2005年高考理科数学试题及答案(天津)

2005年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题
天津卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形
码。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 3
3
4R V π=
球 如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径
)(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅ 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率 V 柱体=Sh
是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发 其中S 表示柱体的底面积， 生k 次的概率 h 表示柱体的高。

P n （k ）=C n P k (1-P)
n-k
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。

（1）设集合},914{R x x x A ∈≥-=, },03
{R x x x
x B ∈≥+=, 则=B A I （ ）
(A)]2,3(-- (B) ]2
5
,0[]2,3(⋃--
(C) ),25[]3,(+∞⋃--∞ (D) ),2
5
[)3,(+∞⋃--∞
(2)若复数i
i
a 213++（R a ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
（A ）-2 (B)4
(C) -6
(D)6
(3)给出下列三个命题
①若1->≥b a ,则
b
b a a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2
)(n m n m ≤
-
③设),(11y x P 为圆9:2
21=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为 1.当
1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切
其中假命题的个数为（ ） (A) 0 (B) 1
(C) 2
(D)3
(4)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ）
(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,
(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
(5)设双曲线以椭圆
19
252
2=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
(A)2±
(B)3
4±
(C)2
1
±
(D)4
3±
(6)从集合}11,,3,2,1{Λ中任选两个元素作为椭圆方程122
22=+n
y m x 中的m 和n ,则能组成落在矩形区
域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为（ ）
(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90
(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
(A)
125
81 (B)
125
54
(C)
125
36
(D)
125
27 (8)要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+
=x y 的图象上所有的点的（ ）
(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π
个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4
π
个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π
个单位长度
(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8
π
个单位长度
(9)设)(1x f -是函数)1( )(2
1)(>-=-a a a x f x
x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为
（ ）
(A)),21(2+∞-a a (B) )21
,(2a a --∞ (C) ),21
(2a a
a - (D) ),[+∞a
(10)若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，
则a 的取值范围是（ ） (A))1,4
1[
(B) )1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
二．填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

（11）设*
∈N n ,则=++++-123216
66n n n n n n C C C C Λ ． （12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与
AC 所成角的正切值等于________．
（13）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*
+∈-+=-N n a a n n n 则
100S =_____．
（14）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = ．
（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%投资成功 投资失败 192次
8次
（16）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1
=
x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________．
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件
222a bc c b =-+和
32
1
+=b c ，求A ∠和B tan 的值
（18）（本小题满分12分）
已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*
---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n Λ。

（Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S
（Ⅱ）求1
lim
-∞→n n
n u u
（19）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为ο
120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1
（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积
（20）（本小题满分12）
某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）
（21）（本小题满分14分）
抛物线C 的方程为)0(2
<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k 。

（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程
（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上
（Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围
（22）（本小题满分14分） 设函数)( sin )(R x x x x f ∈=.
（Ⅰ）证明x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+,其中为k 为整数；
（Ⅱ）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明2
40
2
01)]([x x x f +=
；
（Ⅲ）设)(x f 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列ΛΛ,,,,21n a a a ,证明
),2,1( 2
1Λ=<-<+n a a n n ππ
2005年全国普通高等学校招生考试数学答案
天津卷（理工类）
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共24分） （11）
)17(6
1-n
； （12）2； （13）2600； （14）)5103,510(-；（15）4760； （16）0． 三、解答题（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）
（17）
解：由余弦定理2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A ，因此ο60=∠A ． 在ABC ∆中，B B A C ∠-=∠-∠-=∠ο
ο
120180．由已知条件，应用正弦定理
2
1
cot 23sin sin 120cos cos 120sin sin )120sin(sin sin 321+=-=-===+B B B B B B B C b c οοο，解得2cot =B 从而2
1
tan =B ．
（18）解：（Ⅰ）当b a =时，n n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和
n n n a n na a a a S )1(432132++++++=-Λ． ①
①式两边同乘以a ，得 1
432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS Λ ② ①式减去②式，得 1
32)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a Λ
若1≠a ，
a a n a a a S a n n n ++---=-+1
)1(1)1()1(，2
21212)
1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++ 若1=a ，2
)
3()1(32+=
+++++=n n n n S n Λ
A
B 1
（Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n
n a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)
1(lim )1(lim lim 11
． 当b a ≠时，)(11)(1)()(1[111
211+++----=--=++++=++++=n n n n n n n n n n n
b a b a a
b a b
a a
b a b a b a b ab b a a u ΛΛ 此时，n
n
n n n n b
a b a u u --=++-1
11． 若0>>b a ，a a
b
a b b a b a b
a u u n
n
n n
n n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim
lim
lim
1
11
． 若0>>a b ，b b
a b b a
a u u n
n n n n
n =--==∞→-∞→1)()(lim lim
1
．
（19）解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．
∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．
∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，
即ο
120=∠AGE ． 由于四边形AGE A 1为平行四边形，得ο
601=∠AG A ．
（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．
（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则
A
O
P
l x
y B
C α
AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．
又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．
设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．
在FO A Rt 1∆中，3
330cos 21cos 111a
a
H AA F A O A ===ο．故所求
球的半径a R 3
3
=，球的体积33273434a R V ππ=
=．
（20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0,200(A ，
)220,0(B ，)300,0(C ．
直线l 的方程为αtan )200(-=x y ，即2
200
-=x y ． 设点P 的坐标为),(y x ，则)2
200
,
(-x x P （200>x ） 由经过两点的直线的斜率公式x x x x k PC 28003002200-=--=，x
x x x k PB 2640220
2200
-=
--=． 由直线PC 到直线PB 的角的公式得640160288642640280012160
1tan 2
⨯+-=-⋅
-+=+-=x x x x
x x x x k k k k BPC PC
PB PC
PB 288
64016064
-⨯+=
x
x （200>x ）
要使BPC tan 达到最大，只须288640
160-⨯+x
x 达到最小． 由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+
x x ．当且仅当x
x 640
160⨯=时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时，点P 的纵坐标y 为602
200
320=-=
y ． 由此实际问题知，2
0π
<
∠<BPC ，所以BPC tan 最大时，BPC ∠最大．故当此人距水平地面60米高
时，观看铁塔的视角BPC ∠最大．
（21）解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2
ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,
0(a ，准线方程为a
y 41
-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-． 点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组⎩⎨
⎧=-=- 2
010)
(ax y x x k y y 的解．将②式代入①式得000112
=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=
+，故011x a
k
x -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组⎩
⎨
⎧=-=- 2
010)(ax y x x k y y 的解．将⑤式代入④式得000222
=-+-y x k x k ax ．于是a k x x 202=
+，故022x a
k
x -=． 由已知得，12k k λ-=，则012x k a
x --
=λ
． ⑥
设点M 的坐标为),(M M y x ，由BM λ-，则λ
λ++=
11
2x x x M ．
将③式和⑥式代入上式得00
01x x x x M -=+--=
λ
λ，即00=+x x M ．所以线段PM 的中点在y 轴上．
（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2
ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2
x y -=． 由③式知111--=k x ，代入2
x y -=得2
11)1(+-=k y ．
将1=λ代入⑥式得112-=k x ，代入2
x y -=得2
22)1(+-=k y ．
因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为
)12,1(1211-----k k k A ，)12,1(12
11-+--k k k B ．于是)2,2(1211k k k AP ++=，)4,2(11k k AB =，
)12)(2(2)2(4)2(211112
1111++=+++=⋅k k k k k k k k ．
因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0<⋅．
求得1k 的取值范围是21-<k 或021
1<<-k ．又点A 的纵坐标1y 满足211)1(+-=k y ，故 当21-<k 时，11-<y ；当0211<<-k 时，4111-<<-y ．即)4
1
,1()1,(1----∞∈Y y
（22）解：（Ⅰ）证明：由函数)(x f 的定义，对任意整数k ，有
①②
④
⑤
x k x x x k x x x k x k x x f k x f sin 2sin sin )2(sin )2sin()2()()2(πππππ=-+=-++=-+．
（Ⅱ）证明：函数)(x f 在定义域R 上可导，x x x x f cos sin )(+=' ①
令0)(='x f ，得0cos sin =+x x x ．显然，对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ，上述方程化简为
x x tan -=．此方程一定有解．)(x f 的极值点0x 一定满足00tan x x -=． 由x x x x x x 222222
tan 1tan cos sin sin sin +=+=，得0
2
0202
tan 1tan sin x x x +=． 因此，2
40
02
20201sin )]([x x x x x f +=
=．
（Ⅲ）证明：设00>x 是0)(='x f 的任意正实数根，即00tan x x -=，则存在一个非负整数k ，使
),2
(
0ππππ
k k x ++∈，即0x 在第二或第四象限内．由①式，)(tan cos )(x x x x f +='在第二或第四象
限中的符号可列表如下：
所以满足0)(='x f 的正根0x 都为)(x f 的极值点．
由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程x x tan -=的全部正实数根且满足ΛΛ<<<<n a a a 21， 那么对于Λ,2,1=n ，)tan()tan tan 1()tan (tan 1111n n n n n n n n a a a a a a a a -⋅+-=--=-++++． ② 由于
ππππ
)1()1(2
-+<<-+n a n n ，
ππππ
n a n n +<<++12
，则
2
32
1ππ
<
-<+n n a a ， 由于0tan tan 1>⋅+n n a a ，由②式知0)tan(1<-+n n a a ．由此可知n n a a -+1必在第二象限， 即π<-+n n a a 1． 综上，ππ
<-<+n n a a 12
．。