恒定电流的磁场(一)答案

第八章 恒定电流的磁场（一）
一. 选择题: ［ D ］1. 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D)
π2∶8
参考答案：
1
012a I B μ=
)135cos 45(cos 2
442
02︒-︒⨯⨯
=a I
B πμ
［B ］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，
在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B
的大小为
(A) )(20b a I +πμ． (B) b
b
a a I +πln 20μ． (C) b
b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．
参考答案: 建立如图坐标,取任意x 处宽度为dx 的电流元dI ’=Idx/a, b
b
a a I x
b a a Idx x b a dI B a +=-+=-+=⎰⎰
ln
2)(2)(2'0000πμπμπμ ［ D ］3. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面
处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B
沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅
L
l
B
d 等于
(A) I 0μ． (B)
I 03
1
μ．
(C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．
参考答案: 设优弧长L 1,电流I 1, 劣弧长L 2,电流I 2 由U bL1c =U bL2c 得 I 1ρL 1/S= I 2ρL 2/S
I 1/I 2=1/2 有I 1=I/3, I 2=2I/3 故 3
20I
L d B μ=•⎰
［ B ］ 4. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别
为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B
的
大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是
参考答案: 由环路定理 I L d B 0μ=•⎰
当r<a 时, B=0,
a<r<b, 2
22
202a b a r r I B --=πμ (将B 对r 求一阶导数,看导数（即斜率）随r 的变化。

减小的)
I
O 1 O 2 a 1 a 2
I
I a
b
P x X
O
I
I
a b
c d
120°
a
O B
b
r
(A) O
B
b
r
(C) a
O B
b
r
(B) a
O
B
b
r
(D) a
r>b r
I
B πμ20= ［ D ］5. 限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内( r < R )的磁感强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感强度为B e ，则有
(A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比．
(D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比．
参考答案 当r<R 时 202R
Ir B πμ= 当 r > R 时 r I
B πμ20=
二. 填空题
1. 均匀磁场的磁感强度B
与半径为r 的圆形平面的法线n
的夹角为
α ，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面如图．则通过S 面的磁通量Φ = -B πr 2cos α___
参考答案 利用高斯定理
d 0S
B S =⋅⎰得到。

2. 一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电
流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为204a
IdL
πμ，方向为_Z 轴负方向．
参考答案 利用毕奥萨伐尔定律得到。

3. 一个密绕的细长螺线管，每厘米长度上绕有10匝细导线，螺线管的横截面积为10 cm 2．当在螺线管中通入10 A 的电流时，它的横截面上的磁通量为 4π×10-6Wb__．(真空磁
导率=4π×10-7 T ·m/A)
参考答案 Φ = μ0nIS 4. 如图所示，磁感强度B
沿闭合曲线L 的环流⎰⋅=L
l B d μ0(I 2-2I 1)_．
参考答案 ⎰⋅=L
l B
d μ0(I 2+I 1-3I 1)
5. 一质点带有电荷q =8.0×10-
10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00×10-
3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度
B= 6.67×10-7T__，该带电质点轨道运动的磁矩p m =7.2×10-7Am 2___．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1) 参考答案 B = μ0I/2R = μ0q ν/4πR 2 P m = q νR/2
6. 如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P 点的磁感
强度B
的大小为 B=μ0I/2d
参考答案 设X 为中线附近的P 点到板的垂直距离.推导有
B= x d arctg d I 20πμ
当x<<d 时 d
I B 20μ=．
P I 俯视图
7. 将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i (如上图)，则管轴线磁感
强度的大小是 μ0hi/2πR
参考答案 利用填补法思想
三.计算题 1．一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其
中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图中O 点处的磁感强度．
解: B 1=B 4=0
方向垂直纸面向里
方向垂直纸面向里
方向垂直纸面向里
2. 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形
平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感应强度的大小，由安培环路定理可得： 因而 在体外
3. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面
垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B
的大小及其方向．
解:线圈的总电荷 q=2πR λ ,转动时其等效电流为
I=q/T=2πR λ/T=R ωλ
代入环形电流在中心轴线上产生磁场公式得
)(220R r r R
I B ≤=πμπ
μπμφ420020
1I dr r R I S d B R ==⋅=⎰
⎰→→)
(20R r r I
B ≥=πμ2
ln 22020
2π
μπμφI dr r I S d B R R ==⋅=⎰
⎰→→πμπμφ42ln 20
0I
I +=2
/322
3
2
/3220
R IS B =
=
ωλμμR I R I B 8412002μμ=⨯=R
I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 42003=︒-︒=R I R I B B B B B πμμ280
04321+=+++=
4．横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R 1和R 2，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求．
(1) 螺线管中的B 值和通过横截面的磁通量．
(2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值． ． 解：(1) 由安培环路定理可得：
(2) 由对称性及安培环路定理,
在r < R 1和r > R 2处的B 值均为0．
5. 一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；
(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解: 由对称性及安培环路定理, (1)r<a
(2)a<r<b
(3)b<r<c
(4)r>c
［选做题］
R 1 R 2 N
b
r NI
B πμ20
=1
200
ln 2221R R NIb dr b r NI S d B R R πμπμφ==⋅=⎰
⎰→→2
2
02a
r I r B μπ=202a r I
B πμ=I
r B 02μπ=r I
B πμ210=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=I b c b r I r B 222202μπ()()
222202b c r r c I B --=πμ0=B
1．均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求： (1) O 点的磁感强度0B
； (2) 系统的磁矩m p
；
(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．
解:
（1）
（参考载流圆线圈轴线上的磁感应强度，若在圆心处，即x=0， ）
（2）
（3）
dr dq λ=a I
B 20μ=dr
r r dI dB πωλ
μμ4200==a b a dr r B b a a +==⎰
+ln
4400
πωλμπωλμdr
r SdI dp m π
λωπ22==()[]
3
3
26
2a b a dr r p b a a m -+==⎰
+ωλπλωπb
a a
b a b a b →
⎪⎭⎫
⎝⎛+→1ln ,0ln a b
a b a B a b πωλμπωλμ4ln 4lim 000
=
+=→()[]
[]
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+=→→→b a b a b a ba a b b a b a p a
b a b a b m 33lim 6336lim 6lim 223022
230330ωλωλωλ23622b
a b a p m ωλωλ=
=。