中考数学压轴题——辅助线典型用法
中考数学辅助线专题：巧求三角形中线段的比值，4道例题2道练习
中考数学辅助线专题：巧求三⾓形中线段的⽐值，4道例题2道练习
初三，不管是平时的⽉考，期中或者期末考试，还是数学中考，求线段的⽐值的考试题型，确
实很常见。
⼀般出现在选择题，填空题，甚⾄还是出现在最后⼀道压轴题中。分值占⽐还⾮常⾼。
所以，这是⼀个难点和重点。很多同学都认为，这类考试题型，真的⽆从下⼿，不知道该怎么
办？
今天通过⼏道例题来和⼤家⼀起分享，这类考试题型的解决办法。
以上两道例题，例1和例2中，辅助线都作在了“已知”条件中，出现的两条已知线段的交点处，且
所作的辅助线与结论中出现的线段平⾏。
作⼀条平⾏线，通过平⾏线分割线段成⽐例的性质，得出线段之间的⽐例，然后通过数量关系
转换，得出要求的线段⽐值。
请再看另外两道例题，这两道题怎么转化的？
例3和例4，解题思路和⽅法和例1例2还是⼀样的。
解题步骤和过程，已经⾮常详细了，⽅⽼师就不做过多解析了。
所以，求三⾓形中线段的⽐值问题的考试题型，⼀般具备两种情况：⼀是构造三⾓形相似，⼆
是做平⾏线分割线段成⽐例。
课后留的这两道练习题。其实也⾮常简单，练习题2的答案是9∶1。其中解题过程步骤，⼤家⾃
⾏推敲。
⼩提⽰⼀下，过点C做AB的平⾏线，分别交AF的延长线和BE的延长，然后对应成⽐例，就好。
中考数学压轴题常见辅助线
一、添辅助线有二种情况:
1、按定义添辅助线:
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线:
每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下:
(1)平行线就是个基本图形:
当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)--中考数学压轴题专项训练
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)
1.题型一：一线三等角模型
2.题型二：手拉手模型
3.题型三：半角模型
4.题型四：旋转模型
5.题型五：倍长中线法
6.题型六：截长补短法
题型一一线三等角模型
过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS
)
常见的两种图形：
题型二手拉手模型
【基本模型】
一、等边三角形手拉手-
出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有
①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；
1
2题型三半角模型
过等腰三角形顶点两条射线，
使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，
再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。解题技巧：
在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，
∴BM +DN =MN
∠AMB =∠AMN
AB =AH
△CMN 的周长等于正方形周长的一半
在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；
总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.
题型四
旋转模型
3
1一、
奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题
中考数学压轴题作辅助线的技巧之一：截长补短
中考数学压轴题作辅助线的技巧之一：截长补短
【方法说明】
遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．
截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．
题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．
【方法归纳】
1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．
2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．
图（1）图（2）
3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．
【典型例题】
（2009广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG＝AE，证明：AF＝AH；
（2）若∠FAH＝45°，证明：AG＋AE＝FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．
【思路点拨】
（1）证明AF＝AH，因此先连接AH、AF．证明线段相等可考虑三角形全等的方法，观察发现只要证明Rt△ADH≌Rt△ABF（或Rt△AGH≌Rt△AEF）即可；
（2）证明AG＋AE＝FH这种线段和的问题，可以考虑截长补短，发现在FH上截取的方法不好证明，可以考虑补短的方法．本题可以考虑把AG＋AE转化为DH＋BF，延长延长CB至点M，使得BM＝DH，然后证明MF＝FH即可；
中考数学压轴题常见辅助线
一、添辅助线有二种情况：
1、按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为 90 °证；线段倍半关系可倍
线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1 ）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三
条直线
（2 ）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3 ）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4 ）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上
中线基本图形。
（5 ）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有
中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；
当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添
倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端
中考数学复习(七)：辅助线的添加
辅助线的添加
【知识要点】
平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。
一、三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
ⅰ可向两边作垂线。
ⅱ可作平行线，构造等腰三角形
ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
2. 与线段长度相关的
ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的
ⅰ考虑三线合一
60
ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转
二、四边形
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
1、和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形
ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形
初中数学辅助线添加技巧：旋转
初中数学辅助线添加技巧：旋转
方法总结
1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：
遇中点，旋转180°，构造中心对称； 遇90°，旋90°，造垂直； 遇60°，旋60°，造等边； 遇等腰，旋等腰．
综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．
2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．
如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然． 如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．
图2
图1
O
A
B
C
D
D
C
B A
O
倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．
典例精析
例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（ ）
A
．1-
B
C
．1 D ．1
2
（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为 ．
图2图1
D'C'
B
A
解：（1）A ；（2）（4，0）．
点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．
中考数学压轴题分析：中点辅助线
中考数学压轴题分析：中点辅助线
本文内容选自2021年河北中考数学压轴题。本题比较巧妙，利用四边形的不稳定性，根据四边形的边角关系，得到固定的三角形，进而求得边与角。是一道值得探究的问题。
【中考真题】
（2021·黑龙江）在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．
（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：；
（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图②所示，当，点在边上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【分析】
（1）本题比较简单，只需根据斜边中线的性质即可得到。
如图，易得BD＝CD，因为EF＝1/2BD，所以结论得证。
（2）如图②所示时，BD与CD不相等，那么无法直接使用该方法进行证明。但是题目中的关键条件，点F为BD的中点没有改变，因此需要从中点入手。
如上图，取CD的中点T，可以得到TF为中位线，平行且等于BC 的一半。而AT为CD的一半。那么可以考虑证明AT与EF相等。本题只需证明△ATF≌△EFT即可。
或者，也可以取BC的中点，如下图所示：
连接AO、OE和OF，那么可以得到△ACD∽△AOE，得到△OEF为等腰直角三角形（其中OE与CD的夹角为45°），OE＝OF＝1/2CD。
如图③，可以参考图②的方法，取AD的中点O，连接OF、OE。易得△OEF与△ADC相似，那么结论就出来了。
当然，还可以像下面这样构造：
如图，取BC的中点O，连接AO、OE、OF，得到△ACD≌△AOE，进而得到CD＝OE＝2OF（其中OE与CD的夹角为60°），再得到结
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型一：与中点有关的辅助线作法
又∵∠AGN＝∠EGF，∴△AGN≌△EGF(ASA)， ∴GF＝GN，AN＝EF， ∴四边形ANEF是平行四边形， ∴AF＝NE＝BN，AC∥NE， ∴AF＋2FG＝BN＋FN＝BF，∠ACB＝∠NEB， ∴∠ACB＝∠NBE，∴BF＝FC，∴CF＝AF＋2FG.
题型五 利用“倍长中线法构 造全等三角形”添加辅助线
(1)解：∵四边形ABCD为菱形， ∴DA∥BC，AD＝AB， ∴∠DAH＝∠ABC＝60°. ∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°. 在Rt△ADH中，AD＝sinD∠HDAH＝4， ∴BE＝14AB＝1.
∵EF∥AD，∴∠PDG＝∠PEF， ∵P为DE的中点，∴PD＝PE， ∵∠DPG＝∠EPF， ∴△PDG≌△PEF，∴DG＝EF， ∵∠FEB＝∠CBA＝60°，BE＝EF， ∴△BEF为正三角形，∴EF＝BE＝1， ∴DG＝EF＝1.
辅助线作法1：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF. 辅助线作法2：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 【结论】△BDE≌△CDF.
方法5：遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用线段垂直平分 线的性质 【模型展示】在△ABC中，ED垂直平分BC.
【结论】BE＝CE；DE平分∠BEC；∠EBC＝∠ECB.
6．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝ 90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED. (1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系； (2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其他条件不变，如图②，(1) 中的结论是否成立？说明理由．
全等典型辅助线和压轴题
全等典型辅助线和压轴题
一．截长补短
1．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE．
2．如图已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC，求证：AB=BD+DC．
3．如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB 于N，连EN，求证：AE=CN+EN．
4．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．
5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．若E、F分别在AD、DC的延长线上，
求证：AE=EF+CF．
6．如图，△DBC中，DB=DC，A为△DBC外一点，且∠BAC=∠BDC，DM⊥AC于M，求的值．7．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕
B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成
立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不
需证明．
8．（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，
中考数学几何压轴题(辅助线专题复习)
中考压轴题专题几何（辅助线)
精选1.如图，Ｒt △ABC 中，∠ABC ＝９0°，DE 垂直平分AC ,垂足为O ，ＡＤ∥B Ｃ，且AB =３，BC =4，则AD 的长为 ．
精选2．如图,△ABC 中,∠C =６０°,∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ,ＢF
相交于点
D ， 求证:D
E ＝D
F ．
精选3.已知:如图，⊙Ｏ的直径A Ｂ＝8cm ，Ｐ是ＡB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线,切点为C,连接ＡC. (1) 若∠A ＣP ＝１20°,求阴影部分的面积；
（2)若点P 在ＡＢ的延长线上运动,∠ＣPA 的平分线交ＡＣ于点Ｍ,∠CM Ｐ的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，求出∠ＣＭP 的度数。
精选4、如图1，Rt △A ＢＣ中,∠ACB ＝90°,ＡＣ=3,BC=4,点O 是斜边AB 上一动点，以OA 为半径作⊙Ｏ与A Ｃ边交于点P ，
（１）当OA ＝时,求点O 到B Ｃ的距离； (2)如图1，当OA=
时，求证：直线B Ｃ与⊙Ｏ相切；此时线段AP 的长是多少？
（３）若B Ｃ边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围； （4)若CO 平分∠ACB ，则线段AP 的长是多少?
D
E
F
．
精选5.如图，已知△ＡBC 为等边三角形，∠BDC ＝1２０°,AD 平分∠BDC ，
求证:BD +D Ｃ=AD ．
精选6、已知矩形ＡＢCD 的一条边AD ＝8，将矩形AB ＣＤ折叠,使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（第６题图)
(1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结A Ｐ、OP 、O A. ①求证:△OC Ｐ∽△PD Ａ；
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线
=4 4 − 2 2
在Rt△AOD中，同理可
求AO=2 4 + 2 2
在Rt△OCG中,同理可求
OG=2 2+2
1
∴△ = AC·OG
2
=4 + 4 2
故④不正确
综上所述：①②③正确，
共计3个故选C
试炼场：
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂
明结论成立，所以与点G在AC边上的位置无关，也就是说这样的
两个等边三角形的图形组合总能形成如上结论，因此证明过程就
以图1为准.
图9
【解答】：
证明：如图10，在CF上截取CP=BD，
连接PD，PE，PB，作FQ⊥DE于点Q.
∵△ABC与△DEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AB=BC，
DE=EF.
∵∠DEF＋∠CEF=∠ABC十∠BDE，
∴∠BDE=∠CEF.
∴△BDE≌△CEF
（证明全等要严格按照书本上的格式书写），
∴BD=CE，则AD=BE.
同理，可证AD=BE=CF，AF=BD=CE.
∵CP=BD=CE，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠PEC=60°=∠ABC，PE=PC，∴PE//BD，
PE=BD，∴四边形BEPD是平行四边形.又
2022年中考数学压轴题专项训练01：全等三角形中的辅助线做法及常见题型(含答案)
全等三角形中的辅助线做法及常见题型
1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =．D 是AB 的中点，且90EDF ∠=︒，点E 在AC 上，点F 在BC 上
（1）求证：DE DF =；
（2）若2AC BC ==，求四边形ECFD 的面积．
【详解】
（1）证明：AC BC =，90ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，45A B ∠=∠=︒， D 为AB 中点，
BD AD ∴=，CD 平分BCA ∠，CD AB ⊥．
45DCF ∴∠=︒．
90EDF ∠=︒，
90ADE EDC ∴∠+∠=︒，
90CDF EDC ∠+∠=︒，
，
在ADE 和CFD △中，ADE CDF AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ADE CFD ASA ∴≌△△，
DE DF ∴=．
（2）ADE CFD ≌△△，
AED CFD S S ∴=△△，
∴S 四边形CEDF ADC S =△， D 是AB 的中点，
111221222
ACD ACB S S ∴==⨯⨯⨯=△△． ∴S 四边形CEDF =1．
2．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902
BDC ABD ∠=+∠．
（1）求证：DB AB =；
（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB
∠的度数．
CDF ADE ∠=∠∴
（3）在（2）的条件下，若16
BC ，ABF的周长等于30，求AF的长．【详解】
∴ABD，∴BDC=∴ABD+∴A，
（1）证明：∴∴BDC＝90°＋1
2022哈尔滨中考数学压轴题分析1：圆内接等边三角形与辅助线构造
2022哈尔滨中考数学压轴题分析1：圆内接等边三角形与辅助
线构造
下面大家来领略一下哈市的中考数学压轴题，感受一下今年的难度。
本题选自2022年黑龙江哈尔滨的中考数学几何压轴题。以圆为背景考查几何求值问题，题目涉及特殊的三角形，以及辅助线的构造等。题目涉及的模型比较典型，难度不大，比往年简单很多。
【题目】
（2022·哈尔滨）已知CH是⊙O的直轻，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC ＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是弧BH一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【分析】（1）根据条件∠AOC＝2∠CHB=∠BOC，那么再根据中点，可以得到OD=OE，以及公共边OC=OC，可以利用SAS证明全等，进而得到∠ODC＝∠OEC。（2）此时题目增加了条件，那么就可以得到OC为OD的1/2，根据三角函数可以得到∠AOC=∠BOC=60°，进而得到∠FCO=∠FHO=30°，那么就可以FC=FH了。（3）本小题是在（2）的基础上，那么就可以根据性质，得到∠AGH=∠AGB=60°。连接AH与AB，可以得到△ABH为等边三角形。此时容易证明AG=HG+BG。证明方法可以利用旋转，或者截长补短等，都可以得到结论。又因为题目条件AG：BG＝5：3，HG＝2，所以可以得到BG=3，AG=5，那么接着就可以求出BH的长了。那怎么求BH的长呢？由于△BGH中，∠BGH=120°，且GH=2，BG=3，那么这个三角形的形状与大小就是确定的，利用勾股定理和三角函数等知识可以得
中考数学压轴题常见辅助线
一、添辅助线有二种情况：
1、按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
2024年中考数学复习 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(原卷+答案解析)
解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略
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目录
【典型例题】1
【类型一遇弦作弦心距或半径】
【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】
【类型三遇切线连接圆心和切点】
【典型例题】
【类型一遇弦作弦心距或半径】
1(2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末)如图，⊙O的半径为6cm，AB是弦，OC⊥AB 于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为．
【变式训练】
1(2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末)如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么光盘的半径是cm．
2(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．
3(2023·甘肃庆阳·统考一模)如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2m ，净高CD =5m ，则圆形拱门所在圆的半径为m ．
【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】
1(2023·江苏·九年级假期作业)如图，
AB 为⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC =CD ，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．
(1)求证∠A =∠D ；
(2)若AE
的度数为108°，求∠E 的度数．【变式训练】1(2023·黑龙江佳木斯·校联考二模)如图，
⊙O 是△ABC 的外接圆，BC =2，∠BAC =30°，则⊙O 的直径等于．
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中考压轴题（典型辅助线用法）
一、三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
（1）可向两边作垂线，得到一对全等直角三角形。
（2）可作平行线，构造等腰三角形
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
2. 与线段长度相关的
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的
（1）考虑三线合一。
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。
二、四边形中常见辅助线的添加（特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）
1.和平行四边形有关的辅助线作法
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形。
（2）利用两组对边平行构造平行四边形。
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。
2.与矩形有辅助线作法
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法（连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题）
（1）作菱形的高。
（2）连结菱形的对角线。
4.与正方形有关辅助线的作法
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5. 与梯形有关的辅助线的作法
（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形。
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形。
（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形。
（4）延长两腰构成三角形。
（5）作两腰的平行线等。
三、圆中常见辅助线的添加
1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：（1）利用垂径定理。
（2）利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。
（3）利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点
作用：（1）可得等腰三角形。
（2）据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5. 遇到有切线时：①常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形
②常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6. 遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
作用：只需证OA⊥l，则l为切线
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线
7. 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：
（1）角、线段的等量关系（2）垂直关系（3）全等、相似三角形
8. 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线。
（2）内心到三角形三条边的距离相等。
9. 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等
10. 遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线
作用：（1）利用切线的性质；（2）利用解直角三角形的有关知识
11. 遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等
作用：（1）利用连心线的性质、解直角三角形有关知识
（2）利用圆内接四边形的性质
（3）利用两圆公共的圆周的性质
（4）垂径定理
12．遇到两圆相切时常常作连心线、公切线
作用：（1）利用连心线性质（2）切线性质等
13. 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线
作用：可利用连心线性质
14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆
作用：以便利用圆的性质
15.辅助线记忆歌诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解.