新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换章末复习课课件新人教B版第三册

40
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的 恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形 式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的 数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题 过程中学会灵活应用．
41
【例 6】 已知 sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1123，且 α－β2和α2－β 分别为第二、第三象限角，求 tanα＋2 β的值．
37
5．已知向量 m＝(sin A，cos A)，n＝( 3，－1)，且 m·n＝1，且 A 为锐角．
(1)求角 A 的大小； (2)求函数 f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
38
[解](1)由题意得 m·n＝ 3sin A－cos A＝1，
2sinA－π6＝1，sinA－π6＝12.
31
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用 向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件， 然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问 题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
32
【例 5】 已知向量 a＝(1，－ 3)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b. (1)若 f(θ)＝0，求2cos22s2θi－nθs＋in π4θ－1的值； (2)当 x∈[0，π]时，求函数 f(x)的值域．
A．12
B．14
C．－12
D．－14
7
C [设 D 是 BC 的中点，等腰三角形 ABC 的周长是底边长 BC 的 5 倍，BC＝1，
在 Rt△ABD 中，cos∠ABC＝14，A→B·B→C ＝|A→B||B→C|cos(π－∠ABC) ＝2×1×－14＝－12.故选 C．]
8
向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表 示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
∴A→B⊥A→D，即 AB⊥AD．
20
(2)∵四边形 ABCD 为矩形，∴A→B⊥A→D，A→B＝D→C. 设 C 点的坐标为(x，y)， 则A→B＝(1,1)，D→C＝(x＋1，y－4)， ∴xy＋ －14＝ ＝11， ， 解得xy＝ ＝05， ， ∴C 点的坐标为(0,5)．
21
从而A→C＝(－2,4)，B→D＝(－4,2)， ∴|A→C|＝2 5，|B→D|＝2 5，A→C·B→D＝8＋8＝16. 设A→C与B→D的夹角为 θ， 则 cos θ＝|AA→→CC|·|BB→→DD|＝1260＝45， ∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.
[思路探究] 先根据 α－β2，α2－β 的范围求得其正、余弦再求正 切值，最后由α＋2 β＝α－β2－α2－β求解．
42
[解] ∵sinα－β2＝45，且 α－β2为第二象限角， ∴cosα－β2＝－ 1－sin2α－2β＝－35. 又 cosα2－β＝－1132，且α2－β 为第三象限角， ∴sinα2－β＝－ 1－cos2α2－β＝－153.
由 A 为锐角得 A－π6＝π6，A＝π3.
(2)由(1)知 cos A＝12，
所以 f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x
＝－2sin
x－122＋32.
39
因为 x∈R，所以 sin x∈[－1,1]，因此， 当 sin x＝12时，f(x)有最大值32， 当 sin x＝－1 时，f(x)有最小值－3， 所以所求函数 f(x)的值域为－3，32.
15
【例 3】 已知正方形 ABCD，E、F 分别是 CD、AD 的中点， BE、CF 交于点 P.
求证：(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB．
16
[证明] 如图建立直角坐标系，其中 A 为原点，不妨设 AB＝2， 则
A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)B→E＝O→E－O→B＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， C→F＝O→F－O→C＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)． ∵B→E·C→F＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴B→E⊥C→F，即 BE⊥CF.
2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思 想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判 断共线、平行、垂直等问题．
9
【例 2】 已知向量A→B＝(4,3)，A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－ 2)．
(1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．
[解] 设 D(x，y)，则A→D＝(x－2，y＋1)， B→D＝(x－3，y－2)，B→C＝(－6，－3)， ∵A→D⊥B→C，∴A→D·B→C＝0， 则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0， ∵B→D∥B→C，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0， 解由①②构成的方程组得xy＝ ＝11， ， 则 D 点坐标为(1,1)，所以A→D＝(－1,2).
25
[解](1)由 tan α＋tan1 α＝－130，得 3tan2α＋10tan α＋＝0，即 tan α ＝－3 或 tan α＝－13.
又34π<α<π，所以 tan α＝－13.
26
(2)原式＝5×1－c2os
α＋4sin α＋11×1＋c2os － 2cos α
α－8
＝5－5cos
22
给值求值问题 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是： ①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结 论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析 已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、 待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求 式的值．
29
sinπ4－β＝－45.
cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin34π＋α－4π－β
＝
sin
34π＋α
cos
π4－β
－
cos
34π＋α
sin
π4－β
＝
5 13
×
3 5
－
－1123
×－45＝－3635.
30
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当 给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三 角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论 其图像和性质．
α＋8sin －2
α＋11＋11cos 2cos α
α－16
＝4s－in α＋2c3ocsoαs
α＝4ta－n α＋2 3＝－5
6
2 .
27
4．已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值．
28
[解] ∵0＜α＜π4＜β＜34π， ∴34π＜34π＋α＜π，－π2＜π4－β＜0. 又 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， ∴cos34π＋α＝－1123.
33
[思路探究](1)可先由 f(θ)＝0 求 tan θ，再化简2cos22s2θi－nθs＋in π4θ－1 后，由 tan θ 值代入求值；
(2)先化简成 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据 x 范围求 ωx＋φ 范 围，进而求得 f(x)的值域．
34
[解](1)∵a＝(1，－ 3)，b＝(sin x，cos x)， ∴f(x)＝a·b＝sin x－ 3cos x， ∵f(θ)＝0，即 sin θ－ 3cos θ＝0， ∴tan θ＝ 3， ∴2cos22s2θi－nθs＋in π4θ－1
23
【例 4】 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130.
(1)求 tan α 的值；
5sin2 (2)求
α2＋8sin2sα2icnoαs－α2π2＋ 11cos2α2－8的值．
24
[思路探究](1)结合 α 的取值范围，求解 tan α 的值； (2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关 于 tan α 的式子代入求值即可．
35
＝cos sin
θ－sin θ＋cos
θ θ
＝1ta－n θta＋n 1θ
＝1－3＋31
＝－2＋ 3.
36
(2)f(x)＝sin x－ 3cos x＝2sinx－π3， ∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，23π， 当 x－π3＝－π3，即 x＝0 时，取最小值－ 3， 当 x－π3＝π2，即 x＝56π时，取最大值 2， ∴当 x∈[0，π]时，函数 f(x)的值域为[－ 3，2]．
11
(2)由已知得P→B＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
则11＝－－y＝7－λ，4λ，
∴λ＝－17， y＝37.
12
2.已知△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的 高为 AD，求A→D.
4
【例 1】 非零向量 a，b 满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋ b)，求 a，b 的夹角的余弦值．
[思路探究] 由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组 → 求出|a|2，|b|2，a·b的关系 → 利用夹角公式可求