2-2矩阵的运算

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线性代数 2-1,2-2矩阵运算

⎜ ⎟ 积矩阵的行、列数? ⋮ ⋮ ⋮ ⎜ ⎟ = ⎜ ci1 ⋯ cij ⋯ cin ⎟ c ＝a b +a b +…+a b i1 1j i2 2j is s j ⎜ ⎟ ij ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ s …,m; i =1, ⎜ ⎟ = ∑ a i k bk j ⎜ cm ⋯ cmj ⋯ cmn ⎟ ⎝ 1 ⎠m×n k =1 …
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。

2-2逆矩阵及其运算

线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。

,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。

定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。

0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。

因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。

2-2矩阵的运算2

若
A
1
3
2
,
1
1
B
2
2 1
3
0
,
求AB和BA.
2 3
解：
AB
1
3
2
1
1 2
2 1
3 0
21 3 2 2 (2) 3 (1) 2 (3) 3 0
11 (2) 2 1 (2) (2) (1) 1 (3) (2) 0
311 2 3 (2) 1 (1) 3 (3) 1 0
i
8
4i
2 3 3i
AB
5
i
8
4i
运算规律（1）（2）（3）很容易由定义直接验证，这里就（4）举例如下．
例6 设矩阵
1 2
A
1
0
,
2 3
2 1 3
B
1
1
2
.
1 2
解因为
AB
1
2
0 3
2 1
求 (AB)T 和 BT AT .
1 3 0 1 –7
1
2
2 1
13 –1
.
12
所以
0 2 1
（8）分配律：(k l)A kA lA
四、矩阵相乘
定义2.4
设 A
aij
, B
ms
bij
则 A与 B的乘积
sn
AB规定为C
cij
,
mn
其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j L aisbsj
即 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素
乘积之和，其中 (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n).

矩阵的四则运算

矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。

1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。

要求两个矩阵的行数和列数相等。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。

同样要求两个矩阵的行数和列数相等。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。

要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。

要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。

这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。

2-2,3_矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

矩阵乘法的性质 (1) (AB)C=A(BC)； = ； (2) (A+B)C=AC+BC； + = + ； (3) C(A+B)=CA+CB； + = + ； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) . = =
应注意的问题 (1) AB≠BA ； ≠ (2) AC=BC ⇒ A=B； = / = ； (3) AB=O ⇒ A=O或B=O ； / = 或 = = (4) AA=A ⇒ A=E或A=O . = 或 = = /
2 3 1 −2 −3 例3．设 A= 1 −2 ， B = ，求AB及BA . 求 2 −1 0 3 1 8 −7 −6 解： AB = −3 0 −3 , BA= −9 4 . = 3 8 5 −7 −9 −2 4 2 4 例4．设 A= ， B= ，求AB及BA . 注意：求注意：左乘右乘的不同 −2 −3 −6 − − 1− −16 −32 0 0 解： AB= ， BA= 8 16 0 0
显然AC=BC，但A≠B . ，显然 ≠
1 , 0
1 . 0
矩阵乘法不满足消去律. 注4：矩阵乘法不满足消去律
对于任意矩阵A及相应的矩阵及相应的矩阵O，，例7．对于任意矩阵及相应的矩阵，E，有 AO=O， OA=O；，； AE=A， EA=A， EE=E. ，，例8 . 设A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
那么, 那么,F 矩阵是怎么得到的呢？的呢？
0 x1 1 = 1 x2 2
从而得方程组的解: 从而得方程组的解 x1 = 1 , x2 = 2.

2-2逆矩阵

A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程矩阵方程AX=B的矩阵其中的矩阵X,其中例3：求满足矩阵方程：求满足矩阵方程的矩阵
左乘方程AX=B两边得：两边得：用A-1左乘方程两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章矩阵及其运算
第二节逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件三、逆矩阵的求法及应用四、小结思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数、
−1
在数的运算中，当数α≠０时，在数的运算中，当数０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数，则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能不是可逆阵，或者不是方阵，用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3

线性代数--2-2-矩阵的运算

一、矩阵的加法
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
aij
,
am1 am1 amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵的乘法
§2.2
矩阵的运算
• 一、矩阵的加法 • 二、矩阵的数乘 • 三、矩阵的乘法 • 四、其它运算 • 复习小结
程学汉
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
一、矩阵的加法
说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 练习： 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
三、矩阵与矩阵的乘法
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3
3 32 0 3

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是一个由数个数按照矩形排列的数表。

矩阵的运算是对矩阵进行各种数学操作的过程，通过矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。

矩阵的基本运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置。

矩阵的加法是指将两个矩阵对应元素相加得到一个新的矩阵。

矩阵的乘法是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。

矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。

加法的交换律指两个矩阵相加的结果与顺序无关；加法的结合律指三个矩阵相加的结果与加法的顺序无关。

乘法的结合律指三个矩阵相乘的结果与乘法的顺序无关；乘法的分配律指一个数与两个矩阵相乘的结果等于这个数与每个矩阵相乘后再相加的结果。

矩阵运算的应用非常广泛，特别是在线性代数、概率论和统计学中。

在线性代数中，矩阵的运算可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和行列式、求解特征值和特征向量等问题。

在概率论和统计学中，矩阵的运算可以用于计算协方差矩阵、相关矩阵和条件概率矩阵，从而帮助我们分析和理解数据的关系和分布。

除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算。

例如，矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵，可以找到一个矩阵使得两个矩阵相乘等于单位矩阵。

矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。

矩阵的迹运算是指矩阵主对角线上元素的和。

这些特殊的矩阵运算在实际应用中也有着重要的作用。

总的来说，矩阵的运算及其运算规则是线性代数中的重要内容，通过对矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。

矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。

除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算，如矩阵的逆运算、转置运算和迹运算。

这些矩阵运算在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们解决各种数学和统计问题。

第二章矩阵及其运算

数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！！
23
第二章矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B）三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容教学目标教学重点
第二章矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念；矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点矩阵乘法
教学内容、安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=

ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n

kamn

用数乘以矩阵中的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、设
教学手段、
措施

矩阵的运算的所有公式

矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。

下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。

一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。

矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。

2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。

二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。

矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。

计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。

需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。

矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。

即将A的行变为列，列变为行。

例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。

四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。

求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。

即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。

需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。

五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。

2-2可逆矩阵和分块矩阵

1 0
2 1
使得
AB
1 0
10
BA
因而A可逆. A1 B
注: 逆矩阵唯一.
事实上,若B,C均为A的逆矩阵, 则有
BA AB I; CA AC I. 因而 B BI BAC IC C.
定义2.2: 若n阶方阵A的行列式满足|A|0, 则称A 是非奇异的, 否则称为奇异的.
注: 可逆矩阵必是非奇异矩阵因为,若A可逆,则存在B使得AB I 从而
定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件是A非奇异, 即 |A|0. 此时 A1 1 A*
| A|
证明:只需要证明充分条件. 此时 | A | 0, 因此
1 A* A I 1 AA* A( 1 A* ).
| A|
| A|
| A|
因此A可逆且A1
1 |A|
A*
.
即|
A|
A1
A*
推论2.2 若方阵AB=I, 则A, B均可逆且A-1=B, B-1=A.
A
5 0 0
0 3 2
110
A1 O
O A2
,
其中
A1 5,
A2
3 2
11,
由
A11
1 5
;
A21
1 2
31 可知
A1
Btr
,
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Btj
的行数, 那末 AB
C11
C s1
C1r
C sr
其中Cij
t
Aik Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
k 1
例2.9
设A

线性代数 2-2矩阵的加、乘运算

k
a1 x a0是x的k次多
k 1
项式，Ａ是n阶矩阵，则
f ( A) ak A ak 1 A
称为矩阵Ａ的k次多项式
Байду номын сангаас
a1 A a0 In .
若 f ( x ), g( x ) 为多项式，Ａ，Ｂ皆为n阶矩阵，则
f ( A) g( A) g( A) f ( A).
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 , x xn
b1 b2 b bm
则线性方程组可以表示为矩阵形式
Ax b .
2.2.5
a1n a 2 n . amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
2.2 矩阵的加法数量乘法乘法
•
• • • • •
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6
矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法几种特殊类型的矩阵方阵乘积的行列式方阵的幂和方阵的多项式
2.2.1 矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
B 1.定义设 A a ij 是一个m s 矩阵， bij 是一个
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj

矩阵的运算规律

矩阵的运算规律
矩阵的运算规律是指在进行矩阵运算时所遵循的一系列规则。

常见的矩阵运算
包括加法、减法、乘法和转置等。

首先是矩阵的加法和减法。

两个矩阵进行加法时，要保证它们的维度相同，即
行数和列数相等。

相加时，对应位置的元素相加，得到的结果矩阵与原始矩阵的维度相同。

矩阵的减法与加法类似，只是对应位置的元素相减。

其次是矩阵的乘法。

矩阵乘法的要求是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C就是一
个m×p的矩阵。

在矩阵乘法中，C的第(i, j)个元素等于A的第i行与B的第j列对
应元素的乘积之和。

另外，矩阵运算还包括转置。

矩阵的转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。

如果原始矩阵为A，转置后的矩阵记为A^T。

对于矩阵A的第i行第j列元素，它
在转置后的矩阵A^T中将位于第j行第i列。

总结而言，矩阵的运算规律包括加法、减法、乘法和转置。

加法和减法要求矩
阵维度相同，对应位置元素进行加或减。

乘法要求两个矩阵的行列满足乘法条件，计算对应元素的乘积之和。

转置是将矩阵的行列互换得到的新矩阵。

这些运算规律在数学和计算机科学等领域中具有广泛的应用。

线性代数课件2-2方阵的逆阵

不是所有矩阵都有逆阵，只有方阵才可能有逆阵。一个方阵A的逆阵存在当且仅当A是可逆矩阵，
即A的行列式值不为零。
逆阵的求法
求一个方阵的逆阵，需要先计算该方阵的行列式值，然后通过特
定的公式计算出逆阵的元素。
利用逆阵进行矩阵乘法运算
矩阵乘法运算
01
矩阵乘法是线性代数中基本的运算之一，通过矩阵乘法可以解
逆矩阵存在条件
一个方阵存在逆矩阵的充分必要条件是该矩阵非奇异（即行列式值不为0）。
逆阵的性质
逆矩阵的唯一性
一个方阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵与转置矩阵的关系
如果$A^{-1}$是矩阵$A$的逆矩阵，那么$(A^{-1})^{-1} = A$。
逆矩阵与行列式的关系
如果$A^{-1}$是矩阵$A$的逆矩阵，那么$det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$。
决许多实际问题。
逆阵在矩阵乘法中的作用
02
在矩阵乘法中，如果一个矩阵与其逆阵相乘，结果是一个单位
矩阵。因此，利用逆阵可以简化矩阵乘法运算。
逆阵在矩阵乘法中的优势
03
利用逆阵进行矩阵乘法运算可以大大简化计算过程，提高运算
效率。
逆阵在矩阵运算中的重要性
1 2
逆阵的应用范围
逆阵在许多领域都有广泛的应用，如线性方程组的求解、矩阵的分解、特征值的计算等。
中的应用
线性方程组的解法
01
02
03
高斯消元法
通过消元和回代步骤求解线性方程组，但当系数矩阵的行列式为零时，该方法失效。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为零的情况，通过求解方程组得到解。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，适用于大规模线性方程组。

难忘一课 2-2逆矩阵

行列式性质：
i1 j1 i2 j2
A1n A2n
in
jn
Ann
伴随矩阵Adjoint matrix
9
三、方阵可逆的充要条件
a11 a 21 AA a n1 a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n An1 An 2 Ann
四、逆矩阵的求法及应用
例2 求方阵
第二节
逆矩阵
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
1 2 3
的逆矩阵.
解
A2 2 1 3 4 3
2 1 4 3
A1存在. 2,
A11 ( 1) M11 ( 1)
2
2
2,
A12 3,
A13 2,
1
ax b(a 0)
a ax a b x a 1b
对于 a ，能找到 a 的倒数
1
1
1
EX A1B
X A1B
B
对于 A ，如果能找到一个
1
a （或称为 a的逆），满足：矩阵 A 满足：
a a aa 1
1
1
A 1 A E ,
AA1 E
AA A A A E
如果
引理2.1
第二节
逆矩阵
A A , A 0, 则 A( ) ( ) A E A A
A 1 . 按逆矩阵的定义得：A 可逆，且 A A 【定理２.２】设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是 A 0. 当 A 0 有 1 1 A A A 【证】充分性（已证）

《线性代数》2-2矩阵的运算

14
13 .
3 10
解法2
( AB)T BT AT
1 4 2 2 1 0 17

7 1
2 3
0 1

0 1
3 2

14 3
13 10

.
定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A AT ，即
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总价及总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
证明： H T (E 2 XX T )T ET (2 XX T )T E 2( XX T )T
E 2( X T )T X T E 2XXT H 从而 H 是对称阵． HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 2 4 XX T (2 XX T )2

a11 a21
a12 a22
a13 a23

a11 a21
b12 b22
a13 a23

2aa1111 2aa2121
aa1212b1b212 aa2222b2b222
aa122233aa1233

2-2,3 矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

转置矩阵有Leabharlann 列性质 (1)(AT)TA； (2)(AB)TATBT； (3)(kA)TkAT； (4)(AB)TBTAT .
定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT= - A，则称A为反对称矩阵. 显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji ; A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji . 如： 1 -1 2 0 1 -2 A -1 3 4 , B -1 0 -4 2 4 -2 2 4 0 分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.
注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 注 3 ：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从 AB=O，推出A=O或B=O .
1 2 1 0 1 1 例5 ．设 A , B , C , 则 0 3 0 4 0 0 1 AC 0 1 BC 0 2 1 3 0 0 1 4 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 , 0 1 . 0
注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 注 3 ：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从 AB=O，推出A=O或B=O .
2 3 1 -2 -3 例3．设 A 1 -2 ， B = ，求AB及BA . 2 -1 0 3 1 8 -7 -6 解： AB -3 0 -3 , BA -9 4 . 3 8 5 -7 -9 -2 4 2 4 例 4 ．设 A ， B ，求AB及BA . -3 -6 1 -2 -16 -32 0 0 解： AB ， BA 8 16 0 0
cij (ai1 ai2
因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

线性代数第二章2-1, 2-2

称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增广矩阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn，则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵主对角线元素都是 1, 其他元素都是零的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0