小学奥数5-2-3 数的整除之四大判断法综合运用(三).专项练习(精品)
小学五年级数学奥数:数的整除(附练习及详解)
一、基本概念和知识1.整除例如:15÷3=5;63÷7=9一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b(b不等于0);除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0);我们就说;a能被b整除(或者说b能整除a)7是63的约数.2.数的整除性质性质1:如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除.例如:如果2|10;2|6;那么2|(10+6);并且2|(10—6).性质2:如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即:如果bc|a;那么b|a;c|a.性质3:如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a.即:如果b|a;c|a;且(b;c)=1;那么bc|a.例如:如果2|28;7|28;且(2;7)=1,那么(2×7)|28.性质4:如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a.即:如果c|b;b|a;那么c|a.例如:如果3|9;9|27;那么3|27.3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除.③能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除.④能被5整除的数的特征:个位是0或5.⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除.⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是0或11的倍数.⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除.练习及详解例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数;那么A=_____.(小五奥数)解析:已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.练习(1)在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.练习(2)已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____.例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.解析:先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+…+100)-(3+6+9+12+…+99)=(1+100)÷2×100-(3+99)÷2×33 =5050-1683=3367练习所有能被3整除的两位数的和是______.例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.例题4. 173□是个四位数字;数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?答案:∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除;1+7+3+□=11+□∴□内只能填7.∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除.∴(7+□)-(1+3)=3+□能被11整除, ∴□内只能填8.∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填4. 所以,所填三个数字之和是7+8+4=19.练习在1992后面补上三个数字;组成一个七位数;使它们分别能被2、3、5、11整除;这个七位数最小值是多少?。
判断数字的整除性练习题
判断数字的整除性练习题本练习题旨在帮助读者加深对数字的整除性的理解。
通过解答以下问题,读者可以巩固对整除性的认识,并能够灵活运用整除性概念来判断数字之间的关系。
1. 判断以下数字是否能整除:a) 28 ÷ 4b) 63 ÷ 7c) 120 ÷ 6d) 81 ÷ 9e) 50 ÷ 3解答:a) 28 ÷ 4 = 7,28可以被4整除,因为7是一个整数。
b) 63 ÷ 7 = 9,63可以被7整除,因为9是一个整数。
c) 120 ÷ 6 = 20,120可以被6整除,因为20是一个整数。
d) 81 ÷ 9 = 9,81可以被9整除,因为9是一个整数。
e) 50 ÷ 3 = 16.67(约),50不能被3整除,因为16.67不是一个整数。
2. 判断以下数字是否能整除:a) 42 ÷ 5b) 99 ÷ 11c) 135 ÷ 9d) 72 ÷ 8e) 56 ÷ 7解答:a) 42 ÷ 5 = 8.4(约),42不能被5整除,因为8.4不是一个整数。
b) 99 ÷ 11 = 9,99可以被11整除,因为9是一个整数。
c) 135 ÷ 9 = 15,135可以被9整除,因为15是一个整数。
d) 72 ÷ 8 = 9,72可以被8整除,因为9是一个整数。
e) 56 ÷ 7 = 8,56可以被7整除,因为8是一个整数。
3. 判断以下数字是否能整除:a) 38 ÷ 6b) 77 ÷ 9c) 180 ÷ 5d) 54 ÷ 7e) 69 ÷ 8解答:a) 38 ÷ 6 = 6.33(约),38不能被6整除,因为6.33不是一个整数。
b) 77 ÷ 9 = 8.56(约),77不能被9整除,因为8.56不是一个整数。
小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如:15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a 的约数。
例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c 的积能整除a。
即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,那么(2×7)|28。
性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。
小学奥数教师版(合辑):5-2-2 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;13. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b2与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯1100001141999921001181995111713()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-11000014999921001899511418275因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125()()能否被11整除,因此-+-+-=++-++结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd+dcba100010010100010010()()a b c d d c b a=+++++++=+++a b c d10011101101001(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被11整除=+++a b c d1191101091【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为41001110011011+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,abcd bcda a b c d故正确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+=⨯-+⨯++⨯-+142(10000000011)857(9999991)314(10011)27514210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+=⨯+⨯+⨯+-+-(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?5。
小学数学奥赛5-2-2 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;模块一、11系列【例 1】 以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()()()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-()()因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】 试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 略 【答案】设原序数为abcd ,则反序数为dcba ,则abcd +dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()()10011101101001a b c d =+++1191101091a b c d =+++(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd + dcba 能被11整除【例 3】 一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个4位数是abcd ,则新的4位数是bcda .两个数的和为1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故正确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+ 14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道:27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3 如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4 如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果 b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6 如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd 整除.如果 b|a ,且d|c ,那么bd|ac;例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-11000014999921001899511418275因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断()()能否被11整除,因此结论得到说明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd+dcba100010010100010010a b c d d c b a=+++++++()()=+++a b c d10011101101001(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被1191101091=+++a b c d11整除【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍数,故正确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+(14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道:27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
(小学奥数)数的整除之四大判断法综合运用(二)
5-2-2.數的整除之四大判斷法綜合運用(二)教學目標1.瞭解整除的性質;2.運用整除的性質解題;3.整除性質的綜合運用.知識點撥一、常見數字的整除判定方法1. 一個數的末位能被2或5整除,這個數就能被2或5整除;一個數的末兩位能被4或25整除,這個數就能被4或25整除;一個數的末三位能被8或125整除,這個數就能被8或125整除;2. 一個位數數字和能被3整除,這個數就能被3整除;一個數各位數數字和能被9整除,這個數就能被9整除;3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除,那麼這個數能被11整除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除,那麼這個數能被7、11或13整除.5.如果一個數能被99整除,這個數從後兩位開始兩位一截所得的所有數(如果有偶數位則拆出的數都有兩個數字,如果是奇數位則拆出的數中若干個有兩個數字還有一個是一位數)的和是99的倍數,這個數一定是99的倍數。
【備註】(以上規律僅在十進位數中成立.)二、整除性質性質1 如果數a和數b都能被數c整除,那麼它們的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那麼c︱(a±b).性質2 如果數a能被數b整除,b又能被數c整除,那麼a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那麼c∣a.用同樣的方法,我們還可以得出:性質3如果數a能被數b與數c的積整除,那麼a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那麼b∣a,c∣a.性質4如果數a能被數b整除,也能被數c整除,且數b和數c互質,那麼a 一定能被b與c的乘積整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那麼bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那麼(3×4) ∣12.性質5 如果數a能被數b整除,那麼am也能被bm整除.如果b|a,那麼bm|am(m為非0整數);性質6如果數a能被數b整除,且數c能被數d整除,那麼ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那麼bd|ac;例題精講模組一、11系列【例 1】以多位數142857為例,說明被11整除的另一規律就是看奇數位數字之和與偶數位數字之和的差能否被11整除.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知,等式右邊第一個括弧內的數能被11整除,再根據整除性質1,要判斷142857能否被11整除,只需判斷()()能否被11整除,因此結論得到說明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】試說明一個4位數,原序數與反序數的和一定是11的倍數(如:1236為原序數,那麼它對應的反序數為6321,它們的和7557是11的倍數.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數為abcd,則反序數為dcba,則abcd+dcba100010010100010010()()=+++++++a b c d d c b a=+++10011101101001a b c d=+++(),因為等式的右邊能被11整除,所以abcd+dcba能被11a b c d1191101091整除【例 3】一個4位數,把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數.已知這兩個4位數的和是以下5個數的一個:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.這兩個4位數的和到底是多少?【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數是abcd,則新的4位數是bcda.兩個數的和為+=+++,是11的倍數.在所給的5個數中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍數,故正確的答案為9867.【答案】9867模組二、7、11、13系列【例 4】 以多位數142857314275為例,說明被7、11、13整除的規律.【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知,等式右邊第一個括弧內的數能被7、11、13整除,再根據整除性質1,要判斷142857314275能否被7、11、13整除,只需判斷857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此結論得到說明.【例 5】 已知道六位數20279□是13的倍數,求□中的數字是幾?【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空 【解析】 根據一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除,那麼這個數能被7、11或13整除的特點知道:27920=7-□□,7□是13的倍數,□是8的時候是13倍數,所以知道方格中填1。
【奥赛】小学数学竞赛:数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;模块一、11系列【例 1】 以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()()()() 11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-()()因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】 试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略【答案】设原序数为abcd ,则反序数为dcba ,则abcd +dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()() 10011101101001a b c d =+++1191101091a b c d =+++(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd + dcba 能被11整除【例 3】 一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个4位数是abcd ,则新的4位数是bcda .两个数的和为1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故正确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律. 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+ 14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几? 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道:27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
小学奥数:数的整除之四大判断法综合运用(一).专项练习及答案解析
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用(一)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b 与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;例题精讲5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用(一).题库教师版模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】积的最后4个数字都是0,说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5.9755539=⨯⨯,共有3个5,2个2,所以方=⨯⨯,9355187=⨯,97222243框内至少是22520⨯⨯=.【答案】22520⨯⨯=【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】首先,50、60、70、80、90、100中共有7个0.其次,55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0,而75乘以偶数可以产生2个0,50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有742114+++=个0.【答案】14个连续的0【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应该是多少?【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的,有一对2和5乘积末尾就有一个零.由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个5的倍数,所以我们只要观察因数5的个数就可以了.551=⨯,=⨯,1052=⨯,3056=⨯,……,发现只有25、50、75、100、……=⨯,20541553=⨯,2555这样的数中才会出现多个因数5,乘到55时共出现11213+=个因数5,所以至少应当写到55。
小学奥数数论讲义 7-数的整除之四大判断法综合运用竞赛集
数的整除之四大判断法综合运用
数的整除之四大判断法
2系列:被2整除只需看末位能否被2整除
被4整除只需看末两位能否被4整除
被8整除只需看末三位能否被8整除,依此类推
5系列:被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除,即只可能是00,25,50,75
被125整除只需看末三位能否被125整除,即只可能是000,125,250…
3系列:被3整除只需看各位数字之和能否被3整除
被9整除只需看各位数字之和能否被9整除
判断7、11、13整除特征的方法
⑴如果该数是1001的倍数,则必然能被7、11、13整除;
⑵末三位一段,用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数,如果差是7或11或13的倍数,这个数
也能被7或11或13整除;
⑶从末三位开始,三位为一段,如果奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除,则该数
也能被7或11或13整除。
特殊的11:奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
【例 1】将自然数N接写在任意一个自然数的右面,如果得到的新整数能被N整除,那么称N为“魔术数”。
问小于1996的自然数中有多少个魔术数?
【例 2】用1,9,8,8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?
【例 3】在六位数ABCDEF中,不同的字母表示不同的数字,且满足A,AB,ABC,ABCD,ABCDE,ABCDEF依次能被2,3,5,7,11,13整除。
则ABCDEF的最小值是,最大值是。
〖答案〗
【例 1】14个
【例 2】共有4种可能的排法:1988,1889,8918,8819
【例 3】210769,840736。
小学奥数5-2-3 数的整除之四大判断法综合运用(三).专项练习及答案解析
1. 了解整除的性质;2. 运用整除的性质解题;3. 整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除,那么它们的和或差也能被c 整除.即如果c ︱a ,c ︱b ,那么c ︱(a ±b ).知识点拨教学目标5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m 为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;例题精讲综合系列【例 1】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位为1031.如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为8,那么甲乙两数之和是_________.【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,初赛,第2题【解析】根据弃九法可得知,乘积是310313171113=⨯⨯⨯,适当组合可得知两数为317217⨯=,和为360.⨯=和1113143【答案】360【例 2】有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是12的倍数,那么这5个数之和的最小值是________.【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,六年级,初赛,第7题)【解析】为了5个数的和最小,那么12=1⨯12=2⨯6=3⨯4。
【小学奥数】 数的整除之四大判断法综合运用(二).学生版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;模块一、11系列【例 1】 以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【例 2】 试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【例 3】 一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a 和b ,将它连续重复写2008次成为:20095555ab ab ab ab 个.如果此数能被91整除,那么这个三位数5ab 是多少?例题精讲【例 7】 已知四十一位数555999□(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?【巩固】 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码,才能使得所得的整数5050666?555个6个5可被7整除?【例 8】 88888ab ab ab ab ab 是77的倍数,则ab 最大为_________?【例 9】 一个19位数997777044444⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个能被13整除,求О内的数字.【例 10】 称一个两头(首位与末尾)都是1的数为“两头蛇数”。
奥数-5-2-1数的整除之四大判断法综合运用一学生版
L 了解整除的性质;2・运用整除的性质解题:3.整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法 1・一个数的末位能被2或5挞除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除: 一个数的末三位能被8或125抠除,这个数就能被8或125整除:2.-个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除:一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除:3・如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4・如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7s 11或13整除,那么这个数能被7. 11 或13整除. 5•如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一裁所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字,如果是奇数位則拆出的数中若千个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的信数,这个数一定 是99的倍数.【备注】(以上规律仅在十进制數中成立•)二、整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数C 整除,那么它们的和或差也能筱C 整除.即如果 C I b,那么 C* I {a±h). 性质2 如果数初能被数〃整除,b 又能被数C 整除,那么"也能被C 整除.即如杲h I c I b,那么 c I用同样的方法,我们还可以得出:性质3 么 b I C I "•如果数a 能被数b 埜除,也能被数f 整除,且数b 和数C 互质,那么"一定能被b与C 的乘枳整除.即如果b I </, e I a,且(b, c )=l,那么be | a.例如:如果 3 I 12, 4 I 12,且(3, 4)=1,那么(3x4) I 12.如果数a 能被数h 整除,那么am 也能被bnt 整除•如果b I a,那么hm I am (m 为非0整数): 如果数初能被数b 整除,且数C •能被数d 整除,那么《也能被加整除.如果bl",且d Ic,那 么 bd I aex模块一、2、5系列【例1】975x935x972x0,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?5-2-1.数的整除之四大判断法 综合运用(一)如果数a 能被数〃与数C 的积抠除,那么“也能被b 或C 整除.即如果be I a.那桂质4 性质5 性质6【例2] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【例3]把若干个自然数2. 3 ........ 连乘到一起.如果己知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应该是多少?【例4]11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少?【例5]201x202x203x……x300的结果除以10,所得到的商再除以10董复这样的操作,在第次除以10时,首次出现余数・【例6]用1〜9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用),每个数都是4的倍数•这三个三位数中最小的一个最大•【例7]若劲+2c+〃 = 32,试问川xd能否被8整除?请说明理由.模块二、3、9、99系列【例8]在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使4口32□是9的倍数.请随便填出一种,并检査自己填的是否正确•【巩固】若9位数2008口2008能够被3整除,则□里的数是【例9] 一个六位数2UIJ727被3除余1,被9除余4,这个数最小是.【例101连续写出从1开始的自然数,写到2008时停止,得到一个多位数:XXII……20072008,请说明: 这个多位数除以3,得到的余数是几?为什么?【例113试说明一个两位数,如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数,则新数与原数的差一定能被9整除.【例12] XX11121314..-20082009除以9,商的个位数字是【例13】证明ab皿能被6整除,那么2(a+h + e+d)-e也能被6整除•【例141试说明一个5位数,原序数与反序数的差一定是99的倍数(如:12367为原序数,那么它对应的反序数为76321.它们的差63954 = 99 x 646是99的倍数.【例15] 1至9这9个数字,按图所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如,在1和7之间剪开,得到两个数是19S426857和758624391).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?O;6 2【例161六位数20口□08能被99整除,□□是多少?【巩ffl】六位□2004□能被99蔡除,这个六位数是【巩ffl】六位数顽3□□能被99整除,它的最后两位数是【巩a】己知九位数丹07口202既是9的倍蚊又是11的倍数.那么,这个九位数是多少?【例171将自然数b 2, 3, 4 ..... 依次写下去,若最终写到2000,成为123…19992000,那么这个自然数除以99余几?【例18】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是【例19】207 , 2007 , 20007,…等首位是2,个位是7,中间数字全部是0的数字中,能被27整除而不被81整除的最小数_________________ •【例201盘警礬席蠶现蛊鬻蠶黎恣鶯会错,只能是记。
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版
【例 9】 一个六位数 2口口727 被 3 除余 l,被 9 除余 4,这个数最小是 。 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯,4 年级,决赛,第 2 题,8 分 【解析】被 9 除余 4 的数被 3 除必余 1,所以只需考虑被 9 除余 4 这个条件。这个数各个数位上的数字之和
【答案】45
【例 5】 201 202 203 300 的结果除以10 ,所得到的商再除以10 ……重复这样的操作,在第____次
除以10 时,首次出现余数. 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,5 年级,第 7 题 【解析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的 0 .0 由 5 和 2 相乘得到,最关键在于有多少个 5.
性质 2 如果数 a 能被数 b 整除,b 又能被数 c 整除,那么 a 也能被 c 整除.即如果 b∣a, c∣b,那么 c∣a.
用同样的方法,我们还可以得出: 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除,那么 a 也能被 b 或 c 整除.即如果 bc∣a,那
么 b∣a,c∣a. 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除,也能被数 c 整除,且数 b 和数 c 互质,那么 a 一定能被 b
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】一个数是 9 的倍数,那么它的数字和就应该是 9 的倍数,即 4 □ 3 2 □是 9 的倍数,而 4 3 2
9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数.依次填入 3、6,因为 4 3 3 2 6 18 是 9 的 倍数,所以 43326 是 9 的倍数。 【答案】43326(答案不唯一)
或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个
小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析.DOC数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如:15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b 能整除a)。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,那么(2×7)|28。
性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。
(小学奥数)5-2-2 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯11000014999921001899511418275()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd+dcba100010010100010010()()a b c d d c b a=+++++++10011101101001=+++a b c d=+++(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被11整除a b c d1191101091【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为1001110011011+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故abcd bcda a b c d正确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+=⨯+⨯+⨯+-+-(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【考点】整除之7、11、13系列【难度】2星【题型】填空【解析】根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道:27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
小学奥数5-1-3-3 数阵图(三).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级,初赛,第8题【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E,有45+A+B+C+D+E=55,所以A+B+C+D+E=10,所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数(即边上的)为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1,公差为d.利用求和公式5(a1+a1+4d)2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数,只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况,公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7;2的两边只能是6与9;3的两边只能是1、5或8;4的两边只能是7与9.可以先将3—1—7--写出来,接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的后面只能是2,2的后面只能是6,可得:3—1—7—4—9—2—6--,还剩下5和8两个数.由于6814+=是7的倍数,所以接下来应该是5,这样可得:3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.检验可知这样的填法符合题意.【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出).从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n≤8)。
奥数精编训练-数的整除之四大判断法综合运用(二)-推荐
1. 了解整除的性质;2. 运用整除的性质解题;3. 整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除,那么它们的和或差也能被c 整除.即如果c ︱a ,c ︱b ,那么c ︱(a ±b ).性质2 如果数a 能被数b 整除,b 又能被数c 整除,那么a 也能被c 整除.即如果b ∣a , c ∣b ,那么c ∣a .用同样的方法,我们还可以得出:性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除,那么a 也能被b 或c 整除.即如果bc ∣a ,那 么b ∣a ,c ∣a .性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除,且数b 和数c 互质,那么a 一定能被b 与c 的乘积整除.即如果b ∣a ,c ∣a ,且(b ,c )=1,那么bc ∣a .例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a 能被数b 整除,那么am 也能被bm 整除.如果 b |a ,那么bm |am (m 为非0整数);性质6 如果数a 能被数b 整除,且数c 能被数d 整除,那么ac 也能被bd 整除.如果 b |a ,且d |c ,那么bd |ac ;知识点拨教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a 和b ,将它连续重复写2008次成为:20095555ab ab ab ab 个.如果此数能被91整除,那么这个三位数5ab 是多少?【例 7】 已知四十一位数555999□(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?【巩固】 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码,才能使得所得的整数5050666?555个6个5可被7整除?【例 8】 88888ab ab ab ab ab 是77的倍数,则ab 最大为_________?【例 9】 一个19位数997777044444⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个能被13整除,求О内的数字.【例 10】称一个两头(首位与末尾)都是1的数为“两头蛇数”。
小学奥数专题-数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题;3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b).性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,c∣b,那么c∣a.用同样的方法,我们还可以得出:性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a.性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a ,且d|c ,那么bd|ac;例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯11000014999921001899511418275()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如:1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd+dcba100010010100010010()()a b c d d c b a=+++++++10011101101001=+++a b c d(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被11整除1191101091=+++a b c d【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:①9865;②9866;③9867;④9868;⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故正1001110011011abcd bcda a b c d确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯+⨯+⨯+-+-(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几?【考点】整除之7、11、13系列【难度】2星【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道:27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
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1.
了解整除的性质; 2.
运用整除的性质解题; 3.
整除性质的综合运用.
一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;
一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;
一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;
2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;
一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个
数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这
个数能被7、11或13整除.
5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则
拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位
数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)
二、整除性质
性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除,那么它们的和或差也能被c 整除.即如果c ︱a ,
c ︱b ,那么c ︱(a ±b ).
性质2 如果数a 能被数b 整除,b 又能被数c 整除,那么a 也能被c 整除.即如果b ∣a , c ∣b ,那么c ∣a .
用同样的方法,我们还可以得出:
性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除,那么a 也能被b 或c 整除.即如果bc ∣a ,那 么b ∣a ,c ∣a .
性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除,且数b 和数c 互质,那么a 一定能被b 与c 的乘积整除.即如果b ∣a ,c ∣a ,且(b ,c )=1,那么bc ∣a .
例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.
性质5 如果数a 能被数b 整除,那么am 也能被bm 整除.如果 b |a ,那么bm |am (m 为
非0整数);
知识点拨 教学目标
5-2-1.数的整除之四大判断法
综合运用
性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|
a,且d|c
,那么bd|ac;
综合系列
【例 1】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位为1031.如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为8,那么甲乙两数之和是_________.
【例 2】有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是12的倍数,那么这5个数之和的最小值是________.
【例 3】173□是个四位数字。
数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。
”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
【例 4】1872
a a是2008的倍数.a=_________
【例 5】使得101
n-是63的倍数的最小正整数n是。
【例 6】如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少?
例题精讲
【例 7】六位数20□□08能被49整除,□□中的数是多少?
【例 8】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17和19整除,那么方框中的两位数是多少?
【例 9】某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
【例 10】在523后面写出三个数字,使所得的六位数被7、8、9整除.那么这三个数字的和是多少?
【例 11】用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除。
这个六位数是多少?
【例 12】一个十位数,如果各位上的数字都不相同,那么就称为“十全数”,例如,3785942160就是一个十全数.现已知一个十全数能被1,2,3,…,18整除,并且它的前
四位数是4876,那么这个十全数是多少?
【例 13】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是多少?
【例 14】某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电
话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:这
一家的电话号码是什么数?
【例 15】在六位数ABCDEF中,不同的字母表示不同的数字,且满足A,AB,ABC,ABCD,ABCDE,ABCDEF依次能被2,3,5,7,11,13整除.则ABCDEF的最小值
是;已知当ABCDEF取得最大值时0
F=,那么ABCDEF的最大值是
C=,6
________.
【例 16】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0,并且二位数ab可被2整除,三位数
abc可被3整除,四位数abcd可被4整除,……依此类推,九位数abcdefghi可被9整除.请问这个九位数abcdefghi是多少?
【例 17】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。
要求前1位数能被2整除,前2位数能被3整除,……,前9位数能被10整除.已知最高位数为8.这个十位
数是
【例 18】N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除.N的最大值是.
【例 19】a,b,c,d各代表一个不同的非零数字,如果abcd是13的倍数,bcda是11的倍数,cdab是9的倍数,dabc是7的倍数,那么abcd是。
【例 20】利用数字0,1,2,3,4,,8,9(每个数字可以重复)构造一个6位数,满足要求:前k位能被k整除(1
k=,2,,6).这样的6位数最小是,最大是.
【例 21】有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的两位
同学说的不对,其余同学都对,问:⑴说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自
然数?⑵如果告诉你1号写的数是五位数,请找出这个数.
【例 22】已知:23!2582067388849766000
⨯=?
D C AB
=.则DCB A
【例 23】为了打开银箱,需要先输入密码,密码由7个数字组成,它们不是1、2就是3.在密码中1的数目比2多,2的数目比3多,而且密码能被3和16所整除.试问密码是多少?
【巩固】为了打开银箱,需要先输入密码,密码由7个数字组成,它们不是2就是3.在密码中2的数目比3多,而且密码能被3和4所整除.试求出这个密码.
【例 24】盒子里放有编号为1到10的十个球,小明先后三次从盒中共取出九个球,如果从第二次开始,每次取出的球的编号之和是前一次的2倍,那么未取出的球的编号是
___________.
【例 25】六位自然数,1082□□能被12整除,末两位数有种情况。