数值传热学总结

1. 质量守恒方程：单位时间内微元体中流体质量的增加=同一时间间隔内流入该微元体的净质量
2. 动量守恒方程：微元体中流体动量的增加率=作用在微元体上各种力之和
3. 能量守恒方程：微元体内热力学能的增加率=进入微元体的净热量+体积力与表面力对微元体做的功
4. 控制方程的通用形式：
展开形式：
5. 控制方程的守恒与非守恒形式对比：1.从微元体的角度，控制方程的守恒形式与非守恒形式是等价的，都
是物理的守恒定律的数学表示。

2.从数值计算的观点，守恒型的方程有两个优点。

A 守恒型的控制方程可以使激波的计算结果光滑而且稳定，而应用非守恒型方程时激波的计算结果会在激波前及后引起解的振荡，并导致错误的激波位置。

B 只有守恒型的控制方程才可以保证对有限大小的控制容积内所研究的物理量的守恒定律仍然得到满足。

6. 初始条件是所研究现象在过程开始时刻的各个求解变量的空间分布，必须予以给定。

对于稳态问题不需
要初始条件。

边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其一阶导数随地点及时间的变化规律。

7. 二维稳态层流控制方程：
质量守恒方程：
0=∂∂+∂∂y
v x u
动量守恒方程：
)(
1)()(2
2
2
2
y
u x
u x
p
y vu x uu ∂∂+
∂∂+∂∂-
=∂∂+
∂∂νρ
)(
1)()(2
22
2y
v x
v y
p
y
vv x uv ∂∂+
∂∂+∂∂-
=∂∂+∂∂νρ
能量守恒方程：)()()(2
2
22
y
T x
T a y
vT x
uT ∂∂+
∂∂=∂∂+
∂∂
8. 偏微分方程的三种类型：双曲型b2-4ac>0，过该点有两条实的特征线；
抛物型b2-4ac=0过该点有一条实的特征线；椭圆型b2-4ac<0过该点没有实的特征线。

9. 椭圆型方程：描写物理学中一类稳态问题，这种物理问题的变量与时间无关而需要在空间的一个闭区域
内来求解。

这类问题又称边值问题。

稳态导热过程，有回流的流动与对流换热都属于椭圆型问题，其控
制方程都是椭圆型的。

抛物型方程描写物理学中一类步进问题，这类问题中因变量与时间有关，或问题中有类似于时间的变量。

因而又称初值问题。

其求解区域是一个开区间，计算时从已知的初值出发，逐步向前推进，一次获得适合于给定边界条件的解，这种数值求解方法称为步进法。

一维非稳态导热是关于时间的步进问题，边界层型的流动与换热则是主流方向的步进问题。

双曲型方程：物理学中的波动方程，空气动力学中的无粘流体稳态超音速流动及无粘流体的非稳态流动，都是双曲型问题。

10. 如果所研究的问题中有一个空间坐标是单向的，就称这种流动或换热是边界层型的问题（抛物型方程）；
如果所有的空间坐标都是双向的，就称为回流流动（椭圆型方程）。

11. 数值传热学（Numerical Heat Transfer, NHT ）又称计算传热学（Computational Heat Transfer ，CHT ）是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法通过计算机予以求解的一门传热学与数值方法相结合的
交叉学科。

12. 数值传热学求解问题的基本思想是：把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场
等），用一系列有限个离散点（称为节点，node ）上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散
点上变量值之间关系的代数方程（称为离散方程，discretization equation ），求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似值。

用框图表示：建立控制方程、确定初始条件与边界条件~~划分子区域，确定节点（区域离散化）~~建立离散方程（方程离散化）~~初始与边界条件离散化~~求解离散方程~~解收敛否~~解的分析
13. 在流动与传热计算中应用的求解方法有：有限差分法（finite difference method ，FDM ），有限元法（finite
element method ，FEM ），有限容积法（finite volume method ，FVM ），有限分析法（finite analytic method ，FAM ）。

14. 区域离散化（domain discretization ）的实质：就是用一组有限个离散的点来代替原来的连续空间。

一般的
实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互补重叠的子区域（sub-domain ），确定每个子区域中的节点
位置及该节点所代表的控制容积（control volume ）。

四种几何要素：节点、控制容积、界面、网格线。

15. 如果按每一时层的初始时刻之值来计算，所形成的离散方程称为显式；如果按每一时层的终了时刻之值
计算，就得全隐格式。

16. )()('0
10h o h
f f x f +-=
)()('2
1
10h o h
f f x f +-=
-
)(234)('2
120h o h f f f x f +-+-=
)(1288)('4
2
1120h o h
f f f f x f ++-+-=
--
17. )(2)(''2
120h o h
f f f x f ++-= )(2)(''2
2
1
010h o h
f f f x f ++-=
-
)(254)(''2
2
1230h o h
f f f f x f ++-+-=
)(12163016)(''4
2
2
10120h o h
f f f f f x f +-+-+-=
--
17. 常微分方程求解：mx ’’+bx ’+kx=0 矩阵A=0，1，-k/m ，-b/m ，/A-拉姆大I/=0 t
t
e
c e
c x 2121λλ+=
18. 定解条件：这些使微分方程获得适合某一特定问题的特定条件。

对于非稳态导热问题，定解条件有两个
问题：一个是绘出初始时刻温度分布的初始条件，另一个是绘出导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。

常见的边界条件分为三类：给定边界上的温度值称为第一类边界条件；给定边界上的热流密度值称为第二类边界条件；给定边界上物体与周围流体间的换热系数及周围流体的温度称为第三类边界条件。