帕累托索赔分布中风险参数的经验贝叶斯估计

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操作风险损失的广义帕累托分布参数估计及其应用

业银行１９～２０９４０８年的操作风险损失数据对经济资本配置进行了算例分析。
关键词：值定理；义帕累托分布；数估计；作风险损失；济资本极广参操经
中图分类号：８０Ｆ３文献标识码：Ａ文章编号：０３２７２１）６０２４１０ —７Ｉ（ＯＯ —０２一Ｏ０
二、作风险损失的尾部分布和参数的确定操
研究表明：极值理论方法比其他方法更准确地描述序列分布的尾部特征，是一种比较准确的分位数预测工具，其是仅采用较少的样本便能计算出比较尤准确的ＶａＲ值［］国内不少学者对风险计量以及４。利用极值理论进行风险计量作了有益的研究。彭建刚等利用有序多分类Ｌｇｓｉ型测量违约概ｏｉｃ模ｔ率［，６周好文等对应用极值理论度量金融风险进行］了实证研究［，加山等对极值理论中阈值选取进７宋］行了研究［，８高洪忠对广义极值理论和它对金融风］
果，均余值函数法和Ｈｉ估计法是广泛接受的方平ｌｌ
法。而位置参数和尺度参数ａ的估计尚未有可以
以第一极值定理为重要结论的极值理论。Ｐｃｉ—
ｋｎｓＢｌｅ — ａａｄ，ａｋｍａＤｅＨａｎ证明了第二极值定理，得到了来自同一总体的简单随机样本，只要选择的临界值ｕ足够大，超过该临界值的样本点近似地服从参数为 ∈ ６，的广义帕累托分布］自Ｊｎｉｓｎ，。ｅｋｎｏ（９５把极值理论应用于风险研究以来［，１５）３极值理］论开始逐步在保险和金融领域中广泛应用。Ｂｋ— ｅｉ

帕累托效率准则

帕累托效率准则
帕累托效率准则（Pareto Efficiency Criterion），也称为帕累托最优（Pareto Optimality），是一种经济学和社会科学中常用的概念，用于评估资源分配的效率和公平性。

根据帕累托效率准则，如果可以通过重新分配资源来改善至少一个个体的状况，而不会使其他个体的状况变差，那么现有的资源配置就不是帕累托最优的。

简而言之，帕累托最优意味着无法通过改变资源分配来使任何一个人或群体得到更多福利，而不损害其他人或群体的利益。

帕累托效率准则是基于帕累托原理提出的。

帕累托原理认为，资源应当合理分配，以使得至少有一个人能够得到改善，而其他人不会因此变得更差。

该原理强调了在资源分配中要追求效率和公平的平衡。

在经济学中，帕累托效率准则常用于评估市场经济中资源配置的效率和公平性。

在这种情况下，帕累托最优的资源配置意味着资源在市场经济中得到了有效配置，没有浪费和资源的未充分利用。

需要注意的是，帕累托最优并不意味着完全的平等或公平。

资源分配可能会导致不平等，但只要没有办法改善一个
人或群体的状况而不损害其他人或群体的利益，这种分配仍然可以被认为是帕累托最优的。

总而言之，帕累托效率准则是用于评估资源分配效率和公平性的重要标准，强调资源配置改善一个人或群体的情况时，不会使其他人或群体变得更差。

帕累托法则作法及其案例

帕累托法则作法及其案例帕累托法则是一种常用的管理工具，用于帮助决策者优化资源的分配和管理。

这个法则的核心思想是，少数关键因素决定了大部分结果，因此，我们可以通过集中资源于那些关键因素上，最大化整体效果和效益。

本文将详细介绍帕累托法则的基本概念、具体作法和相关案例。

帕累托法则，又称20/80法则，得名于意大利经济学家瓦尔弗多·帕累托(Vilfredo Pareto)。

他在19世纪末发现，意大利的土地分配中有80%的土地归属于20%的人口，这个观察启发了他对不平等现象的研究。

后来，这个法则被扩展到了其他领域，成为一种普遍适用的规律。

1.20/80分配规律：帕累托法则认为，在资源分配中，约20%的因素决定了约80%的结果。

这个观察和分析可以帮助我们识别那些具有重要影响力的少数因素。

3.理性决策支持：通过使用帕累托法则，决策者可以更加理性地进行决策。

他们可以更准确地了解到底哪些因素是关键的，从而更明智地投资和分配资源。

那么，如何应用帕累托法则呢？下面是几个具体的作法和案例：1.数据分析：帕累托法则的应用需要基于数据的分析。

我们可以通过搜集和整理大量的数据，然后根据帕累托法则进行统计和分析。

通过这样的方式，我们可以找出哪些少数因素对于结果的影响最大。

2.重点优化：通过帕累托法则的分析，我们可以识别那些关键的因素。

然后，我们可以制定优化方案，集中资源在这些因素上，以获得最大化的效果。

例如，在销售管理中，我们可以将更多的资源投入到那些带来最多利润的客户上。

3.效益评估：帕累托法则可以帮助我们识别和评估资源的效益。

通过深入分析和评估，我们可以找到那些带来最高效益的决策和操作，并及时调整和优化资源的分配。

例如，在生产管理中，我们可以通过帕累托法则找出产生最高利润的产品，并合理配置生产资源。

现在，让我们来看一些具体案例，以更好地理解帕累托法则的应用。

案例一：销售管理一个公司发现，他们的80%的销售额是由20%的客户贡献的。

基于贝叶斯估计的商业银行操作风险计量与管型

∑ ∑ ）１
（）３
由看，验布从Ｇ｛ｎ｝验数此出后分服ａ【，ｏ ∑ ，参＋后
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数据与高频低危的银行内部损失数据相结合针对这一不分别为
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表１频度分布参数估计结果
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和Ｗｔｈｉｈ等研究了操作风险的贝叶斯模型的构建．基ｉｒｔｃ对
于贝叶斯估计的操作风险高级计量法进行了有益的探索。
二、计量方法
．
分布。然后利用蒙特卡洛模拟，据得到某商业银行内部根
基于Ｂｙｓ计的操作风险高级计量模型是通过计ａｅ估算损失强度和损失频度来测量操作风险。用贝叶斯估计使
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第二十五章帕累托最优分析

第二十五章帕累托最优分析帕累托最优分析（Pareto efficient analysis）是一种经济学工具，用于评估资源配置的效率和公平性。

这个分析方法以意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）的名字命名，他提出了一种理论，即在其中一种资源配置下，不能改善一些人的境况而不损害其他人的境况。

帕累托最优分析可以通过图表来进行展示，常用的图表是帕累托前提图（Pareto chart）。

帕累托前提图将资源配置的效率和公平性进行可视化表达，横坐标表示不同的资源配置方案，纵坐标表示每个方案的效率或公平性指标。

在帕累托最优分析中，我们追求的是达到帕累托最优状态。

帕累托最优状态是指在资源配置中，无法通过改善一个人的境况而不损害其他人的境况。

简单来说，就是不能有一种资源配置方案，存在一种替代方案可以让一些人获得更多的好处而不损害其他人。

通过帕累托最优分析，我们可以得出以下几点结论：1.帕累托最优状态可以同时实现资源配置的效率和公平性。

当资源配置方案达到帕累托最优状态时，即没有改善一个人的境况而不损害其他人境况的可能，可以认为这种资源配置方式既具有最高的效率，也具有较高的公平性。

2.帕累托最优状态不一定是最理想的状态。

虽然帕累托最优状态具有高效率和公平性的特点，但是它并不一定是社会最理想的状态。

在实际应用中，还需要考虑其他因素，如社会的价值观、政府的政策目标等。

3.帕累托最优分析可以用于评估资源配置的效果和改进方向。

通过对不同资源配置方案的帕累托最优分析，可以评估当前资源配置的效果，并提出改进方案。

例如，在一个资源配置方案中，可以通过增加其中一种资源的分配量来提高效率，或者通过减少不公平的因素来提高公平性。

帕累托最优分析在经济学和社会学领域有着广泛的应用。

在经济学方面，帕累托最优分析可以用于评估市场竞争的效果和政府的干预措施。

在社会学方面，帕累托最优分析可以用于评估社会福利和资源分配的公平性。

Pareto风险模型中分位数保费的贝叶斯估计

Pareto风险模型中分位数保费的贝叶斯估计魏斯怡;章溢;温利民【摘要】分位数保费原理是非寿险精算中的一种重要的保费原理,在保险中有重要的应用.建立分位数保费原理的Pareto风险模型,通过引入损失函数,结合一些统计技巧,给出了分位数保费原理下风险保费的贝叶斯保费、贝叶斯估计、极大似然估计以及分位数估计.进而,讨论了这些估计的统计性质.最后,利用数值模拟的方法比较了这些估计的平均误差.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】10页(P60-69)【关键词】分位数保费原理;Pareto风险模型;相合性;渐近正态性【作者】魏斯怡;章溢;温利民【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022;江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022;江西师范大学计算机信息工程学院,南昌330022;江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022【正文语种】中文【中图分类】O211在非寿险精算中，如何为一种保险制定合适的保费是精算师的主要任务之一.在制定保费的过程中，保险公司有两个最为关心的问题，一是如何使征收的保费足够理赔，二是在保费足够理赔的基础上，如何增强保险产品的竞争力.第一个问题是要求保费尽量地高，以使得总的保费收入减去索赔及相关费用后有剩余，保证保险公司的正常利润；而第二个问题则是要求保费尽量低，以使得保险公司有充足的竞争力，在市场竞争中赢得更多的保单.因此，合理的保费定价就显得非常关键.保险公司在厘定费率时，既要考灿总的保费收入，又要考灿投保人的预期保费，以使保费在投保人之间公平分摊.分位数保费原理是一种重要的保费原理，它要求给出的保费小于风险损失随机变量的概率最多不超过某个给定的小概率α.这种保费原理在直观上容易理解，又能满足一些重要的性质，因此在保险精算中经常使用，相关的文献包括Asimit等[1]、欧阳资生[2]、谢佳利等[3].注意到分位数保费原理实际上就是随机变量分布函数的逆分位数，在风险管理中又称为在险价值(Value at Risk，简记为VaR)，是度量风险的一种重要方法.相关的研究包括Gelman等[4]、Szego[5]、Denuit等[6].在非寿险精算中，Pareto分布是刻画具有免赔额保险或再保险最有效的风险模型，可参考Ramsay[7]、Albrecher and Kortschak[8]、Brazauskas and Kleefeld[9]等的研究. Pareto分布是意大利经济学家Vilfredo Pareto在研究经济统计资料时提出来的.随着数学和相关学科的发展，Pareto分布不仅仅应用到经济收入模型中，也应用生物科学、可靠性理论，医学统计等其他模型中.相关研究包括He等[10]、Tudor[11]、Fahidy[12]、Dixit和Nooghabi[13]等的文献.由于Pareto分布具有递减的失效率函数，故常常用来描述个人收入、某种药理过程后病人的存活时间、股票价格波动、保险风险、商业失效等模型. Harris[14]和Arnold[15]对Pareto分布进行了详细的介绍. Pareto分布或与其相近的分布被经济学家Steindl[16]和Hagstroem[17]用来解释一些常见的经济现象.由于风险的非齐次性，Pareto风险模型中的风险参数是不可观测的随机变量.本文把在分位数保费原理下求得的保费称之为分位数保费，由于分位数保费依赖于风险参数，因此风险的分位数保费也是未知的，本文称分位数保费为分位数保费原理下的风险保费.然后需要根据已有信息对之进行估计.在估计风险保费的过程中，有两类信息可用：一类是样本信息，根据风险在若干年的索赔记录得到风险X的样本；另一类风险参数的先验信息，是根据以往的历史资料和先验分布整理得到的.本文主要的目的是建立分位数保费原理的Pareto风险模型，给出风险参数的Jeffrey先验分布，并得到分位数保单原理下风险保费的若干估计，并讨论这些估计的统计性质.本文章节安排如下.第1节给出分位数保费原理的Pareto风险模型；第2节给出分位数保费原理下的贝叶斯保费；第3节得到分位数保费的贝叶斯估计、极大似然估计和分位数估计等其他估计，并证明这些估计的大样本性质；第4节利用数值模拟的方法比较这些估计的均方误差和平均期望损失，并验证估计的收敛速度等. 在保险精算中，常用非负随机变量X表示保单可能导致的索赔.保费定价就是对保单X制定一个合理的价格的过程.定义1.1设X是取值非负的风险随机变量，其分布函数为F(x)，保费原理就是给风险X分配一个实值泛函P(·)，记为：X→P(X)，或F→P(F).对给定的风险X，保险公司自然希望风险总是比保费小，即X≤P.由于X是随机变量，因此在给定的小概率α>0，要求给出的保费满足Pr(X≤P)≥1 -α.(1)然而，在实际中越低的保费就更有竞争力，因此定义风险X的保费P满足称由方程(2)定义保费的方法称为分位数保费原理，而该保费P称为分位数保费，定义分布函数F(x)的广义逆为F-1(u)= inf{x：F(x)≥u}.(3)则分位数保费P是随机变量X在1 -α处的分位数F-1(1 -α)，这正是分位数保费名称的由来.注意到分位数保费(2)是在损失函数下风险X的最优估计.命题1.1若取损失函数(式(4)，下同)，则使期望损失E[L(X，P)]达到最小的估计为F-1(1 -α)，即风险X的最佳估计为分位数保费(2).证明根据最小化问题关于P求极值即可解得.在具有免赔额保险或再保险中，常用Pareto风险模型来刻画保险损失的分布. Pareto风险模型定义为这里d恰为保险的免赔额，一般是已知的.容易得到风险X的密度函数进一步地，令，解得x = dα-1θ，即风险X的分位数保费为P = dα-1θ.在Pareto风险模型中，参数θ刻画了风险X的非齐次性，一般假设为不可观测的随机变量.这时风险X的分位数保费P也是未知的，需要根据已有的信息来估计.为了书写的方便，将分位数保费记为P(θ)表示依赖于风险参数θ，称之为分位数保费原理下的风险保费.一般地，为了估计风险保费P(θ)，假设我们已经对风险X有了若干年的索赔样本X1，X2，···，Xn.另一方面，由于风险的非齐次性，假设已经有风险参数的若干经验资料和经验信息，这些资料形成了θ的某个先验分布π(θ).我们的目标是根据这些信息对分位数风险保费P(θ)进行估计.注意到在Pareto分布中，风险参数θ的信息为则θ的Jeffrey无信息先验分布可取为π(θ)∝[I(θ)]12=1θ.若取θ的先验分布为Γ(β，λ)分布，则Jeffrey无信息先验分布是Gamma分布当β→0后λ→0时的近似；另外，在后面的推导中可以发现，Gamma分布正是帖累托分布的共轭先验分布，这使得风险参数估计有较好的统计性质.关于先验分布的选择问题可参考茆诗松等[18]、Walker[19]等的研究.因此，在下面的讨论中，我们取θ的先验分布为其中，λ>0，β>0为结构参数.为方便，记Xn=(X1，X2，···，Xn)T表示所有的样本信息.我们的目标是根据先验信息和样本信息对分位数保费P(θ)进行估计.为此，定义样本的可测函数类Γ=?g(X1，···，Xn)：其中g(X1，···，Xn)是Xn的可测函数?.若在可测函数类Γ中求解未来一年的索赔Xn+1的最优预测，即求解得到的解称为分位数保费原理下的贝叶斯保费.关于贝叶斯保费的相关的定义及研究可参考B¨uhlmann and Gisler[20]、温利民[21]等的研究.进一步地，若将估计限定在样本的线性函数类中，在损失函数下求解得到的估计称为分位数保费原理下的信度保费，关于信度保费的研究可参考文献[22-24].我们先给出下面的引理，其证明可参考茆诗松等人的研究[18].引理2.1在贝叶斯模型的假设下，最小化问题式(8)的解与的解是等价的.根据引理，容易得到下面的定理.定理2.1在Pareto风险模型中，分位数保费原理下的贝叶斯保费为证明记Π?x|Xn?为给定样本Xn= xn=(x1，x2，···，xn)T下Xn+1的预测分布函数.则在损失函数下，我们求解最小化问题令由于在Xn给定下，gXn是一个固定的常数，记为g.则有对G关于g求导并令导数为0，得到下面的正规方程解得g = g?Xn?=Π-1?1 -α|Xn.由于(X1，X2，···，Xn，Xn+1)的边际分布为则根据条件分布密度公式有因此预测分布函数为令解得因此证明了定理.贝叶斯保费是Xn+1在损失函数下的最优预测，而风险保费P(θ)是在θ给定下Xn+1的估计.但由于风险参数θ是未知的，显然用作为P(θ)的估计是恰当的.我们能证明下面的统计性质.命题2.2贝叶斯保费是风险保费P(θ)的强相合估计，且当n→∞时有证明记容易证明Yi，i = 1，2，···，xn，相互独立同分布服从于指数分布exp(θ).注意到再根据极限的海莱定理及洛比达法则，可得根据连续性定理有因此证明了的强相合性.另一方面，根据独立同分布的中心极限定理，有注意到则根据Slustky定理，有为了符号的方便，记再由Slustky定理可得注意到则令u(x)= dexp(x)是x的可导函数，则根据Cramer定理可得即证明了贝叶斯保费的渐近正态性.在上一节中，我们根据损失函数得到贝叶斯保费作为风险保费的一个估计，显然这个估计满足某种最优性.然而，我们还可以找到一些其他较好的估计.首先，我们给出风险保费的极大似然估计.命题3.3风险保费P(θ)的极大似然估计为其中因此似然函数与对数似然函数分别为证明由于在给定θ下，Xi的密度函数为和因此容易得到θ的极大似然估计为由极大似然估计的不变性可知P(θ)的极大似然估计为命题3.4风险保费P(θ)的极大似然估计MLE是强相合的，且有证明由强大数定律以及连续性定理得令v(x)= dα-x，则v′(x)= -dα-xlnα，因此根据式(17)以及Cramer定理有由风险保费P(θ)的表达式，我们还可以先求出θ的贝叶斯估计︿θB，代入后可得到风险保费的估计P我们称之为P(θ)的贝叶斯估计.命题3.5风险保费P(θ)的贝叶斯估计为︿θB?，其中为θ在平方损失函数下的贝叶斯估计.证明根据贝叶斯定理，在平方损失函数下风险参数θ的贝叶斯估计为后验均值︿θB= E(θ|Xn)；而θ的后验分布π?θ|xn?为因此，θ的后验分布为Γ?λ+ n，β+ nY?.则θ的贝叶斯估计为风险保费P(θ)的贝叶斯估计为命题3.6分位数保费原理下风险保费P(θ)的贝叶斯估计BE是强相合的，且证明根据强大数定律容易得到因此根据连续性定理有即证明了贝叶斯估计的强相合性.另外，根据中心极限定理，有注意到则根据Slustky定理，有令r(x)= dα-x，再次运用Cramer定理得上面两个命题说明风险保费的极大似然估计MLE与贝叶斯估计BE都是强相合的，且满足渐近正态性.更加巧合的是，这两个估计与贝叶斯保费具有相同的渐近方差d2ln2α，在这个意义上说，这3个估计是渐近等价的.这3种估计的大样本性质等结论具有合理的一致性，我们认为所得结论是令人满意的，也侧面说明本文假定的分位数保费原理的Pareto风险模型是比较合理的.在统计学中，若利用经验分布函数Fn(x)估计分布函数F(x)，由于P(θ)是F(x)在1 -α处的分位数，则容易得到P(θ)的分位数估计为根θ2α2θ据茆诗松等的研究[18]，得到下面的渐近正态性上面两节分别给出了分位数保费原理下风险保费的几个估计：贝叶斯保费；极大似然估计MLE；贝叶斯估计BE；分位数估计X[n(1-α)]+1.并且证明了这些估计都是强相合并且渐近正态的.注意到贝叶斯保费的渐近方差与分位数估计的渐近方差之比为对α∈(0，1]，定义函数g(α)=αln2α-(1 -α).由于g′(α)= ln2α+ 2lnα+ 1 =(lnα+ 1)2≥0，则g(α)是α的增函数，因此有g(α)<g(1)= 0，即对不同的α值，计算两者的渐近方差得到表1.式(29)及表1说明，分位数估计的渐近方差总是比贝叶斯保费的方差大.因此从这个意义上说，分位数估计相对其他估计是较差的估计.注意到贝叶斯保费、极大似然估计MLE、贝叶斯估计BE的渐近方差是相等的.为了进一步说明这3个估计的好坏以及收敛速度的快慢，我们采用数值模拟的方法进行比较.在下面的数值模拟中，取λ= 1，β= 1/3，d = 1，对不同的样本容量n与α值，在5 000次重复下计算各个估计期望平方损失ESL(Expected Square Loss)和期望损失EL(Expected Loss)，得到表2和表3.从表2和表3中可以看出，在平方损失函数下，贝叶斯估计BE有相对较快的收敛速度，而在损失函数下，贝叶斯保费相对较好一些.但由于3个估计的的平方误差相差较小，特别样本容量较大(n = 100)时，3个估计的收敛性基本达到一致.【相关文献】[1]ASIMIT V A，BADESCU A，VERDONCK T. 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中国准精算师考试A3-试卷

A3 试题
第 9 页（共 19 页）
21. 已知理赔数据样本如下：35，59，79，112，143，202。假设样本来自指数分布，且拟合分布参数用极大似然估计法给出，则假设检验时的 K-S 统计量的值为（ (A) 0.17346 (B) 0.23051 (C) 0.26231 (D) 0.28347 (E) 0.28702 22. 假设机动车辆保险中赔付额服从指数分布。下表中是两个不同品牌的汽车的赔付记录：
f S ( x) 1 k f x 2) 0.72 f x( 0.16fS (x 1) S ( S x
， x 1, 2, 3) ）。
且 E (S ) 1.48 ，则复合泊松模型中泊松参数为（ (A) 0.16 (B) 0.24 (C) 0.38 (D) 0.64 (E) 0.70
l[ x ] l[ x ]1
lx 2
x+2 62 63 64
80625 79137 77575
79954 78402 76770
78839 77252 75578
假设死亡在相邻的两个整数年龄之间服从均匀分布假设，则 1000 0.7 q[ 61]0.6 的值为（ (A) 8.11 (B) 8.12 (C) 8.13 (D) 8.14 (E) 8.15 ）。
2011 年秋季中国精算师资格考试-A3 精算模型
（以下 1-40 题为单项选择题，每题 2.5 分，共 100 分。每题选对的给分，选错或不选的不给分。） 1. 在实验室对 8 只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死亡外，所Βιβλιοθήκη 小白鼠不会退出研究，则有如下数据：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 进入观察时的年龄（月）结束观察时的年龄（月） 0 0 0 0 5 10 15 20 6 27 42 42 60 24 50 23 事件期满生存期满生存死亡死亡死亡死亡期满生存期满生存

2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(2)

2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(2)1、如表所示，对于两减因生存模型，已知：设在年龄阶段[67,68），每一终止原因的终止力为常数，（单选题）A. 0.03B. 0.0543C. 0.15D. 0.64E. 0.9457试题答案：B2、最适合于计算追加筹资决策的加权平均资本成本的方法是（）。

（单选题）A. 净现值法B. 账面价值法C. 市场价值法D. 目标价值法E. 回收期法试题答案：D3、已知一个随机变量u的矩母函数为：M u（t）=（1-2t）-9,t＜1/2，则其方差Var（u）=（）。

（单选题）A. 18B. 36C. 54D. 324E. 360试题答案：B4、按误差数值表示的方法，误差可分为（）（多选题）A. 绝对误差B. 相对误差C. 系统误差D. 引用误差试题答案：A,B,D5、设S（x）是生存函数，则生存函数S（x）的极限年龄ω为（）。

（单选题）A. 121B. 122C. 125D. 128E. 130试题答案：C6、“支付的其他与经营活动有关的现金”项目应反映的项目有（）。

（多选题）A. 罚款支付的现金B. 差旅费支付的现金C. 经营租赁支付的现金D. 融资租赁支付的现金E. 业务招待费支付的现金试题答案：A,B,C,E7、排放污染物超过国家或者地方规定的污染物排放标准的企业事业单位，要依照国家规定激纳超标准排污费，（）。

（单选题）A. 并可继续生产B. 并负责治理C. 并停业整顿D. 并责令转产试题答案：B8、对泊松盈余过程为使破产概率低于α，保险人的安全附加系数θ应定为（）。

（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：D9、备案时不需要提供的材料是（）（单选题）A. 营业执照B. 居民身份证C. 技术设备D. 政审证明试题答案：C10、某保险人承保的损失随机变量X的概率密度函数为：已知的期望值分别为P0与P l，则P0+P1=（）。

（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：D11、PMK可编程序调节器的输出（MV）极性选择开关的作用是（）。

方差相关保费原理下风险保费的经验贝叶斯估计

方差相关保费原理下风险保费的经验贝叶斯估计
经验贝叶斯估计法（EBE）是一种用于估计风险保费的方法，它基于方差相关保费原理。

本文旨在探讨经验贝叶斯估计（EBE）法在风险保费估计中的应用。

一、什么是方差相关保费原理？
方差相关保费原理是指，将每项保险的保费计算，通过与其他费用项目比较，以便根据影响因素的变化，调整风险的费用，以便使费用总体在风险发生变化的情况下保持稳定。

二、经验贝叶斯估计（EBE）法的特点
由于EBE法是一种无统计模型的非参数方法，它综合考虑保险收费与预期损失之间的相关关系，以及损失模式的先验信息，可以在模型复杂度和信息输入方面有效优化风险管理。

三、经验贝叶斯估计（EBE）法在风险保费中的应用
1. EBE法可以提高保险公司预测损失的准确性，从而改善预期损失和保险费率分配的一致性。

2. EBE可以根据不同的损失模式（出险率，损失类型和损失数）有效估计损失模型，因此可以更好地实施风险调整。

3. 通过EBE法，保险公司可以更方便地向客户提供更佳的定价服务。

4. EBE法还有助于提升风险管理的效率，从而降低综合损失。

四、结论
经验贝叶斯估计法（EBE）是一种用于估计风险保费的有效方法，它有助于保险公司预测损失的准确性，并且可以更有效地改善预期损失的分配，更好地实施风
险调整，更方便地向客户提供定价服务，以及提升风险管理的效率，从而降低综合损失。

广义帕累托分布的应力-强度可靠性的贝叶斯估计

２０１５年３月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版M a r．２０１５第３２卷第１期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３２N o．１文章编号:１００１Ｇ８７４３(２０１５)０１Ｇ０００７Ｇ０６广义帕累托分布的应力－强度可靠性的贝叶斯估计∗李建波,韦程东,高小琪(广西师范学院数学与统计科学学院,广西南宁５３００２３)摘㊀要:基于不同形状参数的广义帕累托分布,讨论应力－强度参数的贝叶斯估计．通过模拟得出在平方损失函数和０－１损失函数下的贝叶斯估计值比较相近;有先验信息条件下的贝叶斯估计的均方误差值低于无信息先验条件下的贝叶斯估计的均方误差值．关键词:广义帕累托分布;应力－强度;贝叶斯估计中图分类号:O２１３㊀㊀文献标识码:A１㊀引㊀言１９７５年P i c k a n d s在文献[１]首次引入广义帕累托分布,它是帕累托分布的一种推广．近年来该分布广泛应用于现代城市人口㊁股票价格涨幅㊁商业失效㊁保险风险㊁江河流量和某种药理过程后病人的存活时间㊁工程机械等领域．工程机械中的应力指的是引起失效的负荷,强度指的是抵抗失效的能力．在应力强度干涉模型中的可靠性是指强度大于应力的整个概率值．用一个随机变量X表示系统的强度,此系统受制于用另一个随机变量Y表示的压力时,此时常用参数R＝P(Y＜X)表示系统的可靠性．可靠性参数R是衡量系统性能的一个重要指标．由可靠性参数R＝P(Y＜X)可知,当施加给系统的压力大于系统承受的强度时,系统将会发生故障,即为失效．当应力小于强度时,系统正常工作,参数R的值即为系统发生故障的概率值．在机械可靠性系统的文章中都会提及可靠性参数R．自从H a r r i s首次提出应力强度模型后,众多数学及工程学学者分别从参数和非参数的角度研究系统可靠性,得到了很多有意义的结果．２００３年K o t z在[２]中提供了一种综合处理不同应力强度模型的方法,使得该模型的理论研究越来越深入．２００５年K u n d u与G u p t a[３]研究了广义指数分布的应力强度的可靠性;２００５年R a q a b与K u n d u在文献[４]研究B u r r X型分布的应力强度的可靠性;２００６年K u n d u与G u p t a研究了W e i b u l l分布的应力强度可靠性理论(见文献[５]);２００７年K r i s h n a m o o r t h y[６]等人讨论了两个参数的指数分布的应力强度模型的可靠性;２００９年K u n d u与R a q a b再次合作发表文献[７],研究三个变量的W e i b u l l分布的应力强度可靠性理论;２０１３年A l－M u t a i r i[８]等人讨论了L i n d l e y分布的可靠性理论．本文在前人研究的基础上,基于不同形状参数的广义帕累托分布,讨论应力Ｇ强度参数的贝叶斯估计．２㊀广义帕累托分布的应力－强度可靠性参数广义帕累托分布的分布函数为收稿日期:２０１５Ｇ０１Ｇ１１∗基金项目:广西自然科学基金项目(２０１３J J A A１００９７);广西高等学校科研项目(２０１２０３Y B１０２)作者简介:李建波(１９８９－㊀),男,江西上饶人,硕士生,研究方向:概率论与数理统计．通讯作者简介:韦程东,男,广西南宁人,教授,博士,从事概率论与数理统计研究８㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷F X (x ;θ,β)＝ʏx０f X (t ;θ,β)d t ＝１－(βx ＋１)－θ,其中θ为形状参数,β为尺度参数,则相应的密度函数F X (x ;θ,β)㊁危险率函数h (x ;θ,β)㊁平均剩余寿命函数μ(x ;θ,β)分别为f X (x ;θ,β)＝θβ(βx ＋１)－(θ＋１),x ＞０,h (x ;θ,β)＝f X (x ;θ,β)１－F X (x ;θ,β)＝θββx ＋１,㊀㊀μ(x ;θ,β)＝E (X －x |X ＞x )＝ʏ¥x(１－F X(t ;θ,β))d t １－F X (x ;θ,β)＝βx ＋１β(θ－１)．定理１㊀设两个随机变量X ㊁Y 分别表示强力与应力,分别服从相同尺度参数β;不同的形状参数分别为θ１与θ２的广义帕累托分布,则此广义帕累托分布的应力－强度参数R ＝θ２θ１＋θ２．证明㊀随机变量X ㊁Y 的密度函数分别为f X (x ;θ１,β)＝θ１β(βx ＋１)－(θ１＋１),x ＞０,f Y (y ;θ２,β)＝θ２β(βy ＋１)－(θ２＋１),y ＞０．㊀㊀由文献[９]中的应力－强度干涉理论模型可知应力－强度参数R 的表达式为R ＝P (Y ＜X )＝ʏ＋¥０P (Y ＜X |X ＝x )d x ＝ʏ＋¥－¥f X (x ;θ１,β)ʏx －¥f Y(y ;θ２,β)d y []d x ＝ʏ＋¥０θ１β(１＋βx )－(θ１＋１)１－(βx ＋１)－θ２[]d x ＝θ２θ１＋θ２．３㊀应力－强度参数R 的贝叶斯估计引理１[１１]㊀在平方损失函数L (θ,a )＝(δ－a )２下,θ的贝叶斯估计为后验期望值,即θʎB a ye s (x )＝E (θx )．引理２[１２]㊀在０－１损失函数L (θ,a )＝０,a －θɤε１,a －θ＞ε{下,θ的贝叶斯估计为后验中位数．定理２㊀设随机变量X ㊁Y 分别表示强力与应力,分别服从相同尺度参数β,不同的形状参数分别为θ１与θ２的广义帕累托分布．x １,x ２, ,x n 是来自X 的样本,y １,y ２, ,y m 是来自Y 的样本,则(i)在平方损失函数下,广义帕累托分布的应力－强度参数R 的贝叶斯估计为R ʎB a y e s －１＝ðN i ＝１h (θ１i ,θ２i )ðN j ＝１h (θ１i ,θ２i )R (θ１i ,θ２i )æèççöø÷÷;㊀其中h (θ１i ,θ２i )＝１(１＋θ１i )n (１＋θ２i )m ．(i i)在０－１损失函数下,广义帕累托分布的应力－强度参数R 的贝叶斯估计为R ʎB a y e s －２＝R ʎ１＋ θ１ R ２[ θ１(m ＋a １－１)－ θ２(n ＋a ２－１)] θ２(n ＋a ２－１)(m ＋b １－１)éëêêùûúú,其中 θ１＝m ＋a １－１b １＋ðn i ＝１l n (x １＋１), θ２＝n ＋a ２－１b ２＋ðmi ＝１ln (y １＋１), R ＝ θ２θ１＋ θ２．证明㊀假设θ１与θ２的先验信息分别来自形状参数,分别为a １,a ２,尺度参数分别为b １,b ２的独立伽马分布,即θ１与θ２的先验分布函数的密度函数分别为π(θ１,a １,b １)＝b a１１Γ(a １)θa １－１１e －b １θ１,θ１⩾００,其它ìîíïïï,π(θ２,a ２,b ２)＝b a２２Γ(a ２)θa ２－１２e －b ２θ２,θ２⩾００,其它ìîíïïï．第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀李建波,等:广义帕累托分布的应力Ｇ强度可靠性的贝叶斯估计９㊀㊀㊀样本{x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m }与θ１,θ２的联合密度函数为h (x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m θ１,θ２)＝㊀㊀θn１ᵑni ＝１(x i ＋１)－(θ１＋１)b a １１Γ(a １)θa １－１１e －b １θ１θm ２ᵑm i ＝１(y i ＋１)－(θ２＋１)b a２２Γ(a ２)θa ２－１２e －b ２θ２．样本{x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m }的边界概率函数为m (x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m )＝∬h (x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m θ１,θ２)d θ１d θ２＝b a１１Γ(a １)b a２２Γ(a ２)ʏ＋¥０θn ＋a １－１１e －b １θ１ᵑni ＝１(x i ＋１)－(θ１＋１)d θ１ʏ＋¥０θm ＋a ２－１２e－b ２θ２ᵑmi ＝１(yi ＋１)－(θ２＋１)d θ２＝Γ(a １＋n )Γ(a ２＋m )Γ(a １)Γ(a ２)b a １１ba ２２ᵑni ＝１(x i＋１)－(a １＋１)ᵑmi ＝１(y i＋１)－(a ２＋１)b１＋ðni ＝１l n (x １＋１)[]a １＋n b２＋ðm i ＝１l n (y １＋１)[]a ２＋m ．θ１,θ２的后验分布l (θ１,θ２d a t a )＝l (θ１,θ２x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m ),则l (θ１,θ２d a t a )＝h (x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m θ１,θ２)m (x １,x ２, ,x n ,y １,y ２, ,y m )＝b１＋ðni ＝１l n (x i ＋１)[]a １＋n Γ(a １＋n )θa １＋n －１１e－b １θ１b１＋ðni ＝１l n (x i ＋１)[]a １＋n Γ(a １＋n )θa １＋n －１１e－b １θ１．令l (θ１d a t a )＝θn１ᵑni ＝１(x i ＋１)－(θ１＋１)b a１１Γ(a １)θa １－１１e －b １θ１＝b１＋ðni ＝１l n (x i ＋１)[]a １＋n Γ(a １＋n )θa １＋n －１１e－b １θ１,则θ１d a t a ~G a mm a a １＋n ,b １ðni ＝１ln (x １＋１)()．令l (θ２d a t a )＝θm ２ᵑmi ＝１(y i ＋１)－(θ２＋１)b a ２２Γ(a ２)θa ２－１２e －b ２θ２＝b２＋ðmi ＝１l n (y i ＋１)[]a ２＋m Γ(a ２＋m )θa ２＋m －１２e－b ２θ２,则θ２d a t a ~G a mm a a ２＋m ,b ２ðmi ＝１ln (y １＋１)(),故l (θ１,θ２d a t a )＝l (θ１d a t a )l (θ２da t a )．㊀㊀(i)在平方损失函数下,运用引理１求得应力强度参数R 的贝叶斯估计^R B a ye s ＝E (θx )＝ʏ＋¥０ʏ＋¥０R (θ１,θ２)l (θ１d a t a )l (θ２d a t a )d θ１d θ２ʏ＋¥０l (θ１d a t a )d θ１ʏ＋¥０l (θ２d a t a )d θ２．显然,不能得出上式的具体表达式,只能用数值解法求其近似解,应用林德利抽样算法[１０]可求得应力强度参数R 的贝叶斯估计^R B a ye s 的相合估计,具体步骤如下:第一步:产生两个样本:θ１１~G a mm a (θ１;a １＋n ,b １ðni ＝１ln (x １＋１)),θ２１~G a mm a (θ２;a ２＋m ,b ２ðmi ＝１ln (y １＋１))．㊀㊀第二步:重复第一步N 次,得到N 组样本(θ１１,θ２１),(θ１２,θ２２), ,(θ１N ,θ２N )．１０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷第三步:R 的贝叶斯估计的相合估计R ʎB a ye s －１为R ʎB a y e s －１＝ðNi ＝１h (θ１i ,θ２i )ðN j ＝１h (θ１i ,θ２i )R (θ１i ,θ２i )æèççöø÷÷,其中h (θ１i ,θ２i )＝１(１＋θ１i )n (１＋θ２i )m ．(i i)运用上述算法以及引理１可以得到在０－１损失函数下的应力强度参数R 的贝叶斯估计为R ʎB a y e s －２＝R ʎ１＋ θ１ R ２[ θ１(m ＋a １－１)－ θ２(n ＋a ２－１)] θ２(n ＋a ２－１)(m ＋b １－１)éëêêùûúú,其中 θ１＝m ＋a １－１b １＋ðn i ＝１l n (x １＋１), θ２＝n ＋a ２－１b ２＋ðmi ＝１ln (y １＋１), R ＝ θ２θ１＋ θ２．４㊀模拟结果在不同的样本容量㊁不同的先验信息下,采用蒙特卡洛模拟的方法进行数值模拟,比较其结果并得出结论．设随机变量X ㊁Y 的密度函数具有相同的尺度参数β＝１,在平方损失函数㊁０－１损失函数下,对随机变量应力－强度可靠性参数R 分别做贝叶斯估计,记为^R B a y e s ㊁ R B a ye s ,在模拟结果中分别记为B a y e s －１㊁B a ye s －２．样本容量分别取(n ,m )＝(１５,２０),(２０,１５),(２０,２０),(２５,３０),(３０,２５),(３０,３０)．取(θ１,θ２)＝(１．０,１．０),(０．１,１．０)．假设参数a １,a ２,b １,b ２具有如下先验信息:P r i o r －１:a １＝b １＝a ２＝b ２＝０．０,P r i o r －２:a １＝４．０,b １＝８．０,a ２＝b ２＝４．０,P r i o r －３:a １＝b １＝a ２＝b ２＝４．０．在随机抽样中,重复第二步１０００次,即N ＝１０００,计算出两种贝叶斯估计的平均偏差和均方误差,模拟结果如表１~表４所示．表中的数据是由模拟值乘以１０５得到的．表１㊀当θ１＝１．０,θ２＝１．０时,在平方损失函数下的平均偏差和均方误差n ,m B a y e s －１B a y e s －２P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３１５,２０１０４．３(５６３６．３)３８８．３(５０６．１)４９９．４(３７７．７)１４０．９(５０２．１)３５９．６(５１０．９)５６６．８(３８３．６)２０,１５３２３．７(４７９．５)－２３１３．３(４５０．６)３８６．８(３９０．４)２８９．７(４７１．７)－１８７０．５(２８０．９)３６６．４(４００．０)２０,２０１２０．９(４９３．３)－２４８１．６(３９０．７)３０６．６(２６９．６)１００．３(５０３．４)－２６５４．３(４００．３)４００．７(４０８．７)２５,３０３５３．４(４２２．２)－２１８８．２(２８８．３)１４１．１(２９３．５)２８３．６(４４２．３)－２２８０．３(３３９．９)１０３．３(４００．４)３０,２５１８９．４(３８８．７)－１７７．３(２８６．４)１８７．７(３００．３)１９０．５(４００．３)－１５４．７(２５６．２)１４４．４(２８７．９)３０,３０３０２．４(３１１．１)－１１９６．６(２８２．９)１４０．６(２７７．８)３００．０(２５７．５)－１７８８．８(２８７．４)１２９．２(２８０．５)第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀李建波,等:广义帕累托分布的应力Ｇ强度可靠性的贝叶斯估计１１㊀表２㊀当θ１＝１．０,θ２＝１．０时,在０－１损失函数下的平均偏差和均方误差n ,m B a y e s －１B a y e s －２P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３１５,２０１０１．３(６３１．８)４００．５(５１６．４)５０１．２(３８７．２)９４．６(６５３．８)３６５．８(４８９．５)４７７．５(４０２．４)２０,１５３１５．６(４６６．６)１３１６．２(４５．３)３６９．７(３８７．４)３０３．５(５０３．５)１８８８．９(４４４．４)４０４．６(３９１．６)２０,２０１７８．３(４６６．６)－１９７２．４(４１３．２)３５７．６(３６６．８)２０５．５(５２５．４)－１５１１．９(４３４．６)４４３．６(３８６．７)２５,３０３１３．３(４４６．５)－９７９．３(３４７．８)１７７．８(３６６．９)３０２．４(４７７．５)－１１５７．６(３３５．８)１２３．６(３４０．４)３０,２５８８．７(３７７．７)－７４６．３(３１１．９)－３００．８(３４４．４)１０１．５(３９８．５)－７７８．４(２７７．９)－２７５．９(３６０．４)３０,３０２１９．４(３１１．１)１０８８．３(２４６．４)２７９．２(２６８．３)１８９．６(２８８．３)１２２２．７(２０８．７)２６０．０(２５０．６)表３㊀当θ１＝０．１,θ２＝１．０时,在平方损失函数下的平均偏差和均方误差n ,m B a y e s －１B a y e s －２P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３１５,２０３８２．２(１８．０)８８６．８(１２．８)１０８２．３(１０．０)４８６．８(１９．６)８００．１(１２．４)１２７６．１(９．９)２０,１５４８７．５(１９．３)９２６．６(１１．１)１０８３．１(１０．６)５００．１(２０．１)７８０．６(１０．５)８９０．４(１０．８)２０,２０４０３．４(１６．５)７０６．３(１０．５)８０５．５(１１．８)３７６．４(１７．６)７２２．２(１１．８)８０３．３(１２．１)２５,３０３０６．７(１３．７)７００．１(１０．６)６５３．９(８．９)２５０．７(１３．１)６８８．４(９．１)７１０．３(８．４)３０,２５３４９．９(１３．３)５４０．７(８．８)６３９．３(７．９)３３０．３(１４．４)４４３．８(９．３)６０６．１(７．６)３０,３０２０６．６(９．６)５１９．２(６．８)５５９．９(５．５)１０１．５(８．８)５８５．０(６．５)６５１．５(６．０)表４㊀当θ１＝０．１,θ２＝１．０时,在０－１损失函数下的平均偏差和均方误差n ,m B a y e s －１B a y e s －２P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３P r i o r －１P r i o r －２P r i o r －３１５,２０３８３．３(２３．３)７６０．９(１８．５)８４９．５(１８．６)４１６．６(２３．４)８４８．８(１６．６)９９０．９(１３．７)２０,１５５１６．８(２３．８)７７０．０(１３．６)８００．０(１３．６)５０３．２(２３．７)８８０．４(１４．７)８７０．１(１２．９)２０,２０３２８．４(１９．９)６２０．７(１３．３)６９３．３(１２．７)３７６．１(１８．６)６２８．５(１１．１)７２６．６(１２．２)２５,３０３０７．８(１５．６)５６９．７(１０．１)４８９．７(９．９)２７０．３(１５．９)６１６．３(９．６)５６９．１(８．８)１２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀续表n,mB a y e s－１B a y e s－２P r i o r－１P r i o r－２P r i o r－３P r i o r－１P r i o r－２P r i o r－３３０,２５３２９．６(１０．８)５６９．１(６．６)６０６．３(６．８)２８８．９(１０．１)６１０．７(７．６)５７９．８(６．９)３０,３０１８８．３(７．９)３８０．１(５．２)４６９．８(５．６)１９７．６(８．０)４６８．２(５．７)５２０．７(５．１)㊀㊀分析上述４个表得到如下结论:(１)平均偏差与均方误差都会随着样本量的增大而减小;(２)在平方损失函数和０－１损失函数下的B a y e s－１,B a y e s－２值比较相近;(３)在有先验信息P r i o r－２㊁P r i o r－３下的贝叶斯估计的均方误差值都小于无信息P r i o r－１下的贝叶斯估计均方误差值．参考文献:[１]㊀B O R T K I E W I C ZL V o n．V a r i a t i o n s b r e i t eu n dm i t t l e r e rF e h l e r[J]．B e r l iM a t hG e sS i t z u n g s b e r．[２]㊀K O T ZS,L UM E L S K I IY,P E N S K Y M．T h e s t r e s sＧs t r e n g t h m o d e l a n d i t s g e n e r a l i z a t i o n s T h e o r y a n dA p p l i c aＧt i o n s[M]．S i n g a p o r e:W o r l dS c i e n t i f i c,２００３:４３Ｇ４４．[３]㊀K U N D U D,G U P T ARD．E s t i m a t i o n o f P[Y＜X]f o r g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n[J]．M e t r i k a,２００５,６１(３):２９１Ｇ３０８．[４]㊀R A Q A B M Z,K U N D U D．C o m p a r i s o no f d i f f e r e n t e s t i m a t o r s o f P[Y＜X]f o r a s c a l e dB u r r t y p e X d i s t r i 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o d s,２０１３,４２(８):１４４３Ｇ１４６３．[９]㊀张志华．可靠性理论及工程应用[M]．北京:科学出版社,２０１２:１９Ｇ２１．[１０]A LＧMU T A I R ID K,G H I T A N Y M E,K U N D U D．I n f e r e n c e s o n s t r e s sＧs t r e n g t h r e l i a b i l i t y f r o m L i n d l e y d i s t r i b uＧt i o n s[J]．C o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c sＧT h e o r y a n d M e t h o d s,２０１３,４２(８):１４４３Ｇ１４６３．[１１]韦来生,张伟平．贝叶斯分析[M]．合肥:中国科学科技大学出版社,２０１３:１４１Ｇ１４８．[１２]F E R G U S O N TS．M a t h e m a t i o nS a t i c i s t[M]．N e w Y o r k:A D e c i s i o nT h e o r e t i cA p p r o a c hP r e s s,１９６７．[１３]L I N D E L Y D V．A p p r o x i m a t eB a y e s i a nm e t h o d s[J]．T r a b a j o s d eE s t a d i s t i c a,３:２８１Ｇ２８８．T h eB a y e s i a nE s t i m a t i o no f S t r e s s－s t r e n g t hR e l i a b i l i t yB a s e d o nG e n e r a l i z e dP a r e t oD i s t r i b u t i o nL I J i a nＧb o,W E IC h e n gＧd o n g,G A O X i a oＧq i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l a n dS t a t i s t i c sS c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e e s t i m a t i o no f t h e s t r e s sＧs t r e n g t h p a r a m e t e r b a s e do nd i f f e r e n t s h a p e p a r a m e t e r o f g e n e r a l i z e dP a r e t o d i s t r i b u t i o n．T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o wt h a t t h eB a y e s i a n e s t iＧm a t i o nu n d e r t h e s q u a r e l o s s f u n c t i o n a n d０－１l o s s f u n c t i o n e s t i m a t e s a r e s i m i l a r．A m e a n s q u a r e e rＧr o rB a y e s i a ne s t i m a t i o nv a l u ew i t h p r i o r i n f o r m a t i o n i s l o w e r t h a nt h a t o f t h eu n c o n d i t i o n a l p r i o r i nＧf o r m a t i o n．K e y W o r d s:g e n e r a l i z e dP a r e t od i s t r i b u t i o n;s t r e s s i n t e n s i t y;B a y e s i a ne s t i m a t o r[责任编辑:班秀和]。

2021音乐知识竞赛真题模拟及答案(1)

2021音乐知识竞赛真题模拟及答案(1)1、律师事务所的职责范围主要包括（）（多选题）A. 法律咨询B. 辩护和代理C. 法律服务D. 维护社会公平E. 防止司法腐败试题答案：A,B,C2、中国的陶笛最初源于什么古老乐器？（）（单选题）A. 萧B. 埙（xun）C. 骨笛D. 巴乌试题答案：B3、根据非政府组织的功能分类，可以将非政府组织分为（）（多选题）A. 草根组织B. 草根援助组织C. 南方非政府组织D. 北方非政府组织试题答案：A,B4、当前制约我国非政府组织社会功能有效发挥的影响因素包括（）。

（多选题）A. 法律制度与管理体制的约束B. 自身独立性不足C. 政府对非政府组织控制观念存在D. 经费主要靠社会募集试题答案：A,B,C5、总的说来，事业单位从事的社会服务职能，其形态大致可以分为（）（多选题）A. 为社会服务B. 为个人服务C. 为企业服务D. 为党政机关服务E. 为领导服务试题答案：A,C,D6、准行政机构在英国则更具有代表性，在英国存在大量的半行政组织，这些行政组织经常被称为（）（多选题）A. 准行政机关B. 边缘机构C. 非部门的公务机关D. 半自治机构E. 半行政组织试题答案：A,B,C,D,E7、中国的歌剧以（）的问世为诞生标志。

（单选题）A. 《江姐》B. 《草原之夜》C. 《白毛女》D. 《洪湖赤卫队》试题答案：C8、迈克尔·杰克逊第一张重要的独唱专辑是1979年录制的（）歌曲。

（单选题）A. 《方寸大乱》B. 《我爱你》C. 《漂亮女孩》试题答案：A9、琵琶一般认为它是在（）的弦鼗。

（单选题）A. 秦代B. 唐代C. 宋代D. 清朝试题答案：A10、“黄昏我站在高高的山岗，看那铁路修到我家乡，一条条巨龙翻山越岭，为雪域高原送来安康，那是一条神奇的……”这是电视连续剧《天路》的片头曲《天路》，其演唱者是（韩红），它是一首（）。

（单选题）A. 群众歌曲B. 艺术歌曲C. 民间歌曲D. 通俗歌曲试题答案：C11、“中国最能筹款慈善组织的钱去哪了”说明（）。

帕累托法则统计学

帕累托法则统计学
帕累托法则是一种常见的统计工具，用于描述一组数据中的重要因素。

它基于帕累托原理，即80/20法则，即约80%的结果来源于约20%的原因。

帕累托法则可以应用于各种情况，包括经济学、管理学、市场营销等。

在统计学中，帕累托法则通常用于分析一组数据的分布情况。

根据帕累托法则，如果数据符合80/20法则，那么大约80%的数据将集中在前20%的范围内。

应用帕累托法则时，常常可以帮助人们找到解决问题的关键点。

例如，在市场营销中，帕累托法则可以帮助企业确定关键客户群体，从而重点开发这些客户，提高销售收入。

在生产领域，帕累托法则可以帮助企业确定引起问题最常见的原因，从而针对性地改进生产过程，提高生产效率。

需要注意的是，帕累托法则只是一种近似性原则，具体的分布情况可能与80/20法则存在一定
的偏差。

因此，在使用帕累托法则时，需要结合具体问题进行分析，并进行适当的调整。

帕累托最优边际收益八个经济学原理

帕累托最优边际收益八个经济学原理一、概述经济学作为一门社会科学，对于人类社会的发展和繁荣有着重要的影响。

而经济学的理论体系中，有一些重要的原理和概念，对于我们理解和解决实际经济问题起着至关重要的作用。

本文将介绍帕累托最优、边际收益这两个重要的经济学原理，并结合实际案例进行解读和分析。

二、帕累托最优1. 帕累托最优的概念帕累托最优（Pareto efficiency）是指在一定的资源分配下，任何一个人都不能得到更多的资源而不使其他人得到更少资源的状态。

也就是说，在这种情况下，资源的分配已经达到了最优状态，无法通过重新分配资源来使任何一个人更富裕，而不损害其他人的利益。

帕累托最优的概念最早由意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托提出，后来被广泛运用于经济学理论分析中。

2. 帕累托最优的实现条件要实现帕累托最优的资源分配状态，需要满足以下两个条件：（1）资源的分配不能再进行重新配置，即不存在任何一种资源配置方案可以使得所有人都变得更好而不损害其他人的利益。

（2）资源的分配必须是有效率的，即资源不能浪费或者过分集中在个别人手中，而是在不同人之间得到合理的分配和利用。

只有在资源分配达到了有效率的状态下，才有可能实现帕累托最优。

三、边际收益1. 边际收益的概念边际收益（marginal benefit）是指在生产或者消费中，由于增加或减少一单位生产或消费量所带来的额外收益或损失。

在经济学中，边际收益是一个重要的概念，它能够帮助我们理解生产和消费的决策过程，以及资源的配置和利用情况。

2. 边际收益的相关原理边际收益原理是指当生产或者消费一种商品的一定数量时，如果增加或减少一单位的生产或消费量，产生的额外收益或损失小于此单位的边际成本，那么就应当增加生产或者消费的数量；反之，如果产生的额外收益或损失大于此单位的边际成本，就应当减少生产或者消费的数量。

这个原理对于企业的生产决策和个人的消费决策都有着重要的指导作用。

帕累托前沿的评价指标-概述说明以及解释

帕累托前沿的评价指标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言是一篇长文的开端，它起到引导读者进入主题的作用。

在本文中，我们将探讨帕累托前沿的评价指标。

帕累托前沿是一种用于评估多个指标的方法，被广泛应用于经济学、管理学以及其他一些领域。

在现实生活中，我们通常会面临多个指标同时存在的情况，而不是单独考虑某个指标。

例如，在一个企业中，我们可能会关注利润、销售额和市场份额等多个指标。

在这种情况下，如何评价这些指标的绩效就成为了一个重要的问题。

帕累托前沿是解决这个问题的一种方法。

它通过将多个指标综合考虑，寻找出一组最优解，即在不牺牲任何一个指标的前提下，使其他指标都达到最大化或最小化的状态。

这样的解决方案被称为帕累托最优解，而帕累托前沿则是由一系列帕累托最优解构成的。

帕累托前沿是一种非常有用的工具，它可以帮助我们进行绩效评估和决策分析。

通过分析帕累托前沿，我们可以确定出在资源有限的情况下，如何分配资源以实现多个指标的最优化。

同时，帕累托前沿也可以帮助我们识别出那些明显地落后于其他指标的指标，从而进行改进和优化。

本文的主要目的是介绍帕累托前沿的评价指标，包括如何计算和解读帕累托前沿以及其在实际应用中的一些注意事项。

通过深入理解帕累托前沿的评价指标，我们可以更好地应用它们来进行实践中的决策分析，并为组织和个人的发展做出更明智的选择。

接下来的正文部分将详细介绍帕累托前沿和评价指标，以及它们的应用和局限性。

通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用帕累托前沿的评价指标，提升决策能力，并在实践中取得更好的结果。

1.2文章结构1.2 文章结构本文结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们首先对帕累托前沿的评价指标进行了简要的概述，介绍了本文的研究目的以及文章的整体结构安排。

在正文部分，我们将详细探讨帕累托前沿及其评价指标的相关内容。

首先，我们将介绍帕累托前沿的概念和特点，解释其在多目标决策问题中的应用价值。

帕累托最优知识讲解

帕累托最优摘要：帕累托最优，也称为帕累托效率、帕累托改善、帕雷托最佳配置，是博弈论中的重要概念，并且在经济学，工程学和社会科学中有着广泛的应用。

这个概念是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托的名字命名的，他在关于经济效率和收入分配的研究中最早使用了这个概念。

关键词：帕累托最优、帕累托改进、重要前提、条件、资源配置、效率、“80/20”法则、资本配置引言：关于资源配置效率，经济学迄今所能给与的明确界定就是“帕累托效率”，也称为“帕累托最优”。

所谓帕累托最优是指资源分配的一种理想状态，即假定固有的一群人和可分配的资源，从一种分配状态到另一种状态的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提下，也不可能再使某些人的处境变好。

换句话说，就是不可能再改善某些人的境况，而不使任何其他人受损。

帕累托改进是以意大利经济学家帕累托命名的，并基于帕累托最优基础之上。

帕累托最优是指在不减少一方福利的情况下，就不可能增加另外一方的福利；而帕累托改进是指在不减少一方的福利时，通过改变现有的资源配置而提高另一方的福利。

帕累托改进可以在资源闲置或市场失效的情况下实现。

一方面，帕累托最优是指没有进行帕累托改进余地的状态；另一方面，帕累托改进是达到帕累托最优的路径和方法。

帕累托最优是公平与效率的“理想王国”。

如果一个经济制度不是帕累托最优，则存在一些人可以在不使其他人的境况变坏的情况下使自己的境况变好的情形。

普遍认为这样低效的产出的情况是需要避免的，因此帕累托最优是评价一个经济制度和政治方针的非常重要的标准。

帕累托最优有三个重要前提：第一，它假定社会中每个成员的权利是相同的，如果损害某人而让别人得益就不是帕累托最优。

它的深刻含义是市场经济是一个人人平等的经济。

在被帝王贵族统治下的经济，统治者的权利高于被统治者，因而那里不可能实现市场经济。

第二，在市场经济中帕累托的最优解取决于每个人的初始资源，包括个人的天份，家庭和受教育的环境，从上一辈得到的遗产等。

帕累托分布

小组成员：142090304 李志慧142090308 杜晶鑫142090311 葛霞142090313 宋志娟142090321 刘芳帕累托分布一、什么是帕累托分布帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。

是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。

这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。

帕累托分布的提出背景19世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。

帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。

经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。

帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。

丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100万元，人数为100人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20个人，分得80万元；同理，这20人中的4个人，分得64万元；4个人中的1个人，分得50万元。

”如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。

它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。

帕累托分布从经济学角度论证出，社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”，甚至导致“宗教末日审判”的来临，除非我们可以通过政治手段，人为地阻止财富向高端不断聚集，否则，贫富双方的利益冲突是不可避免的。

数据分析中的万能宝典——帕累托最优解，手把手教你学会做！

数据分析中的万能宝典——帕累托最优解，手把手教你学会做！“说起帕累托最优，估计没接触过数据分析的人都听过，但是怎么用帕累托模型解决实际业务问题呢？今天老李带你盘清帕累托最优的来龙去脉。

”最近，做酒店管理的小李很头疼，酒店最近一个月的损失成本明显升高，但是一直却没办法改善，为什么会这样呢？原来虽然这家酒店的人气火爆，每天都有客人预定房间，但最终总有一小部分人会取消预定，这些被取消的房间最终就会空下来，给酒店造成了很大的损失。

如果是你，你应该怎么解决这个问题呢？什么是帕累托上面那个例子其实就是帕累托法则的最好体现，因为资源总是有限的，不同的渠道和用户会产生不同的效益，所以我们不能将所有的资源投入到全部渠道里，这就是帕累托法则所遵循的原则。

我们先看一下帕累托最优的定义：帕累托分析依据的原理是20/80定律，80%的效益常常来自于20%的投入，而其他80%的投入却只产生了20%的效益，这说明，同样的投入在不同的地方会产生不同的效益。

什么意思呢？首先我们举一个常见的例子：一家人有A、B两兄弟，如果每个人分别去捕兔子，每个人每天都可以得到20斤食物；如果两兄弟合力去捕杀一只鹿，则可以得到100斤的食物；那么，那么如果你是这两个兄弟的父亲，你会怎么分配任务呢？其实无非是三种分配方式：两个人合力捕鹿：得到100斤食物；两个人分别捕兔：得到40斤食物；A捕鹿、B捕兔：A不得到食物，B得到20斤食物A捕兔、B捕鹿：A得到20斤食物，B不得到食物想都不用想我们都会让两兄弟合力捕捉鹿，这就是帕累托模型的本质，也就是资源集中，我们要把资源投放到效益最高的渠道中，也就是“头部”渠道，而不应该将资源投放到剩下的“尾部”渠道中。

帕累托怎么操作？我们换到一个实际的例子看一下：某集团公司下属有十余种业务或产品，但是最近发现公司的营销成本很大，想要缩减一些业务，或者调整一下业务的投入成本。

这就是典型的业务升级（资源分配）问题。

帕累托图的绘制过程非常简单，就是按照贡献度从高到低依次排列，并绘制累积贡献度曲线，当样本数量足够大时，贡献度通常会呈现20/80分布。

帕累托最优图文稿

帕累托最优集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）帕累托最优条件下如何实现帕累托最优：一．首先我们讲一下帕累托最优的定义：帕累托最优是指在商品的有效配置中，没有人能够在不适别人受损的情况下使自己得益。

有效地配置也称作帕累托最优。

举两个例子：1．比方说我们有两个人，他们每人有3块钱，现在政府要把他们的钱收回，并补助4块，总共10块钱从新分配给他们：分配方式一，只要是保证双方至少有三块钱的基础上，将额外的4块以任何方式分配各双方，都是帕累托最优，但注意双方得到的额外补助总额是4就可以。

分配方式二：将甲方的钱控制到小于3快的情况，乙获得其他所有收入，这样，甲的利益就受到损失。

这不是帕累托最优。

因为，一方的受益，是在另一方受损。

如图，大三角形中所有的整数点，是所有的分配情况。

但只有在红色区域的分配情况，才有帕累托的改进（注意是改进，而不是最优）。

在红色三角的边界都是帕累托最优。

（当然这里就牵着到了公平问题，在这里不再赘述）2.其次，在这我不得不提一下现在房价的问题，政府的调控政策使得一二三线城市的房价下跌，使得部分业主打杂楼盘，这就是一种帕累托的改进。

因为他是部分人的受益受损。

二．知道帕累托最优和帕累托改进之后，那我们分析下完全竞争市场是如何达到帕累托最优的：（一）.消费者市场的均衡：交换的效率首先，我们明确一点消费者市场均衡的过程，这个过程是指市场上的双方，能够自由的贸易，并且贸易成本为零。

这样，不同的消费者，就会通过贸易进行自由贸易，通过改变自己手中不同商品的组合，来满足自身效用的最大化。

所有的贸易是在完全竞争的市场上进行的，所以他们是价格的被动接受者。

1.我们先看一下，贸易发生的可能性：我们可以看出，在这样的初始配置下，詹姆斯愿意用1单位食品换1/2的衣服，MRSFC=1/2，詹姆斯对衣服的评价比较高。

凯伦愿意用3单位的食品换1单位的衣服，MRSFC=3.假设他们相互决定，用1单位的食品，话一单位的衣服，那么双方都是很乐意的，就都会得到效用的提高：因为，本打算用用1单位食品换1/2的衣服的詹姆斯用1单位食品换到了1单位的衣服，除了满足最初的预期外，还多得到了1/2的衣服，效用提高，海伦也类似。

2.帕累托分析

描述帕累托分析应用于从引起问题的很多琐碎的原因中分离出那些至关重要的几个原因。

帕累托原则表明80%的问题都是由众多原因中的20%主要原因引起的。

帕累托分析帮助团队分清主次。

帕累托分析像条状图一样体现了一种分布。

只不过帕累托分析的条块是按照由高到低的顺序安排的。

主要用途对用途的描述:找出与主题相关的问题选择目标问题整理及演示数据针对有效性收集数据过程1．采集需要的数据。

可能要用到核查表或其他工具。

2．确定每一类别中发生的事件数量和事件总数。

3．将数据整理，按照各个类别事件发生数量由大到小排列。

4．计算每个类别事件数量占总量的百分比。

5．计算累积百分比。

下面的例子列出了各种关于申请表错误的数6．在图纸上画出横轴和纵轴。

纵轴的起点是0，顶点是事件总数。

过程（续）7．将横轴分成几等份，每份代表一个类别。

8．有事件发生数量最多的类别开始画图，由左到右依次排列。

在纵轴上找到该类别事件数量对应的点，在这一点的水平线和横轴之间画出条块。

9．根据每一类别事件发生的数量，依次重复第8步。

10．在图纸的右端画垂线，将对应事件总量的点作为100%，画出0—100%之间的刻度。

11．标出第5步中计算出的累积百分比。

将累积百分比在左边纵轴找到对应，和横轴上条块的右边缘线的交点就是累积百分比对应的点。

将这些点由一条直线连接起来。

要给这个图起一个名字：一个能迅速将这个图的内容传达给读者的名字。

另外还要标上这个图所代表的时间段。

帕累托最优计算题

帕累托最优计算题
帕累托最优计算题是经济学领域中常见的一类问题，它涉及到资源分配、效益最大化等概念。

帕累托最优，又称帕累托效率，是指在某种资源分配状态下，任意改变都不可能使任何一个人的利益得到改善，而不损害其他人的利益。

换句话说，当一种资源分配达到帕累托最优时，任何改变都不可能使所有人的福利同时增加。

帕累托最优的应用场景主要集中在经济学、管理学和工程领域等领域。

例如，在生产过程中，企业如何合理分配资源以实现最大产出；在环境保护方面，如何平衡经济发展与生态保护；在人力资源管理中，如何合理分配员工的工作任务以提高整体工作效率等。

计算帕累托最优的方法有多种，其中较为常见的是线性规划法和序数效用理论。

线性规划法主要应用于资源分配问题，通过建立数学模型求解最优解。

序数效用理论则从个体偏好的角度出发，分析个体在不同的资源分配状态下的满意度，从而找到帕累托最优解。

在实际问题中，帕累托最优有着广泛的应用。

以我国新能源汽车产业为例，政府通过政策引导和资金支持，鼓励企业研发和生产新能源汽车，以实现环保、节能和产业升级的目标。

在这个过程中，政府需要平衡各方利益，确保政策实施达到帕累托最优。

总之，帕累托最优计算题是一种在多个领域都有重要应用的数学问题。

掌握其概念、计算方法和实际应用，有助于我们更好地理解和解决现实中的资源分配、效益最大化等问题。