第十一章分式

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完整分式讲义

分式1．分式的概念：形如(A,B是整式，且B中含有字母)。

要使分式有意义，作为分母的整式B的值不能为0，即B≠0。

要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B≠0。

1、式子① ② ③ ④中，是分式的有（）A．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式中，当时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零 B.分式无意义C. 若时,分式的值为零D. 若时,分式的值为零3. 若分式无意义,则x的值是( )A. 0B. 1C. -1D.4.如果分式的值为负数,则的x取值范围是( )A. B. C. D.2．分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

即=，=（C≠0）1．不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A．10 B．9 C．45 D．902．下列等式：①=-;②=;③=-;④=-中,成立的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④3．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A． B． C． D．4．对于分式，永远成立的是（）A． B. C. D.5．下列各分式正确的是( )A. B. C. D.3．最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。

2）约分：利用分式的基本性质约去分子分母中所有公因式，使所得的结果为最简分式或是整式。

3）通分：利用分式的基本性质，对分式的分子，分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个不同分母的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分。

通分的第一步是确定分式间的最简公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。

总结：分式的通分，约分前都需要将分子，分母中的多项式因式分解1．化简分式的结果是________.2.约分：(1) ， (2) ， (3).3.把下列各式通分:(1) ， (2).(3) ， (3).4．分式的运算：1）分式的乘除法法则：分式乘分式，分子的积作为积得分子，分母的积作为积得分母；分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后与被除式相乘。

分式的概念和性质+答案

分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数要点诠释：根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言 .典型例题】类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，，，，，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义；当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义；当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义；当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】－ 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2，，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把 π 也看作字母来判断，没有弄清 π 是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、分式的概念和性质例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用； (2) 、添括号法则：当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号举一反三：解：由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决．【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的．举一反三：【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解：设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ．化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当时，的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题答案】 B ；解析】由题意 2. 答案】 C ；解析】 3. 答案】解析】 4. 答案】解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】解析】①④正确 . 答案】解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得：将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。

分式知识点归纳总结

《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义．分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义．（2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ．评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式A B在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。

当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B无意义；当A=0且B ≠0时，分式A B 的值为0 考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x y x y-+相等的是（）（A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y-+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x). 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x 评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x 72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。

分式的基本性质ppt课件

【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】分式的约分的一般方法：（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；（2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.

分式知识点总结及复习

分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。

例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。

三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。

比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。

例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。

例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。

七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

分式的基本性质教案

分式的基本性质教案分式的基本性质教案分式的基本性质教案1一、教材分析1、教材的地位及作用“分式的基本性质”是人教版八年级上册第十一章第一节“分式”的重点内容之一，它是后面分式变形、通分、约分及四则运算的理论基础，掌握本节内容对于学好本章及以后学习方程、函数等问题具有关键作用。

2、教学重点、难点分析：教学重点：理解并掌握分式的基本性质教学难点：灵活运用分式的基本性质进行分式化简、变形3、教材的处理学习是学生主动构建知识的过程。

学生不是简单被动的接受信息，而是对外部信息进行主动的选择、加工和处理，从而获得知识的意义。

学习的过程是自我生成的过程，是由内向外的生长，其基础是学生原有知识与经验。

本节课中，学生原有的知识是分数的基本性质，因此我首先引导学生通过分数的基本性质，这就激活了学生原有的知识，然后引导学生通过分数的基本性质用类比的方法得出分式的基本性质。

让学生自我构建新知识。

通过例题的讲解，让学生初步理解“性质”的运用，再通过不同类型的练习，使其掌握“性质”的运用.最后引导学生对本节课进行小结，使学生的知识结构更合理、更完善。

二、目标分析：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

教学的目的就是应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，使学生生动活泼地、主动地、富有个性的学习，促进学生全面、持续、和谐地发展。

为此，我从知识技能、数学思考解决问题、情感态度四个方面确定了教学目标：1、知识技能：1）了解分式的基本性质2）能灵活运用分式的`基本性质进行分式变形2、数学思考：通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。

3、解决问题：通过探索分数的基本性质，积累数学活动的经验。

4、情感态度：通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探索精神。

三、教法分析1、教学方法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。

八年级数学下册---分式知识点总结

第十六章分式1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a+∙=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=;（3）积的乘方：()n n n ab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；（5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

第十一章化学动力学主要公式及其适用条件

第十一章化学动力学主要公式及其适用条件1．化学反应速率的定义t V v d d 1ξ=式中：V 为体积，ξ 为反应进度，t 为时间。

若反应在恒容下进行时，则上式可改写为BB B B d d 1d d n c v V t tνν==νB 为反应方程式中的化学计量数，对反应物取负值，对产物取正值。

例如a A +b B → f F + e E当取反应物或产物分别表示上述反应的反应速率时，则有t e c t f c t b c t a c v d d d d d d d d EF B A ==-=-= (1)在实际应用时，常用A d d c t -，B d d c t -或F d d ct ，E d d c t来表示反应的反应速率。

A d d c t -，B d d c t -称为反应物的消耗速率；F d d ct ，E d d c t则称为产物的生成速率。

用参加反应的不同物质之消耗速率或生成速率来表示一反应的反应速率时，其数值是不同的，它们之间的关系见式(1)。

2．反应速率方程及反应级数若反应的反应速率与参加反应物质的浓度之间存在以下关系，即γβαC B A c c kc v =则称此关系式为反应的速率方程。

式中的α，β，γ 分别称为A, B, C 物质的反应分级数，α + β + γ = n 便称为反应总级数。

α，β，γ 的数值可为零、分数和整数，而且可正可负。

k 称为反应的速率常数。

应指出：若速率方程中的v 及k 注有下标时，如v B ，k B ，则表示该反应的速率方程是用物质B 表示反应速率和反应速率常数。

3．基元反应与质量作用定律基元反应是指由反应物微粒(分子、原子、离子、自由基等)一步直接转化为产物的反应。

若反应是由两个或两个以上的基元反应所组成，则该反应称为非基元反应。

对于基元反应，其反应速率与各反应物浓度的幂乘积成正比，而各浓度的方次则为反应方程式中的各反应物的化学计量数，这就是质量作用定律。

八年级数学第十一章分式第1、2分式及分式的基本性质北京实验版

初二数学第十一章分式第1、2分式及分式的基本性质实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十一章：分式第1、2小节：分式及分式的基本性质教学要求：1. 正确掌握分式的概念，会确定分式有意义及值为零时，字母的数值2. 推导并熟练掌握分式的基本性质，为通分和约分做准备3. 知道什么是最简分式，并会约分二. 重点、难点重点：掌握分式的概念和分式的基本性质，会约分难点：（1）确定字母的取值；（2）熟练运用分式的基本性质；（3）判断分式是否是最简分式。

课堂教学：（一）知识要点：1. 在实际问题中，我们会遇到如下的代数式。

10 b ，x yy-2，23a ba b+-，10015a+这些代数式不再是整式，而是新的一类代数式分式。

分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为AB的形式，如果B中含有字母，那么我们把式子AB（B≠0）叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2. 整式和分式统称为有理式有理式整式单项式多项式分式⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪3. 若AB表示分式或AB有意义，则B≠04. 若分式AB的值为零，则A＝0且B≠05. 分式的基本性质分式的基本性质类似于分数的基本性质（1）分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变即ABA MB MM=⨯⨯≠()0（2）分式的分子、分母同除以一个不等于零的整式，分式的值不变即ABA MB MM=÷÷≠()06. 约分：把分式中分子与分母的公因式约去，叫做约分。

7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式。

注：若分式的分子或分母含有多项式，要先分解因式，将分子或分母的多项式写成积的形式，再约去分母与分子的公因式。

8. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的三个符号中，任意改变其中的两个，分式的值不变。

【典型例题】例1. 将下列各式的题号，分别填入相应括号内（1）121x +（2）181()a -（3）x y +3（4）32x x +（5）x x +15（6）x x +-11 整式：（）分式：（）有理式：（）分析：各式均是A B的形式，但有的B 中含有字母，有的B 中不含字母，B 中含有字母的代数式是分式，B 中不含字母的代数式是整式，整式和分式统称为有理式。

分式章节知识点总结

分式章节知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数或者多项式，中间用横线隔开的表达形式，例如a/b（a、b为整数，b不等于0），a称为分子，b称为分母。

二、分式的类型1. 简单分式：分子、分母都是整数的分式。

例如3/4、5/6等。

2. 复合分式：分子或分母中包含有代数式的分式。

例如2/(x+1)、(x-1)/(x+2)等。

3. 多项式分式：分子或分母中包含有多项式的分式。

例如(x^2+3)/(x-4)、2x/(x^2+1)等。

三、分式的性质1. 分式的值：分式的值是指分子除以分母的结果，也可以看作带有未知数的一种式子。

2. 分式的约分：分式可以进行约分，即将分子和分母同时除以一个数，得到一个新的分式，值不变。

3. 分式的通分：分式可以进行通分，即寻找一个公共分母，使得分式的分母相同，然后进行运算。

四、分式的运算1. 分式的加减法：分式的加减法是将分式化成相同分母的形式，然后分别对分子进行加减运算，最后将结果化简。

2. 分式的乘法：分式的乘法是将分子分别相乘，分母分别相乘，然后化简得到最简分式。

3. 分式的除法：分式的除法是将除数的分子、分母对调位置，再乘上被除数的倒数，然后化简得到最简分式。

五、分式的应用1. 分式在方程中的应用：分式通常出现在方程的解中，需要对分式进行加减和乘除等运算，找到未知数的值。

2. 分式在不等式中的应用：分式在不等式的求解中应用广泛，通过对分式进行化简和变形，找到不等式的解集。

3. 分式在函数中的应用：分式常常用来表示函数的定义域、值域和零点等性质，在函数的运算和变形中起着重要作用。

分式作为代数中重要的一部分，需要掌握其定义、类型、性质和运算方法，灵活运用于方程、不等式和函数等各种问题的求解中。

同时，分式的深入研究还可以延伸到多项式、变量和函数的理论及实际应用中，是代数学习中的重要内容之一。

2019-2020年八年级数学第十一章分式第5小节小结与复习北京实验版

2019-2020年八年级数学第十一章分式第5小节小结与复习北京实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十一章分式第5小节可化为一元一次方程的分式方程及其应用小结与复习【教学要求】1. 正确理解分式方程的意义。

2. 掌握可以化为一元一次方程的分式方程的解法，了解解分式方程时有可能产生增根及产生增根的原因。

3. 掌握简单公式的变形及相关计算。

4. 会列分式方程解应用题，从而提高分析问题和解决问题的能力，提高应用数学的意识。

二. 重点、难点：1. 重点：（1）熟练地解可以化为一元一次方程的分式方程。

（2）列分式方程解应用题，准确地找到并列出题目的数量关系。

2. 难点：（1）增根产生的原因。

（2）准确地找到并列出应用题的数量关系。

【知识要点】1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。

分式方程的重要特征：（1）含分母；（2）分母中含未知数。

分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数，例如x x +=12，5721222y y x x x =--=-，等都是分式方程，而x x x x 221023312-+=+=-，，x a b x b a+--=2（x 是未知数）等都是整式方程，而不是分式方程。

2. 可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程。

（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是：①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

②解这个整式方程。

③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的值是原方程的根，使最简公分母等于零的值是原方程的增根。

注：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得的整式方程的根。

3. 解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据等式的基本性质，方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得等式依然成立，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程的解不同，这时求得的根就是原方程的增根。

人教版初中数学八年级上册第11章分式

10
x
2
25
为去分母,在方程两边同时乘以最简公分母(x5)(x+5),得到整式方程 x+5=10 解得 x=5 得到结果记住要检验.
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五,思考
习题一
1 = x5
10
x
2
25
(1)带入原分式方程检验,我们发现了什么? (2)那么这个分式还有解吗? (3)为什么会解出这个不满足原方程的解?
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二,分式方程的解法
我们在以前有没有做过带分母的方程呢? 我们又是如何去做的呢?
x 3 2x 7 = 2 3
这是一道解方程的题目,请问以前我们解方程的步骤是什么?
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分式方程的解法
比较我们总结的解整式方程的方法,你觉得我们刚才列的分式方程应该如何去解呢?
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归纳一般地,解分式方程的时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解带入最简公分母.如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解; 否则,这个解不是原分式方程的解. 一去二解三检验
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四,练习
习题二
解整式方程
目标
X=a
检验最简公分母不为0 最简公分母为0
a是分式方程的解
a不是分式方程的解
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作业
市监测分式方程(一)
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�
2 3 = x3 x

数学初二上册第十一章教学解析

数学初二上册第十一章教学解析本文旨在对初二上册数学第十一章进行教学解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识点。

本章主要内容包括分式的概念及运算、分式方程的解法和实际问题应用等。

一、分式的概念及运算分式是指分子与分母都是整数的数的运算。

分式的概念在我们日常生活中非常常见，比如把一个整形的巧克力块平均分给几个朋友等等。

分式的表达形式为a/b，a称为分子，b称为分母。

在运算方面，我们需要掌握分式的四则运算规则，即加法、减法、乘法和除法。

在进行分式的加减运算时，需要找到相同的分母，然后对分子进行运算即可。

而在进行分式的乘除运算时，则需要分别对分子和分母进行相应的运算。

二、分式方程的解法分式方程是指方程中包含了分式的等式。

解分式方程的关键是消除分式。

常用的方法有：1. 通分法：将方程两边的分母进行通分，然后进行整式的运算，得到最简形式的方程，最后求解即可。

2. 倒数法：将含有分式的方程两边同时取倒数，然后利用乘法性质将分式转化为整式，最后化简方程并求解。

3. 换元法：适用于分式方程较为复杂的情况。

我们可以通过引入一个新的变量来简化分式方程，然后解出新的变量，并通过反代回原方程解得原变量的值。

三、实际问题应用分式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，抽公因式法可以应用于有理数的加减混合运算中。

当我们在计算数学表达式时，如果其中包含较复杂的分式，我们可以通过抽公因式法来化简运算，使之更加简洁。

另外，分式在比例和相似性中也有重要的应用。

在解决图形的相似性问题时，我们常常会遇到需要计算未知边长的情况，这个时候就会用到分式的比例关系，通过构建等式并求解未知变量的值来解决问题。

总之，数学初二上册第十一章主要介绍了分式的概念及运算、分式方程的解法和实际问题应用等知识点。

希望通过本文的解析，能够帮助同学们更好地理解和掌握这一章节的内容，提升数学学习的效果。

同时，也希望同学们能够在学习数学的过程中保持积极的态度，勤于思考和实践，不断提高自己的数学水平。

2024版55分式方程11课件

55分式方程11课件一、教学内容本节课我们将学习教材第十一章“55分式方程”的内容。

详细内容包括：分式方程的定义与性质，分式方程的解法，含有一个未知数的分式方程的求解，以及分式方程在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 让学生掌握分式方程的定义，理解分式方程的性质。

2. 培养学生求解分式方程的能力，尤其是含有一个未知数的分式方程。

3. 让学生了解分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：分式方程的求解，尤其是含有未知数的分式方程。

教学重点：分式方程的定义与性质，求解含有一个未知数的分式方程。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入分式方程的概念，例如：小明和小华分一个苹果，小明吃了苹果的2/3，小华吃了苹果的1/3，问小明和小华各吃了多少苹果？2. 新课讲解：（1）分式方程的定义：以一个例题讲解分式方程的定义，如：x/(x+1) = 2/3。

（2）分式方程的性质：通过例题讲解，让学生理解分式方程的性质。

（3）求解含有一个未知数的分式方程：以例题讲解求解过程，如：x/(x+1) = 2/3，求解x的值。

3. 随堂练习：让学生完成教材上的习题，巩固所学知识。

4. 应用拓展：让学生解决实际问题，如求解小明和小华分苹果的问题。

六、板书设计1. 分式方程的定义与性质2. 求解含有一个未知数的分式方程3. 分式方程在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（2）某数的2/3等于它的1/2加1，求这个数。

2. 答案：（1）x = 6（2）这个数是6。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，使学生掌握了分式方程的定义、性质和求解方法。

课后，教师应关注学生对分式方程求解的掌握情况，并对学生在解决问题时遇到的困难进行指导。

在拓展延伸方面，可以让学生尝试解决更复杂的分式方程，提高学生的解题能力。

第11讲分式方程

第11讲分式方程模块一：分式方程的解法知识导航：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0．（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．4．对于一些比较特殊的分式方程，利用基础解法较为复杂，我们可以采取一些比较特殊的方法，例如裂项、分离常数、换元等方法解题，以减小运算量．5．适当的题目要进行分类讨论．题型一：基本解法【例1】解下列分式方程：（1）2233x x x +=--（2）2212525x x x -=-+（3）25+233+1x x x x x +=+（4）2242111x x x x x -+=-+【练】（1）（14武汉中考）解方程：233x x=-（2）（13武汉中考）解方程：233x x =--（3）（12武汉中考）解方程：21(5)3x x =+题型二：分离变量【例2】解下列分式方程（1）24681357x x x x x x x x ++++-=-++++．（2）23241123x x x x --=+--．（3）222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++．【练】17282839x x x x x x x x ++++-=-++++．题型三：裂项法【例3】解方程（1）1111+=1(1)(1)(2)(2009)(2010)x x x x x x x ++------…．（2）22221111413256712214x x x x x x x x x +++=-++++++++．【练】（1）已知1111201335572-121)41n n +++⋯+=⨯⨯⨯⨯+（）（，求n ．（2）解关于x 的方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++．题型四：分组通分【例4】（1）解方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++．【练】（1）解方程11113467x x x x-=+----，并猜想11112005200620072008x x x x-=+----的解．题型五：倒数型【例5】阅读并完成下列问题：方程1122xx+=的解是12x=，212x=；方程1103xx+=的解是13x=，213x=，观察上述方程及解，可猜想关于x的方程①11x cx c+=+的解是请用上述方法解方程：315132 x xx x-+= -【练】解方程：23443 42334x xx x +-+=++-题型六：含字母型【例6】解方程：解关于x的方程2221m mmx---=．【练】解关于x 的方程：（1）11()a b a b a x b x +=+≠；（2）2(0)x b x a a b a b--=-+≠．模块二：分式方程的应用思路导航：1．分式方程有增根，可从最简公分母入手，使得最简公分母为0的x 值，即为增根，将增根代入变形后的整式方程即可求参数值．2．分式方程无解包含两种情况：原方程有增根时的情形和转化成相应的整式方程无解的情形【例7】（1）如关于x 的方程233x m x x -=--有正整数解，则（） A ．m ＞0且m ≠3 B ．m ＜6且m ≠3 C ．m ＜0 D ．m ＞6（2）若分式方程342(2)a x x x x =+--有增根，则a 的值为（3）关于x 的方程322133x mx x x -++=---无解，求m 的值．【练】（1）关于x 的方程11a x =+的解是负数，则a 的取值范围是．（2）已知关于x 的方程3211x k x x --=--有增根，求增根及k 的值．（3）若关于x 的分式方程2155m x x x+=--无解，求m 的值．【例8】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1．2万元，乙工程队工程款0．5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【练】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果；甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说；“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1．2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？故事十：鲁班发明锯的故事相传有—年，鲁班接受了—项建筑—座巨大宫殿的任务．这座宫殿需要很多木料，他和徒弟们只好上山用斧头砍木，当时还没有锯子，效率非常低．一次上山的时候，由于他不小心，无意中抓了一把山上长一种野草，却一下子将手划破了．鲁班很奇怪，一根小草为什么这样锋利？于是他摘下了一片叶子来细心观察，发现叶子两边长着许多小细齿，用手轻轻—摸，这些小细齿非常锋利．他明白了，他的手就是被这些小细齿划破的．后来鲁班又看到一条大蝗虫在—株草上啃吃叶子，两颗大板牙非常锋利，—开一合，很快就吃下一大片，这同样引起了鲁班的好奇心，他抓住一只蝗虫，仔细观察蝗虫牙齿的结构，发现蝗出的两颗大板牙上同样排列着许多小细齿，蝗虫正是靠这些小细齿来咬断草叶的，这两件事给鲁班很大启发．于是他就用大毛竹做成—条带有许多小锯齿的竹片，然后到小树上去做试验，结果果然不错，几下子就把树杆划出一道深沟，鲁班非常高兴．但是由于竹片比较软，强度比较差，不能长久使用，拉了—会儿，小锯齿就有的断了，有的变钝了，需要更换竹片．鲁班想到了铁片，便请铁匠帮助制作带有小锯齿的铁片．鲁班和徒弟各拉一端，在一颗树上拉了起来，只见他俩一来一往，不—会儿就把树锯断了，又快又省力，锯就这样发明了．今天我学到了．第11讲【课后作业】分式方程及其应用一．选择题1．在方程22221111,1,1,112x y ax by bx ay x y x x a b a b a b -+=+=+==+--+-（,a b 为已知数）中，分式方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法：①解分式方程一定会产生增根； ②方程22044x x x -=-+的根为2； ③方程11224x x =-的最简公分母为2(24)x x -； ④11111x x x +=+--是分式方程方程．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．解分式方程11222x x x-+=--，可知方程的解为（） A ．2 B ．3 C ．3 D ．无解4．若关于x 的方程2111x m x x ++=--产生增根，则m 是（） A ．－l B ．1 C ．－2 D ．2二．填空题（共4小题） 5．若关于x 的方程212x a x +=--的解为正数，则a 的取值范围是． 6．根据结论：m m x c x c +=+的解为1x c =，2m x c=，则方程111201112011x x --++=++的解12010x =，2x = ．7．若关于x 的分式方程4155x a x x=---有增根，那么增根是，这时a = ．8．若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ．三．解答题9．解方程（1）311(1)(2)x x x x -=++- （2）2654111x x x x x ++=--+（3）28124x x x -=-- （4）1011x x x x --=+-（5）6351(1)x x x x x ++=-- （6）48755986x x x x x x x x ----+=+----（7）1111(1)(1)(2)(2013)(2014)x x x x x x x x-+++=-----10．“六一” 儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1．5倍，但每套进价多了10元．（1）求第一批玩具每套的进价是多少元?（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元?。

八年级数学上册11分式教案湘教版

1.1 分式教学目标1、能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号意识.2、了解分式的概念，明确分式与整式的区别.3、会求分式的值.教学重点分式的概念，分式有意义，无意义的条件，分式的值为零的条件.教学难点熟练求出分式有意义，无意义的条件，分式的值为零的条件.教具多媒体电脑，投影仪.教学方法采用通过实际问题引导发现，类比法，得出分式的概念和性质并及时总结，充分展现学生的主体作用. 教学过程一、问题情景.同学们，我们过去学过的代数式中有单项式，多项式，整式.我们把单项式和多项式统称为整式.下面我将给出一些代数式，请同学们帮老师分分类.下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？0 a 2x a 2b 9x -223y x - b 2 b a 23- 单项式：多项式：整式： b 2 、ba 23-既不是单项式也不是多项式，即它们不是整式.那它们就是不同于整式的另一类式子. 二、实际问题.1、面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成原计划任务.如果设原计划每月固沙造林x 公顷，则：(1)实际每月固沙造林____________公顷(2)原计划完成造林任务需____________个月(3)实际完成造林任务需____________个月2、2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示：前a 天日参观人数35万人，后b 天日参观人数45万人，这(a +b )天日参观人数为多少万人？(1)前a 天参观人数为____________万人(2)后b 天参观人数为____________万人(3)这(a +b )天参观人数为____________万人(4)这(a +b )天日参观人数为____________万人2、求下列条件下分式56-+x x 的值； (1)x ＝3； (2)x ＝﹣0.4解：(1)当x ＝3时，56-+x x ＝3536-+＝29-. (2)当x ＝﹣0.4时，56-+x x ＝0.450.46---+＝2728- 三、辨析、思考观察式子：b 2 b a 23- x 2400 240030+x ba b a ++4535 找出它们的共同特征，它们与整式的区别.(1)共同特征：_________________________(2)与整式的区别：_______________________(观察分母)四、形成概念.一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，则称A B为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母.注意：(1)分式是不同于整式的另一类代数式.(2)分母中含有字母是分式的一大特点，这也是区别于整式的最大不同点.(3)分式的分子中字母可有可无，但分母必须有字母.五、练一练.1、判断：下面的式子哪些是分式？ a 1、4x 、2b a +、y x xy 221+、5122+x 、π4、2212xx x ++、132-x(1)π是圆周率，是个常数，不能当字母看.(2)要判断一个式子是不是分式，关键看分母中是否含有字母.2、用整式3、x 2、-x 构造一个分式，看谁构造的最多.六、课时小结.1、分式的概念：2、分式BA 有意义的条件是B ≠0. 3、分式BA 无意义的条件是B =0. 4、分式B A 值为0的条件是A =0，B ≠0__.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为(2,1)、()6,1，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线AB 交y 轴于点P ，若ABC ∆与A B C '''∆关于点P 成中心对称，则点A '的坐标为（）A ．(4,5)--B ．(5,4)--C ．(3,4)--D ．(4,3)--2．若2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围（）A ．x≥2B ．x≤2C ．x ＞2D ．x ＜23．在平面直角坐标系中，点2(3,1)P x --关于x 轴对称点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列5个条件：①AB ∥CD ；②OA ＝OC ；③AB ＝CD ；④∠BAD ＝∠DCB ；⑤AD ∥BC ，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD 是平行四边形的有（）组．A ．4B ．5C ．6D ．75．关于反比例函数3y x=，下列说法中错误的是( ) A ．它的图象分布在一、三象限B ．它的图象过点(-1，-3)C ．当x>0时，y 的值随x 的增大而增大D ．当x<0时，y 的值随x 的增大而减小6．根据图1所示的程序，得到了如图y 与x 的函数图像，若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ ．则以下结论：①x <0 时，y =2x；②△OPQ 的面积为定值；③x >0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论序号是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②④⑤7．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，作BF⊥AM于点F，连接BE. 若AF=1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（）A．2 B．3 C．10D．138．下列运算中，正确的是（）A．2＋3＝5B．7－2＝5C．6÷16＝66÷＝1 D．43×122＝269．矩形ABCD中，3AB=，2CB=，点E为AB的中点，将矩形右下角沿CE折叠，使点B落在矩形内部点F位置，如图所示，则AF的长度为( )A．95B．2C3215D429510．不等式组的解集是x ＞4，那么m 的取值范围是（）A ．m≤4B ．m ＜4C ．m≥4D ．m ＞4二、填空题 11．如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，点D 对应点交CF 延长线于点B ，若四边形ABCD 的面积是218cm 、则AC 长__________cm ．12．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打七折优惠，买练习本所花费的钱数y （元）与练习本的个数x （本）之间的函数关系如图所示，那么图中a 的值是_______．13．小天家、小亮家、学校依次在同一条笔直的公路旁（各自到公路的距离忽略不计），每天早上7点整小天都会从家出发以每分钟60米的速度走到距他家600米的小亮家，然后两人以小天同样的速度准时在7：30到校早读．某日早上7点过，小亮在家等小天的时候突然想起今天轮到自己值日扫地了，所以就以每分钟60米的速度先向学校走去，后面打算再和小天解释，小天来到小亮家一看小亮不在家，立刻想到小亮今天是值日生（停留及思考时间忽略不计），于是他就以每分钟100米的速度去追小亮，两人之间的距离y （米）及小亮出发的时间x （分）之间的函数关系如下图所示．请问当小天追上小亮时离学校还有_____米．14．当a__________时，分式32a a -+有意义． 15．若点(),1P m 在正比例函数2y x =-的图象上，则m =__________.16．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．17．不等式组12312 2xx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的所有整数解的积是___________．三、解答题18．已知，一次函数y=（1-3k）x+2k-1，试回答：（1）k为何值时，y随x的增大而减小？（2）k为何值时，图像与y轴交点在x轴上方？（3）若一次函数y=（1-3k）x+2k-1经过点（3，4）．请求出一次函数的表达式．19．（6分）211(1)(2)2mxx x x x+=--++，若方程无解，求m的值20．（6分）在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．21．（6分）已知一次函数y kx b=+的图象过点()0,3A，()4,0B-．（1）求此函数的表达式；（2）若点(),6a在此函数的图象上，求a的值．22．（8分）如图，已知平行四边形ABCD的周长是32 cm，35BC AB=，AE BC⊥，AF CD⊥，E，F是垂足，且2EAF C∠=∠的度数；（1）求C（2）求BE，DF的长.23．（8分）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t之间的函数解析式为y=（a为常数），如图所示. 根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从释放药物开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？24．（10分）列方程解应用题今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B 厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A长的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B 两厂生产的口罩单价分别是多少元？25．（10分）用配方法解方程:x2-6x+5=0参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．A【解析】分析：先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点坐标公式，即可得到点A'的坐标.详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则4321k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得11kb=⎧⎨=-⎩，∴直线AB解析式为y=x﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则42m+=0，32n+=﹣1，∴m=﹣4，n=﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选A．点睛：本题考查了中心对称和等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.2．A【解析】【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．【详解】∴x−2≥0，解得x≥2.故答案选A.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.3．A【解析】【分析】先推出点()2P 3,x 1--在第四象限，再根据轴对称推出对称点所在象限.【详解】因为点()2P 3,x 1--在第四象限，所以点()2P 3,x 1--关于x 轴对称点所在的象限是第一象限. 故选：A【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中点的对称问题. 解题关键点：理解点的对称规律. 4．C【解析】分析：根据平行四边形的判定来进行选择．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别平行的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.详解：共有6组可能：①②；①③；①④；①⑤；②⑤；④⑤．选择①与②：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO ，在△AOB 与△COD 中， ABO CDO BAO DCO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△COD ，∴AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．①与③（根据一组对边平行且相等）①与④：∵∠BAD=∠DCB∴AD ∥BC又AB∥DC根据两组对边分别平行可推出四边形ABCD 为平行四边形．①与⑤，根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②与⑤：∵AD∥BCOA=OC∴△AOD ≌△COB故AD=BC ，四边形ABCD 为平行四边形．④与⑤：根据两组对边分别平行可推出四边形ABCD 为平行四边形.共有6种可能.故选C.点睛：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．5．C【解析】试题分析：反比例函数的性质：当时，图象位于一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，图象位于二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大.解：A、因为，所以它的图象分布在一、三象限，B、它的图象过点（-1，-3），D、当，y的值随x的增大而减小，均正确，不符合题意；C 、当，y的值随x的增大而减小，故错误，本选项符合题意.考点：反比例函数的性质点评：反比例函数的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6．D【解析】【分析】根据题意得到当x＜0时，y=-2x，当x＞0时，y=4x，设P（a，b），Q（c，d），求出ab=-2，cd=4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-2，cd=4得到MQ=2PM；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．【详解】解：①x＜0，y=-2x，∴①错误；②当x＜0时，y=-2x，当x＞0时，y=4x，设P（a，b），Q（c，d），则ab=-2，cd=4，∴△OPQ的面积是12（-a）b+12cd=3，∴②正确；③x＞0时，y随x的增大而减小，∴③错误；④∵ab=-2，cd=4，即MQ=2PM，∴④正确；⑤设PM=a，则OM=-2a．则PO2=PM2+OM2=a2+（-2a）2=a2+24a，QO 2=MQ 2+OM 2=（2a ）2+（-2a ）2=4a 2+24a， PQ 2=PO 2+QO 2=a 2+24a +4a 2+24a =（3a ）2=9a 2，整理得a 4=2,∵a 有解，∴∠POQ=90°可能存在，故⑤正确；正确的有②④⑤，故选D ．【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．7．B【解析】【分析】先证明ΔABF ≌ΔDAE 得到BF=AE ，设BF=x ，则AE=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积=ABE ADE S S ∆∆+得111622x x x +=，解之即可求得BF 的长. 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴BA=AD ，∠BAD=90º，∴∠DAE+∠BAF=90º，∵BF ⊥AM ，DE ⊥AM ，∴∠AFB=∠DEA=90º，∴∠ABF+∠BAF=90º，∴∠ABF=∠DAE ，在ΔABF 和ΔDAE 中 ABF DAE AFB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ΔABF ≌ΔDAE(AAS)，∴BF=AE ，DE=AF=1设BF=x ，则AF=x ，由四边形ABED 的面积为6得：11622AE BF AE DE +=，即111622x x x +=，解得：1234,x x ==-（舍去），∴BF=3，故选：B .【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形面积公式以及全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的知识是解答的关键.8．D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可判断【详解】A.B. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；C. 6，故该选项错误；，计算正确. 故选D.【点睛】此题主要考二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．A【解析】【分析】作EM ⊥AF ，则AM=FM ，利用相似三角形的性质，构建方程求出AM 即可解决问题．【详解】解：如图中，作EM ⊥AF ，则AM=FM ，∵AE=EB=EF ，∴∠EAF=∠EFA ，∵∠CEF=∠CEB ，∠BEF=∠EAF+∠EFA ，∴∠BEC=∠EAF ，∴AF ∥EC ，在Rt △ECB 中，22352=22⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB ，∴△CEB ∽△EAM ， ∴=EB AM EC AE， ∴352232AM = ， 910AM ∴=， ∴AF=2AM=95，故选A ．【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．A【解析】【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可得答案．【详解】解不等式（x+2）﹣3＞0，得：x＞4，由不等式组的解集为x＞4知m≤4，故选A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键二、填空题11．2【解析】【分析】根据旋转的性质得到S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是18cm1得出正方形AFCE的面积是18cm1，求出AE、EC的长，根据等腰直角三角形的性质求出AC即可．【详解】解：∵四边形AFCE是正方形，∴AE＝EC，∠E＝90°，△ADE绕点A顺时针旋转90°，点D对应点交CF延长线于点B，∴△ABF≌△ADE，∴正方形AFCE的面积＝四边形ABCD的面积＝18cm1．∴AE＝CE1832∴AC2＝2cm．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形性质，关键是求出正方形AFCE的边长．12．1.【解析】【分析】根据题意求出当x≥10时的函数解析式，当y=27时代入相应的函数解析式，可以求得相应的自变量a的值，本题得以解决．【详解】解：由题意得每本练习本的原价为：20÷10=2（元），当x≥10时，函数的解析式为y=0.7×2（x-10）+20=1.4x+6，当y=27时，1.4x+6=27，解得x=1，∴a=1．故答案为：1.【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，根据关系式可以解答问题．13．1【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得当小天追上小亮时离学校还有多少千米，本题得以解决．【详解】解：设小天从到小亮家到追上小亮用的时间为a分钟，由题意可得，400+60a＝100a，解得，a＝10，即小天从到小亮家到追上小亮用的时间为10分钟，∵小天7：00从家出发，到学校7：30，∴小天从家到学校用的时间为：30分钟，∴当小天追上小亮时离学校还有：60×30﹣600﹣100×10＝1（米），故答案为1．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．14．2a≠-【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得20a+≠，再解不等式即可．【详解】解：分式32aa-+有意义，则20a+≠；解得：2a≠-，故答案为：2a≠-．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．15．1 2 -【解析】【分析】将y=1代入正比例函数y=-2x求出m值，此题得解．【详解】将y=1代入正比例函数y=-2x中得：1=-2m解得：m=1 2 -故答案是：1 2 -.【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，将y=1代入正比例函数y=-2x求出m值是解题的关键．16．36°【解析】∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=180(52)5⨯-=108°，∴∠1=∠2=12（180°-∠BAE），即2∠1=180°-108°，∴∠1=36°．17．1【解析】【分析】先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的积即可．【详解】由1-2x＜3，得：x＞-1，由12x+≤2，得：x≤3，所以不等式组的解集为：-1＜x≤3，它的整数解为1、1、2、3，所有整数解的积是1．故答案为1．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．三、解答题18．（1）13k>；（2）12k>；（3）131177y x=-【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质可得出1﹣3k＜0，解之即可得出结论；（2）根据一次函数图象与系数的关系结合一次函数的定义可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（3）把点（3，4）代入一次函数，解方程即可．【详解】（1）∵一次函数y=（1-3k）x+2k-1中y随x的增大而减小，∴1-3k＜0，解得：13 k>，∴当13k>时，y随x的增大而减小．（2）∵一次函数y=（1-3k）x+2k-1的图象与y轴交点在x轴上方，∴210 130 kk->⎧⎨-≠⎩，解得：k＞12，∴当k＞12时，一次函数图象与y轴交点在x轴上方．（3）∵一次函数y=(1-3k)x+2k-1经过点（3，4），∴4=3×(1-3k)+2k-1，∴k=-27，一次函数的表达式为：131177y x=-．【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是：（1）根据一次函数的性质找出1﹣3k＜0；（2）根据一次函数图象与系数的关系结合一次函数的定义找出关于k 的一元一次不等式组．19．m 的值为-1或-6或32【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m 的值；由分式方程无解求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】解：方程两边同时乘以（x+2）（x-1）得：2(2)1x mx x ++=-整理得：(1)5m x +=-当m+1=0时，该方程无解，此时m= -1；当m+1≠0时，则原方程有增根，原方程无解，∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x-1）=0，解得：x=-2或x=1，当x=-2时，32m =；当x=1时，m= -6 ∴ m 的值为-1或-6或32 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．20．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质得到90ABC BCD ∠=∠=︒，根据角平分线的定义得到45EBC ∠=︒，根据三角形内角和定理计算即可；②利用ASA 定理证明ADE ECF ≅；（2）连接HB ，证明四边形NBEH 是矩形，得到NE BH =，根据勾股定理求出BH 即可.【详解】（1）①∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BE 平分∠ABC，∴∠EBC=45°，∴∠BEC=45°，故答案为45；②△ADE≌△ECF，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC ． ∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°． ∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠FEC=∠EAD，∵BE 平分∠ABC，∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE 和△ECF 中，DAE CEF AD ECADE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△ECF；（2）连接HB ，如图2， ∵FH∥CD，∴∠HFC=180°-∠C=90°． ∴四边形HFCD 是矩形．∴DH=CF，∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．∵NH∥BE，NB∥HE，∴四边形NBEH是平行四边形．∴四边形NBEH是矩形．∴NE=BH．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，【点睛】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.21．（1）y=34x+3；（2）a=4；【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（a，6）代入一次函数解析式中可求出a的值；【详解】（1）把A（0，3），B（-4，0）代入y=kx+b得340bk b⎧⎨-+⎩＝＝，解得343kb⎧⎪⎨⎪⎩＝＝．所以一次函数解析式为y=34x+3；（2）把（a，6）代入y=34x+3得34a+3=6，解得a=4；【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．22．（1）∠C＝60°；（2）BE＝5cm，DF＝3cm．【解析】【分析】（1）结合已知条件，由四边形的内角和为360°即可解答；（2）根据平行四边形的性质结合已知条件求得AB＝10cm，BC＝6cm．再根据30°角直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∴∠EAF+∠C＝360°﹣90°﹣90°＝180°．又∵∠EAF＝2∠C，∴∠C＝60°．（2）∵▱ABCD的周长是32cm，35BC AB，∴AB＝10cm，BC＝6cm．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠C=60°，在Rt△ABE中，BE=12 AB，∵AB=10 cm，∴BE=5 cm，同理DF=3 cm.∴BE＝5cm，DF＝3cm．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用有关性质是解决问题的关键. 23．(1)y＝t（0≤t≤）(2)6小时【解析】【分析】【详解】(1) 将点代入函数关系式, 解得, 有将代入, 得, 所以所求反比例函数关系式为;再将代入, 得,所以所求正比例函数关系式为.(2) 解不等式, 解得,所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.24．A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．【解析】【分析】设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x＋0.2）元，根据数量＝总价÷单价结合在B 厂订购的口罩数量是A厂的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x＋0.2）元，依题意得：240001320020.2x x=⨯+，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，∴x＋0.2＝2.2，答：A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．x1=5，x2=1．【解析】【分析】首先移项，把方程变形为x2-6x=-5的形式，方程两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边是完全平方式，右边是常数，然后利用直接开平方法即可求解．【详解】x2-6x+5=0移项得，x2-6x=-5x2-6x+9=-5+9，∴（x-3）2=4，∴x-3=±2，解得x1=5，x2=1．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列事件中必然事件有（）①当x是非负实数时，≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月；④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．代入法B．换元法C．数形结合D．分类讨论3．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30°B．36°C．54°D．72°4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)，则点D的坐标为（）A．(1, 3) B．(1，13++C．(13D．3135．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．86．下列图形都是由同样大小的▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲：第2个图形中一共有9个▲；第3个图形中一共有12个▲；…授此规律排列，则第2019个图形中▲的个数为（）A ．2022B ．4040C ．6058D ．60607．如图所示，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH,那么图中平行四边形AEMG 的面积1S 与平行四边形HCFM 的面积2S 的大小关系是（）A ．11S S =B ．11<S SC ．11>S SD ．112S S =8．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点EF ；②作直线EF 交BC 于点D 连接AD ．若AD ＝AC ，∠C ＝40°，则∠BAC 的度数是（）A ．105°B ．110°C ．I15°D ．120°9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则以下AE 与CE 的数量关系正确的是（）A ．AE=2CEB ．AE=3CEC ．AE=32CED ．AE=2CE10．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（） A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+二、填空题11．某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据上面表格得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是_______（填序号）．12．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为__________． 13．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．14．已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为_____．15．菱形ABCD 的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形ABCD 的面积为_____；周长为______． 16．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是AD 边上一点，连接CE ，将CDE ∆沿CE 翻折，点D 的对应点是F ，连接AF ，当AEF ∆是直角三角形时，则DE 的值是________17．如图，直线23y kx =+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将OAB 沿AB 翻折，使点O 落在点C 处，点D 是线段AB 的中点，射线OD 交线段AC 于点E ，若AED 为直角三角形，则k 的值为__________．三、解答题18．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．19．（6分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，样本容量为；（2）补全条形统计图；（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为 °；（4）若该学校共有2000名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．20．（6分）四川汶川大地震牵动了三百多万滨州人民的心，全市广大中学生纷纷伸出了援助之手，为抗震救灾踊跃捐款。

11寒假课程北师大版初二数学第11讲分式方程【学生版】

分式方程知识详解一、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

【例1】1、下列各式中，是分式方程的是（）A ．B ．C ．D ．【练习】1．下列关于x 的方程①531=-x ，②141-=x x ，③-=-x x 331，④11-=b a x 中，是分式方程的是（）（填序号）【答案】 ②2．下列方程中不是分式方程的是（） 2143.31.7112.4.30231x A x B x x y x C x D x ++=+=++=-=+【例2】1、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.2、在中，哪个是分式方程的解，为什么？二、分式方程的解法1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

八年级数学上第十一章分式

一. 教学内容：第十一章：分式第4小节：分式的加减法教学目标：1. 熟练掌握分式加减法运算法则，并应用于运算中。

2. 在分式运算中，熟练应用分解因式，约分，通分。

3. 熟练准确进行分式加减乘除混合运算。

二. 重点、难点重点：（1）将分式加减法法则准确应用于运算中；（2）准确进行分式混合运算。

难点：分式加减乘除混合运算。

教学过程：（一）知识要点1. 分式加减法运算（1）同分母分式加减：同分母的分式相加减时，分母不变，分子相加减。

即：a m b ma b m ±=± （2）异分母分式加减：异分母的分式相加减时，先进行通分化为同分母后，再进行加减运算。

即：a b c d ad bd bc bd ad bc bd ±=±=± 注：（1）分式加减法运算，先判断类型，再进行运算。

i ）分母相同定为同分母运算。

ii ）若分母为a b ±和b a ±，()a b ±2和()b a ±2，即()a b n ±和()b a n±的形式，可通过()()a b b a n n +=+及()()()a b b a n b a n n n n -=---⎧⎨⎪⎩⎪，，为正偶数为正奇数变形为同分母运算。

iii ）其余为异分母的运算。

（2）分式加减法运算，通分后，都可化为同分母的运算，实质进行的分子的加减法运算，注意其中的符号和括号的问题。

（3）注意分式运算最后的结果为最简分式，分子、分母有公因式要进行约分。

2. 分式的混合运算先确定运算顺序，先计算乘方，再算乘除，再计算加减。

有括号的要先计算括号里的，最后结果要写为最简分式。

注：在运算过程中，注意法则的灵活、准确应用。

【典型例题】例1. 计算：（1）xxyxxy 2234---（2）x yx yx yx yx yx y +--+-+--3223 222222（3）m nn mnm nmn m +-+---22（4）25221222322 xxxxxx ++--++-+分析：（1）（2）是同分母加减运算；（3）（4）变形后可看成是同分母加减法运算。

八年级数学上册第十一章分式分式知识点复习五四学制版

分式知识点复习1、分式的有关概念：例1．（1）当x 时，分式11+x 有意义．若分式293x x -+的值为0，则x =___________在代数式23153********a b ab c x xy a y +++、、、、、中，分式有（）.（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个2、分式的基本性质【同乘同除同一个不等于零的数、式，分式值不变】例2．下列各式与x yx y-+相等的是（）（A ）()5()5x y x y -+++ （B ）22x y x y -+ （C ）222()()x y x y x y -≠- （D ） 2222x y x y -+例3．如果把分式2x yx+中的x y 和都扩大10倍，那么分式的值（）. （A ）扩大10倍（B ）缩小10倍（C ）扩大2倍（D ）不变 3、分式的约分【实质：分解因式，约去公因式】例4．化简222a b a ab-+的结果是（）.（A ）2a b a - （B ）a b a - （C ）a b a + （D ）a ba b-+ 4、分式的乘除法：【实质：分解因式及约分】例5．化简：)9(322-∙-x xx x5、分式的通分【先分解，分母化为相同】例6．分式1a b +、222a a b -、b b a-的最简公分母为（）（A ）22()()()a b a b a b -+- （B ）22()()a b a b -+（C ）22()()a b b a -- （D ）22a b -6、分式的加减法【实质：通分】注意：分式的运算不能去分母】例7．化简24142a a +-+的结果是（）。

（A ）－12a + （B ）12a - （C ）12a - （D ）264a a +-7、分式的混合运算例8．化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值8、分式方程【一定要去分母和验根】例9．解方程：xx 31221261--=-解：方程两边同时乘以)132-x （，得 4131+-=x ，解之，得，32-=x 经检验，32-=x 是原方程的根。

分式加减法优秀教案(通分)

1、能确定几个分母地最简公分母2、会进行简单地异分母分式地加减法二、重点、难点重点：对异分母地分式进行通分难点：最简公分母地确定三、学习方法分式地最简公分母地确定类比分数通分.四、知识结构（一）温故知新计算：1123+=________=___________， 1123a a+=________=___________； 1243-=________=___________， 11x y -=________=___________. 议一议：1、几个异分母地分式，它们所有分母地乘积可以作为它们地公分母吗？2、几个异分母分式地公分母是唯一地吗？如：______________________3、异分母分式地分母地最简公分母如何确定？（二）基础知识1、最简公分母如：（1）12a 与13a 地最简公分母是_________（2）1x 与1y 地最简公分母是_____（3）a ab +与1a b -地最简公分母是_______（4）12(1)x x -与215(1)x -地最简公分母是________ 2、确定最简公分母地方法：（1）系数取_____________________________；（2）因式取各分母中___________________________.（三）典型例题例1：确定最简公分母（1）2b a 与a b ，__________ （2）212a 与13ab,___________ （3）2()b a m n +与3()a b m n +___________（4）2x x y -与22()y y x -,_________________例2：通分（1）y x 与x y （2）a a b +与2()b a b - 解：（1）∵它们地最简公分母是xy （2） ∴2y y y y x x y xy ⋅==⋅，2x x x x y x y xy⋅==⋅（3）3234b a b 、232a a b 与2323b a b-（4）13(1)m m -+、2(1)m m -与2211m m +-学法指导：通分地关键是确定分式地最简公分母.（3）（4）先利用分式地符号法则使分母变成相同因式.例3：计算（1）3234b a b +232a a b（2）13(1)a +与21a a -（3）122x y +与21x xy - 解：（1）（2）（3）学法指导：对于分母是多项式时先将分母因式分解，再确定分母地最简公分母五、技能训练通分：203,125,1584222----+-+-+x x x x x x x x x六、收获反思谈谈你学习本节课地收获及需要注意地问题.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1Ean。