巧用几何画板探索椭圆轨迹

（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
Ｙ ￣ ＋Ｙ ｚ
—
，
２
２
Ｊ ） ￣ Ｏ Ｆ Ｉ 为直径 的圆 ， 是不是有什么简单的方法能做 出 来 。我有一个很好也很简单 的方法 ： 因为Ｏ Ｍ＿ Ｌ Ａ Ｂ， 所 以Ｉ Ｏ ＭＩ ２ ＋ Ｉ Ｆ ￣Ｉ ２ ＝ １ ０ Ｉ ２ ， 若设 点 的坐标为 （ ， Ｙ ） ， 点 的 坐标 为 ｃ ， ０ ） ， 则 ＋ ＋ （ —
望着投影大屏幕 ， 既不动手 ， 也不说话 。 教师 ： “ 你为什么不动手做 ？” 学生 ： “ 我在想……这个轨迹是一个圆 ，而且是
＝ —
解： 设 （ Ｙ ） ， Ｂ（ ｘ ２ ， ｙ ２ ） ， ｅ （ ｘ ， ） ， ） ， ｃ ＿ 、 衙
Ｘｌ ＋ Ｘ２
—
， 则
，
ｖ＝ —
的方 程 ？
“ Ａ、 两 点 在 哪 ？满 足 什 么 方 程 ？ ”
“ 在椭圆上， 满足６ ＋ 而 ： ２ ｂ ２ ｘ ｉ ＋ ａ ２ ￣ ＝ ａ ２ ｂ 。”
“ 知 道 怎样 求 Ｙ ｌ － ｙ ２ ＴＬ ｑ ？”
ＸＩ －Ｘ２
学生们埋头进行 着复杂 的运算 。其 中一 个学 生
ｃ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因为点Ａ、 Ｂ 都在椭 圆上 ，则６ ＋ Ⅱ ＝ ａ ２ ｂ ２ ｂ ： ｘ ｉ ＋ ａ ２ ￣ ＝ ａ ２ ｂ ，
两 式相减 得ｂ （ 一 ２ ） （ 。 ） ＋ （ ｙ ， — ｙ ２ ） （ ｙ 。 ＋ ｙ ２ ） ：
０，
） ： ＋ ＝ ｃ ， 即（ 一 ） ： ＋ ＝ （ ） ｚ 。这就是所求的轨迹
考点聚焦
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巧用几 何画板探索椭圆轨 迹
● 王 庆 二
研 究 性 学 习 是 指 学 生 在 教 师 的指 导 下 ，从 学 生 轨 迹 ２ 如 图３ ， 求 弦Ａ 口中点 尸 的轨迹方程。”
，
生活和社会经验 出发 ， 选择和确定研究专题 ， 仿 照科
学 研 究 的方 法 和 过 程 ， 主 动地 获 取 知 识 ， 并应用知识 来解决 问题 的学 习活动 。 其特点是 内容强调开放性 ， 学 习强调 主体性 ， 注重学 生之 间合作学习 ， 讲求体验 式、 活动化。 下 面通过对一个数学 问题的探索 ，谈谈 我的一 点 体会 。 教师 ： “ 求 曲线 的方 程 、通 过 方 程 研 究 曲 线 的 性 质 是 解 析几 何 的 两大 主要 问题 。今 天 与 同 学 们讨 论 个问题 ： 怎样探索点的轨迹。” “ 问题 是 数 学 的心 脏 ， 思维 从 问题 开 始 。我 们 先
０ ） 的左焦点 作弦 Ｂ 。 现在来研究焦点弦Ａ Ｂ 有关 的
问题 。
轨 迹１ 过原 点０ 作弦Ａ曰 的垂线 ，垂足为 ， 求 点 Ｍ的轨 迹 方 程 。”
Ｔ
。
“ 如何将Ａ、 Ｂ、 Ｐ、 Ｆ １ 这 四点的坐标联系起来 ？” “ 利用直线 的斜率。” “ 直线Ａ Ｂ 的斜 率怎样表示 ？”
学 生 Ａ： “ 因 为 直线 Ａ Ｂ 经 过 点 ，可 以 设 直 线Ａ Ｂ 的方程 为， ， ＝ ｋ （ Ｘ ＋ Ｃ ） ， 与 椭圆方程联 立解方程 组得 出
④
考 点 聚 焦
关于函数定义域的若干问题
“ 啊 ！这 么简单？” 同学们都惊讶起来 。
马 上 又 有 一 个 学 生说 ： “ 大 家都 被 椭 圆这 个 外 表 给迷 惑住 了。其实这个问题只与原点和点 的坐标 有关 ， 而 与 椭 圆 的 弦无 任 何 联 系 。 就 是 ‘ 给定两点０ 与 ， 过这两点作两条互相垂直 的直线 ， 求交点 的轨 迹方程 ’ 。这当然很容 易解得 。” 教师 ： “ 很好 。 刚才同学们讨论得很不错。 在探求 点的轨迹时 ，一定要注意设法找出动点所满足 的几 何条件 ， 寻找动点与不 动点之 间的几何关系。 平面几 何的有关结论对求点的轨迹很有用 处。下 面我们将 问题 改变 一 下 ：