《名师伴你行》系列高考数学(理)一轮复习配套精练考案：第一、二编复习检测题
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：选择填空巧练1 Word版含答案
选择填空巧练(一) 概念类题目 A 组(时间：30分钟 分数：80分) 一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2021·福建福州质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ＜2}，P ＝{x |y ＝x }，则M ∩(∁U P )等于( ) A.[)－2，0 B.[]－2，0 C.[)0，2 D.()0，2 答案：A解析：由题意知∁U P ＝{x |x <0}，又M ＝{x |－2≤x <2}，故M ∩∁U P ＝{x |－2≤x <0}，故选A.2．(2021·湖北武汉调研)复数－1＋i i 的共轭复数是( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i 答案：D解析：复数－1＋i i ＝－(1＋i )i i 2＝－1＋i ，得复数－1＋ii 的共轭复数是－1－i ，故选D.3．(2021·河南郑州质检)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A. 充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：若a ＝－2，则6×(－2)＋4×3＝0，命题q 成立；若直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直，则6a ＋4×3＝0，得a ＝－2，命题p 成立，故选A.4．某班共有52人，现依据同学的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )A ．10B ．11C ．12D ．16答案：D解析：由于样本间隔为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16，故选D.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的 表面积为( )A.36π B . 8π C.92π D.278π 答案：B解析：依据几何体的三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥(如图所示)．设几何体外接球的半径为R ，由于底面是等腰直角三角形，所以底面外接圆的半径为1，所以R 2＝1＋1＝2，所以几何体外接球的表面积为4πR 2＝8π.故选B.6．执行下面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：由题意知y ＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≤2，log 2x ，x >2.当x ≤2时，由x 2－1＝3，得x 2＝4，解得x ＝±2.当x >2时，由log 2x ＝3，得x ＝8.所以输入的实数x 值的个数为3.故选C.7．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项的和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( )A ．1B ．2C ．3 D.53 答案：B解析：在等差数列中，S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3(a 1＋6)2＝12，解得a 1＝2，所以a 3＝a 1＋2d ＝6，∴d ＝2.故选B.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x 答案：C解析：由题意知2a ＝2,2c ＝4，所以a ＝1，c ＝2，所以b ＝c 2－a 2＝ 3.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±ba x ，即y ＝±3x .故选C.9．函数y ＝2sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π8D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π16答案：B解析：由图象可知T 2＝5π8－π8＝π2，所以函数的周期T ＝π.又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋2k π，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B.10．设a ＝⎠⎛π(cos x －sin x )d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6开放式中的x 3项的系数为( ) A ．－20 B ．20 C ．－160 D ．160答案：C解析：由于a ＝ ⎠⎛0π(cos x －sin x )d x ＝ (sin x ＋cos x )| π0＝－2，所以二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6，其开放式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝C k 6x 12－k (－2)k ，由12－3k ＝3，得k ＝3，所以T 4＝C 36x 3(－2)3＝－160x 3，所以x 3项的系数为－160.故选C.11．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列答案：C解析：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0·n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，明显数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列．12．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是( )A.13B.223 C ．2 2 D.24 答案：C解析：解法一：据题意画图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，BD ⊥AA 1.设直线l 的倾斜角为θ， |AF |＝2|BF |＝2r ，则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|AD |＝2r ， 所以有|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r ，k ＝tan θ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.解法二：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)，可得ky 2－8y －16k ＝0， 由于|F A |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ， 所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2. 又k >0，故k ＝2 2.二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a (x ≥0)，g (x )(x ＜0)， 则g (－2)的值为________．答案：－8解析：由于函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝30＋a ＝0，即a ＝－1.所以f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．答案：3解析：当x >0时，由ln x －x 2＋2x ＝0得ln x ＝x 2－2x ，设y ＝ln x ，y ＝x 2－2x ，作出函数y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象，由图象可知，此时有两个交点．当x ≤0时，由4x ＋1＝0，解得x ＝－14.综上，函数的零点个数为3个．15．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________．答案：2π3解析：由于点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以tan α＝－3，即α＝－π3＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝1时，得角α的最小正值为－π3＋π＝2π3.16．y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎪⎫－12的解集为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1解析：由于y ＝f (x )是定义R 上的偶函数且[0，＋∞)上递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎪⎫－12等价为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x ＋1＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x ＋1＜12，即2|x |＜|x ＋1|，平方得4x 2＜x 2＋2x ＋1，所以3x 2－2x －1＜0，解得－13＜x ＜1，即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.B 组(时间：30分钟 分数：80分) 一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2021·广东广州一模)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是( )A．若x>0，则x2≤0 B．若x2>0, 则x>0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0答案：C解析：命题的条件的否定为x≤0，结论的否定为x2≤0，则该命题的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，故选C.2．已知集合A是函数f(x)＝1－x2＋x2－1x的定义域，集合B是其值域，则A∪B的子集的个数为()A．4 B．6C．8 D．16答案：C解析：由于定义域A＝{－1,1}，值域B＝{0}，∴A∪B＝{－1,0,1}，所以A∪B 的子集的个数为23＝8.故选C.3．(2021·陕西咸阳一模)阅读上面的程序框图，则输出的S＝()A．14 B．30C．20 D．55答案：B解析：由程序框图可知，变量的取值状况如下：第一次循环，S＝1，i＝2；其次次循环，S＝5，i＝3；第三次循环，S＝14，i＝4；第四次循环，S＝30，i＝5.结束循环，输出S＝30，故选B.4．(2021·河南郑州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于()A．－1 B. 1C. 2 D．－2答案：D解析：解法一：由题意，⎩⎨⎧S3＝3a1＋3d＝6，a3＝a1＋2d＝0，解得⎩⎨⎧a1＝4，d＝－2.解法二：对于等差数列有：S2n－1＝(2n－1)a n，∴S3＝3a2＝6，得a2＝2，∴d＝a3－a2＝0－2＝－2.5．(2021·淄博模拟)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为() A．3＋2 2 B．6C．4 2 D．2 2答案：A解析：由于a＋b＝2，所以1a－1＋22－a＝2a－2＋2－a(a－1)(2－a)＝a－a2＋3a－2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫a＋2a＋3≥13－22＝3＋22， 当且仅当a ＝2a ，即a ＝2时等号成立， 所以1a －1＋2b 的最小值为3＋22，故选A.6．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为( )A. {a |a <－6}B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－6<a <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <32 D. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－6或a >32 答案：B解析：z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝⎝⎛⎭⎫3－a i ⎝⎛⎭⎫1－2i ⎝⎛⎭⎫1＋2i ⎝⎛⎭⎫1－2i＝3－2a 5－6＋a 5i ，由于z 1z 2 复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎨⎧3－2a >0，6＋a >0，解得－6<a <32，故选 B.7．下列四种说法中，错误．．的个数是( ) ①A ＝{0,1}的子集有3个；②“若am 2＜bm 2则a ＜b ”的逆命题为真；③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0”．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：D解析：A {0,1}的子集有4个，①错误；“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”在m ＝0时不成立，②错误； “命题p ∨q 为真”则“命题p ∧q 不肯定为真”，“命题p ∧q 为真”则“命题p ∨q 为真”，③正确；全称命题的否定是特称命题，命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2＜0”，④错误．四种说法中，错误的个数是3.8．(2021·福建莆田质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝π4 答案：A解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，把x ＝－π2代入，得y ＝cos(－π)＝－1，则x ＝－π2是函数图象的一条对称轴，故选A.9．设定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2－4(x >0)，则f (x －2)>0的解集为( ) A ．(－4,0)∪(2，＋∞) B ．(0,2)∪(4，＋∞) C ．(－∞，0)∪(4，＋∞) D ．(－4,4) 答案：B解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－4＝x 2－4.又由于f (x )是R 上的奇函数，所以f ()x ＝4－x 2()x <0.当x －2<0，即x <2时，f ⎝⎛⎭⎫x －2＝4－⎝⎛⎭⎫x －22>0，解得x ∈(0,2)；当x －2>0，即x >2时，f ⎝⎛⎭⎫x －2＝⎝⎛⎭⎫x －22－4>0，解得x ∈(4，＋∞)．综合得x ∈⎝⎛⎭⎫0，2∪⎝⎛⎭⎫4，＋∞.故选B.10. 如图，三棱锥V －ABC 底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为( )A. 32 B. 33 C. 34 D. 36答案：B解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的左视图为直角△VOB ，在正△ABC 中，高OB ＝3a ，所以左视图的面积为12OB ·OV ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33，故选B.11．已知f ′()x 是函数f (x )的导函数，假如f ′()x 是二次函数，f ′()x 的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案：B解析：由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.故选B.12．如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP →·OP→的最小值为( )A.－1 B ．－18C ．－14D ．－12 答案：B解析：解法一：由已知设⎪⎪⎪⎪OP →＝λ⎪⎪⎪⎪OC →＝22λ()λ>0，⎪⎪⎪⎪OA →＝1，∠AOP ＝π4.则AP →·OP →＝⎝⎛⎭⎫OP →－OA →·OP →＝OP →2－OA →·OP →＝12λ2－⎪⎪⎪⎪OA →·⎪⎪⎪⎪OP →cos π4＝12λ2－12λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫λ－122－18.所以，当λ＝12时，AP →·OP →的最小值为－18.故选B.解析二：建立如图所示的坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，1，B ⎝⎛⎭⎫1，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.由于点P 在射线OC 上，所以设P ⎝⎛⎭⎫λ，λ()λ>0.所以AP →＝⎝⎛⎭⎫λ，λ－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫λ，λ，所以AP →·OP →＝2λ2－λ＝2⎝⎛⎭⎪⎫λ－142－18，所以当λ＝14时，AP →·OP →的最小值为－18.故选B. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 3＋1x 7的开放式中，常数项为14，则a ＝________.(用数字填写答案)答案：2解析：开放式中T r ＋1＝C r 7(ax 3)7－rx＝C r 7a7－rx 21，解21－7r2＝0，得r ＝6，即r ＝6时开放式的常数项为7a ＝14，解得a ＝2.14．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝2n ＋12n解析：由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2，② ①－②，得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n . 15．(2021·江西上饶一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右焦点的直线m ，其方向向量u ＝(b ，a )，若原点到直线m 的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍，则直线m 的斜率是________．答案：2解析：直线m 的方向向量为u ＝(b ，a )，可得直线m 的斜率为ab ，设右焦点坐标为(c,0)，得直线m 的方程为y ＝ab (x －c )，即ax －by －ac ＝0，原点到直线m 的距离为d 1＝|－ac |a 2＋b 2＝a ，右焦点到准线y ＝b a x 的距离为d 2＝bca 2＋b2＝b ，由于d 1＝2d 2，所以a ＝2b ，所以直线m 的斜率为2.16．(2021·江苏扬州调研)已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心为坐标原点O ，半径为1)上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转π3到OB 交单位圆于点B (x B ，y B )，已知m ＞0，若my A －2y B 的最大值为3，则m ＝________.答案：3＋1解析：设∠xOA ＝α，由三角函数的定义，得y A ＝sin α，y B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则my A －2y B ＝m sin α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝(m －1)sin α＋3cos α， 其最大值为(m －1)2＋3＝3，解得m ＝3＋1.。
《名师伴你行》系列高考数学(理)一轮复习配套精练课件第二编函数与导数学案9函数的图象
学案9函数的图象考向预测宗前热身割时巩固丿［课前热身丿借助图像研究函数的性质是一种常用的方法，高考对图像的考査，既有容易的选择题，又有综合程度校高的解答题. 总是以儿类星本初等甬数的图像为基础來考査.主要形式町能有Ml）函数图像；（2）函数图像变换的知识（包括函数图像对称性的证明）;（3〉数形结合思想，利用图像解决某些问题;（4）识图、读图能力.1•作(1)利用描点法作图：①确定函数的定义域;②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性”④画出函数的图像.(2)利用基本函数的图像变换作图，常见的图像变换有以下三种：平移变换:①y = fQ —Q的图像可由> =/(x)的图像沿x轴向右(“ > 0)或向左《 < 0)平移________________ 个单位得到,②y = g +力的图像町由夕=g 的图像向上（他> 0〉或向下a<o）平移___________ 个单位得到.③了= /（oxr —a）的图像可由y = /（cuz>的图像沿z轴向右（皿> 0）或向左（血< 0）平移____________ 个单位得到.伸缩变换:①y = kf（x）Qk > 0）的图像町由y = /（x>的图像的横坐标不变，纵坐标变为原來的比倍。
>1时伸长，0< & <1时縮短）而得到.②y = fdk > 0）的图像可曲y = 心的图像纵坐标不变，横坐标变为原來的+倍（方> 1时缩短,0 <k<l时伸长）而得到.对称变换:①，=/（x）与丿=/（—x）的图像关于_________ 对称.②，=/(X)与y =— fS的图像关于______________ 对称.®y = fQ)与y =— /(— x)的图像关丁• __________ 对称.®y = \Ax) |的图像是保刖y = /Q)的图像中位于上半平面内的部分及与囂轴的交点，将》=/(x)的图像中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中左而得到.⑤^ = /(|x|)的图像是保留7 = Ax)的图像中位于右半平面内的部分及与夕轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以 > 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到.⑥_______________________ 奇函数的图像关于成中心对称图形,偶函数的图像关于________ 成轴对称图形.2•识对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围.变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性.奇偶性、周期性，注盘图像与函数解析式屮参数的关系.3.用函数图像形象地显示了雷数的性质，为研究数量关系问题提供了紀形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具•要重视数形结合解题的思想方法.y轴原点原点夕轴▼・..■ C I I , • * •■ 0. t • a ・.I I •. ［例门分别画出下列函数的图像: ⑴夕=| Igx I J⑵夕=严；⑶夕=x 2 — 2 | x | — 1.\套］汾析显然直接用已知函数的解析式刊表描点有些困 难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析 式进行等价变形.1考点旳鈔作出函数图像•©+ 1 — 6 田$) ・◎舟I — 6 G 4■I V & V o ‘31 一 £:…£ • T T S J f f i ^a v s -i F厂—〜为了正确地作出函数的图像，必须做到以下两点；1 (1》•熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反! :比例函数、指数函数、对数函数冷函数、形如汁卄1 |:的匚；］二…匚—1〕…「丄……〔I…二^ “.；对应演练踊翳僭和•- •・...Tzy 空:4已4业：：・分别画出下列函数的图像：(1>3/ = | x — 2 | (x+ 1);I Id⑵汁(三)•考点i 对应演练:ar：y = \x-2 /X2—x — 2,x^2,[—x2 + x + 2 5J;< 2.在每一段上作出简图，如图(1)・<2)V该函数为偶函数，I (x+1)1 x二先作出夕=（迈在上的图像，再利用函数的对称性作出在広＜0时的图像，如勞点划鈔识图与辨图［例2］设函数/(r)(x 6 R)满足f(T = /(x),/(x + 2)=/(x)，则v = /(x)的图像可能是( )復E分析利用函数性质找出正确图像.'馨解析表达式“畑 =明函数是偶函数, 表达式弓&+ 2) =说明函数的周期是2,再结合选项图像不难看出正确选项为B.故应选B十“看图吟和的方法有—「⑵定量计算法:逋过定量的计算来分析解决问題.；；:⑶函数模型法:由所提供的图像特征,联想和关函; W利“卄核析解•对屈漏练瓣劈劈I函数y —~ —（a > 0,且a 工1）aC的图像可能是( )D考点2 对应演练：D(令/(X)= Q —■，当a时,/<0) = 1一十 W (0,1),所以A 与B均错；当0 V Q VI时,/〈0〉= 1--^-<0,所以C 错D对.故应选D. >畔III考点裁莎函数图像的应用［例3］已知函数/(X)= | x2— 4x + 3 I.(1)求函数才(刃的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M= {m|使方程/(x) = 771Z有四个不相等的实根}・〈蠻:分析(1)求函数代刃的单调区间，可先画出函数fS的图像，通过观察函数的图像得出结论.(2)方程/(x) = 有四个不相等的实根可转化为直线y = 与函数f{jc)的图像有四个不同的交点来解决.解析/(x)=Q — 2)2— 1 ,工W (— 8,1] U [3,+ 8),—(X —2)2 + l,x G (1,3),作出图像如图2 — 9一2所示.（1〉递增区间为：1,2］和［3, +~）,递减区间为（一8,1］和［2,3］.（2）由图像可知，了 = f©）与夕=mx,图像有四个不同的交点，直线y = mz图2-9-2应介于工轴与切线人之间.返回y = mxy=— (x-2? + l返回s-A H 0^w l = 4H-2==4 +2^肆 9* H —^m (193)盼^9:■•— H 4 —2^1・♦••s e (074— 2:•^*M H亠- 0 As A —•.对应野翩鶴醸汗若关于X的方程/2IHT1 = z+m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为 _________9\/2x+T和丿=x + m的图像.当直线，=工+加过点( ------- ，0),即m =-寺时，两图像有两个交点.如图所示.考点3对应演练:得工2 + (2m — 2)x4- 7H2— 1 = 0.令△ = 0 得7K = 1.A当一观V 1时，两图像有两个交点, 即方程72x + T =x + m有两个不同的实数根・)L [2012年高考全国卷]已知函数g =C9 ln(z+l>—工'则，( >-1 =1- E (令 gCr) = ln(x + l> —= ■■R 十1—X x+19・•・当一1 V*V o 时,g(x) >0, 当工 >0 时,/<x) <0,二 €(丄)甸=g(0) = 0.A/(r) < 0,排除A,C,又由定义域可排 除D. 故应选B.)返回2. [2012年高考山东卷]函数y =ACcos6x2X—2-7的图像大致为2. D(函数了= COS6J;为偶函L 为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y = 2X— 2_x为增函数，当2 >+ 8时,2工一2-工 *+ 8且I cosGx丨£ 1,=鸟；08麥工f T- °°）挣F除C・••)=尹畀=护晋为奇函数，不妨考虑龙>0时函数值的情况，当Hf 0+时,/-> 1,4" 一1 —► 0+ 9 2丄f 1, COS6H f 19 y f + x,故排除B故应选D)3. [2012年高考天津卷]已知函数y =I的图像与函数y =心一2的图像恰有两个交点,则实数k的取值范围是3.<0,1) U (1,4)©= [X+r\ X警空: 函数y=kx-2恒过定点M(0, — 2)也岡= 0 =4.当怡=1时，直线y = kx-2在无＞1时与直线y = x+ 1平行,此时有一个公共点'A A e (0,1) U(1,4),两函数图像恰有两个交点・)函数图像的作法有两种：一是描述法，二是图像变换法. 对于基本初等函数，一般可以通过列表.描点.连线得到其函数图像;对于其他函数，则町以通过对承I数解析式进行化简, 在各种基本初等函数图像的基础上通过图像变换得到具图像.函数的图像、偶萌数的图像等.2•方程/(Q =g(Q 的解的个数可以转化为函数了 =(无)与y = g(x)的图像的交点个数.3. 不等式/(X )> gQ)的解集为 g 的图像位于gCz 〉 的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围.4, 有关结论(1) 若 /(a + x) = /(6 —x) ,x € Rfrt 成立，则 y = /(^)(2) 函数y = f(a + x)与函数y = f(.b~x)的图像关于 直线h= y (6 —a)对称.要熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇的图像关于H= 成轴对称图形,(3)若定义在R匕的函数/(X)关于直线工=a与兀= b〈b > a)都对称，则/(X)为周期函数92b-2a是它的一个周期.(4)若定义在R上的函数关于点(sC和(&,c)(6>a)成中心对称/(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.(5)若定义在R上的函数/(X)的图像关于点a,c)成中心对称，关于直线无=b(b>a)成轴对称，则 g 是周期函数,4& — 4a 是它的一个周期.i. 已知函数/X H ） = igi 贝El 函数g （z> = I y （i —x ） |的图像大1・人（先画出/（小的图像，然后画出它关于歹 轴的对称图像/（一无），再将的图像向右平 图形翻折到®轴上方，得到I /（l-^） I 的图像,故应选A.）移1个单位得/<1-^）的图彳 ，最后将7轴下方的）2•函数y（x）= 1的图像和函数gCr）log2X的图像的交点个数是A. 1B.2C. 3D.42.C（在同一直角坐标系中画出/（x）与gQ〉的图像，由图像知g与gQ）的交点.故应选CQ3. 函数y = *—的图像与函数y = 2sin7rx （—2 W 工W 4）的1 — X图像所有交点的横坐标之和等于3.D (如图，两个函数图像都关于点(1,0)成屮心对称，两个图像在［—2,4］上共8个公共点, 每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的橫坐标之和为8・故应选D 〉A. 2 B.4 C. 6D.84•函数只工〉=丄•一工的图像关于A.工轴对称B.直线y^-x 对称C.坐标原点对称D.直线夕=乂对称故应选CQ4.C(V/(x)的定义域是(一8,0) U (0, + °°), 关于原点对称，:・f©)是奇函数, 它的图像关于坐标原点 对称.练案11 函数的图象本练案共10題，满分64分「用时40分钟一、选择题1・G分）函数》=2鼻一分的图像大致是（）1・A（由于2^ —x2 =0在工<0时有一斛；在x>0时有两解,分别为x= 2和工=4.因此函数，=2# —分有三个零点9故应排除B,C・又当”亠一8时，0,而以—+8,故；y = 沪一工2 —一8,因此排除D.故应选A.）D 关于y 轴对称2. D （对于选项A,点（1序）在/（x ）上，但点 （―1， 1~ ）不在 f （x ）上;对于选项B,点<0,2｝在f （Q 上，但点（2,0） 不在fS 上；对于选项C,函数的图像不能关于工轴对称；4一工 + 1 _ 1 + / _2^ /（X ）,・・・函数的图像关于，轴对称. 故应选D.）2. （5 分）函数 f （ix ）=4X + 12工 PMA.关于原点对称B ・关于直线y = 对称 对于选项D r V/<-^>= 2-览3. (5分)设/(x)是函数g 的导函数，将，=fS利y = f (x)的图像画在同一个直角坐标系中，不 可能正确的是CD3・D(D 不正确，因为不论D 中上边是fQ)的 图像还是下边是，与 g 的图像都不对应，故不 正确.故应选D.)/GA4・（5分〉设严（工）是函数子（工）的导函数小=/图11-14・C〈由，= /'&)的图像得当2 v 0 时,fs > 0, .\y = f(x)在(一8,0) 上单调递增；当0 M rr M 2 时9fCx) W 0»Ay = fix)在［0, 2］上单调递减;当无 > 2 时,fs >0,.-.jr= 2)在(2 , +co) 上单调递增.故应选C.)5. （5分〉已知/&）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0£工<2时，于（工〉=工3一工,则函数y = /（x）的图像在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为（）A. 6 B. 7C. 8D. 95. B（由/<x） =0,^6 ［0,2）可得龙=0 或龙=1,即在一个周期内，函数的图像与事轴有两个交点,在区间［0,6）上共有6个交点，当工=6时, 也是符合耍求的交点，故共有7个不同的交点.故应选B ）6.(—2,0) U (2,5](由函数是奇函数条件将当心VOBM (—2,0) U(2,5].)7・（5分）已知g是定义在（-3,3）±的奇函数，当OVz<3时,/Q）的图像如图11 一3所示，那么不等式/(x)cosx V 0的解集是 ______图11-3 图H-4。
名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 1-1
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究
重
符号 ____N____ _N__*或__N__＋_ ____Z____ ____Q____ ____R____
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4.集合的表示方法：(1)__列__举__法__；(2)__描__述__法__；(3)_图__示__法___．
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限 时 跟 踪 检 测
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6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
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7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．
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理 清 教 材
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通/性/通/法
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1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．
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(1)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集的个数为____4____．
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(2)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝_{_x_|－__3_＜__x_＜__2_}_.
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1．[必修1·P11·A组T1改编]若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝2 2，则( D )
名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 第1章
![名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 第1章](https://img.taocdn.com/s3/m/f419b5360c22590103029d0b.png)
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合运算[复习要点] 1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．知识点一集合的基本概念1．集合中元素的性质：________、________、________.2．元素与集合的关系(1)属于，记为________；(2)不属于，记为________．3．常见数集的符号4.答案：1.确定性无序性互异性2．(1)∈(2)∉3．N N*或N＋Z Q R4．(1)列举法(2)描述法(3)图示法知识点二集合间的基本关系少有一个元素不是A 中的元素空集空集是________的子集，是________的真子集∅⊆A ∅B (B ≠∅)答案：相同 A ⊆B B ⊆A A ⊆B 或B ⊇A A B 或BA 任何集合 任何非空集合知识点三 集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ________________若全集为U ，则集合A 的补集为________图形 表示意义{x |________}{x |______}{x |＝________}答案：A ∪B A ∩B ∁U A x ∈A ，或x ∈B x ∈A ，且x ∈B x ∈U ，且x ∉A链/接/教/材1．[必修1·P11·A 组T1改编]若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P答案：D2．[必修1·P12·A 组T6改编]已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( ) A ．[－1,4] B ．(0,3] C ．(－1,0]∪(1,4] D ．[－1,0]∪(1,4] 答案：A3．[必修1·P12·B 组T3改编]设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |0<x <2} 答案：B 易/错/问/题 1．忽视元素的互异性(1)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． (2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________.答案：(1)－32 (2)0或32．集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数．(1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．(2)集合A ＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A 有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．(1)答案：5 解析：因为A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.(2)答案：28 28－1 28－1 28－2 解析：因为集合A 中有8个元素，所以集合A 有28个子集、28－1个真子集、28－1个非空子集、28－2个非空真子集．通/性/通/法1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集的个数为________． (2)若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.(1)答案：4 解析：A ∩B ＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．(2)答案：{x |－3＜x ＜2} 解析：在数轴上画出表示集合A ，B 的两个区间，观察可知A ∩B ＝{x |－3＜x ＜2}． 2．集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算．(1)[2021湖南湘潭模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则集合∁U (M ∪N )＝( ) A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)[2021皖北协作区联考]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(1)答案：A(2)答案：D 解析：因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型集合的含义与表示角度Ⅰ.用描述法表示集合试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合A ＝{6x －5∈Z |}x ∈N *，则集合A 用列举法表示为_______________． 思考：已知集合A ＝{x ∈N *⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x －5∈Z ，则A 中的元素分别是________． [答案] {－2，－3，－6,6,3,2,1} [解析] 集合中的元素为6x －5的取值，当x ＝2,3,4,6,7,8,11时，6x －5的值为－2，－3，－6,6,3,2,1，共有7个取值，集合A 用列举法表示为{－2，－3，－6,6,3,2,1}．思考：2,3,4,6,7,8,11 2．[2021湖北天门调研]集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M 与N 没有相同的元素[答案] B [解析] 由题可知， 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(2k ＋1)，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(k ＋2)，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数，所以M N ，故选B.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． [易错警示] 要注意检验集合中元素的互异性． 角度Ⅱ.元素的互异性与参数的求值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 021＋b 2 021为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[答案] C [解析] 只有b ＝0，a 2＝1⇒a ＝－1(a ＝1不满足互异性)，从而b ＝0，且a ＝－1，有a 2 021＋b 2 021＝－1.4．[2021山东百师联盟测试三]已知集合P ＝{－1,2a ＋1，a 2－1}，若0∈P ，则实数a 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，－1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－1 [答案] C [解析] 当2a ＋1＝0时，a ＝－12，满足题意；当a 2－1＝0时，a ＝±1，经检验，a ＝1满足题意，故a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.5．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，则a ＝________. [答案] －1 [解析] 因为A ∩B ＝{－3}， 所以只可能a －3＝－3或a －2＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1.当a ＝0时，A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}，此时A ∩B ＝{1，－3}，不合题意．当a ＝－1时，A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，此时A ∩B ＝{－3}，符合题意，故a ＝－1.解/题/感/悟(小题示，大智慧)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．题型集合的基本关系角度Ⅰ.子集、真子集关系的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，试分析集合M ，N ，P之间的关系．[解] 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z .关于集合N ：当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ； 当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )， 则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m ＋12－13，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ， 从而得M N .关于集合P ：当p ＝2m (m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ； 当p ＝2m －1(m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ， 从而得N ＝P . 综上可知，M N ＝P .角度Ⅱ.子集、真子集的个数问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)2．[2021山东省实验中学期中]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 组成的集合的子集个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] D [解析] A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，结合题意可知B ＝∅或{3}或{5}，对应实数a 的值分别为0，13，15，其组成有3个元素的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15，所以所求子集个数是23＝8，故选D. 3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D角度Ⅲ.根据集合间的关系求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[多选]设集合P ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，集合T ＝{x |mx ＋1＝0}，若T ⊆P ，则实数m 的取值可以是( ) A ．12 B ．－12 C ．0D ．13[答案] BCD [解析] 由2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，得2x 2＋2x ＝2x ＋6，∴x 2＋2x ＝x ＋6，即x 2＋x －6＝0， 解得x ＝－3或x ＝2， ∴集合P ＝{2，－3}． 若m ＝0，则T ＝∅，∴T ⊆P . 若m ≠0，则T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m .由T ⊆P ，得－1m ＝2或－1m ＝－3， ∴m ＝－12或m ＝13.综上，实数m 的取值是13，－12，0. 故选BCD.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)根据两集合的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． [易错警示] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．题型集合的运算角度Ⅰ.交集、并集、补集的综合运算试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C [解析] 本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依题意A ∩B 的元素是直线x ＋y ＝8上满足x ，y ∈N *且y ≥x 的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．故选C.2．[多选][2021山东济宁一中一模]若集合A ＝{x |sin x ＝1}，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ，则正确的结论有( )A ．A ∪B ＝B B ．∁R B ⊆∁R AC ．A ∩B ＝∅D ．∁R A ⊆∁R B[答案] AB [解析] 本题考查集合的包含关系与补集关系． 由A ＝{x |sin 2x ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π4，k ∈Z， 又B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 显然集合{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }⊆{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }， 所以A ⊆B ，则A ∪B ＝B 成立，所以选项A 正确； 且∁R B ⊆∁R A 成立，所以选项B 正确，选项D 不正确； A ∩B ＝A ，所以选项C 不正确．故选AB.角度Ⅱ.根据集合的运算求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．[2021湖北名校学术联盟联考]已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．2或3D ．3或1[答案] A [解析] ∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.4．[2021豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B.角度Ⅲ.补集思想在解题中的应用试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0}，B ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}，C ＝{x |x 2＋2ax ＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ≥－1} [解析] 假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a <2，解得－2<a <－1，∴a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集．故实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)运用补集思想求参数取值范围的步骤第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围； 第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 角度Ⅳ.集合的新定义问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．[2021名师原创]对集合A ，B ，记A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，定义A △B ＝(A －B )∪(B －A )为A ，B 的对称差集．若A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，y ，|x |}，且A △B ＝∅，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝________.[答案] －2 [解析] 依题意及Venn 图知，图中左侧阴影部分为A －B ，右侧阴影部分为B －A ，两阴影部分合起来就是A △B ，因为A △B ＝∅，所以A ＝B ，根据集合中元素的互异性，且结合集合B 知x ≠0，y ≠0，因为0∈B ，且A ＝B ，所以0∈A ，故只有lg(xy )＝0， 从而xy ＝1，而1＝xy ∈A ，由A ＝B 得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，|x |＝1或⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝1，其中x ＝y ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以x ＝y ＝－1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝－2＋2－2＋…＋2－2＝－2. 7．[2021四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．210[答案] B [解析] 本题考查集合的新定义问题．集合A 的含有3个元素的子集共有C 36＝20个，所以k ＝20.在集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中，最大元素为3的集合有C 22＝1个；最大元素为4的集合有C 23＝3个；最大元素为5的集合有C 24＝6个；最大元素为6的集合有C 25＝10个，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.8．[多选]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案]ABD[解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S ＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁U M)∪(∁U N)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.图1图2方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)解决集合新定义问题的方法1．紧扣新定义分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键．2．用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．提醒完成限时跟踪检测(一)第二节充分条件与必要条件，全称量词与存在量词[复习要点] 1.理解充分条件与必要条件的意义．2．理解全称量词与存在量词的含义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一命题的概念概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断______的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类________命题、________命题答案：真假真假知识点二充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的________条件p⇒q且q pp是q的________条件p q且q⇒pp是q的________条件p⇔qp是q的________条件p q且q p 答案：充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要知识点三全称量词和存在量词1．全称量词：所有的，任意一个，任给一个，用符号“________”表示；存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“________”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：___________________________________.3．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_________________________________________.答案：1.∀∃ 2.∀x∈M，p(x) 3.∃x0∈M，p(x0)知识点四含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)________________∃x0∈M，p(x0)________________答案：∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)链/接/教/材1．[选修2－1·P12·A组T3]设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D2．[选修2－1·P30·A组T6]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_____________________________________________.答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等3．[选修2－1·P27·A组T3改编]命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0答案：B4．[选修2－1·P24·例3改编]命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定为________．答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0易/错/问/题1．命题中的易错点：命题的否定与否命题区分不当．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案：C2．充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．[多选]设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1C．x>－1 D．x>3答案：BC3．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 核/心/素/养逻辑推理——充要条件关系中的核心素养充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．[2021河北保定模拟]已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2]D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 答案：C 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件， 即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6>0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <3，－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤2.题型充分条件与必要条件角度Ⅰ.充分条件与必要条件的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020北京卷]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 本题考查充分条件、必要条件的判断，以及诱导公式的应用．充分性：若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则α＝2n π＋β，则sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则α＝(2n ＋1)π－β＝2n π＋(π－β)，则sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β，所以充分性成立．必要性：若sin α＝sin β，则α＝2n π＋β或α＝2n π＋π－β(n ∈Z )，即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z )，所以必要性成立．故选C.2．[多选][2021海南华侨中学段测]“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0<a <1B ．0≤a ≤1C ．0<a <12D ．a ≥0[答案] BD [解析] 本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件的判断．关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.A 选项，“0<a <1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充要条件；B 选项，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；C 选项，“0<a <12”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件； D 选项，“a ≥0”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对 ∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件．故选BD. 3．[2019北京卷]设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因为模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →|·|AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．因为以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)充分条件与必要条件的判定方法1．定义法①若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断．如①命题“綈q⇒綈p”转化为命题“p⇒q”；②命题“綈p⇒綈q”转化为命题“q⇒p”；③命题“綈p⇔綈q”转化为命题“q⇔p”．3．集合法设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A B，则p是q的充分不必要条件；⑤若A B，则p是q的必要不充分条件；⑥若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．角度Ⅱ.探究充分条件、必要条件及充要条件试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[多选]“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是()A．2≤m<3 B．12≤m≤3C．1≤m<3 D．2≤m≤5 2[答案]BC[解析]本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要条件是1<m <3，由选项判断，命题成立的必要不充分条件可以是12≤m ≤3或1≤m <3.故选BC.角度Ⅲ.由充分条件、必要条件求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[多选]设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，则f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立的必要不充分条件是( )A ．m ∈[0，＋∞)B ．m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5D ．m ∈[5，＋∞)[答案] AB [解析] 易知f (x )＝C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝52x 3，故f (x )≤mx ⇔m ≥52x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2， ∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2max ＝5.∴m ∈[5，＋∞)满足条件，即所求区间应真包含区间[5，＋∞)．故选AB.6．已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [8，＋∞) [解析] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m ， 所以綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，解得－3≤x ≤9，所以綈p ：B ＝{x |x >9或x <－3}． 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－3，1＋m ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－3，1＋m >9，即m ≥8或m >8，所以m ≥8.7．[2021湖南浏阳三校联考]设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由p 得(x －3a )(x －a )<0， 当a <0时，3a <x <a .由q 得(x －3)(x ＋2)≤0或(x ＋4)·(x －2)>0， 则－2≤x ≤3或x <－4或x >2， 则x <－4或x ≥－2.∴綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． 设A ＝(3a ，a )，B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2， 即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．根据充分、必要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． [提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．题型全称量词与存在量词角度Ⅰ.全(特)称命题的否定试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021湖南怀化模拟]命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定形式是( )A ．∀x ∈N *，x 2∉N *且x 2<xB ．∀x ∈N *，x 2∉N *或x 2<xC ．∃x 0∈N *，x 20∉N *且x 20<x 0 D ．∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0[答案] D [解析] 本题考查存在量词命题的否定．由题意可得命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定为“∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0”，故选D.2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[答案] D [解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)全称命题与特称命题的否定1．改写量词确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． 2．否定结论对原命题的结论进行否定． 3．“双量词”命题的否定叙述“对于∀t ∈D 1，∃x 0∈D 2，满足条件p (t ，x 0)”其否定叙述为“∃t 0∈D 1，对于∀x ∈D 2，满足条件綈p (t 0，x )”，如本例2中出现的形式．角度Ⅱ.全(特)称命题的真假判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[答案] D [解析] 对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313>log 1312成立，即log 1212>log 1312，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象(如图1)可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象(如图2)可以判断p 4是真命题．综上可知，真命题为p 2，p 4，故选D.4．下列各命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R,1－x 2<0 B ．∀x ∈N ，x 2≥1 C ．∃x 0∈Z ，x 30<1D ．∃x 0∈Q ，x 20＝2[答案] C [解析] 分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可．对于选项A,1－x 2<0，即x >1或 x <－1，故A 不正确；对于选项B ，当x ＝0时，x 2＝0<1，故B 不正确；对于选项D ，x ＝±2为无理数，故D 不正确；对于选项C ，当x ＝0时，x 3＝0<1，故C 为真命题，故选C.5．[多选]已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切[答案] AC [解析] 直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交，∀r >0，l 与C 相交．∴AC 正确．解/题/感/悟(小提示，大智慧)由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解．全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题．角度Ⅲ.根据全(特)称命题的真假求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 [解析] f (x )＝x 2－2x ，在x ∈[－1,2]内的值域为[－1,3]，g (x )＝ax ＋2(a >0)在x ∈[－1,2]内的值域为[－a ＋2,2a ＋2]．由条件可知：[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]．从而：⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，∴0<a ≤12. 7．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ [解析] 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意得f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.8．[2021河南安阳调研]已知p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，q ：∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ＝1} [解析] 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2.又x ∈[1,2]，∴x 2∈[1,4]，∴a ≤1，∴若命题p 是真命题，则a ≤1；要使命题q 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.∵命题“p 且q ”是真命题，∴p ，q 同时为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a ≥1或a ≤－2，解得a ≤－2或a ＝1，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ＝1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法(1)∀x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0恒成立，分离出参数a 后转化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]恒成立，进而转化为a ≥f (x )max [或a ≤f (x )min ]．(2)∃x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0有解，求参数，也常分离参数后，化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]有解问题，从而转化为a ≥f (x )min [或a ≤f (x )max ]．(3)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．(4)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”，问题转化为两函数最值间的关系：f (x )max <g (x )max . 提醒 完成限时跟踪检测(二)。
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：保分题冲关系列1 Word版含答案
保分题冲关系列(一)(时间：45分钟 分数：60分)1．(14分)(2021·甘肃河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B.(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC→＝2，且b ＝22，求a 和c 的值． 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ，故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cosB ．又sin A ≠0， 因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2， 又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12， 所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6.2．(14分)(2021·贵州七校联考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n ＜a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ b 3S 3＝36，b 2S 2＝8，a 1＝b 1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36，q (2＋d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝－23，q ＝6.所以，a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或a n ＝－23n ＋53，b n ＝6n －1. (2)由于a n ＜a n ＋1，所以d ＞0，故a n ＝2n －1. 所以，1a n a n ＋1＝1()2n －1()2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 故T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1.3.(14分)(2021·辽宁沈阳一模)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0＜λ≤1)．(1)求证：对任意的λ＝(0,1]，都有AC ⊥BE ；(2)若二面角C －BE －A 的大小为120°，求实数λ的值．解：(1)证明：以D 为原点，DA ，DC ，DS 为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，AC→＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即AC ⊥BE 恒成立．(2)设平面ABE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB→＝(0，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )， ∴⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0，－ax 1＋λaz 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1－λz 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝λ，n 1＝(x 1，y 1，z 1)＝(λ，0,1)． 设平面BCE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， ∵BC→＝(－a,0,0)，CE →＝(0，－a ，λa )， ∴⎩⎨⎧n 2·BC→＝0，n 2·CE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －ax 2x 2＝0，－ay 2＋λax 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－λz 2＝0，取z 2＝1，则y 2＝λ，n 2＝(0，λ，1)， ∵二面角C －AE －D 的大小为120°， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝11＋λ2＝12，又λ∈(0,1]⇒λ＝1， ∴λ＝1为所求．4．(18分)(2021·广东揭阳二模)某校为了调查“学业水平考试”同学的数学成果，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：(单位：分)甲：132,108,112,121,113,121,118,127,118,129； 乙：133,107,120,113,122,114,125,118,129,127.(1)以百位和十位为茎，个位为叶，在图中作出甲、乙两班同学数学成果的茎叶图，并推断哪个班的平均水平较高；(2)若数学成果不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名同学中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；(3)以这20人的样本数据来估量整个学校的总体成果，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“优秀”同学的人数，求X 的数学期望．解：(1)甲、乙两班同学数学成果的茎叶图如图所示：乙班的平均水平较高．(2)由上图数据知，甲班这10人中“优秀”的同学有2名， 则从这10名同学中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率P ＝C 38＋C 28C 12C 310＝1415.(3)因样本20名同学中，“优秀”的有4名，故从这20名同学中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为420＝0.2，据此可估量从该校中任选1名同学，其为“优秀”的概率为0.2，因X ～B(3,0.2)，所以E(X)＝3×0.2＝0.6.。
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：选择填空巧练2 Word版含答案
选择填空巧练(二) 计算类题目A 组(时间：30分钟 分数：80分) 一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2021·广西桂林、防城港联考)sin 600°等于( ) A.32 B.12 C ．－12 D ．－32 答案：D解析：由诱导公式，得sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32，故选D.2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f ()2的值为( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案：A解析：设幂函数为f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22， 解得α＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2， 即log 2f (2)＝log 22＝12.故选A.3．(2021·河南信阳二调)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2则OC→等于( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)答案：A解析：在矩形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，则OC →＝12AC →＝12(5e 1＋3e 2)，故选A.4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝x 0处有最小值，则x 0＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．4D ．3 答案：D解析：由于f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，x ＝3时等号成立，故选D.5．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20 答案：D解析：设圆心坐标为C (a,0)，则AC ＝BC ，即(a －5)2＋22＝(a ＋1)2＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝(1＋1)2＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.故选D.6．(2021·广西桂林、防城港联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝23，b ＝22，A ＝60°，则角B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．60°D ．45° 答案：D解析：由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin 60°a ＝22×3223＝22，又b ＜a ，则B ＝45°，故选D.7．(2021·辽宁沈阳质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：D解析：由S n ＋2－S n ＝36，得a n ＋2＋a n ＋1＝2a 1＋⎝⎛⎭⎫2n ＋1d ＝2＋2⎝⎛⎭⎫2n ＋1＝36，解得n ＝8.故选D.8．已知x ，y 取值如下表：x14568y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80 答案：B解析：依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a^必过样本中心点(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a^，由此解得a ^＝1.45，故选B. 9．甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶5次，两人成果的条形统计图如图所示，则( )A.甲的成果的平均数小于乙的成果的平均数 B ．甲的成果的中位数等于乙的成果的中位数 C ．甲的成果的方差小于乙的成果的方差 D ．甲的成果的极差小于乙的成果的极差 答案：C解析：由题意可知，甲的成果为4,5,6,7,8，乙的成果为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成果的平均数均为6，A 错；甲、乙的成果的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成果的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成果的极差均为4，D 错．10．(2021·河南郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A. 8π B ．16π C. 32π D. 64π答案： C解析：由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥，其底为边长为4的正方形，高为2，其中面SAB ⊥面ABCD ，易知SA ＝SB ＝22，故可补全为以DA ，SA ，SB 为棱的长方体，故2R ＝DA 2＋SA 2＋SB 2＝32＝42， ∴R ＝2 2. ∴S 表＝4πR 2＝32π.11．(2021·山东青岛一模)已知△ABC 的三边分别为4,5,6，则△ABC 的面积为( )A.1572B.1574C.1578D.15716 答案：B解析：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ＝4, b ＝5，c ＝6，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab ＝16＋25＋362×4×5＝18，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝378，则△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574，故选B.12．设第一象限内的点()x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －y ≥0， 若目标函数z ＝ax ＋by (a＞0，b ＞0)的最大值是4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．3B ．4C ．8D ．9 答案：B解析：作出可行域如图阴影部分所示，由z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)得y ＝－ab x ＋z b ，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，由图象可知，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点A 时，直线y＝－a b x ＋zb 的截距最大，此时z 最大为4.由⎩⎨⎧ 2x －y －4＝0，x －y ＝0， 得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即A (4,4)，代入z ＝ax ＋by 得4a ＋4b ＝4，即a ＋b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋ba＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a 2＝b 2，a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b 的最小值为4.故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．某学校三个爱好小组的同学人数分布如下表(每名同学只参与一个小组)(单位：人)，参与这三个爱好小组的同学中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．答案：30解析：由题意知1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.14．函数f (x )＝log 12(x －1)的定义域为________．答案：(1,2]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x －1)≥0，x －1>0，得1<x ≤2，所以函数的定义域为(1,2]．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.答案：60°解析：由余弦定理及已知条件b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°. 由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(A ＋B )＝sin C sin C ＝sin C ，解得sin C ＝1，所以C ＝90°，所以B ＝60°.16．已知抛物线x 2＝2py (p >0)与圆x 2＋y 2＝1有公共的切线y ＝x ＋b ，则p ＝________.答案：2 2解析：圆心O (0,0)到直线x －y ＋b ＝0的距离d ＝||b 2＝1，所以||b ＝ 2.抛物线方程为y ＝x 22p ，其导数为y ′＝2x 2p ＝1p x ，即y ′＝1p x ＝1，所以x ＝p ，代入得y ＝p2，代入切线y ＝x ＋b 得p 2＝b ＋p ，即b ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2＝2，所以|p |＝22，即p ＝2 2.B 组(时间：30分钟 分数：80分) 一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2021·安徽马鞍山质检)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i2 0151＋2i的值为( )A. 1 B ．－1C ．iD ．－i 答案：D解析：由复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 4×403＋31＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i (2i ＋1)1＋2i＝－i ，故选D. 2．设随机变量ξ听从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则实数a 等于( )A.73B.53 C ．5 D ．3 答案：A解析：由正态曲线的对称性知，(2a －3)＋(a ＋2)＝2×3， ∴a ＝73.3．已知||a ＝1，||b ＝6，a ·()b －a ＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D. π6 答案：B解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3，故选B.4．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案：C解析：由已知得π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， ∵α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝3＋439＝539，故选C. 5. 若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0答案：D解析：圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．由于点P (1,1)是弦MN 的中点，所以AP ⊥MN ，直线AP 的斜率为k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的封闭图形的面积是( ) A.1112 B.512 C.23 D.14 答案：B解析：如图，结合两函数图象，易知曲线y ＝x 与y ＝x 3的交点坐标是O (0,0)，A (1,1)，则曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成图形的面积是⎠⎛01(x －x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －x 4310＝512.7．(2021·贵州遵义联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则a sin B sin (B ＋C )b sin A的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案：A解析：c 2＋b 2＋bc －a 2＝0，∴a 2＝c 2＋b 2＋bc . ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴a sin B sin (B ＋C )b sin A＝a sin B sin A b sin A ＝a sin B b ＝sin A ＝32. 8．(2021·吉林长春质检)已知平面对量a ，b 满足||a ＝3，||b ＝2，a ·b ＝－3，则||a ＋2b ＝( )A ．1 B.7 C ．4＋ 3 D ．27 答案：B解析：由题意可得|a ＋2b |＝(|a ＋2b |)2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝7. 故选B.9．(2021·河南开封二模)函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω> 0， | φ | <π2的部分图象如图所示，假如x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1 ＋ x 2) 等于( )A.12B.32 C.22 D ．1 答案：B解析：由图象，知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2ππ＝2； 又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，则φ＝π3，得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 当x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，得点(x 1,0)与点(x 2,0)关于直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝π12对称，即x 1 ＋ x 2＝π6，则f (x 1 ＋ x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝32，故选B. 10．(2021·资阳一诊)若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则推断框中应填入的条件是( )A. k ＜6?B. k ＜7?C. k ＜8?D. k ＜9? 答案：C解析：由程序框图可知，变量的取值状况如下： 第一次循环，S ＝log 23，k ＝3；其次次循环，S ＝log 23·log 34＝log 24，k ＝4； 第三次循环，S ＝log 24·log 45＝log 25，k ＝5； ……第六次循环，S ＝log 28＝3，k ＝8，结束循环，输出S ＝3，故选C.11．圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足||PF 1∶||F 1F 2∶||PF 2＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32答案：D解析：由于||PF 1∶||F 1F 2∶||PF 2＝4∶3∶2，所以设||PF 1＝4x ，||F 1F 2＝3x ，||PF 2＝2x ，x >0.若曲线C 为椭圆，则有||PF 1＋||PF 2＝4x ＋2x ＝6x ＝2a ，||F 1F 2＝3x ＝2c ，所以椭圆的离心率为2c 2a ＝3x 6x ＝12.若曲线C 为双曲线，则有||PF 1－||PF 2＝4x －2x ＝2x ＝2a ，||F 1F 2＝3x ＝2c ，所以椭圆的离心率为2c 2a ＝3x 2x ＝32.故选D.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 答案：D解析：如图，作出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0的图象．由于y ＝kx ＋k ＝k (x＋1)，所以其图象过定点(－1,0)．当y ＝kx ＋x 过点(2,1)时，k ＝13；过点(3,1)时，k＝14.观看图象可知，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13时，直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点．故选D.二、填空题(每小题5分，共20分) 13．若tan(π－α)＝2，则sin 2α＝________. 答案：－45解析：由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×(－2)1＋(－2)2＝－45. 14. 某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．答案：12解析：由频率分布直方图，得0.4÷0.1＝4，∴11时至12时的销售额为3×4＝12万元．15．已知圆O ：x 2＋y 2＝18，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上任一点到直线l 的距离小于2的概率为________．答案：14解析：如图，圆O 的半径为OC ＝32，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－2532＋42＝255＝5，要使圆O 上任一点到直线l 的距离小于2，而圆心到直线BC 的距离为3，此时圆上的点位于弧BC 上．由于OE ＝3，OC ＝32，所以∠OCE ＝π4，所以∠BOC ＝π2.所以弧BC 的长度为π2×33＝332π.由几何概型得所求概率为P ＝332π2π×33＝14.16．已知等比数列{a n }中，a 2＝⎠⎛06⎝⎛⎭⎪⎫2x －32d x ，a 3＝243，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.答案：n2n ＋1解析：a 2 ＝ ⎠⎛06⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x ⎪⎪⎪⎪60＝ 27，所以由a 3＝a 2q ，解得q ＝9， 所以a n ＝a 2q n －2＝27×9n －2＝32n －1， 所以b n ＝log 3a n ＝log 332n －1＝2n －1， 所以1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以数列的前n 项和S n ＝1b 1b 2＋…＋1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12n ＋1 ＝12×2n 2n ＋1＝n 2n ＋1.。
《名师伴你行》系列高考数学(理)一轮复习配套精练考案：第三、四编复习检测题
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❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 12:40:42 PM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/ห้องสมุดไป่ตู้32021/9/13September 13, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
《名师伴你行》系列高考数学(理)一轮复习配套精练考案：第八编复习检测题
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❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 12:41:03 PM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 11-3
![名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 11-3](https://img.taocdn.com/s3/m/210641d20722192e4436f602.png)
时 跟
题
2．二项展开式的通项
踪 检
型 研
Tk＋1＝_C_kn_a_n_－_kb_k_为展开式的第 __k_＋__1___项．
测
究
3．二项式系数
重
点
二项展开式中各项的系数__C_kn_____(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．
突
破
•
第5页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
知识点二 二项式系数的性质
点
突
破
•
第8页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
3．(1)[选修2－3·P40·A组T9]用二项式定理证明5555＋9能被8整除．
教
材
(2)[选修2－3·P40·A组T9改编]用二项式定理求8910除以88的余数．
巩
固
(1)证明：∵5555＋9＝(56－1)55＋9
基
础
＝5655－C515·5654＋…＋C5545·56－1＋9
教
材
巩
固
基
Cnn －m
础
n＋1
题 型
k< 2
研
究
n＋1
重 点
k> 2
突
破
限 时 跟 踪 检 测
第6页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理 清 教 材
巩 固 基 础
题 型 研 究
重 点 突 破
n＋2 2
n＋1
n＋3
2
2
2n
C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1
限 时 跟 踪 检 测
第7页
6-2名师伴你行高考一轮总复习新高考版
跟 踪 检 测
研
究
重 点 突 破
•
第6页
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
教
材
巩
链/接/教/材
固
基 础
1．[必修5·P38·例1(1)改编]已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100
限 时
项为__4_8_7____．
跟 踪
题 型 研
2．[必修5·P46·A组T5改编]已知等差数列5,4
固 基
设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2.
础
所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；
题
对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，
型 研
所以bn＋1－bn＝2n，
究
设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，
重
点
所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；
突
破
限 时 跟 踪 检 测
第11页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
教 材
6．[2019江苏卷]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8
巩 ＝0，S9＝27，则S8的值是___1_6____．
固 基 础
[解析]
解法一：由S9＝27⇒
9a1＋a9 2
＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋8d＝6且
限 时
跟
a5＝3.
题
踪 检
型 研
又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，
测
究
解得a1＝－5，d＝2.
重 点 突
故S8＝8a1＋8×28－1d＝16.
9-1名师伴你行高考一轮总复习新高考版
重 点 突 破
•
第3页
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•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理 清 教 材
巩
固
基
础
理清教材•巩固基础
题 型 研 究
重 点 突 破
限 时 跟 踪 检 测
第4页
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高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理 清 教 材
巩 固
知识点一 直线的倾斜角与斜率
基 础
1．直线的倾斜角
限 时
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线 l_向__上__方__向___
题 型
_3_x－__2_y_＝__0_或__x_＋__y_－__5_＝__0________．
检 测
研
究
重 点 突 破
•
第9页
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理 清 教 材
巩 固
易/错/问/题
基
限
础
1．斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围．
时 跟
(1)当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为___9_0_°___．
•
第7页
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
教
材
链/接/教/材
巩
固
基 础
1．[必修2·P99·练习T1改编]已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－
3 4
，则直线l的
限 时
跟
方程为( A )
踪
题
检
型
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
测
研
究
C．4x＋3y－14＝0
6-4名师伴你行高考一轮总复习新高考版
突
破
•
第16页
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
教
2．[2017全国卷Ⅰ]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为
材
巩 激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款
固 基
软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8，16，…，
时 跟
题 型
(2)[证明]
由(1)可得Sn＝nn2＋1，故SnSn＋2＝14n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，S2n＋1＝14(n＋
踪 检 测
研 究
1)2(n＋2)2，从而SnSn＋2－S2n＋1＝－12(n＋1)(n＋2)<0，所以SnSn＋2<S2n＋1.
重
点
突
破
•
第22页
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理
清
教
材 巩
(1)[解] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝1，a5＝5(a4
固 基
－a3)，可得d＝1，从而{an}的通项公式为an＝n.由b1＝1，b5＝4(b4－b3)，又q≠0，可
限
础 得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，从而{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.
重 项和公式就是用此法推导的．
点
突
破
•
第8页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考链/接/教/材
固
基 础
1．[必修5·P61·A组T4改编]数列{1＋2n－1}的前n项和为 ( C )
《名师伴你行》系列高考数学(理)一轮复习配套精练考案：第一、二编复习检测题
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❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 4:37:21 AM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月18日星期六2021/9/182021/9/182021/9/18 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/182021/9/18September 18, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/18
2-7名师伴你行高考一轮总复习新高考版
基
础
y＝f(x)关―于―原――点―对→称y＝_－__f_(－__x_)_.
题
4．翻折变换
型
研 究
y＝f(x)――去作―掉y―轴y轴―右―左边―边图―图关―，―于保―y轴留―的y―轴对―右―称边―图图―→y＝f(|x|)；
重
点 突 破
y＝f(x)――――将―x轴留―下―下―方x轴―图上―翻方―折―图上―去―――→y＝|f(x)|.
基
限
础
时
跟
踪
题
检
型
测
研
究
A．{x|－1<x≤0}
重
B．{x|－1≤x≤1}
点
C．{x|－1<x≤1}
突
D．{x|－1<x≤2}
破
•
第13页
•
•
高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
理 清 教 材
巩
固
基
础
题型研究•重点突破
题 型 研 究
重 点 突 破
限 时 跟 踪 检 测
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高考一轮总复习 • 新高考版[数学]
巩 x<0时，函数值恒大于0.
固 基
在A中，∵y＝2x－x2－1，取特殊值x＝－1，
限
础
时
函数值y＝2x－x2－1＝－32<0，与图象不符；
跟 踪
题
检
型
在B中，∵当x＝kπ，k∈Z时，y＝0，
测
研
究
∴有无数个零点，与图象不符；
重 点
在D中，定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，不是R，不合题意．故选C.
教
材 下列函数中可以作为该函数的解析式的是( C )