2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效测评新人教A版选修2-2资料

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高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案(含解析)新人教A版选修2-2(new)

2.2。

2 反证法反证法,他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示:运用了反证法的推理思想．问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾,从而证明原结论正确．1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示:错误!―→错误!―→错误!―→错误!2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题,证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p"为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．设函数f(x）＝）,f（1)均为奇数．求证：f(x）＝0无整数根．假设f（x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z),而f(0）,f(1）均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n（an＋b)为奇数，∴n,an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数,即a（n－1）为奇数，∴n－1为奇数,这与n为奇数矛盾,∴f（x）＝0无整数根．1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地,当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤:(1）反设-—假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；（2)归谬-—由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3）存真--由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1,求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明:假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1。

2016-2017学年高中数学人教版选修1-2课件第二章推理与证明 2.2-2.2.2反证法

所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
第三十二页，编辑于星期五：十六点五十四分。
[迁移探究 1] (变换条件)已知 a，b，c∈(0，2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 都大于 1. 因为 a，b，c∈(0，2) 所以 2－a>0，2－b>0，2－c>0.
第二十八页，编辑于星期五：十六点五十四分。
假设过点 P 还有另一条直线 PB⊥α，设 PA，PB 确定的平面为 β，且 α∩β＝α，于是在平面 β 内过点 P 有两条直线 PA，PB 垂直于 α，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立．
第二十九页，编辑于星期五：十六点五十四分。
第二十四页，编辑于星期五：十六点五十四分。
因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
第二十五页，编辑于星期五：十六点五十四分。
归纳升华 1．证明时先由函数零点存在性定理判定函数 f(x)在 (a，b)内有零点，再由反证法证明零点的唯一性． 2．反证法证明唯一性命题的适用类型： (1) 当证明结论是 “ 有且只有 ”“ 只有一个 ”“ 唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．
第四十一页，编辑于星期五：十六点五十四分。
反证法否定结论时，对结论的反面要一一否定，不能遗漏．
第四十二页，编辑于星期五：十六点五十四分。
第四十三页，编辑于星期五：十六点五十四分。
∴n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． ∴f(x)＝0 无整数根．

2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件

已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于 1 4.
【精彩点拨】
“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对
立面为“全部大于”．
1 【自主解答】假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于4. ∵a，b，c∈(0,1)， ∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________
即过 a，b，m 有一个平面 α，如图．
假设过 a，b，m 还有一个平面 β 异于平面 α，则 a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与 a∥b，过 a，b 有且只有一个平面矛盾．因此，过 a，b，m 有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
反设词存在某个 x0 不成立存在某个 x0 成立綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q
至少有 n 个至多有 n－1 个至多有 n 个至少有 n＋1 个
[ 再练一题] 2．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c， d 中至少有一个是负数. 【导学号：60030058】

_学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理高效测评新人教A版选修2_2

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.1.1 合情推理高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )A．2 B．4C．6 D．8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案： C2．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．11 111 110 B．11 111 111C．11 111 112 D．11 111 113解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，∴1 234 567×9＋8＝11 111 111.答案： B3．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．答案： D4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”()A．定值B．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13·34a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13·34a 2·63a ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (此为正四面体的高)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝12ab .若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P －ABC 等于__________ .解析： V ＝13Sc ＝16abc .答案： 16abc6．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°， …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案： (1)(3)(4)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现： 1＝12，1＋3＝2×2＝22， 1＋3＋5＝3×3＝32， 1＋3＋5＋7＝4×4＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52， 1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想： 1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.尖子生题库☆☆☆ (10分)已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt △ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt △ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。

高中数学第二章推理与证明 2_3 数学归纳法高效测评新人教A版选修2-2

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法高效测评新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4解析：将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.答案： C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)，从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需要增乘的代数式为( )A ．2(2k ＋1)B ．2k ＋1C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，等式左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左端为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(2k ＋2)， ∴从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需增乘的式子为2(2k ＋1)．答案： A3．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立．则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．答案： C4．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为(k ≥3，k ∈N *)( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．解析： ∵210＝1 024>103,29＝512<93， ∴填10. 答案： 106．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明： (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对所有n ∈N ＋都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明： (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．尖子生题库☆☆☆(10分)是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6a 1＋2a 2＝24a 1＋2a 2＋3a 3＝60解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3. 故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立． ①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＝k (k ＋1)(k ＋2)．那么当n ＝k ＋1时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＋(k ＋1)a k ＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋3] ＝(k ＋1)(k 2＋2k ＋3k ＋6) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2] 所以当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立．。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选

2.2.2 反证法[A 基础达标]1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是（）A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.3.已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：选C.假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线.故应选C.4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数（） A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP7.完成反证法证题的全过程.设a 1，a 2，…，a 7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，p ＝（a 1－1）（a 2－2）…（a 7－7），求证：p 为偶数.证明：假设p 为奇数，则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为.①而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝Ｗ.② ①与②矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.解析：由假设p 为奇数，可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为奇数，而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝0，矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 08.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出.若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出.若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2＞2，故④不能推出.对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③ 9.如图所示，设SA 、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点.求证：AC 与平面SOB 不垂直.证明：如图所示，连接AB ，假设AC ⊥平面SOB .因为直线SO 在平面SOB 内，所以AC ⊥SO .因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ，所以SO ⊥平面SAB ，所以平面SAB ∥底面圆O .这显然矛盾，所以假设不成立，故AC 与平面SOB 不垂直.10.已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. 证明：假设1＋x y ，1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 因为x >0，y >0，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x ，所以2＋x ＋y ≥2（x ＋y ），即x ＋y ≤2，与已知x ＋y >2矛盾，所以1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. [B 能力提升]11.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋（a －1）x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，则实数a 的取值X 围为.解析：假设三个方程均无实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ2＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞） 12.若a 、b 、c 、d 都是有理数，c 、d 都是无理数，且a ＋c ＝b ＋d ，则a 与b ，c 与d 之间的数量关系为，.解析：假设a ≠b ，令a ＝b ＋m （m 是不等于零的有理数），于是b ＋m ＋c ＝b ＋d ，所以m ＋c ＝d ，两边平方整理得c ＝d －c －m 22m. 左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a ＝b ，从而c ＝d .答案：a ＝bc ＝d13.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.（1）求证：数列{S n }不是等比数列；（2）数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21（1＋q ）2＝a 1·a 1·（1＋q ＋q 2）.因为a 1≠0，所以（1＋q ）2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以假设不成立，所以数列{S n }不是等比数列.（2）当q ＝1时，S n ＝na 1，故数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，假设数列{S n }是等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1（1＋q ）＝a 1＋a 1（1＋q ＋q 2），得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.14.（选做题）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象与x 轴有两个不同的交点.若f （c ）＝0，且0＜x ＜c 时f （x ）＞0.（1）证明：1a是函数f （x ）的一个零点；（2）试用反证法证明：1a＞c . 证明：（1）因为f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f （x ）＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f （c ）＝0，所以x 1＝c 是f （x ）＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a .所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，所以1a是f （x ）＝0的另一个根，即1a是函数f （x ）的一个零点. （2）由第一问知1a ≠c ，故假设1a＜c ，易知1a＞0，由题知当0＜x ＜c 时，f （x ）＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，所以1a＞c .。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2反证法课时作业含解析新人教A版选修2

第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[17]A级基础巩固一、选择题1．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足a＋b＋c≤6，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是(A)A．假设a，b，c都大于2B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2D．假设a，b，c至少有一个大于2[解析]“a，b，c中至少有一个不大于2”的对立面是“a，b，c都大于2”，故选A．2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确[解析]反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D．3．(2020·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C) A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R 同时大于零的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( D )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a m ＋n ＋b m ＋n －a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n )>0⇔⎩⎨⎧ a m >b m a n >b n 或⎩⎨⎧a m <b ma n <b n ，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/ a >b . 二、填空题7．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设__a ≠－1或b ≠－1__.[解析] a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1.8．下列命题适合用反证法证明的是__①②③④__.①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x >0，y >0且x ＋y >2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．[解析] ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.三、解答题9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[解析] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．(2020·深圳高二检测)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．[解析] 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级素养提升一、选择题1．(多选题)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ＞2；②设x ，y ，z 都是正数，用反证法证明三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 至少有一个不小于2时，可假设x ＋1y，y ＋1z ，z ＋1x都大于2，以下说法不正确的是( ABD ) A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确[解析] p ＋q ≤2的反面是p ＋q ＞2，①正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，故选ABD ．2．(多选题)(2019·龙岩期中)“已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12.”用反证法证明这个命题时，下列假设不正确的是( ACD ) A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥12B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<12C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于12D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于12[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12，故选ACD ．二、填空题3．(2020·嘉峪关校级期中)已知x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为__x ≤1且y ≤1__.[解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1，∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1，故答案为x ≤1且y ≤1.4．在用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的反设为__p ＋q >2__，得出的矛盾为__(q －1)2<0，或(p －1)2<0__.[解析] 由题意假设p ＋q ＞2，则p ＞2－q ，p 3＞(2－q )3，p 3＋q 3＞8－12q ＋6q 2，∵p 3＋q 3＝2，∴2＞8－12q ＋6q 2，即q 2－2q ＋1＜0，∴(q －1)2＜0，∵不论q 为何值，(q －1)2都大于等于0，即假设不成立，∴p ＋q ≤2；由以上分析过程可知：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，同理可得出矛盾(p －1)2＜0.综上：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，或(p －1)2＜0.三、解答题5．设a ，b ，c 均为正实数，反证法证明：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. [解析] 证明：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 全部小于2.即a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6，① 又≥2a ×1a ＋2b ×1b ＋2c ×1c＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c) 所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 6．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立． [证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥12. 则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b 2>1， f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⎩⎨⎧ f (－1)＝1－b ＋c <12，f (1)＝1＋b ＋c >－12.⇒b >－12与b <－2矛盾． ∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法高效测评新人教A版选修12

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法高效测评新人教A 版选修1-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．关于反证法的说法正确的有( )①反证法的应用需要逆向思维；②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④解析：容易判断①②是正确的；反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③错误；当结论的反面出现多种可能时，应对这几种可能全部进行论证，故④错误．故选A.答案： A2．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．答案： B3．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析： “恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D.答案： D4．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设f (x )＝x 2＋2ax ＋1存在好点，亦即方程f (x )＝x 有实数根，所以x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数根，则Δ＝(2a －1)2－4＝4a 2－4a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥32，故当f (x )不存在好点时， a 的取值范围是－12<a <32，故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·衡水中学高二检测)命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝1，b ＝1”，用反证法证明时应假设为________________．解析： “a ＝1，b ＝1”的反面是“a ，b 不都等于1”，即“a ，b 中至多有一个等于1”．答案： a ，b 中至多有一个等于16．在用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的反设为________，得出的矛盾为________________．解析：假设p ＋q >2，则p >2－q .∴p 3>(2－q )3＝8－12q ＋6q 2－q 3，将p 3＋q 3＝2代入得6q 2－12q ＋6<0，∴(q －1)2<0这不可能．(同理也可得到(p －1)2<0)∴p ＋q ≤2.答案： p ＋q >2 (q －1)2<0(或(p －1)2<0)三、解答题(每小题10分，共20分)7．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则 a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b ，而b 2＝ac ，即b ＝ac ，∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，∴(a －c )2＝0. 即a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾，故a ，b ，c 不成等差数列．9.(10分)若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解析：假设三个方程均无实数根，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2－－4a ＋，Δ2＝a －2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1或a >13，－2<a <0，即－32<a <－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．。

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课堂探究新人教B版选修1_2【含答案】

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究新人教B 版选修1-2探究一否定性命题的证明对于问题本身就是否定性命题的证明一般用反证法来证明，并且应注意如下的否定：“是”的反面为“不是”，“都是”的反面为“不都是”，“都不是”的反面为“至少有一个是”．【典型例题1】设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．试问：数列{S n }是等差数列？为什么？思路分析：本题注意对q 分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，并当q ≠1时，可考虑用反证法证明．证明：当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，{S n }是等差数列，则S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3.∴2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，q ＝q 2.∵q ≠1，∴q ＝0，与q ≠0矛盾．∴当q ≠1时，{S n }不是等差数列．探究二 “至多、至少”类命题的证明凡含有“至少”“至多”等词语的命题宜采用反证法证明，应注意如下的否定：“至多有一个”的反面为“至少有两个”，“至少有一个”的反面为“一个都没有”．【典型例题2】求证：当m 为实数时，关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x －6－m ＝0至少有一个方程有实根．思路分析：从正面证明难以入手，考虑应用反证法证明．证明：假设上述两个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝25－4m <0，Δ2＝1－4×2(－6－m )<0. ①②由①，得m ＞254.由②，得m ＜－498. 但满足①②的实数m 不存在．所以当m ∈R 时，所给两个方程至少有一个方程有实根．探究三唯一性命题的证明证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．【典型例题3】已知：点P在直线a外．求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条．思路分析：“有且只有”“唯一”等问题常考虑应用反证法证明．证明：∵点P在直线a外，∴点P和直线a确定一个平面．设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a 平行．假设过点P还有一条直线c与a平行，∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b，c相交于点P矛盾，故假设不成立．探究四易错辨析易错点：运用反证法证明命题时，第一步否定结论易错，因为有些结论的对立面不易确定，从而出错，解决的方法是：(1)利用集合思想检验；(2)对特殊的关键词，要记住它的否定形式．【典型例题4】用反证法证明命题“若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数”时，应假设________________________________________________________________________．错解：整数a，b不都是偶数．错因分析：整数a，b不都是偶数包括的情况是：①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a，b都是奇数．显然，假设并不是结论的对立面，所以不正确．题目中“整数a，b都不是偶数”即“整数a，b都是奇数”，故假设为“整数a，b不都是奇数．”正解：整数a，b不都是奇数。

高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2(

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2.2。

1 综合法和分析法学业分层测评（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ)（cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B.【答案】B2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证（)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a2＋b22≤0C。

错误!－1－a2b2≤0D．（a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证（a2－1）（b2－1）≥0,故选D。

【答案】D3．在集合{a，b，c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么,d⊗（a⊕c)等于（)A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知,a⊕c＝c,∴d⊗(a⊕c）＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A。

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法高效测评新人教A版选修2-2资料

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法高效测评新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2<(6－8)2B ．(3－6)2<(5－8)2C ．(3＋8)2<(6＋5)2D ．(3－5－6)2<(－8)2解析：要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立．答案： C2．使不等式1a <1b成立的条件是( )A ．a >bB ．a <bC ．a >b 且ab <0D ．a >b 且ab >0解析：要使1a <1b ，须使1a －1b <0，即b －aab<0.若a >b ，则b －a <0，ab >0. 若a <b ，则b －a >0，ab <0. 答案： D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 答案： C 4．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－x 2＋4x －2(x ＞0)，则( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q解析： p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 a －2 ·⎝⎛⎭⎪⎫1a －2＋2＝4.q ＝2－x 2＋4x－2＝2－(x －2)2＋2≤4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________ . 解析： a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，因sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .8．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明：方法一：(综合法)因为a >0，b >0，所以a b ＋b a－a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝a －b 2a ＋bab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b .方法二：(分析法)要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，所以a －b 与a －b 符合相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 证明：证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 只需证明b a ＋c a－1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6. ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证．证法二：(综合法) ∵a ，b ，c 全不相等∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等． ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2，三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，∴⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋ab －1＋⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3. 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.。

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效演练知能提升含解析新人教A版选修2_2

2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是( )A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．用反证法证明“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：B3．“实数a，b，c不全大于0”等价于( )A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是______________．解析：“大于”的否定为“小于或等于”．答案：3a＝3b或3a<3b成立7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．(1)当x>1时，求证：x2＋1x2>x＋1x；(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.证明：(1)x2＋1x2－⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x＝（x－1）2（x2＋x＋1）x2，因为x>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋1x2>x＋1x.(2)假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，①而a ＋b ＋c ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3≥3，②①与②矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个不小于1.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数， f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级能力提升1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( ) A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6解析：假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a<18，利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ≥2b ·4b ＋2a ·16a ＋2 c ·9c ＝4＋8＋6＝18，当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时取等号．这与假设矛盾，故假设不成立，故a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a这三个数中至少有一个不小于6. 答案：D2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a ≤－2或a ≥－1.答案：{}a |a ≤－2或a ≥－13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2＞0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．。

2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第二章推理与证明2.2.2反证法

说法对吗？为什么？否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.
(2)反证法主要适用于什么情形？
答案要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的
线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，
而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
答案
知识点二
反证法
1.反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明
假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件定理、事实矛盾等. 定义、公理、矛盾,或与假设矛盾,或与__________
答案返回
题型探究
重点突破
题型一用反证法证明结论否定的问题例1 如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：
AB，CD不能互相平分.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
是奇数. 证明
已知正整数a ，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都
假设a，b，c都是奇数，
则a2，b2，c2都是奇数.
假设过点P不止有一条直线与α垂直，
如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，
于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直相矛盾，
∴假设不成立，原命题成立.
解析答案
题型三例3
用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题
反思与感悟解析答案

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法学业分层测评新人教B版选修12

2.2.2 反证法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2.下列命题错误的是( )A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D.设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数【解析】 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误.【答案】 D3.“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A.a ，b ，c 都是奇数B.a ，b ，c 都是偶数C.a ，b ，c 中至少有两个偶数D.a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】 D4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6， ①而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6， ② 显然①，②矛盾，所以C 正确.【答案】 C5.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A ＝B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】 D二、填空题6.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.【导学号：37820027】【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是________.【解析】 3a 与3b 的关系有三种情况：3a >3b ，3a ＝3b 和3a <3b ，所以“3a >3b ”的反设应为“3a ＝3b 或3a <3b ”.【答案】 3a ＝3b 或3a <3b8.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【解析】若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出.若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出.若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出.对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.【答案】 ③三、解答题9.已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明：a ，b ，c 至少有一个不小于1.【证明】假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3.而与a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c 至少有一个不小于1.10.已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a ， b ， c 不成等差数列.【证明】假设a ， b ， c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，两边同时平方得a ＋c ＋2ac ＝4b .把b 2＝ac 代入a ＋c ＋2ac ＝4b ，可得a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列，这与a ，b ，c 不成等差数列矛盾. 所以a ， b ， c 不成等差数列.[能力提升]1.有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.【答案】 D2.已知命题“在△ABC 中，A ≠B .求证sin A ≠sin B ”.若用反证法证明，得出的矛盾是( )A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A ＝sin B ，因为0<A <π，0<B <π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π.其中A ＝B 与A ≠B 矛盾；A ＋B ＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立.所以sin A ≠sin B .【答案】 C3.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.【导学号：37820028】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列.【证明】假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1). ①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p . ②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p>2，与②相矛盾.故数列{c n }不是等比数列.。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法自我小测新

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法自我小测新人教B 版选修2-21．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数 3．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数4．已知x 1＞0，x 1≠1且x n ＋1＝x n x 2n ＋3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n ＞x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥05．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( ) A ．至少有一个不小于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于26．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．7．设实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于__________．8．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c不能构成等差数列．10．求证：过直线a 外一点P ，有且只有一条直线与这条直线平行．参考答案1．解析：原结论不能作为条件使用．答案：C2．解析：“至少有一个是偶数”的否定是“都不是偶数”．答案：B3．解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C4．解析：“或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n ＞x n ＋1”的否定是“存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1”．答案：B5．解析：假设a ，b ，c 三个数均小于2，即x ＋1y ＜2，y ＋1z ＜2，z ＋1x ＜2，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1x ＜6. 而又有⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1x ＜6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 答案：A6．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．答案：a ≠1或b ≠17．解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1. 故a ，b ，c 中至少有一个不小于13. 答案：138．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，由于a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )＝1，于是ac ＋bd ＝1－(ad ＋bc )≤1，这与ac ＋bd ＞1相矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．证明：假设1a ，1b ，1c能构成等差数列，则有2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列． 10．证明：∵点P 在直线a 外，∴点P 和直线a 确定一个平面，设该平面为α，在平面α内，过点P 作直线b ，使得b ∥a ，则过点P 有一条直线与a 平行．假设过点P 还有一条直线c 与a 平行．∵a ∥b ，a ∥c ，∴b ∥c ，这与b ，c 相交于点P 矛盾，故假设不成立．即过直线a 外一点P ，有且只有一条直线与a 平行．。

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习含解析新人教A版选修

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习含解析新人教A 版选修[A 基础达标]1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是（）A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.3.已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：选C.假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线.故应选C.4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数（） A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为 .解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP7.完成反证法证题的全过程.设a 1，a 2，…，a 7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，p ＝（a 1－1）（a 2－2）…（a 7－7），求证：p 为偶数.证明：假设p 为奇数，则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为 .①而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝Ｗ.②①与②矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.解析：由假设p 为奇数，可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为奇数，而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝0，矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 08.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出.若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出.若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2＞2，故④不能推出.对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③9.如图所示，设SA 、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点.求证：AC 与平面SOB 不垂直.证明：如图所示，连接AB ，假设AC ⊥平面SOB .因为直线SO 在平面SOB 内，所以AC ⊥SO .因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ，所以SO ⊥平面SAB ，所以平面SAB ∥底面圆O .这显然矛盾，所以假设不成立，故AC 与平面SOB 不垂直.10.已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. 证明：假设1＋x y ，1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 因为x >0，y >0，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x ，所以2＋x ＋y ≥2（x ＋y ），即x ＋y ≤2，与已知x ＋y >2矛盾，所以1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. [B 能力提升]11.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋（a －1）x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为 .解析：假设三个方程均无实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ2＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞） 12.若a 、b 、c 、d 都是有理数，c 、d 都是无理数，且a ＋c ＝b ＋d ，则a 与b ，c 与d 之间的数量关系为， .解析：假设a ≠b ，令a ＝b ＋m （m 是不等于零的有理数），于是b ＋m ＋c ＝b ＋d ，所以m ＋c ＝d ，两边平方整理得c ＝d －c －m 22m. 左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a ＝b ，从而c ＝d .答案：a ＝b c ＝d13.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.（1）求证：数列{S n }不是等比数列；（2）数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21（1＋q ）2＝a 1·a 1·（1＋q ＋q 2）.因为a 1≠0，所以（1＋q ）2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以假设不成立，所以数列{S n }不是等比数列.（2）当q ＝1时，S n ＝na 1，故数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，假设数列{S n }是等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1（1＋q ）＝a 1＋a 1（1＋q ＋q 2），得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.14.（选做题）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象与x 轴有两个不同的交点.若f （c ）＝0，且0＜x ＜c 时f （x ）＞0.（1）证明：1a 是函数f （x ）的一个零点；（2）试用反证法证明：1a ＞c .证明：（1）因为f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f （x ）＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f （c ）＝0，所以x 1＝c 是f （x ）＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a .所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，所以1a 是f （x ）＝0的另一个根，即1a 是函数f （x ）的一个零点.（2）由第一问知1a ≠c ，故假设1a ＜c ，易知1a ＞0，由题知当0＜x ＜c 时，f （x ）＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，所以1a ＞c .。

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