新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

合集下载

试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题(含答案解析)

2014上海市初三数学竞赛试卷

（2014年12月7日上午9：00—11:00）

解答本试卷可以使用科学计算器

一、填空题（每小题10分，共80分）

1.化简：3223

2a a b ab b a ab b

--+=-+ 2. 若

y x

a x z

+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为

3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为

4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为

5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为

6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221

x y x y ⎧≤⎪

≤⎨⎪

-≤⎩确定的区域的面积为

7. 使得关于x 的方程22

1130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是

8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111

(201420142014)

k d d d +++=+++

二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)

x x x x a x x

+--=++

10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯

2006年新知杯上海市初中数学竞赛

则ACBD 的值为
.
8. 如图 4, ABC 的面积为 S, 周长为 p ,
AcBcCc的三边在 ABC 外, 且与对应边的
距离均为 h. 则 AcBcCc的周长为
,面
积为
.
9. 已知 n( n > 1) 个整数( 可以相同) a1,
a2 , ,, an 满足
a1 + a2 + ,+ an = a1 a2 ,an = 2 007.
BC 、CD 的距离AE 、AF
都为 5, EF = 6. 那么,
菱形 ABCD 的边长为
.
图2
4. 已知二次函数 y = x 2- x + a 的图像
与x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和
不超过 5. 则 a 的取值范围是
.
5. 使得 n + 1 能整除 n2 006 + 2 006 的正
有 OE= 4- x 2 . 因为
OF = | OE - EF| 图7
= | 4- x 2 - 2x | , CF2 + OF2 = OC2,
所以, x 2 + ( 4- x 2 - 2x ) 2= 1, 即
31
4x 2 + 3= 4x 4- x 2 . 两边平方并整理得 32x 4 - 40x 2+ 9= 0.

历届最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)

新知杯模拟试题

一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）

1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是

_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 21

==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(22

=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为

-2，则所有实根的平方和为。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上

一动点。BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为。

6. 设b a ,是方程01682

=++x x 的两个根，d c ，是方程01862

=+-x x 的两个根，则

()()()()d b d a c b c a --++的值为。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交

（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,

78=∠ABC ,

162=∠BCD 。设BC AD ,延长线

交于E ，则=∠AEB _________________.

10. 如图，在直角梯形ABCD 中，

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题(附参考答案)

“新知杯”上海初中数学竞赛的前身叫做“宇振杯”，又被称作过“弘晟杯”，迄今为止已经举办了八届。新知杯上海市初中数学竞赛历来是上海各大高中看重的一个竞赛奖项，新知杯的一二等奖在上海本地具有相当的含金量，据说一二等奖获得者往往会直接被名校预约。[延伸阅读：新知杯上海初中数学竞赛详细介绍]。这项竞赛难度相对其他数学竞赛而言比较大，涉及初中三年各项知识点，所以含金量是非常之高。

上海初一初中数学竞赛测试带答案解析

上海初一初中数学竞赛测试

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位

数

A．11;B．101;C．13;D．1001.

2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的

平均分是

A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.

3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为

A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.

4.0.000000375与下列数不等的是

A．;B．;

C．;D．.

5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为

A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.

6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若

A．;B．;C．;D．.

7.一同学在n天假期中观察：

（1）下了7次雨，在上午或下午；

（2）当下午下雨时，上午是晴天；

（3）一共有5个下午是晴天；

（4）一共有6个上午是晴天。

则n最小为

A．7;B．9;C．10 ;D．11.

8.如表所示，则x与y的关系式为（）

+x+1

C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论

9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）

10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）

A．1 ;B．2;C．3;D．4.

(新知杯)-上海市初中数学竞赛试卷

1、计算=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-3119753239131239145111151915171515151315116 （精确到8位小数）

2、一个四位数除以433，商为a ，余数为r （N r a ∈、）。则a+r 的最大值为

3、设点A （-0.8,4.132），B （1.2，-1.948），C （2.8，-3.932）在二次函数c bx ax y ++=2

的图像上。当图像上的D 的横坐标x=1.8时，其纵坐标y 的值为

4、使等式()15512=+-+n n n 成立的整数n 的值为

5、如图1，P 为⊙O 的弦AB 上的点，AP=m ，PB=n ，且m ＞n 。当AB 沿⊙O 运动一周，点P 的轨迹为曲线C ，若圆O 的曲线与曲线C 之间所围成的图形的面积为π)(22n m -，则n

m 的值为

6、设[X]表示不超过实数X 的最大整数，⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3

1242322211211S 直至2016项，其中分母为k 的一段共有2k 项，只有最后一段可能不足2k 项，则S 的值为

7、若实数a 、b 、c 使得二次函数c bx ax x f ++=2)(当0≤x ≤1，恒有)(x f ≤1.则c b a ++的最大值为。

8、已知a 、b 、c 、d 为四个正的常数，当实数x 、y 满足122=+by ax 时，2dy cx +的最小值为

9、如图2，⊙M 与⊙O 外切与点C ，⊙M 与⊙O 的半径分别为r 、R. 直线TPQ 与⊙M 切于点T ，与⊙O 交于点P 、Q ，求

2008年新知杯上海市初中数学竞赛

P E D C B A F

P E D C

B A

C 2A 2C 1B 2B 1A 1F E

D C B A

E D C B A 2008年新知杯上海市初中数学竞赛

一、填空题：

1、如图：在正ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，

使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则=QB QP _____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++200821a a a _____________.

4、在菱形ABCD 中，︒=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.

5、关于x 的方程121

+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ∆内一点，过P 分别作三

条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形BDPF 的面积是

_____________. 7、对于正整数n ，规定n !n ⨯⨯⨯= 21.则乘积!!!921⨯⨯⨯ 的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.

8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02

=--k x x 有两个整数根.则所有这样的正整数k 的和为_____________.

2019年上海新知杯初中数学竞赛试题解析共27页

当 p=2 时，
=4=22
当 p=5 时，故答案为 2 或 5．
=16=42．
二、解答题（共3小题，共60分） 11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H 在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值．
解：如图，连接 PQ， ∵P 为 BC 中点， ∴S△ ABP=S△ APC= ×S△ ABC= ×1= ， ∴同理由题可知△ BQC 面积为，△ ABQ 面积， ∴S△ BPQ= S△ BQC= ， ∵△ABQ 与△ BPQ 为共底三角形， ∵面积比等于高的比=4：1，又∵△ABR 和△ BRP 分别与△ ABQ 和△ BPQ 同高，且共用底边 BR， ∴△ABR 和△ BRP 的面积比为 4：1 ∵S△ ABR+S△ BRP=S△ ABP， ∴S△ ABR= × = ，故答案为：．
考点：奇数与偶数．分析：满足条件的一位数只有9，满足条件的两位数，要使x的数字之和为奇数，则两位数必满足一奇一偶，再由x+1的数字和也为奇数，那么可得十位数字为偶数，个位数字为奇数，且个位一定为9，三位数则需要前两位的和为偶数，尾数为9，从而可得出符合条件的正整数．
解：①满足条件的一位数只有9； ②对于两位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则十位数字为偶数，个位数字为 9，故满足条件的两位数有：29，49，69，89； ③对于三位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则需要前两位的和为偶数，尾数为9：故满足条件的数有：119，139，159，179，209，229，249，269，289…共 4×5+5×4=40个． ④999和1000 综上可得满足条件的数有：1+4+40+1=46个

2006年新知杯试题

2006年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10题，每题10分，共90分）

1、如图，在△ABC 中，70=∠A °，90=∠B °，点A 关于BC 的对称点是A '，点B 关

于AC 的对称点是B '，点C 关于AB 的对称点是C '，若△ABC 的面积是1，则 △C B A '''的面积是________________．

2、已知实数f e d c b a 、、、、、满足如下方程组⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++.

6402,3202,1602,

802,402,202f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a ，

则a b c d e f -+-+-的值是_______________．

3、如图，菱形ABCD 中，顶点A 到边BC ，CD 的距离AF AE ,都为5，6=EF ，那么

菱形ABCD 的边长为________________．

4、已知二次函数a x x y +-=2

的图像与x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过

5，则a 的取值范围是__________________． 5、使得1+n 能整除20062006+n

的正整数n 共有_____________个．

6、 []x 表示不大于x 的最大整数，方程[][]2

832-

=+x x x 的所有实数解为_________． C'B'C B A

上海市新知杯初中数学竞赛两年题目

2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题

一、填空题（每题10分，共80分）

1.已知关于x 的两个方程：230x x m -+=……①，20x x m ++=……②，其中0m ≠.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m 的值是_______

2.已知梯形ABCD 中//AB CD ，90,,5,13,ABC BD AD BC BD ︒

∠=⊥==则梯形

ABCD 的面积为______。

3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于等于2的概率为________.

4.将8个数，－7、－5、－3、－2、2、4、6、13排列为,,,,,,,a b c d e f g h ,使得

22()()a b c d e f g h +++++++的值最小，则这个最小值为________.

5.已知正方形ABCD 边长为4，,E F 分别在,AB BC 上，3,2,AE BF ==,AF DE 交于

G ，则四边形DGFC 的面积为。

6.在等腰直角三角形ABC 中，90,ACB P ABC ︒

∠=∆是内一点，使得

11,7,6PA PB PC ===，则AC 边长为____________。

7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的4

，则第二名选手得分是_______。

8.已知a b c d 、、、都是素数（可以相同），并且abcd 是35个连续正整数之和，则

2022年新知杯上海市初中数学竞赛试题及详解

上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题（每题7分，共70分）

2.．有四个底部都是正方形旳长方体容器A、B、C、D，已知A、B旳底面边长均为3，

C、D旳底面边长均为a，A、C旳高均为3，B、D旳高均为a，在只懂得a≠3，且不考虑容器壁厚度旳条件下，可鉴定、两容器旳容积之和不小于此外两个容器旳容积之和．

3 若n旳十进制表达为99…9（共20位9），则n3旳十进制表达中具有个数码9。

4 在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m旳取值范畴是

6、若有关旳方程|1-x|=mx有解，则实数m旳取值范畴

7 从1000到9999中，四位数码各不相似，且千位数与个位数之差旳绝对值为2旳四位数有个．

二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）

11 求所有满足下列条件旳四位数：能被111整除，且除得旳商等于该四位数旳各位数之和。

12 （1）在4×4旳方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一种红色旳小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你旳结论．（2）如果把上题中旳“4×4旳方格纸”改成“n×n旳方格纸（n≥5）”，其她条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你旳结论．

13 如图，ABCD是一种边长为1旳正方形，U、V分别是AB、CD上旳点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积旳最大值。

上海市初中数学竞赛试卷详解

一、填空题（每题7分，共70分）

2000新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯)

（2013年12月8日上午9:00~11:00）

一、填空题(每题10分) 1.已知7

21,721-=+=b a ，则.________3

3=-+-b b a a

2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则

3.已知F E AC AB A 、，,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交

BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF

4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者5

432a a a a x +++=

时，5)(=x f ，

当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p

5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.

6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2

=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.

7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为

321,,G G G ，那么321G G G ∆的面积为________________.

上海市中学生数学竞赛真题

一、选择题

1. 答案：A

2. 答案：B

3. 答案：C

4. 答案：D

5. 答案：B

二、填空题

1. 答案：27

2. 答案：36

3. 答案：40

4. 答案：15

5. 答案：8

三、计算题

1. 答案：112

解析：将4的倍数表示为4k，5的倍数表示为5m。由于2002是最小公倍数，所以4k+5m=2002。求得k=333，m=267，则

4k+5m=4*333+5*267=112。

2. 答案：24

解析：设三个数分别为x、y、z，由题意可得x+y+z=9，

x^2+y^2+z^2=45。通过计算可以得出x=3，y=2，z=4，所以

x*y*z=3*2*4=24。

3. 答案：6

解析：根据题意，可以列出不等式4x+2y≤18，x+y≥6。通过计算可以得出最大值为6。

4. 答案：21

解析：设捞上来的小鱼数量为x，由题意可得x/3-2/5x=21。通过计算可以得出x=70，所以小鱼的直观数量为21。

5. 答案：8

解析：分子大于分母时，可以通过除法将整数部分的数除掉，得到真分数。最后的结果为8/1=8。

四、应用题

1. 计算追赶问题的时间

解析：根据题意，张三的速度为8m/s，李四的速度为6m/s。令追赶时间为t，则张三走过的距离为8t，李四走过的距离为6t。由于他们追赶成功时两人距离为500m，所以8t-6t=500，求得t=250。所以追赶成功所需要的时间为250秒。

2. 设计三角形的边长

解析：根据题意，三个数字都是2的倍数，并且大于2。所以可以选择边长为6，8，10的三角形。

3. 计算三角形的面积

2020年上海新知杯初中数学竞赛试题解析ppt课件

考点：奇数与偶数．分析：满足条件的一位数只有9，满足条件的两位数，要使x的数字之和为奇数，则两位数必满足一奇一偶，再由x+1的数字和也为奇数，那么可得十位数字为偶数，个位数字为奇数，且个位一定为9，三位数则需要前两位的和为偶数，尾数为9，从而可得出符合条件的正整数．
解：①满足条件的一位数只有9； ②对于两位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则十位数字为偶数，个位数字为9，故满足条件的两位数有：29，49，69，89； ③对于三位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则需要前两位的和为偶数，尾数为9：故满足条件的数有：119，，159，179，209，229，249，269，289…共 4×5+5×4=40个． ④999和1000 综上可得满足条件的数有：1+4+40+1=46个
一、填空题〔第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分） 7、如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA， DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为 _________ ．
:
解：设 =x，则 =1﹣x，
∵ DG∥ BC，
:
解：如图，连接 PQ， ∵ P 为 BC 中点， ∴ S△ ABP=S△ APC= ×S△ ABC= ×1= ， ∴ 同理由题可知△ BQC 面积为，△ ABQ 面积， ∴ S△ BPQ= S△ BQC= ， ∵ △ ABQ 与△ BPQ 为共底三角形， ∵ 面积比等于高的比=4：1，又∵ △ ABR 和△ BRP 分别与△ ABQ 和△ BPQ 同高，且共用底边 BR， ∴ △ ABR 和△ BRP 的面积比为 4：1 ∵ S△ ABR+S△ BRP=S△ ABP， ∴ S△ ABR= × = ，故答案为：．

新知杯初中数学竞赛试卷

一、选择题（每题5分，共50分）

1. 下列各数中，不是无理数的是（）

A. √2

B. π

C. 0.1010010001……

D. √9

2. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列各式中正确的是（）

A. a^2 + b^2 = 0

B. a^2 - b^2 = 0

C. a^2 - b^2 = -2ab

D. a^2 + b^2 = 2ab

3. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 6cm，则底边BC上的高AD的长度是（）

A. 3cm

B. 4cm

C. 5cm

D. 6cm

4. 若一个数x满足x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）

A. y = √(x - 1)

B. y = 1/x

C. y = |x|

D. y = √(x^2 + 1)

6. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（2，-3）

B.（-2，-3）

C.（-2，3）

D.（2，3）

7. 下列方程中，无解的是（）

A. 2x + 3 = 0

B. x^2 + 1 = 0

C. x^2 - 1 = 0

D. x^2 + 2x + 1 = 0

8. 若一个数x满足x^2 - 2x - 3 = 0，则x + 1的值是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A. 等边三角形

B. 等腰梯形

C. 等腰三角形

D. 长方形

10. 若一个数x满足x^2 - 4x + 4 = 0，则x的值是（）