金融资产风险度量及其在风险投资中的应用_基于稳定分布的新视角
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①
就认为均值 － 方差模百度文库低估
J． P． Morgan 在风险度量中 了尾部风险． 1994 年， 引入了 VaＲ（ value at risk， 风险价值） ， 得到了学术 美国的众多评级公司和 界和实务界的广泛认可， 证券交易委员会都宣布和支持 VaＲ 作为风险测 度和管理风险的主要方法， 巴塞尔银行监管委员 会和美国联邦储备银行委员会也认可把 VaＲ 作 为可接受的金融风险度量方法之一． 但随着研究 VaＲ 却受到了众多人士的批评， 因为它 的深入， 不满足一致相容性风险度量条件， 不能度量尾部 更谈不上度量极端事件发生的风险 ． Artzner 风险， 等
用 Nolan 教授提供的稳
定分布软件对 1993 年 － 2000 年沪深两市的股票 得到了稳定分布的参数估计 收益率进行了拟合， 值． 黄登仕 等
［21 ］ ［20 ］
在金融市场的标度 理 论 中 对 有 关
1
Lévy 稳定分 布 的 一 些 进 展 进 行 了 评 述． 郭 亚 军 引入稳定分布对群组评价方法的研究中得 1． 1 到了群体 M 的群体偏好在适当长期内具有稳定 分布特征， 而国内学者对稳定分布应用到投资管 理过程中的风险度量非常之少． 耿志祥等
［8 － 9 ］ ［5 ］
在某一个结算日， 始额度都是 1 000 万元人民币， A 基 金 已 达 到 2 000 万 元， 这时候收益率为 100% ． 另外一个基金 B ， 开始账户也是 1 000 万元 人民币， 与 A 基金的结算日期相同， 最后基金也 达到 2 000 万元． 但从开始到最后结算这一时间 B 基金由 1 000 万元变动 3 000 万元， 然后 段内， 又跌到 1 500 万元， 最后涨到 2 000 万元， 虽然收 益率也是 100% ， 但中间经历了一次较大的跌幅， 跌幅达到 50% ， 这对基金管理人员是不得不考虑 的风险． 因为对于基金经理来说， 维护现有客户和 开发新的客户是基金能够维持和不断成长的关键 B基 所在， 尤其对于一个正在上扬的市场或牛市 ， 金的跌幅可能引发一部分客户撤离该基金 ， 转投 A 基金或其它投资． 因此， 对于基金经理来说， 该 风险应纳入到日常的风险管理中④． 在我国的香 港市场， 已经有一些实务人员关注 MDD， 而内地 关注度较少， 对 MDD 研究在学术界还没有完全 展开． DaＲ 表示处在风险中的跌幅， 简称为风险 跌幅． CDaＲ 表示条件风险跌幅． Chekhlov 等
［13 ］
研究了 DD 的分布， 并讨论了
跟踪时间长度、 收益率均值和收益率的波动率对 DD 分布的影响． Johansen 等［14］ 运用扩展的指数 分布对不同国家指数、 商品和货币建立了跌幅的
［15 ］ 严 重 程 度 影 响 模 型． Melo 等 建 议 用 EVT
（ extreme value theory， 极值理论 ） 来分析 MDD 影 响的严重性和持久性， 并给出了 GAＲCH 波动率 与 MDD 之间的变化关系． 以上学者对风险度量的研究都有一个共同的 特点， 那就是对金融资产的风险度量通常先假设 如均值 － 方差模型假设收益率服 收益率的分布， 从正态分布， 从微观到现在的宏观风险测度通常
第1 期
— —基于稳定分布的新视角 耿志祥等： 金融资产风险度量及其在风险投资中的应用 —
— 89 —
都假设资产价格运动服从正态分布 ⑤ ． 但正态分 布不能描述资产的“尖峰厚尾 ” 现象和分布不对 称特征． Mandelbrot
［17 － 18 ］
建立了离差率模型， 结果表明在风险投资 险测度， 中稳定分布可用于风险管理． 对于不同期限的投 作者研究了不同跟踪时间窗口下的 MDD， 这 资， 也是长短期投资者在投资风险过程管理中更感兴 趣的指标， 投资者和风险管理人员在投资和风险 管理过程中应警惕 MDD 风险． 运用稳定分布这 一厚尾分布去管理投资风险可起到控制风险作 用． 投资者可利用稳定分布对其投资进行风险测 度和风险管理．
0
引
言
不少学者发现 广泛应用． 但随着实证研究的深入， 收益率并不服从正态分布， 而是存在“尖峰厚尾 ” 的分形特征， 一般还带有一定的偏度和位置参数 的变化． Ararwal 等
［2 ］
金融市场中充斥着大量的风险， 随着金融市 金 场全球化趋势加强和衍生品市场的飞速发展 ， 融市场呈现出前所未有的波动性， 再加上不断的 ， 金融创新 金融机构和投资者面临日趋增多且复 市场中由于风险管理不善造成的 杂的金融风险， 损失或公司倒闭的例子不胜枚举 ． 如 2007 年由美 国次贷危机引发美国投资银行的崩溃就是风险管 理不到位的结果， 先后造成了华尔街的五大投行 相继破产， 最终酿成了全球性的金融危机． 因此， 对于金融机构、 投资者、 风险监管机构乃至政府而 言， 加强对风险的测度和预防管理刻不容缓 ． 金融资产的风险测度是金融市场风险管理的 基础与核心， 一直倍受风险研究人员和投资管理 人士的关注， 他们都在为寻找合适的度量风险工 Markowitz［1］ 具而不懈努力． 早在 20 世纪 50 年代， 就提出了均值 － 方差模型， 用收益率的方差来描 述证券投资风险． 由于方差具有良好的统计性质， 且度量风险简便易行， 因此在投资管理中得到了
［11 ］
首
次引入了 DaＲ 和 CDaＲ 风险度量方法进行资产 组合投资管理． DaＲ 定义如同 VaＲ， 而 CDaＲ 则与 CVaＲ 和 ES 相类似， 它也满足一致性风险度量条
［12 ］ 件． Chekhlov 等 用 风 险 度 量 指 标 DD （ Draw-
down， 跌幅 ） 和 MDD 对资产投资进行组合优化， 研究了带有跌幅约束下的最优资产组合最优化模 型． Burghardt 等
［3 ］
引入了 CVaＲ （ conditional value at risk， 条件
风险价值） 作为风险度量工具， 能够弥补 VaＲ 以 上缺点， 它满足一致相容性风险度量条件 ， 能够度
［4 ］ 量尾部发生的风险． Ｒockafellar 和 Uryasevb 认
CVaＲ 为 CVaＲ 比 VaＲ 更好地度量金融市场风险，
— 88 —
管
理
科
学
学
报
2016 年 1 月
满足次可数可加性， 能够度量超过 VaＲ 部分的风 险， 能够通过线性规划解决大规模的资产组合优 化的有效边界问题． 但当投资组合损失的密度函 CVaＲ 也不再是一致性风险 数不是连续函数时， Tasche 提 出 了 ES 度量 模 型． 在 此 基 础 上， （ expected shortfall， ES 模型是对 期望损失 ） 模型， CVaＲ 模型的改进， 是一致性风险度量， 当损失密 ES 模型的结果与 CVaＲ 模型得到 度函数连续时， 的结果相同． 当损失分布不连续时， 两者计算的结 果有一定的差异． ES 模型对损失的分布没有特殊 的要求， 分布函数不论在连续还是不连续时 ， 它都 它在度量极端 能满足一致性风险度量条件． 因此， 风险模型中得到了广泛的应用． CVaＲ 和 ES 可统称为 VaＲ 类风 上面的 VaＲ、 险度量模型． 对于投资人员来说， 在风险管理中不 仅要关注 VaＲ 类风险指标， 还要注意到投资过程 如证券投资中一次较大的跌幅可 中的风险变化， 能会使投资者的投资策略发生改变 ． 最近， 流行于 欧美市场的一种新的风险测度方法 —MDD （ maximum drawdown，最大跌幅 ） 、 AvDD （ average drawdown， DaＲ （ drawdown at risk， 平均跌幅 ） 、 风险跌 条件风 幅） 和 CDaＲ（ conditional drawdown at risk， ② 险跌幅） 受到了实务人员的追捧 ． 私人投资者、 机构投资者、 基金经理、 共同基金和对冲基金管理 ， 者都开始关注此指标 它们可作为 VaＲ 类风险度 量的补充， 统称为 DaＲ 类风险模型． MDD 是最大 ［7 ］ 跌幅， 它由 Acar 和 James 首次提出， 它是指在 某一段时间内， 某项资产或资产组合价格从最高 点跌到最低点的幅度， 通常用百分比表示． Magdon 等 对 MDD 作了详尽的描述并研究了布 ［10 ］ 朗运 动 下 的 MDD． Pospisil 等 首 先 在 BlackScholes 公式的框架下推导了 MDD 下的价格扩散 通过求解偏微分方程 数 值 解 得 到 了 MDD 方程， 的期望值． Jan Vecer 在其工作论文中认为资产组 合投资经理可以把 MDD 当作对冲工具来阻止资 资产经理、 机 产组合投资损失③． 在国外市场中， 构投资者、 私人投资者、 共同基金和对冲基金越来 越关注 MDD， 这项指标可作为投资的参考指标． ， 例如 假设有两种基金 A 和 B ， 每种基金账户的开
［22］
VaＲ 类和 DaＲ 类风险 稳定分布、 测度
稳定分布 稳定分布又被称为阿尔法 － 稳定分布（ Alpha或 分 形 分 布 （ Mandel-
对上
stable distribution ） brot
［17 － 18 ］
证综指用各种参数分布和非参数分布拟合 ， 建立 相关指标结果表明在 1% 和 5% 的置信度水平下， 稳定 分 布 更 适 合 度 量 风 险， 在此基础上建立了 DaＲ 类风险度量． 本文将选取沪深两市指数日数 据对此进行更深入研究． 本文的主要贡献有三个方面． 首先， 对上证综 指和深圳成指运用稳定分布拟合其收益率分布 ， 得到了不同指数的稳定分布参数估计值， 对拟合 效果进行了拟合效果检验， 结果表明稳定分布能 够很好的拟合收益率分布． 其次， 在不同置信度水 平下进行 VaＲ 类风险和 DaＲ 类风险测度研究， 得 到了上证综指和深圳成指跌幅趋势图， 给出了收 这为研究其他金融资产 益率和跌幅相关性分析， 风险度量提供了一种可行方案． 最后， 通过蒙特卡 洛稳定分布和正态分布模拟 VaＲ 类和 DaＲ 类风 E exp（ itX ） =
认为股票收益率可以用
特征指数小于 2 的稳定 － 列维或稳定 － 帕累托分 “尖峰厚尾 ” 布描述收益率的 现象． 由于稳定分布 只能通过特征函数的形式表示， 没有显示表达式， 且求解也较为复杂， 国内有些学者主要运用稳定 分布研究一些指数是否符合该分布， 如上证综指 和深圳成指等． 徐龙炳
［19 ］
第 19 卷第 1 期 2016 年 1 月
管 理 科 学 学 报 JOUＲNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
Vol． 19 No． 1 Jan． 2016
金融资产风险度量及其在风险投资中的应用
— — —基于稳定分布的新视角
1 2 耿志祥 ，费为银
①
（ 1． 北京大学经济学院，北京 100871 ； 2． 安徽工程大学金融工程系，芜湖 241000 ） 摘要： 引入稳定分布对沪深两市指数数据进行检验 ， 结果表明两指数具有“尖峰厚尾 ” 的分形 特征， 在此基础上建立了 DaＲ 类风险测度， 实证研究表明两指数跌幅时间序列存在协同跌幅 给出了蒙特卡洛稳定分布和正态分布模拟下的两类风险测度估计值 ， 建立 共线性效应． 其次， 了离差率模型， 结果表明稳定分布下的风险度量适合投资者进行风险管理 ． 最后， 研究了不同 跟踪时间窗口下的风险测度指标 MDD． 投资者和风险管理人员不仅要关注 VaＲ 类风险， 更要 警惕 DaＲ 类风险指标． 关键词： 稳定分布； VaＲ 类和 DaＲ 类风险测度； 离差率模型； 蒙特卡洛模拟； 风险投资 中图分类号： F830． 9 文献标识码： A 文章编号： 1007 － 9807 （ 2016 ） 01 － 0087 － 15
收稿日期： 2013 － 05 － 18 ； 修订日期： 2015 － 10 － 26． 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （ 71171003 ； 71571001 ） ． 作者简介： 耿志祥（ 1981 —） ，男，安徽芜湖人，博士生． Email： zhixianggeng@ sohu． com
［6 ］ 后面 DaＲ 类风险度量模型部分会介绍． ② Harmantzis 等 对 DaＲ 类风险度量给出了具体的数学表达式和意义说明 ，
‘Preventing Portfolio Losses by Hedging Maximum Drawdown’ ． ③ 具体可参见哥伦比亚大学统计系 Jan Vecer （ 2007 ） 的工作论文 基金经理有时将 MDD 作为约束条件来进行组合投资优化和风险管理． ④ 在欧美市场 ，
就认为均值 － 方差模百度文库低估
J． P． Morgan 在风险度量中 了尾部风险． 1994 年， 引入了 VaＲ（ value at risk， 风险价值） ， 得到了学术 美国的众多评级公司和 界和实务界的广泛认可， 证券交易委员会都宣布和支持 VaＲ 作为风险测 度和管理风险的主要方法， 巴塞尔银行监管委员 会和美国联邦储备银行委员会也认可把 VaＲ 作 为可接受的金融风险度量方法之一． 但随着研究 VaＲ 却受到了众多人士的批评， 因为它 的深入， 不满足一致相容性风险度量条件， 不能度量尾部 更谈不上度量极端事件发生的风险 ． Artzner 风险， 等
用 Nolan 教授提供的稳
定分布软件对 1993 年 － 2000 年沪深两市的股票 得到了稳定分布的参数估计 收益率进行了拟合， 值． 黄登仕 等
［21 ］ ［20 ］
在金融市场的标度 理 论 中 对 有 关
1
Lévy 稳定分 布 的 一 些 进 展 进 行 了 评 述． 郭 亚 军 引入稳定分布对群组评价方法的研究中得 1． 1 到了群体 M 的群体偏好在适当长期内具有稳定 分布特征， 而国内学者对稳定分布应用到投资管 理过程中的风险度量非常之少． 耿志祥等
［8 － 9 ］ ［5 ］
在某一个结算日， 始额度都是 1 000 万元人民币， A 基 金 已 达 到 2 000 万 元， 这时候收益率为 100% ． 另外一个基金 B ， 开始账户也是 1 000 万元 人民币， 与 A 基金的结算日期相同， 最后基金也 达到 2 000 万元． 但从开始到最后结算这一时间 B 基金由 1 000 万元变动 3 000 万元， 然后 段内， 又跌到 1 500 万元， 最后涨到 2 000 万元， 虽然收 益率也是 100% ， 但中间经历了一次较大的跌幅， 跌幅达到 50% ， 这对基金管理人员是不得不考虑 的风险． 因为对于基金经理来说， 维护现有客户和 开发新的客户是基金能够维持和不断成长的关键 B基 所在， 尤其对于一个正在上扬的市场或牛市 ， 金的跌幅可能引发一部分客户撤离该基金 ， 转投 A 基金或其它投资． 因此， 对于基金经理来说， 该 风险应纳入到日常的风险管理中④． 在我国的香 港市场， 已经有一些实务人员关注 MDD， 而内地 关注度较少， 对 MDD 研究在学术界还没有完全 展开． DaＲ 表示处在风险中的跌幅， 简称为风险 跌幅． CDaＲ 表示条件风险跌幅． Chekhlov 等
［13 ］
研究了 DD 的分布， 并讨论了
跟踪时间长度、 收益率均值和收益率的波动率对 DD 分布的影响． Johansen 等［14］ 运用扩展的指数 分布对不同国家指数、 商品和货币建立了跌幅的
［15 ］ 严 重 程 度 影 响 模 型． Melo 等 建 议 用 EVT
（ extreme value theory， 极值理论 ） 来分析 MDD 影 响的严重性和持久性， 并给出了 GAＲCH 波动率 与 MDD 之间的变化关系． 以上学者对风险度量的研究都有一个共同的 特点， 那就是对金融资产的风险度量通常先假设 如均值 － 方差模型假设收益率服 收益率的分布， 从正态分布， 从微观到现在的宏观风险测度通常
第1 期
— —基于稳定分布的新视角 耿志祥等： 金融资产风险度量及其在风险投资中的应用 —
— 89 —
都假设资产价格运动服从正态分布 ⑤ ． 但正态分 布不能描述资产的“尖峰厚尾 ” 现象和分布不对 称特征． Mandelbrot
［17 － 18 ］
建立了离差率模型， 结果表明在风险投资 险测度， 中稳定分布可用于风险管理． 对于不同期限的投 作者研究了不同跟踪时间窗口下的 MDD， 这 资， 也是长短期投资者在投资风险过程管理中更感兴 趣的指标， 投资者和风险管理人员在投资和风险 管理过程中应警惕 MDD 风险． 运用稳定分布这 一厚尾分布去管理投资风险可起到控制风险作 用． 投资者可利用稳定分布对其投资进行风险测 度和风险管理．
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引
言
不少学者发现 广泛应用． 但随着实证研究的深入， 收益率并不服从正态分布， 而是存在“尖峰厚尾 ” 的分形特征， 一般还带有一定的偏度和位置参数 的变化． Ararwal 等
［2 ］
金融市场中充斥着大量的风险， 随着金融市 金 场全球化趋势加强和衍生品市场的飞速发展 ， 融市场呈现出前所未有的波动性， 再加上不断的 ， 金融创新 金融机构和投资者面临日趋增多且复 市场中由于风险管理不善造成的 杂的金融风险， 损失或公司倒闭的例子不胜枚举 ． 如 2007 年由美 国次贷危机引发美国投资银行的崩溃就是风险管 理不到位的结果， 先后造成了华尔街的五大投行 相继破产， 最终酿成了全球性的金融危机． 因此， 对于金融机构、 投资者、 风险监管机构乃至政府而 言， 加强对风险的测度和预防管理刻不容缓 ． 金融资产的风险测度是金融市场风险管理的 基础与核心， 一直倍受风险研究人员和投资管理 人士的关注， 他们都在为寻找合适的度量风险工 Markowitz［1］ 具而不懈努力． 早在 20 世纪 50 年代， 就提出了均值 － 方差模型， 用收益率的方差来描 述证券投资风险． 由于方差具有良好的统计性质， 且度量风险简便易行， 因此在投资管理中得到了
［11 ］
首
次引入了 DaＲ 和 CDaＲ 风险度量方法进行资产 组合投资管理． DaＲ 定义如同 VaＲ， 而 CDaＲ 则与 CVaＲ 和 ES 相类似， 它也满足一致性风险度量条
［12 ］ 件． Chekhlov 等 用 风 险 度 量 指 标 DD （ Draw-
down， 跌幅 ） 和 MDD 对资产投资进行组合优化， 研究了带有跌幅约束下的最优资产组合最优化模 型． Burghardt 等
［3 ］
引入了 CVaＲ （ conditional value at risk， 条件
风险价值） 作为风险度量工具， 能够弥补 VaＲ 以 上缺点， 它满足一致相容性风险度量条件 ， 能够度
［4 ］ 量尾部发生的风险． Ｒockafellar 和 Uryasevb 认
CVaＲ 为 CVaＲ 比 VaＲ 更好地度量金融市场风险，
— 88 —
管
理
科
学
学
报
2016 年 1 月
满足次可数可加性， 能够度量超过 VaＲ 部分的风 险， 能够通过线性规划解决大规模的资产组合优 化的有效边界问题． 但当投资组合损失的密度函 CVaＲ 也不再是一致性风险 数不是连续函数时， Tasche 提 出 了 ES 度量 模 型． 在 此 基 础 上， （ expected shortfall， ES 模型是对 期望损失 ） 模型， CVaＲ 模型的改进， 是一致性风险度量， 当损失密 ES 模型的结果与 CVaＲ 模型得到 度函数连续时， 的结果相同． 当损失分布不连续时， 两者计算的结 果有一定的差异． ES 模型对损失的分布没有特殊 的要求， 分布函数不论在连续还是不连续时 ， 它都 它在度量极端 能满足一致性风险度量条件． 因此， 风险模型中得到了广泛的应用． CVaＲ 和 ES 可统称为 VaＲ 类风 上面的 VaＲ、 险度量模型． 对于投资人员来说， 在风险管理中不 仅要关注 VaＲ 类风险指标， 还要注意到投资过程 如证券投资中一次较大的跌幅可 中的风险变化， 能会使投资者的投资策略发生改变 ． 最近， 流行于 欧美市场的一种新的风险测度方法 —MDD （ maximum drawdown，最大跌幅 ） 、 AvDD （ average drawdown， DaＲ （ drawdown at risk， 平均跌幅 ） 、 风险跌 条件风 幅） 和 CDaＲ（ conditional drawdown at risk， ② 险跌幅） 受到了实务人员的追捧 ． 私人投资者、 机构投资者、 基金经理、 共同基金和对冲基金管理 ， 者都开始关注此指标 它们可作为 VaＲ 类风险度 量的补充， 统称为 DaＲ 类风险模型． MDD 是最大 ［7 ］ 跌幅， 它由 Acar 和 James 首次提出， 它是指在 某一段时间内， 某项资产或资产组合价格从最高 点跌到最低点的幅度， 通常用百分比表示． Magdon 等 对 MDD 作了详尽的描述并研究了布 ［10 ］ 朗运 动 下 的 MDD． Pospisil 等 首 先 在 BlackScholes 公式的框架下推导了 MDD 下的价格扩散 通过求解偏微分方程 数 值 解 得 到 了 MDD 方程， 的期望值． Jan Vecer 在其工作论文中认为资产组 合投资经理可以把 MDD 当作对冲工具来阻止资 资产经理、 机 产组合投资损失③． 在国外市场中， 构投资者、 私人投资者、 共同基金和对冲基金越来 越关注 MDD， 这项指标可作为投资的参考指标． ， 例如 假设有两种基金 A 和 B ， 每种基金账户的开
［22］
VaＲ 类和 DaＲ 类风险 稳定分布、 测度
稳定分布 稳定分布又被称为阿尔法 － 稳定分布（ Alpha或 分 形 分 布 （ Mandel-
对上
stable distribution ） brot
［17 － 18 ］
证综指用各种参数分布和非参数分布拟合 ， 建立 相关指标结果表明在 1% 和 5% 的置信度水平下， 稳定 分 布 更 适 合 度 量 风 险， 在此基础上建立了 DaＲ 类风险度量． 本文将选取沪深两市指数日数 据对此进行更深入研究． 本文的主要贡献有三个方面． 首先， 对上证综 指和深圳成指运用稳定分布拟合其收益率分布 ， 得到了不同指数的稳定分布参数估计值， 对拟合 效果进行了拟合效果检验， 结果表明稳定分布能 够很好的拟合收益率分布． 其次， 在不同置信度水 平下进行 VaＲ 类风险和 DaＲ 类风险测度研究， 得 到了上证综指和深圳成指跌幅趋势图， 给出了收 这为研究其他金融资产 益率和跌幅相关性分析， 风险度量提供了一种可行方案． 最后， 通过蒙特卡 洛稳定分布和正态分布模拟 VaＲ 类和 DaＲ 类风 E exp（ itX ） =
认为股票收益率可以用
特征指数小于 2 的稳定 － 列维或稳定 － 帕累托分 “尖峰厚尾 ” 布描述收益率的 现象． 由于稳定分布 只能通过特征函数的形式表示， 没有显示表达式， 且求解也较为复杂， 国内有些学者主要运用稳定 分布研究一些指数是否符合该分布， 如上证综指 和深圳成指等． 徐龙炳
［19 ］
第 19 卷第 1 期 2016 年 1 月
管 理 科 学 学 报 JOUＲNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
Vol． 19 No． 1 Jan． 2016
金融资产风险度量及其在风险投资中的应用
— — —基于稳定分布的新视角
1 2 耿志祥 ，费为银
①
（ 1． 北京大学经济学院，北京 100871 ； 2． 安徽工程大学金融工程系，芜湖 241000 ） 摘要： 引入稳定分布对沪深两市指数数据进行检验 ， 结果表明两指数具有“尖峰厚尾 ” 的分形 特征， 在此基础上建立了 DaＲ 类风险测度， 实证研究表明两指数跌幅时间序列存在协同跌幅 给出了蒙特卡洛稳定分布和正态分布模拟下的两类风险测度估计值 ， 建立 共线性效应． 其次， 了离差率模型， 结果表明稳定分布下的风险度量适合投资者进行风险管理 ． 最后， 研究了不同 跟踪时间窗口下的风险测度指标 MDD． 投资者和风险管理人员不仅要关注 VaＲ 类风险， 更要 警惕 DaＲ 类风险指标． 关键词： 稳定分布； VaＲ 类和 DaＲ 类风险测度； 离差率模型； 蒙特卡洛模拟； 风险投资 中图分类号： F830． 9 文献标识码： A 文章编号： 1007 － 9807 （ 2016 ） 01 － 0087 － 15
收稿日期： 2013 － 05 － 18 ； 修订日期： 2015 － 10 － 26． 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （ 71171003 ； 71571001 ） ． 作者简介： 耿志祥（ 1981 —） ，男，安徽芜湖人，博士生． Email： zhixianggeng@ sohu． com
［6 ］ 后面 DaＲ 类风险度量模型部分会介绍． ② Harmantzis 等 对 DaＲ 类风险度量给出了具体的数学表达式和意义说明 ，
‘Preventing Portfolio Losses by Hedging Maximum Drawdown’ ． ③ 具体可参见哥伦比亚大学统计系 Jan Vecer （ 2007 ） 的工作论文 基金经理有时将 MDD 作为约束条件来进行组合投资优化和风险管理． ④ 在欧美市场 ，