考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节(讲解)
第九章 欧几里德空间
第九章 欧几里德空间
§1基本知识
§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：
3、向量之间的夹角：
4、单位向量：
5、向量的正交：
6、度量矩阵：
7、正交向量组：
8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：
10、欧式空间的同构： 11、正交变换：
12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：
15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：
§1. 2 基本定理
定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.
定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基
n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：
n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε
定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.
定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价
（1）σ是正交变换；
（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；
（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；
（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。
定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。
定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个
高等代数-9第九章 欧几里得空间
(4) V , o, 为单位向量. | | 称 | | 为向量 的单位化向量.
(5) V , o,
当 k 0 时, k 与 有相同的单位化向量 | | 当 k 0 时, k 的单位化向量为 | |
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
§1 定义与基本性质
例4 写出下列欧氏空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式. ' ' n (1) 在 R 上, x1 , x2 , , xn , y1 , y2 ,, yn ,
பைடு நூலகம்
, x1 y1 x2 y2 xn yn .
解
x1 y1 x2 y2 xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间. 因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的. 因此欧氏空间也称为内积空间(Inner product space). 注2 线性性 2) ( k , ) k ( , ) 3) ( , ) , ( , ) 这两条等价于 , , V ,
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间
9.1复习笔记
一、定义与基本性质
1．欧几里得空间定义
设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：
（1）（α，β）＝（β，α）；
（2）（kα，β）＝k（α，β）；
（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；
（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.
这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．
2．长度
（1）定义
非负实数称为向量α的长度，记为|α|．
（2）关于长度的性质
①零向量的长度是零，
②|kα|＝|k||α|，
③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1
α
α
就是一个单位向量，通常称此为
把α单位化．
3．向量的夹角
（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有
|（α，β）|≤|α||β|
当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．
（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为
（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．
零向量才与自己正交．
（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．
4．有限维空间的讨论
（1）度量矩阵
设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得
a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），
显然a ij＝a ji，于是
利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，
空间几何的欧几里得空间
空间几何的欧几里得空间
欧几里得是希腊数学家，他的作品《几何原本》被认为是欧几
里得空间的奠基工作。欧几里得空间指的是三维空间中的几何定理，包括点、线、面等。欧几里得几何早在公元前300年左右就
被发明了。它的原理和公理经过了几百年的发展和完善，成为了
今天欧几里得几何的基础。
欧几里得空间的定义和特征
欧几里得空间可以由三条公理唯一地确定。这些公理是：
1.给定两个点，可以画出唯一一条通线。
2.可以从任意一个点向任意方向画出一条直线。
3.所有的角有180度。
这些公理可以解释出欧几里得几何的一些基本特征。当我们在
三维空间中，任意给定两个不同的点，我们可以用直线连接它们，这条直线将这两个点所在的直线切分成两部分。类似地，我们可
以从任意一个点，画出一条向任意方向的直线。这些一般经验可
以被简洁地表述为「既定点之间只有一条直线之交」和「可以从
任意一点引出一条唯一的直线」。对角度的定义和度数的规定，
使得图形的角度产生了「锐角」、「直角」和「钝角」三种不同
的类型。
欧几里得空间的应用
欧几里得几何的应用非常广泛，特别是在建筑、工程、科学和
技术等领域。作为一种公认的几何形式，欧几里得空间能够描述
和解决很多关于空间的问题。比如，使用欧几里得几何可以讨论
到平面内的三角形性质，例如高、垂线、媒线、重心等，也可以
研究空间内的球与圆的性质，如半径、周长、体积等。
针对实际应用的需求，欧几里得几何经过了不断的发展与推广。例如在建筑设计中，可以利用欧几里得几何来设计建筑外形，如
切割和组合形状等。在科学和技术领域，也可以利用欧几里得几
第九章 欧氏空间复习资料
第九章 欧氏空间
一. 内容概述
1.欧氏空间的定义
设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:
1) ),(),(αββα=;
2) ),()
,(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα
+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα
这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:
例1 在线性空间n
R 中,对于向量 )
,,,(,
),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积
.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n
R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积
.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.
例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积
⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)
欧几里得空间
2
2
所以 1,1 2 , cos nx, cos nx sin nx,sin nx , 1, cos nx 1,sin nx 0, cos mx, cos nx sin mx,sin nx
cos mx, sin nx 0, 若m n,
例1
1 0,1,0, 2
1 2
,0,
1 , 3 1 ,0, 1 2 2 2
R 3 一个标准正交组。 构成
因为
1 2 3 1,
1 , 2 2 , 3 3 ,1 0.
第二步单位化，令
1 1 1 1 1 2 | 1 | 6 1 1 1 1 2 2 1 | 2 | 3 1 1 1 1 3 3 0 | 3 | 2 1
1 1 1 0 1 1 ，试用施密特正交化 例：设 a1 , a2 , a3 1 0 1 1 1 0
解：第一步正交化，取
1 a1 1 , 2 2 a2 1 , 1 1 , 3 3 a3 1 , 1
1 1 1 4 5 1 3 2 1 1 6 1 3 1 4 1 1 1 2 , 3 1 5 1 2 1 2 1 2 0 3 3 2 , 2 0 1 1 1
第九章欧几里得空间
1） β=0 时，不等式显然成立. 2） β≠ 0 时， 设 γ=α+tβ, t∈R (这里 t 具有任意性)
→ 据公理 4， （γ,γ）=（α+tβ，α+tβ）≥ 0，即 （αα）+2(αβ)t+(ββ)t ≥ 0,对任意的 t∈R
(α, β ) (α, β )2 取 t =− 代入上式，得 (α,α)－ ≥0 , 即 (β, β ) (β, β )
i=1 r i=1 i=1 j =1 i=1 r r r s r
= ∑∑abj (αi , β j ). i
i=1 j =1
s
高 等 代 数
定义 2
三 向量长度
ξ ∈V, 定义ξ的长度为 ξ = (ξ,ξ )
∀α ∈V, α 都有长度； 零向量的长度为 0； 非零向量的长度＞0.
ξ 例 1 中， = (x , x2 ,⋯, xn ) ∈Rn , ξ = (ξ,ξ ) = 1
2
(α,β) ≤(α,α)(β,β), 即|(α,β)|≤|α||β|.
⇐
2
2
设 α,β线性相关，即α= kβ → (α,β) = (kβ,β)
2
2
2
=
k (β,β)
= (kβ,kβ)( β,β) = (α,α)(β,β),即等号成立. (α,β) = (α,α)(β,β) → 若β＝0，
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < α , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
返回
(5) )
(α, α)+2(α, β)t+(β, β)t2≥0.
上页
(6) )
下页
取 代入( ) 代入(6)式，得 即
(α , β ) t=− . (β , β ) (α , β ) 2 (α , α ) − ≥0. (β , β )
(α, β)2≤(α, α)(β, β) .
|(α, β)|≤|α||β| . 两边开方便得 当α,β 线性相关时，等号显然成立 反过来，如果 , 线性相关时 等号显然成立. 反过来， 等号成立，由以上证明过程可以看出 或者β=0 ， 可以看出， 等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 或者 (α , β ) α− β =0. (β , β ) 也就是说α, 线性相关. 也就是说 ,β 线性相关
返回 上页 下页
在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 何限制. 从现在开始，我们假定空间是有限维的. 假定空间是有限维的 何限制 从现在开始，我们假定空间是有限维的 设V是一个 维欧几里得空间，在V中取一组基 是一个n维欧几里得空间， 中取一组基 是一个 中取 ε1,ε2,…,εn，对于 中任意两个向量 对于V中
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
○2
证 (1)因为(,) ( , ),所以 ( , )=(,) (, ) ( ,) ( , ) (,) ( , ) (, ) ( ,) 0
几何解释：表示菱形两对角线互相垂直.
(2)由已知有S { V | (, ) 0， S}. 可证S 是V的子空间，且V =S S .
，则称 与 W 正交，记为 W .
定义 10 设W1,W2 是欧氏空间 V 的子空间，如果对W1 中的任意一个向量 ，都有 W2 ，则称W1 与W2 正交，记为W1 W2 .
定义 11 设 W 和 U 是欧氏空间 V 的子空间，如果W U 且V W U ,则称 U 是 W 的正交补,记U W .
则称欧氏空间 V 与 W 同构，并称 为由 V 到 W 的同构映射. 定理 5 有限维欧氏空间 V 与 W 同构的充要条件是 dim(V ) dim(W ) .
4. 正交变换 定义 9 设 T 是欧氏空间 V 上的一个线性变换，如果对于任意的, V
（T，T ）（，）
则称 T 为正交变换. 定理 6 设 T 是 n 维欧氏空间 V 上的线性变换，则下列结论是等价的：
此即证(x, y)是V的内积，从而V是R的一个欧式空间。
3.在欧式空间V中 (1)若向量, 等长，证明： +与 -正交，作出几何解释； (2)设V是n维的，S是V的子空间，ST 是V中的一切与S正交的向量所成集合，证明： ST 是V的子空间，且
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间
习题解答
1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,
,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.
在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,
,0)ε=，2(0,1,
,0)ε=，
，(0,0,
,1)n ε=的度量矩阵；
3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；
2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；
3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A
4 ',(,)ij i j i j
a x x αααα==∑A .
由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i j
a x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当
0α=时，(,)0αα=。由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么
11
1()
1
0(,)(0
1
0)(,1,2,
,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
此即 =B A .
3）,(,)ij i j i j
a x x αβ=∑
，α==
β==
第九章 欧氏空间
为基1 , 2 , … , n的度量矩阵.
(2) 度量矩阵有如下的性质： 1) 设 , V在基1 , 2 , … , n下的坐标分别为 x=(x1, x2, …, xn)T，y=(y1, y2, …, yn)T，则( , ) = xTAy ，其中A是基1 , 2 , … , n的度量矩阵，这表明 任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘 积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积； 2) 基的度量矩阵是对称正定的；
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
( , ) , arccos , 0 , π . | || |
(3) 如果向量 , 的内积为零，即( , ) = 0，那么
, 称为正交或互相垂直，记为 .
(4) 长度具有如下性质(设V是欧氏空间， , V ; kR)：
1) (非负性)||≥0，当且仅当=0时||=0；
2) (齐次性)| k | = | k | | |； 3) (三角不等式)| + | | | + | |.
第九章 欧式空间(第一讲)
4）当f(x) ≠0时， f 2(x)是[a,b]上一个不恒为零的非负连续 函数，由连续函数的保号性质，知必有[a,b]的一个子区间 [a1,b1] ，使
f 2(x) ＞0，
于是
f ( x), f ( x)
x ∈ [a1,b1]
b
f ( x)dx
2
a
b 1
f ( x)dx 0
1） （α, β）= （β,α）；
2） (kα, β)= k(α, β); 3 ) (α+β, γ)=(α, γ )+(β, γ ); 4) 当α≠0时,(α, α) ＞0.
此时,称V为一个欧几里德[Euclid] 空间,简称欧式空间. 例1.1 对于事数域上的线性空间Rn,定义内积如下:对于 Rn中向量
解 按内积定义， 2, 2, ( , ) 1. 于是
arccos
1 2 2 arccos 1 2
3
.
在欧氏空间中，还有一些和普通几何空间中类似的结果.
性质4（三角不等式）对欧氏空间中任意向量α, β ，有
.
证明
2
( , )
作业：标准化作业第9章作业.
a1 b1 a2 b , 2, an bn
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间
§1定义与基本性质
一、向量的内积
定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:
1)
),(),(αββα=;
2) ),(),(βαβαk k =;
3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;
4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.
例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积
.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样n
R 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.
在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,
定义内积
.2),(2211n n b na b a b a +++= βα
则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.
例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数
)(),(x g x f 定义内积 ⎰=b
a dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)
高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间9.5
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.5 子空间
一、正交子空间 二、子空间的正交补
§9.5 子空间
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
2．n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明：当 V1 {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 V1 {0} 时，V1 也是有限维欧氏空间.
取 V1 的一组正交基 1, 2 , , m ,
§9.5 子空间
由定理1，它可扩充成V的一组正交基
1,2, , m , m1, , n,
V1 V2 ( , ) 0 0.
③ 当 V1 且 V1 时，必有 0.
§9.5 子空间
2．两两正交的子空间的和必是直和．
证明：设子空间 V1,V2 , ,Vs 两两正交， 要证明 V1 V2 Vs , 只须证：
第9章 欧几里德空间(第1讲)
第9章 欧几里德空间（第1讲）
目标与要求
理解欧几里德空间的概念, 并会检验线性空间是否构成欧氏空间； 理解向量的长度、夹角与正交的概念;
理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
重点难点
重点：理解欧几里德空间的概念, 理解向量的长度、夹角与正交的概念; 理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
难点：理解欧几里德空间的定义,理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
设计安排
通过归纳几何空间内积的性质，给出实数域R 上线性空间内积公里化定义以及欧几里德空间的概念，再由内积定义向量的长度、夹角与正交的概念；适当启发，循序渐进，最后对度量矩阵概念、性质进行讨论．
教学进程见幻灯片部分．（2学时） 黑板与多媒体讲授相结合．
教学内容
§1 定义与基本性质
一．欧几里得空间的概念与简单性质
线性空间的概念是从三维几何空间抽象而来，在这个抽象过程中，我们已抛弃了三维几何空间中向量的许多重要的几何性质，如：向量的长度和夹角在线性空间中没有相应地反映出来．而在几何空间中，向量的长度和夹角的理论作用是重要的、不可或缺的．如果没有这两个概念，几何空间的研究将是难以想象的．于是，自然就想到应该将向量的长度和夹角概念相应地抽象到线性空间中来，有了它们做工具，对空间的讨论研究将更加深入．那么，应如何在线性空间中引入向量的长度和夹角概念？下边回顾几何中的相关知识，以从中得到启发．
在几何空间中，向量的长度和夹角都可以用内积来表示：
),(ξξξ=，η
ξηξηξ)
,(),cos(=
∧
．
两个向量的内积是一个实数),cos(),(∧
=βαβαβα，所以它有较强的代数性质．因此，我们把内积作为基本概念引入线性空间中，然后仿照几何空间中向量长度、夹角与内积的上述关系式，定义线性空间中向量长度和夹角的概念．而线性空间中的内积自然也应该抽取几何空间中内积的本质作为其定义．几何空间中内积本质上是一个二元实函数，在它的诸多性质中下述四条是最基本的：
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案
习 题（P393-P397）
1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而
12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．
在n
R 中定义内积(,)αβ为
(,)'=A αβαβ．
1）证明在这个定义之下，n
R 成一欧氏空间；
2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；
③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；
④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，n
R 成为欧氏空间．
2）由于
(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，
故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．
3）根据
11
(,)n n
ij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，
其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为
11
n n
ij i
j
i j a x y
==≤
∑∑
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立.
证明
设 0.
当 = 0 时，(4) 式显然成立.
令 t 是一个实变数，作向量
=+t.
由பைடு நூலகம்
可知，不论 t 取何值，一定有
以下
( , ) = ( + t , + t ) 0.
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
= ( , ) + ( , ) .
由条件
有 ( , ) 0 .
所以对于任意的向
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
对于
中的欧几里得空间 Rn ，
a
a
a
4. 单位向量
长度为 1 的向量称为单位向量.
则由 | k | = | k | | |
知，向量
如果 0，
1 | |
是一个单位向量.
用向量 的长度去除向量 ，
得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把
单位化.
三、夹角
1. 夹角的定义 定义 3 非零向量 , 的夹角 < , > 规定
数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
3. 欧几里得空间的性质
下面来看欧几里得空间的一些基本性质.
首先，定义中条件
表明内积是对称的.
因此，与
相当地就有
2 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , )
节定义与基本性质
内积
度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
( , )，它具有以下性质：
式就
是
| a1b1 a2b2 anbn | a12 a22 an2 b12 b22 bn2 .
对于
中的欧几里得空间 C(a , b) ，
式就是
1
1
b f (x)g(x)dx b f 2 (x)dx2 b g 2 (x)dx2 .
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
为
, arccos ( , ) , 0 , π . | || |
2. 三角不等式
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我们有三角 形不等式
|+|||+||.
(6)
因为
| + |2 = ( + , + ) = ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2 = (| | + | |)2 .
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.