2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷.doc

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2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(3)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______一、填空题，每题8分 1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a4.集合[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112,23==AM CN ,则四面体1OMNB 的体积等于7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于二、简答题8.已知数列{}n a 满足2110122391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。

用数学归纳法证明：223+=-n n a9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题8分 1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=x x ，可得112s i n c o s 4+=xx ，故3sin cos 8=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816+-+=+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得20161(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故201620161009(1)(1)2++-=i i3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得10.505=a4.集合[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题三2017110201138

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分11.设，则sin x cos x sin3x cos3x22.设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)20163.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a a a11,2,1000a4. 集合x2x3x x R1,2,,100共有个元素，其中x表示不超过x的最大整数。

5.若关于x的方程x2ae x有三个不同的实根，则实数a的取值范围是16.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱ABCD A B C DOM , N1 1 1 1A 1D 1,CC 11 2上，,则四面体的体积等于A M,CN OMNB1123D1 M C1 B1A1NDC OAB7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点，则 E 得离心率等于二、简答题2a3a 928.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：aa1,a5,an 1 n 12nn1n2an2a n2n2329.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1m n n m mn的所有正整数对(m,n)32017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题 8分11.设，则sin x cos xsin 3 x cos 3 x2113sin x cos x1 2sin x cos xsin x cos x解答：由，可得，故，从而24813 11sin x cos xxx2xx x2 x33(sincos )(sin cos sin cos ) (1 )2 8 162.设i 为虚数单位，化简 (i 1)2016(i 1)2016解答：由 (i1)2 2i ，可得 (i 1)201621008 ，同理可得 (i1)201621008 故(i 1)2016 (i1)2016210093.已知等差数列的前 100项之和为 100，最后 100项之和为 1000，则a 1,a 2,a 1000 a1解答：设等差数列的公差为 d ，则有，解得100a4950d 100 100a94950d 100011a 10.5054. 集合x 2x 3xx R1, 2,,100共有个元素，其中x表示不超过 x 的最大整数。

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______一、填空题，每题8分 1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

5.若关于x 的方程2=xx ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112,23==AM CN ,则四面体1OMNB 的体积等于7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于二、简答题8.已知数列{}n a 满足2110122391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。

用数学归纳法证明：223+=-n n a9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案一、填空题，每题8分1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=x x ，可得112s i n c o s 4+=xx ，故3sin cos 8=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816+-+=+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得20161(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故201620161009(1)(1)2++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得10.505=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

浙江镇海镇海中学2017年高中数学竞赛模拟

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1.若集合：小-% 12 _ O , E - {工，［-0} , 7 .二工J 三:，则集合：（）A. -3.-1 1.4|B. -3.-1| I. 1.4|C. -3-1 '■ I 1.4|D. -3,-1| I. | 1.4|【答案】D【解析】依题意，几一 {" 一工-丄2 • 0} - I 一三」，F, _」；_ _、0} - i 1.1：'-由x 2.，知「x - 4; x f巳，知八1或x ■ 1 .所以，巳- X -丄或丄* —4，即「一二［| .故选D;2.若函数俶）=g】2］：,；「:爲（a a 0，且a h 1）的值域为卩、+ B）,则实数a的取值范围为（）A. l.SB. 1.3C. 3 -D. ［3.-丿【答案】A【解析】当兰•己时，函数f疋_才八• j _ x 「• .1的值域为［-■■ I当x - 2时，2 — gx - E,即工■■■巳时，1盟卫-丄；i • 1 ,且疋■-丄时工-门恒成立.•••「，「巳，J的取值范围为「和.故选A;3.如图，在四面体P心巳匚中，已知P心卩巳卩匚两两互相垂直，且F:A - FT'- - F:C.-.则在该四面体表面上与点&距离为2 2的点形成的曲线段的总长度为（）A.海B. bC.冷D. ；.【答案】B如图，设AE - AF - AG - 2 3 （二在AE 上, 1=在PF 上，D 在P 匸上）. 由 PA PE.PA n 匚 PBP 匸，P£ — PF ： - P 匸-,知F - _ PG --丄皿卜:，丄匕A 卜:] r••••在面P.i,E 内与点A 距离为2的点形成的曲线段（图中弧FF ）长为于：乙. 同理，在面PAC 内与点&距离为2己的点形成的曲线段长为'■>. 同理，在面代二内与点2距离为的点形成的曲线段长为_同理，在面PF ；匚内与点2距离为2己的点形成的曲线段长为-3 -.所以，该四面体表面上与点 2距离为1 - ■■的点形成的曲线段的总长度为 —故选B .点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4. △ ABC 中，“AwBcC ”是“ cos2A > cos2B > cos2C ^ 的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在空m 中，'卜、二."则sinA ■- siriB -。

浙江省镇海中学2017届高三5月模拟考试数学试题

2017届镇海中学高考模拟卷数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k )=(1)(0,1,2,,)k kn k nC p p k n --= 球的表面积公式台体的体积公式S =4πR 2V =13(S 1+S 2) h 球的体积公式其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V =43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|21,R},{|02,}A x x x x B x x x x R =<->∈=<>∈或或，则()R C A B 是（）A ．(2,0)-B ．](2,0-C ．[)2,0-D ．R2，则z 的虚部是（）A.B. C. D. 3．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面αβ，，以下结论正确的是（） A. 若m α⊂，n ∥β，m ，n 是异面直线，则αβ，相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β C. 若m α⊂，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 4．关于周期函数，下列说法错误的是（） A．函数()f x =. B. 函数1()sinf x x=不是周期函数.C ．函数()sin ||f x x =不是周期函数.D. 函数()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期为π.A. 5B. 10-C. 32-D. 42-6.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，且3z a x y =+的最小值为7，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 2- D. -17．已知函数()f x 在()1,-+∞上单调, 且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称, 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =, 则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50-8.已知错误！未找到引用源。

浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(四)试题 Word版含解析

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4）姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为。

2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为。

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=uu u r uu u r。

6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为。

C 1B 1D 1C A BD A 1B DCA7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。

（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值为。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。

【精选】浙江省宁波市镇海区高中数学竞赛模拟试题三

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分1.设，则2.设为虚数单位，化简3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。

5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于二、简答题8.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题8分1.设，则解答：由，可得，故，从而2.设为虚数单位，化简解答：由，可得，同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则解答：设等差数列的公差为d，则有，解得4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。

解答：设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。

5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是解答：设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，，，当时因此，有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于解答：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于解答：不妨设椭圆的方程为，经过的两个焦点，，与恰有三个交点，所以，则得离心率等于四、简答题8.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：证明：从而对成立。

当时假设，由递推公式可得由此，对一切成立。

9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。

证明方法一：两边平方移项合并两边平方展开可得移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于，当时不等式等号成立。

浙江省镇海中学2017-2018学年高三10月模拟考试文数试题 Word版含解析

浙江省镇海中学2017-2018学年高三模拟考试文数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{1,2,3,4,0}U =----，集合{1,2,0}A =--，{3,4,0}B =--，则()U C A B =（）A ．{0}B ．{3,4}--C ．{1,2}--D ．φ 【答案】B考点：集合的运算. 2.若sin 20α>，则（）A ．cos 0α>B ．tan 0α>C ．sin 0α>D ．cos 20α> 【答案】B 【解析】试题分析：因为sin 20α>,故0tan 0cos sin >⇒>ααα,故应选B. 考点：二倍角公式及运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（） A ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ B ．若,m n αα⊥⊥，则//m n C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若//,//m m αβ，则//αβ【答案】B 【解析】试题分析：由线面角定义及,m n αα⊥⊥可得n m //,容易验证其它答案都是错误的,故应选B.考点：空间直线与平面的位置关系及运用. 4.下列说法正确的是（）A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“已知,A B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >” 的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b<-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件【答案】B考点：正弦定理及命题的真假的判定和运用.5.函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩，则1741()()46f f +=（） A ．716 B ．916 C ．1116D ．1316【答案】C 【解析】试题分析：因为21)67()67()678()641(,1634341)41()417(=-=-=-==⨯==f f f f f f ,故161121163)641()417(=+=+f f 2≥,故应选C. 考点：函数的周期性和奇偶性及运用.6.已知,x y满足不等式组1221x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y a=-+（a为常数）的最大值为2，则z的最小值为（）A．12B．12- C．76-D．7 6【答案】D【解析】考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的范围问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组1221x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,然后再依据题设条件目标函数结合图形可知当动直线2z x y a =-+经过点)31,34(P 时,取得最大值2,即23138=-+a ,解之得31-=a ,当动直线z a x y -+=2经过定点)21,1(P 时,z 取最小值为6731212min =--=z .7.已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得045OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为（）A ．6[0,]5 B ．8[0,]5 C ．8[1,]5D ．6[1,]5【答案】B考点：直线与圆的位置关系及运用.【易错点晴】本题以直线与圆的位置关系等有关知识为背景,考查的是直线与圆的位置关系的实际应用问题,同时检测运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.本题在求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题直线与已知圆相交,则圆心距不大于圆的半径可得245sin ||0≤OP ,即42020≤+y x ,又2400-=x y ,所以44168402020⨯≤+-+x x x ,即085020≤-x x ,解此不等式可得5800≤≤x . 8.设,k b 均为非零常数，给出如下三个条件： ①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列；②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列，其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D 【解析】试题分析：当{}n a 与{}n ka b +均为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-+=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故①是常数数列,因此①是正确的. 当{}n a 是等差数列,{}n ka b +为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112+-+=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故②是常数数列.当{}n a 是等比数列,{}n ka b +为等差数列时,则b ka ka b ka n n n 22211++=++-,即)(211+-+=n n n a a k ka ,即112+-+=n n n a a a ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故③是常数数列,所以应选D.考点：等差数列等比数列的定义及性质的综合运用.【易错点晴】本题以等差数列和等比数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想和推理论证的能力,及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用等差数列和等比数列的定义,逐一验证和推算所给四个命题的正确性,最后通过推理和论证推知命题题①②③都是正确的.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共4小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，满分36分．）9.函数()f x =的值域是 . 的值是 . 【答案】[0,)+∞ 1考点：指数对数的知识及运用．10.若函数()sin())44f x a x x ππ=++-是偶函数，则实数a 的值为；单调增区间为 .【答案】3- [2,2]k k k Z πππ+∈ 【解析】试题分析:由题设可得)4()4(ππf f =-,即3-=a ;此时x x f cos 62)(-=,因此其单调递增区间是[2,2]k k k Z πππ+∈,应填3-，[2,2]k k k Z πππ+∈. 考点：三角函数的图象和性质的运用．11.一个几何体的三视图如图所示，（单位：cm ）则该几何体的体积是 3cm ；表面积是2cm .【答案】160332+考点：三视图的识读与几何体的体积的运用． 12.已知正数,x y 满足3x yxy x y-=+，则y 的最大值为，当且仅当 . 【答案】131x = 【解析】试题分析:由题设可得0)13(22=+-+y x y yx ,故04)13(222≥--=∆y y ,解之得310≤<y ,此时1=x ,故应填1,13x =. 考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．13.若函数()|ln |31||f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为 . 【答案】213k -<≤-或4533k ≤≤考点：对数函数的图象和性质及运用． 14.在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数μλ,的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,然后运用待定系数法建立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.15.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点222122(,)1212k kB k k-++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用k 表示）【答案】2324kk +考点：类比推理与直线椭圆等相关知识的综合运用．【易错点晴】合情推理中的类比推理和归纳推理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以椭圆为背景精心设置了一道求直线的斜率的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用直线与椭圆的位置关系,巧妙借助题设过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C 两条直线的斜率的数量关系之积为2,进行类比推理和巧妙代换,从而算得点)84,88(222++-k k k k C .然后运用斜率公式可得4233588842222+=++-+=k k k k k k k CD. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，|2BC AB AC =∙=. （1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值. 【答案】(1)16；(2)1030.（2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号，因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A ==.ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =∙∙=∙==，当且仅当AB AC =时取“=”号.因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos10BCBAB===.考点：三角形的面积公式及余弦定理等有关知识的综合运用．17.（本题满分15分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知162,22a S==.（1）求nS，并求nS的最小值；（2）若从{}na中抽取一个公比为q的等比数列{}nka，其中11k=，且12nk k k<<<<，*nk N∈，当q取最小值时，求{}nk的通项公式.【答案】(1)2；(2)1322nnk-=⨯-.（2）因为数列{}na是正项递增等差数列，所以数列{}nka的公比1q>，若22k=，则由283a=，得2143aqa==，此时324322()39ka=⨯=，由322(2)93n=+，解得*103n N=∉，所以22k>，同理23k>；若24k=，则由44a=，得2q=，此时122nnka-=∙，另一方面，2(2)3nk na k=+，所以2(2)23nnk+=，即1322nnk-=⨯-，所以对任何正整数n，nka是数列{}na的第1322n-⨯-项，所以最小的公比2q=.所以1322nnk-=⨯-.考点：等差数列的通项及前n 项和不等式等有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点. （1）求证：11D E A D ⊥；（2）求直线1B C 与平面1DED 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)030. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设运用线面角的定义探求. 试题解析：（1）连结1AD ，因为11A ADD 是正方形，所以11AD A D ⊥，又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A ，所以1AE A D ⊥，又1AD AE A =，1,AD AE ⊂平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ，而1D E ⊂平面1AD E ，所以11D E A D ⊥.考点：线面位置关系的推证和线面角的求解和计算等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l （1）求抛物线E 的方程；（2）设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D是与抛物线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值.【答案】(1)212y x =；(2)5536. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求. 试题解析：（1）过P 作1PP l ⊥于1P ，则1||||||||||PM PP PM PF MF +=+≥，当,,P M F 共线时，1||||PM PP +取最小值||MF ==. 解得6p =或2p =.当6p =时，抛物线E 的方程为212y x =，此时，点M 与点F 在抛物线E 同侧，这与已知不符. ∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =.（2）(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由2124y x b y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(416)40x b x b +-+=，所以24164x x b +=-，2244x x b =，且由0∆>得2b <. 因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=， ∵2424422424(1)(1)11(1)(1)BF DF y y y x y x k k x x x x -+-+=+=----， ∴2442(1)(1)0y x y x -+-=，即244211()(1)()(1)022x b x x b x +-++-=，24241()()202x x b x x b +--=，214()(164)202b b b b +---=，12b =，由2211229y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得252350x x +-=，所以1325x x +=-，2143||||))AB CD x x x x +=--24132())2255x x x x =+--=+=. 考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为212y x =.第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出2143||||))AB CD x x x x +=--,进而求出其值为5536,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)0f =，对于任意x R ∈都有()f x x ≥，且11()()22f x f x -+=--，令()()|1|(0)g x f x x λλ=-->.（1）求函数()f x 的表达式；（2）函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点，求λ的取值范围.【答案】(1)2()f x x x =+；(2)3λ>.（2）①当02λ<≤时，可知函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，又(0)10g =-<，(1)2|1|0g λ=-->，故函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点，②当2λ>时，则1112λ<<，而(0)10g =-<，2111()0g λλλ=+>，(1)2|1|g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且22111(1)()()(1)1102224g λλλλλ----=+-∙+=-+≥，此时，函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点；（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且(1)2|1|0g λ=--<，此时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点，综上所述，当3λ>时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点. 考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式2()f x x x =+.然后再借助题设函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数λ的取值范围,从而使得问题获解.。

2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷与解析word(5月份)

2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R2．（4分）设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣ D．﹣i3．（4分）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线4．（4分）关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．5．（4分）的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣426．（4分）若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定7．（4分）已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣508．（4分）已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．49．（4分）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E 分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1]C．（，1）D．[，1）10．（4分）已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．（6分）已知函数，则f（f（﹣2））=，若f（x）≥2，则x的取值范围为．12．（6分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为cm，体积为cm3．13．（6分）已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=，Dξ=．14．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=；|MP|=.. 15．（4分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f （x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．16．（4分）若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为．17．（4分）定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．19．（15分）在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF 的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．20．（15分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（15分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．（15分）已知在数列{a n}中，．，n∈N*＜a n＜2；（1）求证：1＜a n+1（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）（2017•镇海区校级模拟）设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x ＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，∴C R A={x|﹣2≤x≤1}，∵B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）．故选：C．2．（4分）（2017•宝鸡二模）设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣ D．﹣i【解答】解：复数z=====﹣1+i，则z的虚部是．故选：B．3．（4分）（2017•资阳模拟）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．4．（4分）（2017•镇海区校级模拟）关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．【解答】解：对于A：函数，令，则f（u）=sinu是周期函数．∴A对．对于B：函数，令，则f（t）=sint，是周期函数，∴B对．对于C：函数f（x）=sin|x|是函数y=sinx把有部分图象关于y轴对称所得，不是周期函数，∴C对．对于D：函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为．∴D不对．故选D．5．（4分）（2017•阜阳二模）的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣42【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是+（﹣2）5=﹣42，故选D．6．（4分）（2017•4月份模拟）若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z=ax+3y为y=．当a＞0时，由图可知，当直线y=过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2；若过C，则a+6=7，解得a=1不合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y=过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2，不合题意；若过B，则4a+15=7，解得a=﹣2，不合题意．∴a的值为2．故选：B．7．（4分）（2017•石家庄一模）已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．8．（4分）（2017•镇海区校级模拟）已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解答】解：由知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值．故选：B．9．（4分）（2015•余杭区模拟）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1]C．（，1）D．[，1）【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．（4分）（2017•镇海区校级模拟）已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且||=|t|||．∴（x A，y A）=t（x P，y P），∴，将点（）代入双曲线中得：．∴…①，∵，∴||•||=t|||2=64．∴|t|（）=64…②由①②得64=，∴|y P|，||=|y P|，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．（6分）（2017•镇海区校级模拟）已知函数，则f（f（﹣2））=0，若f（x）≥2，则x的取值范围为x≥3或x=0．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）==4﹣2=2，f（2）=0，故f（f（﹣2））=0，若x≤﹣1，由f（x）≥2得（）x﹣2≥2得（）x≥4，则2﹣x≥4，得﹣x≥2，则x≤﹣2，此时x≤﹣2．若x＞﹣1，由f（x）≥2得（x﹣2）（|x|﹣1）≥2，即x|x|﹣x﹣2|x|≥0，若x≥0得x2﹣3x≥0，则x≥3或x≤0，此时x≥3或x=0，若x＜0，得﹣x2+x≥0，得x2﹣x≤0，得0≤x≤1，此时无解，综上x≥3或x=0，故答案为：0，x≥3或x=012．（6分）（2017•镇海区校级模拟）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为27++cm，体积为20cm3．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，如下图所示：故此几何体的所有棱长之和为3+4+5+5+5+5++=27++cm，该几何体的体积V==cm3．故答案为：27++，20．13．（6分）（2017•杭州二模）已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=1，Dξ=．【解答】解：由随机变量ξ的概率分布列，知：Eξ==1，Dξ=（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×=．故答案为：1，．14．（6分）（2017•镇海区校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=﹣1；|MP|=3..【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心（1，2），半径r=2，∵经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，∴|MP|==3．故答案为：﹣1；3．15．（4分）（2017•凉山州模拟）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c （a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是[3e3，+∞）．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x﹣=，则xe x﹣a=0无实数解，由y=xe x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．16．（4分）（2017•镇海区校级模拟）若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为8．【解答】解：因为a＞0，所以二次函数f（x）=ax2+20x+14的图象开口向上．在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，只需t=时f（t+1）﹣f（t）≥8，即a（t+1）2+20（t+1）+14﹣（at2+20t+14）≥8，即2at+a+20≥8，将t=代入得a≥8．所以a的最小值为8．故答案为817．（4分）（2017•镇海区校级模拟）定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为176．【解答】解：根据题意，若|f（x+1）﹣f（x）|=1，则f（x+1）﹣f（x）=1和f （x+1）﹣f（x）=﹣1中，必须且只能有1个成立，若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比数列，则f（4）=±2，分2种情况讨论：①、若f（4）=﹣2，在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同函数；②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C31=3种情况，在4≤x≤11中，有3个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同函数；则一共有8+168=176个满足条件的不同函数；故答案为：176．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2017•镇海区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）tanA+tanC=可得+====，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=，∵b=sinB，由正弦定理可得==，∴c=；（Ⅱ）由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时取等号．∴S=absinC=ab≤×=，△ABC故△ABC面积的最大值为..19．（15分）（2017•镇海区校级模拟）在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P 分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60°，∴△ADF为正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP；（2）解：分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，，0），A1（0，0，1），，．设面EA 1P的法向量为，则，取y=﹣1，得=（，﹣1，0）；设面BA 1P的法向量为，则，取y=1，得=（，1，2）．∴cos＜＞==，∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值为．20．（15分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）21．（15分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P 1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C （0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．22．（15分）（2017•镇海区校级模拟）已知在数列{a n}中，．，n∈N*＜a n＜2；（1）求证：1＜a n+1（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．①．n=1时，②．假设n=k时成立，即1＜a k＜2．那么n=k+1时，成立．由①②知1＜a n＜2，n∈N*恒成立.．所以1＜a n＜a n＜2成立．+1（2），当n≥3时，而1＜a n＜2．所以．由，得，所以（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；沂蒙松；lcb001；左杰；sxs123；qiss；刘长柏；陈高数；maths；zlzhan；双曲线；王兴华；danbo7801；静定禅心；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月17日赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

浙江省镇海中学2017-2018学年高三10月模拟考试理数试题 Word版含解析

浙江省镇海中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|12}M x x =-≤<，2{|log 0}N x x =>，则MN =（）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 【答案】A考点：对数不等式的解法及集合的运算. 2.下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<成立D ．“若tan α≠3πα≠”是真命题【答案】D 【解析】试题分析：对于答案A ，“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”；对于答案B ，若“123a a a <<”则“45a a <”成立；对于答案C ，0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<不成立；对于答案D ，“若tan α≠3πα≠”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是（）A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nC ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ 【答案】A 【解析】试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A 是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用. 4.已知sin (1,)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)B ααβ--，且0OA OB ∙=，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，则k =（）A． C．以上都不对【答案】C考点：三角变换的有关公式及综合运用.5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（）A ．10B ．1920C ．910D ．12【答案】C 【解析】试题分析：因为009020<<α,而OP OP r 12sin==α,所以OP 最大时, 2sin α最小, 2α最小.结合图象可知点)2,4(--M ,故OP 的最大值为52416=+=PM ,则10910112sin 21cos 2=-=-=αα,应选C. 考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.6.在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（） A ．672 B ．673 C ．1342 D ．1344 【答案】D考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出⋅⋅⋅-=====-===,1,,1,1,,136514321a x x a x x x a x a x x 这些数的特征和规律,然后再计算出2321=++x x x ,而67232016=÷,进而利用数列的周期性求出数列{}n x 的前2016项和的值为13442672=⨯.7.在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（）A ．1(5B ．C ．1(5D ．【答案】D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出2,从而获得答案.8.已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8--C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D 【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确. 当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确. 当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.函数()sin()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到()g x ，得到的函数图象对称轴为，函数()g x 解析式为.【答案】()32k x k Z ππ=+∈ sin(2)6y x π=- 【解析】试题分析:由题设可知6121143,1ππ-==T A ,即π==T A ,1,所以22==ππω,所以)2sin()(ϕ+=x x f ,又因为1)3sin()6(=+=ϕππf ,解之得223πππϕ+=+k ,故62ππϕ+=k ,所以)62sin()(π+=x x f ,将其向右平移6π可得)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g ,故其对称轴方程满足262πππ+=-k x ,即)(32Z k k x ∈+=ππ,对应的表达式为)62sin()(π-=x x g .应填()32k x k Z ππ=+∈,sin(2)6y x π=-.考点：三角函数的图象和性质的运用．10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'(1,1)P b a +-，则圆22:620C x y x y +--=关于直线l对称的圆'C 的方程为；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 .【答案】22(2)(2)10x y -+-=考点：直线与圆的方程及运用．11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是；体积是 .【答案】64+1603【解析】试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积232644242124)84(214)84(21442184+=⨯⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯=S ,其体积为31604)8421(314]4)84(21[31=⨯⨯⨯+⨯⨯+=V ,故应填64+1603.448考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．12.已知函数223,0()log ||,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨∙<⎩，则1(())2f f -= ，若()1f x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】1344a>考点：分段函数的求值与数形结合思想的运用．13.设P是函数2(0)y x xx=+>的图象上任意一点，过点P分别向直线y x=和y轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ∙的值是 . 【答案】1-考点：向量的数量积公式及运用． 14.已知方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 .【答案】6+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以y z y z 42≥+,令1>=t yz,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填6+考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩的解),,,(μz y x 满足的条件z y ≥为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式yz x x z y 42222=≥+=+μμ,然后通过换元1>=t yz建立关于t 的不等式242≥-t t .最后通过解不等式242≥-t t ,从而求得22+≥t ,所以246+≥y z ,由于zM y≤,因此246+≤M ,M 的最大值是6+15.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是.【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形ABCD 所满足的条件22||||1EG HF -=,1=AD 为背景,精心设置了一道求228x yz ++的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设22||||1EG HF -=建立方程组))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,然后借助基本不等式建立关系式))((12222222y n x m mnmx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且,,A B C 成等差数列. （1）求a cb+的取值范围；（2）若AC ，求角A 的值. 【答案】(1)(1,2]；(2)6A π=.试题解析：（1）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，而A B C π++=，所以3B π=.由余弦定理，222b ac ac =+-① 所以2222231()3()()()44b ac ac a c a c a c =+-≥+-+=+，故2a cb+≤，当且仅当a c =时取等号，另一方面a c b +>，故1a cb+>，综上，a c b+的取值范围是(1,2].法二：由正弦定理得sin sin 2sin()sin 3a c A C Ab B π++==+，因为203A π<<，所以(1,2]a cb+∈.考点：余弦定理及基本不等式等有关知识的综合运用． 17.（本题满分15分）如图，ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长.【答案】(1)2AD =；(2)AD =【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的知识求解；(2)借助题设运用空间向量的数量积公式探求. 试题解析：（1）取BC 的中点O ，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1(1,2,0)A D ，则2AD =.考点：空间向量的数量积公式及有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）已知函数2()|1|1()f x x ax a R =---∈.（1）若关于x 的方程2()10f x x ++=在区间(0,2]上有两个不同的解12,x x . （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）若12x x <，求1211x x +的取值范围；（2）设函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为(),()M a m a ，求()()()g a M a m a =-的表达式.【答案】(1)（i ）7(1,]2；（ii ）(2,4]；(2)222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩.（ⅰ）作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩图象，得712a <≤，故a 的取值范围是7(1,]2. （ⅱ）∵12x x <，11a x =，2212a x x =-，则有212112x x x =-，即212112x x x +=，又212x <≤，∴212112(2,4]x x x +=∈，故1211x x +的取值范围是(2,4]. （2）22,01()2,12x ax x f x x ax x ⎧--≤≤=⎨--<≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，()f x 在[0,2]上为减函数，则()(0)(2)22g a f f a =-=-. 当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在[0,]2a 上为减函数，在[,2]2a上为增函数，此时2()()224a a m a f ==--，()max{(0),(2)}0M a f f ==，则2()24a g a =+. 当02a ≤<时，有0,0122a a-<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时，()(1)1m a f a ==--，22,01()max{(0),(2)}0,12a a M a f f a -≤<⎧==⎨≤<⎩，则3,01()22,12a a g a a a -≤<⎧=⎨-≤<⎩.当20a -<<时，有012a <-<，02a <，()f x 在[0,]2a -上为增函数，在[,1]2a-上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时1,10()min{(0),(1)}0,21a a m a f f a --<<⎧==⎨-<≤-⎩，()max{(),(2)}222aM a f f a =-=-，则3,10()22,21a a g a a a --<<⎧=⎨--<≤-⎩.当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，()f x 在[0,2]上为增函数，则()(2)(0)22g a f f a =-=-.则222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩考点：二次函数的图象和性质及不等式的性质等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4.（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4.考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-=.第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM∆的面积322214(114(1)42S kk =⨯++=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =，都有3*112,33n n n a a a n N +=+∈.（1）求证：11*1213()(),2324n n n a n N --∙≤≤∙∈；（2）求证：当*n N ∈时，313124241231231111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥+++++-----. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.当2n ≥时，132112113()24n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙≤∙，且132112112()23n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙>∙，又001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈. （2）∵11111(1)1(1)3n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又321111(23)(1)(3)33n n n n n n a a a a a a ++=++=+-+，∴3211111111(3)[()3]1332212n n n n a a a a ++=-+≥-+=+.当2n ≥时，13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++，又1113111()212a -+=∙，∴11111(1)()3212n n a -+≥∙. ∴3131242123121111()()1111n n n na a aa a a a a a a a a a a ++----++++-+++---- 121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++++1111()1111111112[1()]6[1()]1121212212112nn n --≥+++=∙=-- ∴3131242123121111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥++++----- 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式3*112,33n n n a a a n N +=+∈,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯的成立.第二问题中,先运用不等式13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.。

2017学年第二学期镇海中学5月校模拟考

2017学年第二学期镇海中学5月校模拟考高三年级数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必需在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部份。

总分值150分, 考试时刻120分钟。

参考公式：若是事件A , B 互斥, 那么柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh若是事件A , B 彼此独立, 那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式若是事件A 在一次实验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式其中S 1, S 2别离表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，那么()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，那么(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，那么0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，假设函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，那么实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅行，每一个人只去一个景点，每一个景点至少有一个人去，那么甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右核心为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且知足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，那么椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ ).[.[1]1,1)22A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，那么方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 别离交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，那么该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,那么C 的方程为 ▲ ． 12．设数列{}n a 知足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的MA BCQD21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的散布列如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，那么P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14．函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部份图像如下图，那么ϕ= ▲ ，为了取得()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．假设实数,x y 知足114422xy xy ，那么22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，核心记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，那么2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 别离是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，那么()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

浙江省宁波市镇海区高中数学竞赛模拟试题(五)

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（五）一、填空题（每小题7分，共56分）1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是．2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为．3、若对于所有的正数,x y ≤，则实数a 的最小值是．4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是．6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是．7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是二、解答题（共64分）8、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，证明：AM AN CO CD ⋅=⋅．9、（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明：22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )10、（20分）设集合{}1,2,,2016A =，对于A 的任一个1008元子集X ，若存在,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，（a A ∈），使得任一个含a 的1008元子集皆为“好集”．DAB2017年高中数学竞赛模拟试卷（5）答案一、填空题（每小题7分，共56分）1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是．答案：1616a -<<．解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2640x ax ⇒-+>24640a ∴∆=-⋅<，∴1616a -<<.2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为．答案：．解：如图，据题意得，AB ==于是BC CA AB ===2CD ==，因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积1433BCD V AD S ∆=⋅=，而2ABC S AB∆== 若设D 到面ABC 的距离为h ，则13ABC V h S ∆=⋅=43h =，得到h=3、若对于所有的正数,x y ，≤，则实数a 的最小值是．答案：．解：由221⎛⎫+=≤ 当x y =时取等号．4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=，则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----，若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ--==--+，所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭，由此立得22tan tan 8αβ+=．解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，这时，2tan cot 2tan 1αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是．答案：134．解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个． 6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是．答案：．解：由22sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，987654321所以9y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）8、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，证明：AM AN CO CD ⋅=⋅．证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ=-+⎧⎨=⎩， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6'因此2222222cos sin a b AM AN b a θθ⋅=+，……9' 又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'因为,C D 在椭圆上，则2222222cos sin a b CO b a θθ=+，而，222222222cos sin a b CO CD CO b a θθ⋅==+，因此AM AN CO CD ⋅=⋅．……14' 证2：易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系，解得C D ⎛⎫⎛⎫⎝、 ……3'CO CD ∴==()22222221k a b CO CD b a k+∴⋅=+……6'AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.将AN 方程与椭圆方程联立，得()222232222220b a k x a k x k a a b +++-=322322222222,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++……9' 22222,N kab y AM b a k=∴=+……12'2222ab AN b a k ==+， ()22222221a b k AM AN CO CD b a k +∴⋅==⋅+ …14'9、（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明：22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )证：据条件，即要证 22(1)(1)(x y ≥--2xyz(x+y+z-xyz)1-z ) ① 也即22222222)()y z x y y z x z ≥+++++2xyz(x+y+z)1-(x② ……3'将此式各项齐次化，因为22222221()2()xy yz xz x y y z x z xyz x y z =++=+++++ ……6'222222()()x y z x y z xy yz xz ++=++++=333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②，只要证()xyz x y z ++≥2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即333222222()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12'也即222()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。

2017年镇海中学高三模拟考数学卷和答案

2017 届镇海中学高考模拟卷数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A•B)= P(A)•P(B) 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 1 V= Sh 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n 3 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. k k Pn(k)= Cn 球的表面积公式 p (1 p )n k (k 0,1, 2, , n) 台体的体积公式 V=
为 . 12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为____ _ cm ，体积为_ ____ cm3 ．
13．已知随机变量的概率分布列为：
则 E ________
2 2
__， D ____
______.
14.已知圆 C : x y 2 x 4 y 1 0 上存在两点关于直线 l : x my 1 0 对称，经过点
别为 A1 B1 和 CC1 的中点， D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点)，若
GD EF ，则线段 DF 的长度的取值范围为（
A.
） D.
5 ,1 5
B.

5 ,1 5
C.
2 5 ,1 5

2

5
A. 5
B. 10

2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名_______一、填空题 1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f)0(>a ，则=+)1(ln )(ln af a f ____________。

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.3、若⎪⎭⎫⎝⎛<≤<=20tan 3tan παβαβ,则βα-的最大值为____________。

4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ,则△BEF 周长的最小值为____________。

5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-xf mx f 恒成立，则正．实数．．x 的取值范围为____________.6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=，且)(2b c a b -=-，若α为c ,a 的夹角，则αcos 的值为____________.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________。

二、解答题9.(本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ,C 对边的边长分别是a ，b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥。

（Ⅰ）求△ABC 的内角C 的值；(Ⅱ）若c =2，2sin2A +sin （2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 22211+==+。