表面附近I型非对称裂纹扩展路径的评价

第38卷　第1期2006年2月

西安建筑科技大学学报(自然科学版)J.Xi ’an Univ.of Arch.&T ech.(N atur al Science Editio n)

V ol.38　N o.1

Feb.2006

表面附近I 型非对称裂纹扩展路径的评价

马润勇1

,彭建兵1

,潘爱芳

2,3

(1.长安大学地质工程系,陕西西安710054;2.西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;

3.西北大学地质学系,陕西西安710069)

摘　要:为了解决有限几何体表面附近I 型非对称裂纹的扩展方向与扩展轨迹问题,以弥补工程断裂力学理论在有关问题研究中的不足,以端部开有一不对称纵向裂缝的悬臂梁为研究对象,分析了悬臂梁端部的裂缝两侧受到横向荷载作用下,裂缝端部附近的应力场特征以及裂缝可能的扩展轨迹.通过材料力学与线弹性断裂力学理论的结合,解析了平面条件下,有限几何体表面附近I 型非对称裂纹的扩展机理及弧形扩展轨迹.建立起一个比较符合表面附近I 型非对称裂纹扩展路径的数学力学模型.利用该模型,可以从理论上有效地分析有限几何体表面附近I 型非对称裂纹的扩展路径.关键词:裂纹;断裂力学;材料力学;扩展轨迹

中图分类号:P 542 文献标识码:A 文章编号:1006-7930(2006)01-0073-04　

图1　平面有限几何体内I 型裂纹的

两种基本不对称型式

Fig .1　Basic dis symmetry m ode of I -crack in plane geometry

有限几何体中,非对称条件下裂纹的扩展方向与扩展轨迹问题,是工程断裂力学理论研究中的焦点之一[1-4].对于I 型裂纹,在平面条件下的有限几何体中,根据其所处的相对位置,可以归结为两种不对称形式:顺开裂面方向上,裂纹不在几何中心;垂直裂纹面方向上,裂纹不在几何中心,如图1所示.对于前一种情形,主要涉及裂纹两端在原裂纹面方向上的扩展量和

扩展速率上的非对称问题[4]

,而对于后一种情形,则还涉及到扩展过程中的扩裂角问题,情形比较复杂,一般通过数值模拟进行分析,本文则以端部开有一不对称裂缝的悬臂梁的受力弯曲效应入手,通过材料力学与线弹性断裂力学理论的结合,对于后一种非对称情形下的裂缝扩展问题加以讨论.

1　基于材料力学理论的分析

根据材料力学,可以把梁分解为三段考虑(图2).其中,BC 段可近似地视为端部在B -B ′处受力为P =P 2-P 1的悬臂梁,于是在区间(a ≤x ≤a +L )内有

xx =3(P 2-P 1)2H 3b (x -a )y yy =0 xy =3(P 2-P 1)4bH (1-y 2

H

2)

(1)

同理可将A B 段中,以裂缝为界的上、下两分支段,也都近似地视为固定端在B -B ′

处的悬臂梁受力 收稿日期:2005-05-18 修改稿日期:2005-09-12

基金项目:交通部西部交通建设重点科技项目(200431881212);国家自然科学基金重点项目(40534021)作者简介:马润勇(1961-),男,陕西子洲人,高级工程师,博士,从事工程地质、岩土工程教学与研究.

图2　自由端有不对称裂缝的悬臂梁

Fig.2　Diagr am sh ow in g an overhanging beam has

a as ymmetrical crack at the free end

情况,并在区间(0≤x ≤a )内近似得到

2xx =3P 22h 32b xy 2yy =0 2xy =3P 24bh 2(1-y 2

h 22

)(2) 1xx =3P 12h 31b xy 1yy =0 1xy =3P 14bh 1(1-y 2

h 21

)(3)此处式(2)、(3)中的数字下角标号2,1分别对应上、下分支梁.由式(1)得裂端处的剪应力为

xy =3(P 2-P 1)4bH [1-(H -2h 2)2

H 2

](4)

而裂端自由面处的相对拉应力为

xx (a )= 2xx (a )- 1xx (a )=

3a (P 2

h 21

-P 1h 22

)

2b (h 1h 2)

2

(5)

考虑极端情形,即破裂面之下介质的P 1很小或为0,且破裂面之下介质厚度较大,亦即有2h 1>>2h 2或H >>2h 2,则除了仍然有 yy =0外,式(3)中的各应力分量以及式(4)都近似为零,式(5)也近似地变为

xx (a )=

3aP 2

2bh 22

(6)

由材料力学知,梁固定端外凸表面处(即图2中从梁的外凸自由表面向固定端靠近处),拉应力(或正应力)最大,因此, x x (a )对梁的稳定性起主导控制作用,即 x x (a )之值一旦达到材料的抗拉强度 t ,上分支梁在裂端表面部位最先出现向上扩展的垂直张裂缝.显然,在此处我们很难从材料力学角度解析原裂纹尖端的应力场分布特征,因此需借助断裂力学理论进行分析.

2　基于断裂力学理论的分析

如果单纯从断裂力学角度分析,图2所示的受力状态下,该裂纹显然属于Ⅰ型裂纹,会在裂端附近产生较大的应力集中现象,并具有Ⅰ型裂纹的应力场形式:

xx =K I

2 r cos !2(1-sin !2sin 3!2)或 rr =

K I

2 r sin !2[1+sin 2(!2)]

yy =K I 2 r

co s !2(1+sin !2sin 3!

2)或 !!=

K I 2 r

cos 3(!2)

x y =

K I 2 r

cos !2sin !2sin 3!2或 r !=

K I 2 r

cos 2(!2)sin 2(!

2)

(7)

式中:K I 为应力强度因子.由于属Ⅰ型裂纹,裂纹端部应力场中的 yy 对裂纹的扩展起到主导作用,而 xx 对裂纹的扩展没有影响,因此,不管从Griffith 能量释放理论、最大周向应力理论还是最大能量释放率理论上,裂纹的扩展方向是沿自身平面内扩展的[5],即裂纹扩裂角!0=0.在此情况下,由式(7)知,在!=0时, yy (或 !!)有最大值,即

yy =

K I (2 r ),K I =∀(P 1+P 2)a (h 1+h 22h 1h 2

)3/2

(8)

式中:r =(x 2

+y 2)

1/2

为极坐标系中以裂端为参考原点的距离参量;∀为修正系数.

3　裂端扩裂迹线的确定

在上述断裂力学分析过程中,尚未分析裂端处附近裂纹表面的应力场分量值有多大,该值与材料的分析结果是否相同等问题.事实上,从式(7)注意到,!=180°时,只要r 不为0,裂端附近表面应力场值

74 西　安　建　筑　科　技　大　学　学　报(自然科学版) 第38卷