向量数量积的坐标表示

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向量的坐标表示与向量的数量积

(1) a ( 2, 3 ), b ( 3, 2 ); (2) a ( 0, 1 ), b ( 1, 2 ); (3) a ( 3, 1 ), b ( 9, 3 );
练习： P143
A3 , B2
解： (3) a b 3 9 1 3 30
注：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
向量的坐标运算
(2) a ( xi yj ) xi yj
a (x,
y)
注：实数域向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标。
例 2 、 (1) 已知 A(2 ， 3),B(-3 ， 5), 求 AB 的坐标 . (2) 已知
a∥b
练习：判断各组向量是否共线 .
P140
A3，B2
向量的模定义：向量的大小，即有向线段的长度。
OP (3 ， 2)
解：根据勾股定理可求得向量的模为：
P(3, 2)
OP 3 2 13
2
2
O
a ( x,
2 2 y)，则 a x y
练习 : 求向量 AB 的模
B b

O a A
向量的夹角
（ 1 ）若 0，则向量a与b方向相同；
（2）若b b
a B a O A A
（3）若
，则向量a与b垂直，
b O

记作 a b
a
A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
例 1. 找出两个向量的夹角
如图,等边三角形ABC中,求求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。
(2)已知ABC， AB a , AC b , 当a b 0时， ABC为_______ 直角三角形。

向量坐标数量积公式

向量坐标数量积公式向量坐标数量积是向量运算中的一种重要运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角以及向量的投影等。

在本文中，我们将详细介绍向量坐标数量积的概念、计算方法以及应用。

一、概念向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

向量的坐标数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间按照一定规则进行的乘法运算。

其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

二、计算方法设有两个向量A和B，其坐标分别为(A₁, A₂, A₃)和(B₁, B₂, B₃)。

则向量A和向量B的坐标数量积计算公式如下：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃三、性质向量坐标数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)，其中k为常数4. 长度平方：A·A = |A|²，其中|A|表示向量A的模四、应用向量坐标数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 计算夹角：通过向量坐标数量积的公式，可以计算两个向量之间的夹角。

具体计算方法为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中θ表示向量A和向量B之间的夹角。

2. 计算投影：向量坐标数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。

具体计算方法为：projB(A) = ((A·B) / (|B|²)) * B其中projB(A)表示向量A在向量B上的投影。

3. 判断垂直与平行：如果两个向量的坐标数量积为0，则它们垂直；如果两个向量的坐标数量积不为0且模相等，则它们平行。

4. 计算功和能量：在物理学中，向量坐标数量积可以用来计算功和能量。

功的计算公式为：W = F·s其中F表示力，s表示力的位移。

向量数量积的坐标表示、模、夹角

向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

向量的数量积的坐标运算的推导

向量的数量积的坐标运算的推导
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它表示这两个向量之间的夹角和它们长度的乘积。

在向量的数量积中，有一种常见的运算方式是坐标运算，它可以将向量的数量积表示为各个坐标的乘积之和。

在进行向量的数量积的坐标运算之前，需要先了解向量的基本概念，包括向量的表示、向量的坐标、向量的长度和向量的夹角等。

向量的表示可以使用有向线段或箭头表示，向量的坐标则可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

向量的长度可以通过勾股定理求出，而向量的夹角则可以使用余弦定理求解。

在进行向量的数量积的坐标运算时，需要将两个向量的坐标进行分别相乘，并将结果相加，即：
向量a·向量b = a1b1 + a2b2 + a3b3
其中，a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z轴上的投影长度，b1、b2、b3分别表示向量b在x、y、z轴上的投影长度。

在进行向量的数量积的坐标运算时，需要注意向量的顺序，即a在前，b 在后。

通过以上的推导，我们可以得出向量的数量积的坐标运算的公式，使得我们在进行向量的数量积运算时更加方便。

同时，这也是数学中一个重要的概念，在物理、工程等领域中经常使用到。

- 1 -。

向量的数量积的坐标运算

在力学中，物体的动能与其速度向量的模的平方成正比，可以通过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量数量积满足分配律。
零向量与任何向量的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a，即向量数量积满足交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ是标量，即向量数量积满足结合律。
若向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用，如计算力、功、能量等物理量，以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。

空间向量数量积的坐标表示

Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2

向量数量积的坐标表示公式

向量数量积的坐标表示公式
向量数量积的坐标表示公式为：
若有两个向量A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)，它们的数量积（也称为点积）为：
A∙B = a1b1 + a2b2 + a3b3
这个公式表示了两个向量在各个坐标上的对应分量相乘后相加所得到的结果，可以用来计算两个向量的点积。

同时，向量A∙B还可以表示为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示A和B的长度，θ表示A和B之间的夹角。

这个公式可以用来计算两个向量之间的夹角，从而得到它们的数量积。

除了上述的坐标表示公式，向量数量积还有几何表示和向量积的定义形式。

向量数量积在几何上表示了向量A在向量B方向上的投影长度与向量B的模长之积，而在向量积中，数量积还可以表示为A∙B = 0，当且仅当向量A和向量B垂直（即夹角为90度）时。

平面向量数量积的坐标表示

4
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)，若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?

平面向量数量积及其坐标表示

⑶分配律：
(a b)c ac bc
注 (1)(a b) • (a b) (a b)2
意
a2 2a b b2
(2)(a b) • (a b) a2 b2等成立
基础练习
1、判断以下命题正确吗？试说明理由。
（1） a·b =0
反之，a=0
a=0或 b=0 × a·b =0 真命题
a b x1x2 y1 y2 0
3cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例题分析
例：
设a
(5,7),b
(6,4),求a
b.
解：a b 5(6) (7)(4) 2
想一想
a,b 的夹角有多大？
例1、已知a (3，2），b （1，1），求向量 a与b的夹角的余弦值。
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请计算下列式子：
①
i i =
1
③ ij= 0
② j j = 1
④ j i = 0
那解么：已如a知何b：推a导(x出1ixa1iy1bj的y)1坐(jx,标b2i公式xy22?ij )y2
j,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我
们得到：两个向量的数量积等于它们对坐
标的乘积之和。
探讨合作:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时，分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：

向量数量积的坐标表示

05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系统的运动状态，例如分析机器人的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的分析和设计，例如分析系统的稳定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以用于分析信号的频率和相位，例如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
感谢观看
mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。

平面向量数量积的坐标

平面向量数量积的坐标平面向量数量积是向量的一种重要运算，通常用来计算向量之间的夹角和长度。

在坐标系中，向量可以表示成有序数对 (x, y)，因此向量的数量积也可以用坐标表示出来。

以下是平面向量数量积的坐标公式：设有向量 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则向量 A 和向量 B 的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2这里“·”表示数量积运算，即点乘。

为了更好地理解平面向量的数量积，我们可以通过几何直观来解释。

几何意义：向量的数量积可以理解为向量 A 在向量 B 上的投影乘以向量 B 的长度，也可以理解为向量 B 在向量 A 上的投影乘以向量 A 的长度。

如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。

如果两个向量的数量积为正，则它们之间的夹角为锐角；如果两个向量的数量积为负，则它们之间的夹角为钝角。

数学性质：向量的数量积具有以下基本性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C4. 平行四边形法则：(A+B)·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D应用：通过向量的数量积，可以计算两个向量之间的夹角和长度。

夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，|A|和|B|表示向量 A 和向量B 的长度。

如果知道两个向量的长度和它们之间的夹角，也可以用数量积来求出向量的坐标。

综上所述，平面向量的数量积是向量的一项基本运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角和长度，进而解决各种几何问题。

向量的数量积的坐标表示

向量数量积的坐标表示
复习：复习：
（）若λ ∈ R ,则λ a表示实数还是向量？ 1 a + b和a − b分别表示实数还是向量？ a ⋅ b表示实数还是向量？
a⋅ b是量因 a、、 θ都数。 ⋅ 数，为 b cos 是量
2 （） a⋅ a = ？ a⋅ a = a = a ⋅ a ⋅ cos0 = a
知已 : a = {x1, y1} , b = {x2, y2} 求 a⋅ b 。，：
B( x 2 , y 2 )
y a−b
b
O
θ
A( x1 , y1 )
a
x
1、平面向量数量积的坐标表示
已 : a ={x1, y1},b ={x2 , y2} 求 a⋅b 。知，：
B( x 2 , y 2 )
y
C(-2,5) B(2,3) A(1,2) x 0
AC = (−2 − 1,5 − 2) = (−3,3)
∴ AB ⊥ AC
∴三角形ABC是直角三角形 .
课堂练习2 课堂练习2：
试判断下列向量间是否平行或垂直？试判断下列向量间是否平行或垂直？
（） = 3 i − 4 j ,b = −4 i − 3 j 1a （） = 3 i + 4 j ,b = 6 i + 8 j 2a
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a ⊥ b ⇔a⋅ b = 0
设 = x , y ), b = (x2, y2 ), 则 a （1 1 a ⊥b ⇔x x2 + y y2 = 0 1 1
（2）平行
a （1 1 设 = x , y ), b = (x2, y2 ), 则 a//b ⇔x y2 − x2 y1 = 0 1

向量数量积公式坐标

向量数量积公式坐标好的，以下是为您生成的关于“向量数量积公式坐标”的文章：咱先来说说向量这玩意儿，它在数学的世界里就像个调皮的小精灵，到处蹦跶却又有着自己独特的规律。

其中，向量数量积公式坐标就是我们探索这个小精灵秘密的一把关键钥匙。

就拿我之前遇到的一件事来说吧。

那是在一次数学课上，我正在给学生们讲解向量数量积的坐标公式。

我在黑板上写下了两个向量 a =(x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) ，然后告诉他们，这两个向量的数量积 a·b 就等于 x₁x₂ + y₁y₂。

当时，有个学生就一脸迷茫地看着我，问：“老师，这是为啥呀？”我想了想，决定给他们举个例子。

我说：“同学们，想象一下，你们在操场上跑步。

有个同学从 A 点出发，跑了 x₁米向东，又跑了 y₁米向北，这就形成了一个向量 a 。

另一个同学从 B 点出发，跑了 x₂米向东，跑了 y₂米向北，形成了向量 b 。

那这两个同学跑的路程在共同方向上的叠加，不就是 x₁x₂和 y₁y₂嘛，加起来就是他们共同的贡献，也就是向量的数量积啦。

”这时候，不少同学都露出了恍然大悟的表情。

但还有几个同学皱着眉头，似乎还在思考。

为了让他们更清楚，我又在黑板上画了个坐标系，标上了这两个向量的坐标。

然后通过几何图形的方式，给他们展示了为什么数量积可以用这个公式来计算。

经过一番讲解，大部分同学终于明白了。

但我知道，要想让他们真正掌握，还得通过大量的练习。

接下来的日子里，每次上课我都会出一些关于向量数量积坐标公式的题目让他们做。

有的同学一开始总是出错，不是把坐标弄混了，就是计算错误。

但我鼓励他们不要灰心，多做几遍，慢慢就会找到感觉。

有个叫小明的同学，一开始对这个公式特别头疼。

但他没有放弃，课后主动找我问问题，自己还做了好多练习题。

后来，在一次小测验中，他居然把这类题目全都做对了。

我在课堂上表扬了他，他笑得那叫一个开心。

其实向量数量积公式坐标在生活中也有不少应用呢。

向量内积的坐标运算与距离公式

向量内积的坐标运算与距离公式向量的内积，也叫点积或数量积，是一个很重要的概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域的问题求解中。

本文将详细介绍向量内积的坐标运算和距离公式。

一、向量的内积向量的内积定义如下：对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2更一般地，对于n维向量A = (x1, x2, ..., xn)和B = (y1,y2, ..., yn)，它们的内积表示为A·B = x1*y1 + x2*y2 + ... +xn*yn。

内积有以下重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k是一个常数二、向量内积的坐标运算当我们给出向量的坐标时，可以通过坐标运算来计算向量的内积。

设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)是二维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们的内积为A·B=2*4+3*1=11设A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是三维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2例如，当A=(1,2,3)和B=(4,5,6)时，它们的内积为A·B=1*4+2*5+3*6=32三、向量的距离公式向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。

对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们之间的距离为d=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√8=2√2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

两向量相乘的坐标公式

两向量相乘的坐标公式两个向量的坐标乘积可以通过向量的坐标分量进行运算得到。

设有两个向量A和B，其坐标分量分别为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

向量的坐标乘积可以分为两种情况：点积和叉积。

1.点积（也称为内积、数量积）点积用⋅表示，结果是一个标量。

两个向量A和B的点积公式为：A⋅B=a1b1+a2b2+a3b3点积的几何意义是A向量在B向量方向上的投影和B向量的模长的乘积。

可以用以下公式计算投影长度：Proj(A, B) = (A⋅B) / ，B其中Proj(A, B)是A在B方向上的投影，B，是向量B的模长。

2.叉积（也称为外积、向量积）叉积用×表示，结果是一个向量。

两个向量A和B的叉积公式为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)叉积的几何意义是一个新向量，其方向垂直于原来的两个向量。

这个新向量的模长等于以A和B为两边的平行四边形的面积。

叉积的模长可以用以下公式计算：A×B， = ，A，，B，sinθ其中θ是A和B的夹角，A×B，是向量A×B的模长，A，和，B，是向量A和B的模长。

另外，还有一种情况下的乘积，即混合积。

对于三个向量A、B和C，混合积的计算公式为：(A×B)⋅C=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)⋅C=a2b3c1-a3b2c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3混合积的几何意义是以A、B和C为三个相邻棱的平行六面体的体积。

混合积的结果是一个标量。

点积和叉积在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

点积可以用于计算向量之间的夹角、向量的投影以及求解直线和平面间的关系。

叉积可以用于计算向量的法向量、计算平行四边形的面积以及求解直线和平面的交点等。

总结：-点积：A⋅B=a1b1+a2b2+a3b3，结果标量，几何意义为投影长度。

向量数量积的坐标表示

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3.已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，则|a|等于
A.1
√B. 2
C.2
D.4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝ 12＋n2＝2.
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4.若平面向量 a＝(1，－2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝3 5，则 b 等于 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) 解析由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝ λ2＋－2λ2＝ 5|λ|＝3 5，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2＝ x2＋y2，此性质可用来求向量的模，
可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练 2 已知向量 a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于
B.锐角三角形 D.等边三角形
解析由题设知A→B＝(8，－4)，A→C＝(2,4)，B→C＝(－6,8)，所以A→B·A→C＝2×8＋(－4)×4＝0，即A→B⊥A→C.所以∠BAC＝90°，故△ABC 是直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以
cos〈O→A·O→B〉＝
→→ OA·OB →→
＝
|OA||OB|
5 10×
5＝ 22，
所以〈O→A·O→B〉＝45°.