机械加工生产7种产品

机械加工生产计划问题
摘要
本文主要是利用全局最优和局部最优思想，建立优化模型，并借助于Lingo软件求出结果。

在第一问中，我们求得了最终的生产、库存、销售计划，并以表格的形式附在第一问的模型求解里，求得的总利润为41464元。

第二问我们利用了灵敏度分析法来求解，并在考虑到每月的最大生产量和现在的市场销售上限，综合考虑，得到了具体的每个月份每种产品需要提高销售量上限及其提高幅度。

第三问我们在第一问算出的结果上，考虑到影响因子（各机床设备）对每月每种产品的生产能力的影响程度的大小，综合分析，最终得到了需要购置的设备及其优先顺序。

第四问我们主要考虑的是局部最优问题，即考虑到每月的设备能力都尽可能的能满足各产品当月的生产能力，在此基础上得到了一个新的设备检修计划，经计算，此时的总利润为49646元，比第一问的结果多出8182元，符合题意要求。

第五问是在第四问分析的基础上，综合考虑各条件的情况下，编出新的程序，并借助于Lingo软件求的最终总利润为元。

最后本文还对体中的模型进行了优缺点分析，并对模型进行了进一步讨论。

关键词：灵敏度分析；线性规划；计划；设备工时；影响因子
一、问题重述
机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。

该厂拥有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。

这五种设备共同完成七种产品从一月份到六月份的生产，并且这期间设备需要有检修计划，每个月各种产品的销售是有上限的，每种产品的库存量有限，工作时间有限，根据这些情况
（1） 制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大 （2） 在不改变以上计划的前提下，哪几个月中哪种产品的销售上限可以提高已达到增
加利润的目的。

销售上限提高的幅度是多大
（3） 哪些设备的能力应该增加请列出购置新设备的优先顺序。

（4） 是否可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润提出一个新的检修计划，是原
来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。

（5） 对上述生产计划问题，构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中各设备的
检修台数满足题中的要求而使利润为最大。

二、问题假设
1. 每天每台机器从工人工作的同时开始工作，即机器工作时间和工人工时相等，并且当月所有不需要检修的机器在工作中不会出现故障，影响生产。

2. 每月所能生产的产品必须在当月完成，即当月生产无半成品。

3. 产品库存费用按月结算，并在月底结算。

4. 如果产品在上月有剩余，则该产品的库存量在下一月的销售中优先售完。

5. 当月生产的产品量在不超过销售量上限时，该产品均能销售出去。

6.不考虑检修设备所需要的维修费用和设备在运行中所花费的用电等费用。

三、符号表示
(1,2,7;1,2,,6)ij x i j ==K K 表示第i 种产品在第j 月的生产件数 (1,2,7;1,2,,6)ij c i j ==K K 第i 种产品在第j 月的库存件数 (1,2,7;1,2,,6)ij n i j ==K K 第i 种产品在第j 月的销售量 (1,2,,6)j m j =K 每月销售产品的净利润
(1,2,,7)pi i =K 每种产品的单位利润 (1,2,6)j d j =K 每月需要检修的机器数量
M 为六个月总利润
四、模型建立
1.
6
1
j
j M m ==∑
St 67
7
1
1
1
(0.5)j i ij
ij j i i m p n
c ====
-∑∑∑
(1)ij ij i j ij n x c c -=+-
ij ij n t <=
,,ij ij ij x n c >=0,且均取整 (1,2,,5)ij c j =K <=100
650i c =
1256710.5*0.7*0.3*0.2*0.5*j j j j j j x x x x x t ++++<= 124620.1*2*0.3*0.6*j j j j j x x x x t +++<= 123730.2*6*0.8*0.6*j j j j j x x x x t +++<=
1245740.05*0.03*0.07*0.1*0.08*j j j j j j x x x x x t ++++<=
35750.01*0.05*0.05*j j j j x x x t ++<=
2.在第一问的程序上去除限制条件
,,ij ij ij x n c >=0,且均取整
其他限制条件不变
5．
6
1
j
j M m ==∑
St 6
7
7
1
1
1
(0.5)j i ij ij j i i m p n
c ====
-∑∑∑
(1)ij ij i j ij n x c c -=+-
ij ij n t <=
,,ij ij ij x n c >=0,且均取整 (1,2,,5)ij c j =K <=100
650i c =
1256710.5*0.7*0.3*0.2*0.5*16*24*(4)j j j j j j x x x x x d ++++<=-
124620.1*2*0.3*0.6*16*24*(2)j j j j j x x x x d +++<=- 123730.2*6*0.8*0.6*16*24*(3)j j j j j x x x x d +++<=-
1245740.05*0.03*0.07*0.1*0.08*16*24*(1)j j j j j j x x x x x d ++++<=-
35750.01*0.05*0.05*16*24*(1)j j j j x x x d ++<=-
五、模型求解
1. 根据此模型，应用lingo 软件对其进行求解，求得M 的最优值为41464元，并 最优解得到六个月的生产、库存、销售计划，见表2。

表1 每种机床每月总工时（小时/月）
2.在不改变以上计划的基础上，对第一问的模型做适当改写，对求得的最优解进行灵敏度分析，得到对应的分析表，查资料可知DUAL PRICS下给出了每个参数在最优解下“资源”增加一个单位时“效应”的增量，这个增量称为影子价格。

而且影子价格的作用是有限的，在CURRENT RHS下给出了在影子价格有意思条件下约束的限制范围。

将每月产品的销售量与销售上限做比较，并考虑每月可生产每种产品的最大限度，分析在允许范围内有哪些产品可以增大销售上限，并且在不影响总利润的情况下，也就是改变销售上限以增大销售量，增加影子价格，并在允许范围内进行改变，在此基础上并综合考虑当月的生产量，最总得出每月应该提高的销售量上限，以及该上限提高的幅度，见表3。

3．我们在本文中，把设备看做影响因子，即设备对每月每种产品的生产量的影响，结合第一文中所求得的各计划量，对应进行综合分析，从而得出了影响因子对该产品在该月的生产量上的影响程度，并由影响程度的大小得出哪些设备应该增加及其购置的优先顺序。

见表4
4. 在此问的求解中，我们用局部最优思想依每月来分别考虑，即让当月在排除需检修的设备的基础上，使得各产品的生产量都尽可能的达到当月的市场销售上限，并用次思想利用工时的不等式关系，从而得到一组新的设备检修计划，见表5。

表5 设备维修计划（台/月）
5.本小题我们在第四问分析的基础上，并对第一文的模型做适当改写，从而得出最的最大利润，把程序输入Lingo中，得到的最大利润为元，相应的设备检修台数及其月份见表6。

表6 设备维修计划（台/月）
六、模型分析与检验
第一问中求出的六个月的生产、库存、销售计划，并与题意相结合分析，认为得出的结果是较为准确的。

第二问的意思就是在满足题意的基础上，做到当月的库存量尽可能的少，从而使销售量增加，做到利润的最大化。

比如：如果让产品一在一月份的销售量提高一百件，从而求得的总利润为42514元，比没提高时的总利润多1050元，从而可说明此模型正确。

第三问我们考虑的是影响因子（设备能力）对每种产品在每月的生产量的影响程度不同，并在此基础上综和考虑各因素，而求得结果，认为得到的结果是较为准确的。

第四问我们是在对局部最优思想的应用的基础上，并且考虑了检修设备对生产量的影响等因素，从而得出一种新的设备检修计划，我们在此种新的设备检修计划的条件下，对第一问的模型作相应的调整，并应用Lingo软件得出此时的总利润为49646元，比原先的41464元多出了8182元，满足题意中的使利润尽可能增加思想。

第五问也是在第一问模型的基础上，考虑到检修设备的影响因素，从而建立新的模型，并对此模型求解，得出最终的最大利润，由得出的设备检修台数及其检修月份，由表六，并结合题意分析可知，在有的月份检修的设备及其台数对产品没有影响或影响较小，从而说明了此种设备检修计划较为合适。

七、模型优缺点分析
1．模型的优点分析
在题目的求解过程中，运用此模型进行求解，我们能够比较容易的知道编程的错误，有利于我们对模型进行修改，并且思路很开阔，从而借助于此模型我们求出了题目中所要求的问题，而且综合考虑了其它结果，从而对每一问的解题过程都能得出比较正确的结论。

2．模型的缺点分析
在模型的编程中，我们体会到了这样编出的程序所花费的篇幅较大，时间较长，由于费时费力，在比赛过程中影响做题的速度，从而影响成绩，而且此模型不利于推广应用，今后应该对模型作修改完善。

参考文献
［1］陈东彦，李冬梅，王树忠．数学建模．北京：科学出版社，2007．12
［2］刘凤秋，李善强，曹作宝．数学实验．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010．6［3］李秀珍，庞常词．数学实验．北京：机械工业出版社，
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