中考数学一轮复习代数部分专题22：二次根式的概念(教师用,附答案)

中考数学一轮复习代数部分专题22：二次根式的概念

必考知识点：

数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。

必考例题：

【例1】填空题：

（1）()2

3-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；25-的算术平方根是 ；38的立方根是 。

（2）若2

2-是a 的立方根，则a ＝ ；若b 的平方根是±6，则b ＝ 。 （3）若x 21-有意义，则x ；若3

21-x 有意义，则x 。 （4）若02=+m m ，则m ；若()13312-=-a a ，则a ；若12-=a a ，则a ；若()1

11--+x 有意义，则x 的取值范围是 ； （5）若x -2有意义，则

()22x -＝ 。 （6）若a ＜0，则a a -2＝ ；若b ＜0，化简b a b ab a 32+＝ 。

答案：（1）3±，2，

51，32；（2）42-，6；（3）x ≤21，x ≠2； （4）m ≤0，a ≥3

1，a ＜0，x ≥－1且x ≠0；（5）x -2； （6）a 2-，ab ab 2-

【例2】选择题：

1、式子1

313--=--x x x x 成立的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤1 C 、1≤x ≤3 D 、1＜x ≤3

2、下列等式不成立的是（ ）

A 、()a a =2

B 、a a =2

C 、33a a -=-

D 、a a

a -=-1 3、若x ＜2，化简()x x -+-322的正确结果是（ ）

A 、－1

B 、1

C 、52-x

D 、x 25-

4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（ ）

A 、ax x -

B 、ax x --

C 、ax x

D 、ax x -

答案：DDDA

【例3】解答题：

（1）已知51

=-a a ，求a

a 1-的值。 （2）设m 、n 都是实数，且满足224422-+-+-=

m m m n ，求mn 的值。 分析：解决题（1）的问题，一般不需要将a 的值求出，可将51=-

a a 等式两边同时平方，可求得31=+a a ，再求41122-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值，开方即得所求代数式的值；题（2）中，由被开方数是非负数得2±=m ，但分母02≠-m ，故2-=m ，代入原等式求得n 的值。

略解：（1）由51=-a a 得：71=+a a ，4541122=-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 故531±=-

a

a （2）⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-≥-02040422m m m 解得2-=m ，21-=n ∴mn ＝1

探索与创新： 【问题一】最简根式()y x y x -+221与()62123+-+y y x 能是同类根式吗？若能，求出x 、y 的值；若不能，请说明理由。

分析：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，不是同类二次根式。

略解：假设他们是同类根式，则有：

()()⎪⎩

⎪⎨⎧-+=++=-23621221y x y x y y x 解得⎩⎨⎧-==21y x 把⎩⎨⎧-==2

1y x 代入两根式皆为1-无意义，故它们不能是同类根式。

【问题二】观察下面各式及其验证过程：

（1）3

22322+=

验证：3221

22)12(2122)22(3232222233+=-+-=-+-== （2）8

33833+= 验证：8331

33)13(3133)33(8383322233+=-+-=-+-== （3）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想15

44的变形结果并进行验证； （4）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。 分析：本题是一道常见的探索性题型，通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析，类比得出用n 表示的等式：1

122-+=-n n n n n n 解答过程略。

跟踪训练：

一、填空题：

1、()221-的平方根是 ；81

49的算术平方根是 ；3216-的立方根是 ； 2、当a 时，23-a 无意义；322x x

+-有意义的条件是 。

3、如果a 的平方根是±2，那么a ＝ 。

4、最简二次根式b a 34+与162++-b b a 是同类二次根式，则a ＝ ，b ＝ 。

5、如果b a b b ab b a )(2322-=+-，则a 、b 应满足 。

6、把根号外的因式移到根号内：a 3-＝ ；当b ＞0时，

x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。

7、若04.0-=m ，则22m m -＝ 。

8、若m ＜0，化简：3322m m m m +++＝ 。

二、选择题：

1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）

A 、±1

B 、0

C 、1

D 、0和1

2、在316x 、3

2-、5.0-、x a 、325中，最简二次根式的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3、下列说法正确的是（ ）

A 、0没有平方根

B 、－1的平方根是－1

C 、4的平方根是－2

D 、()2

3-的算术平方根是3 4、164+的算术平方根是（ ）

A 、6

B 、－6

C 、6

D 、6±

5、对于任意实数a ，下列等式成立的是（ ）

A 、a a =2

B 、a a =2

C 、a a -=2

D 、24a a =

6、设7的小数部分为b ，则)4(+b b 的值是（ ）

A 、1

B 、是一个无理数

C 、3

D 、无法确定

7、若121

+=x ，则122

++x x 的值是（ ） A 、2 B 、22+

C 、2

D 、12- 8、如果1≤a ≤2，则2122-++-a a a 的值是（ ）

A 、a +6

B 、a --6

C 、a -

D 、1

9、二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x

1；⑤75.0中最简二次根式是（ ）

A 、①②

B 、③④⑤

C 、②③

D 、只有④

三、计算题：

1、259

0121.0÷-；

2、221237-；

3、()1

021*******

-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+。 四、若a 、b 为实数，且b ＜222+-+

-a a ，化简：a b b b 244212++--。 五、如果13的小数部分是a ，

a 1的小数部分是

b ，试求b 的值。 六、已知342--+=b a a A 是2+a 的算术平方根，9232-+-=b a b B 是b -2的立方根，求A ＋B 的n 次方

根的值。

七、已知正数a 和b ，有下列命题：

（1）若2=+b a ，则ab ≤1；