F （-22，0）。

由题意知：)22(31:+=x y l 与1922=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。

设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，41521=⋅x x ，223221-=+=x x x M又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点，所以|AB|=21518324)(32||3112122121=-=-+⋅=-⋅+x x x x x x 点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。

例3．已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值。

解析：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则由距离公式|AB|=221221)()(y y x x -+-21212122191|2|,().2y y y y y y k+---=则有由.02,).1(2,21222=-+⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+p py y x x p y p y x 得消去 .,2.04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆从而29444)()(2221221221=+-+=-p p y y y y y y 即由于p>0，解得.43=p 点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。

3.有关弦的中点问题求以某一定点为中点的圆锥曲线的弦的方程问题，有以下几种方法：（1）将弦的两个端点代入圆锥曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后可以利用点斜式写出弦的方程，这种方法叫做“点差法”;（2）设弦的方程为点斜式，弦的方程与圆锥曲线方程联立，消去y （或消去x ）后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根于系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程;(3)设弦的两个端点分别为（11,y x ），22,(y x ），则由这两点坐标分别满足曲线方程，又（2,22121y y x x ++），为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例4.P (1,1)为椭圆12422=+y x 内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P （1，1）点被平分，求此弦所在的直线方程。

分析：可利用点斜式求出直线方程，关键是确定出直线的斜率。

解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为)1(1-=-x k y ，弦的两端点（11,y x ），22,(y x ）.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)1(122y x x k y 消去y 得（0)12(2)1(4)12222=--+--+k k x k k x k∴212)1(421221=++-=+x x k k k x x 又 ∴21212)1(42-==+-k k k k 得故弦所在的直线方程为)1(211--=-x y即032=-+y x解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，且设弦的两端点坐标为（11,y x ），22,(y x ），则124,12422222121=+=+yx y x ，两式相减得02))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x∵2,22121=+=+y y x x ∴0)(22121=-+-y y x x . ∴212121-=--=x x y y k . ∴此弦所在的直线方程为032),1(211=-+--=-y x x y 即.点评：解决弦的中点问题有两种方法：一是利用“待定系数法”结合韦达定理得出待定系数k ，二是用“设而不求”法，利用端点的曲线上坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，点差法在解决有关弦中点，弦所在直线的斜率，弦中点与原点连线斜率问题时可以简化运算过程。

4.曲线上存在点关于直线对称的问题.例5.若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两点，求a 的取值范围。

解析：设抛物线上关于0=+y x 对称的两点为),(11y x A ，B(22,(y x ），AB 的方程可设为：m x y +=.∴⎩⎨⎧-=+=12ax y mx y 012=---⇒m x ax△ =1+)1(4+m a ﹥0. ① 又a x x 121=+，则AB 中点横坐标为ax 21=中，由⎩⎨⎧+=-=mx y x y 得AB 中点横坐标为2mx -=中，则a m 1-=，代入①中得a ﹥43. 点评：已知圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两点，求直线或圆锥曲线方程中某个参数的取值范围时常联立直线与圆锥曲线的方程用根与系数的关系和中点坐标公式解决。

直线与圆锥曲线相关练习题：1、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]2、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ()0,7,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D. 15222=-y x 3、已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，在B AF 1∆中，若两边之和是11,则第三边的长度是（）A.5B.4C.3D.104、已知A 、B 是抛物线)0(22>=p px y 上两点，若OB OA =，且AOB ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程为（）A.p x =B. p x 3=C. 23p x =D. 25px = 5、对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：⎩⎨⎧+=+=θθsin 41cos 23y x)20(πθ<≤恒有公共点，则b 取值范围是_________6.正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为7.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是参考答案：1～4。