纲函数,度量和Hausdorff测度的关系.pdf
一类m分Cantor尘的Hausdorff测度
文章 编号 ：６ ３— ０ ７ ２ １ ０ ０ １ ０ １７ ２ ５ （０ ２）４— ３ ７— ４
一
类 分 Ｃ ｎｏ 尘 的 Ｈ ｕｄ ｒ 测 度 ａｔ ｒ ａ ｓｏｆ
金 艳 玲
（ 西大 学商务 学 院理 学 系 ， 山 太原 ０ ０ ３ ） ３ ０ １
摘 要 ： 造 了 一 种 ｍ 分 Ｃ ｎｏ 尘 ， 利 用 几 何 度 量 关 系 以及 自然覆 盖 方 法 对 构 造 的 一 类 ｍ 分 构 ａｔｒ 并 Ｃ ｎｏ 尘 的 Ｈ ｕｄ ｒ 测 度 进 行 了研 究 ， 到 了 Ｈａｓｏ 测 度 的 准确 计 算公 式 。 ａｔ ｒ ａｓｏ ｆ ｆ 得 ｕｄ ｒ ｆ 关 键 词 ： 分 Ｃ ｎｏ 尘 ， 形 集 ， ａ ｓｏ ｆ 度 ｍ ａｔｒ 分 Ｈ ｕｄｒ 测 ｆ 中图 分 类 号 ： １４ １ ０ ７ ．２ 文 献标 志 码 ： Ａ ｄ ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ １７ －０７ ２ １．４ ０ ６ ｏ：０ ３ ６ ／． ｓ．６ ３２ ５ ．０ ２ ０ ．１ ｓ
１
的步 骤 得 到 ４ 个 边 长 为 的 正 方 形 ， 别 记 为 分
ｍ
Ａ２ Ｂ２ Ｃ２ Ｄ ２ｇ ‘ ¨ ‘ ¨ ‘ ¨ ‘¨
，
ｉ， ，ｌｇ ＝１ ２ ３ ４ 其 １Ｊ Ｚ＇１ ， ， ， ， ‘ １ 中 Ａ ‘’ Ａ ‘ Ｂ ‘ Ｃ １ Ｃ ‘ Ｃ １ Ｄ ‘ ２ １ 叭， ２ ＿Ｂ ‘ ２ ＿Ｃ ‘ ２ ｌ 叭， 们，
Ａｐ ‘ 。 一
，
为
ｃ。 ∞’
，
， 留第 三 边 的第 ｋ＋２个 小 正 方 形 ， 为 保 记 保 留第 四 边 上 的 第 ｋ＋３个 小 正 方 形 ， 为 记
同时 用 Ｉ Ｉ Ｃ ‘ ＤＩ 分别 表示 ‘ 叭， ‘ １ ∞， 叭， ‘ 们，
自相似集的Hausdorff维数与测度及其计算机实现
自相似集的Hausdorff维数与测度及其计算机实现分形几何是曼德勃罗特(B.B.Mandelbrot)在20世纪80年代创立的,它提供了研究不规则几何对象的思想,方法与技巧.由于不规则集比经典几何能更好的描述自然现象,近年来,分形几何这一新兴学科被广泛应用在数学、物理、化学、生物、工程技术等学科中,它解决了各学科中出现的大量不规则几何对象问题,因而获得巨大成功.同时,不同学科中提出的大量问题也刺激了分形几何的深入发展.分形几何的创立与发展对整个科学的发展具有极为重要的意义.众所周知,Hausdorff测度与维数理论是分形几何的理论基础,Hausdorff测度与维数的理论研究具有重要的理论与应用价值.分形集的Hausdorff测度与维数的计算与估计是比较困难的.至今为止,研究最多的一类分形是满足开集条件(open set condition)的自相似集,其Hausdorff维数的计算与估计已有确定的公式.但就测度来说,仅几种特殊且维数不大于1的自相似集的测度被确定,对于维数大于1的自相似集,目前已有的结果还很少,只是估计了少数分形集的测度的上下界.本文共由四部分内容构成.第一部分绪论简要介绍了分形几何的研究现状和研究意义,叙述了本文的主要研究内容和结果.第二部分主要是给出本文用到的基本概念和理论.首先给出Hausdorff测度和维数概念和性质.接着引入了自相似压缩系统、自相似集和开集条件,并给出满足开集条件的自相似集的Hausdorff维数的一个等价定义.本文的第三部分主要研究了直线上的几类满足开集条件的自相似集.作为对比,首先给出经典三分康托集的构造、测度和维数.然后构造了几类广义康托集并进行初步研究,给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.接着对一类特殊的广义康托集进行深入研究,得到了维数和测度.本文的第四部分主要研究了平面上的几类满足开集条件的自相似集.首先构造了两类广义五角地毯,给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.然后构造了两类广义六角地毯,并给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.接着对一类特殊的六角地毯—雪花地毯进行深入研究,计算出维数并对它的Hausdorff测度上限进行了估计,最后讨论了如何使用计算机来实现它的上限估计.。
初探Hausdorff型测度与测度φ (s,t)的关系
收 稿 日期 ：２ ０ －０ －０ ０８ ９ ２
作者 简介 ：刘 爱萍 （９６ １ １７ — ，男 ，江西余干人 ，韩 山师范学院潮州师范分院讲师
１ １
证明 （ 用数学归纳法证明）当礼＝ １ ． 时，取矩形口的四条边的中点，则得到四个完全相等的直径
其
中
口 一
＝
￣ｌｌ Ｊ ／ 矩形． ｍ ２ 显然，这四个矩形口ｔ ＝１２３４的每一个Ｔ Ｄ ） １２ ） 口） （ ：， ） （ ｉ ＝（／ （ ，则
４
∑ 口 ） ４ （２ （ ） １ 州一 （ ） （Ｊ ×１。） 口 ＝（２ 。 口 ｔ＝ ／＋ ｔ ／ ）
ｊ ＝１
则得到Ｆ的矩形 覆盖｛ ）≤ ｏ１ ≤７，由于ｓ ≥２ 口巧 １ｔ 。≤ ４ ≤ ． ｌ ＋ｔ ，则
４
Ｕ
∑ 口 ＝ ×１洲）（ ＝１洲 ）（ ： （） ４ （２ 口 （２ 口 ｛ ／ ） ／ ）
｛ １ ＝
４
口
其中 Ｕ 口ｔ ＝口，因此 ，当ｎ＝ １ 时，引理２２ ． 成立．
假设当礼＝ 时，引理２ 成立，即存在４完全相等的直径为ｌ ／ ． ２ 口ｌ 的矩形，使得对每个这样的矩 ２
｛ ｌ ＝ ４ｋ ｌ ＋
其中 Ｕ 口 ＝口 所以， ｎ＝ｋ 时， ｔ ． ＋１ 引理２ 成立，证毕． ． ２
定理２１ ．的证 明 令 Ｆ ｃ Ｒ。 ＞０ ， ．由日（ 和砂（ 定义知 ） ）
Ｈ（ Ｆ） “（ ≤
当 ＿ ０ ，有 时
（ Ｆ）
日（ （ ≤ （ （ ’ ） ’ Ｆ）
零的子集．１８ 年 ，Ｃ． Ｒ ｇｒ在文献［ 中引入了维纹 的概念 ，研 究了两个 不同的点集可能有相 ９８ Ａ． ｏ ｅｓ ２ 】
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数概念的萌芽时期函数思想是随着人们开始运用数学知识研究事物的运动变化情况而出现的，16世纪，由于实践的需要，自然科学界开始转向对运动的量进行研究，各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家们关注的对象。
17世纪意大利数学家、科学家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究这方面的科学家，伽俐略在《两门新科学》一书中多处使用比例关系和文字表述了量与量之间的依赖关系，例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这实际上就运用了函数思想，与此同时，英国著名的物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642-1727）在对微积分的讨论中，使用了“流量”一词来表示变量间的关系，1673年，法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650）在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，引进了变量思想，并在他的《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，这成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了基础。
直到17世纪后期，在德国数学家莱布尼兹（Leib-niz，1646-1716）、牛顿建立微积分学时，还没有人明确函数的一般意义，大部分的函数是被当作研究曲线的工具，最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，从这个定义，我们可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
函数概念的初步形成18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展，瑞士著名数学家约翰·贝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究积分计算问题时提出，积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系，而要用莱布尼兹定义的函数表示出变量本身之间的关系是很困难的，于是，1718年贝努利从解析的角度，把函数定义为：变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量，其意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，并且贝努利强调，函数要用公式来表示才行。
有关Hausdorff测度的两类覆盖形式_丁丹
１ 普通球覆盖与广义球覆盖
传统的 Ｌ 通 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ测度可以看成是 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｕ ｅ测度的推广 ． ｅ ｂ ｅ ｓ ｕ ｅ测 度 采 用 的 是 开 矩 体 覆 盖 ， ｇ ｇ
［］ 常的 Ｈ 由于在采用不同覆盖时 ， 仍可使所得 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ测度是采用任意集合覆盖 １ ． ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ维 数 是 一 ］ １ ２ － ， 致的 ［ 所以在仅讨论维数时如何 定 义 测 度 都 是 合 适 的 ． 采用闭球覆盖定义 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ测 度 就 是 一 种 但是 ， 普通球覆盖的形式有时候用 起 来 很 不 方 便 ， 本文将普通球覆盖在形式上推广成 比较简单的形式 ．
Ｂ ｜ ｜： ｉ ∞ （ ）称 μ＝ｓ 对任意满足 ０＜ 如果 ２ ｕ Ｂ １≤ ｉ δ≤ ＋ ∞ 的δ， ｐ ＜ ＋∞ 为广义球覆盖 ｛ ｉ｝ ｉ ＝１ 的半径 ． ２
｛
｝
∞ 则称 ｛ Ｂ δ， －球覆盖或第二类δ－球覆盖 ． ｉ｝ ｉ ＝１ 为广义δ μ≤ ∞ ／ 在上述定义中 ， 当δ＝＋∞ 时 ， 对广义球覆盖 ｛ 满足半径｜ Ｂ Ｂ ２≤ ｜ δ＝ ＋ ∞ 的任意集合均可作 ｉ｝ ｉ ＝１ ， ｉ
（ ） ， 记 １ ０＜ δ（ δ≤ ＋∞ｉ ｎ ｆ｛ Ｂ 球覆盖 ｝ １＝ ｉ｝ ｉ ＝１ 为 Ｆ 的任意ｎ 维普通δ δ（ ∑ ｜Ｂｉ｜ ： ｉ＝１ ｍ
（ ） ２ ． １
ｍ ｉ ｉ ＝１
称其为 Ｆ 关于普通球覆盖的ｓ 维 Ｈ 并称 ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ δ－测度 ． 且记为 化覆盖体积 ，
它们的半径与直径相等 ． 闭球 ，
ｎ 定义 １ ． ２ 任意给定 ＦＲ ．
∞ ∞ （ ）如果 ｛ 并 且 它 能 覆 盖 集 合 Ｆ， 即 Ｆ ∪Ｂ 则称｛ １ Ｂ Ｂ ｉ｝ ｉ ＝１ 为可列个广义闭球构成的闭球族 ， ｉ． ｉ｝ ｉ ＝１ ∞
hausdorff 度量
hausdorff 度量
Hausdorff度量是一种用于测量空间中两个不同点之间距离的度量方式。
这种度量方式是基于极限概念的，即给定一个集合，Hausdorff 度量可以衡量在该集合中距离最远的两个点之间的距离。
Hausdorff 度量在拓扑学、几何分析和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，Hausdorff 度量可以用来比较不同对象之间的相似性或差异性，例如在图像识别和形状匹配等方面。
此外，Hausdorff 度量还可以用于测量曲线或曲面之间的距离，以及在医学图像处理中对器官或组织的分割和分析。
- 1 -。
Hausdorff测度H_s_F_与H_s_F_的关系_代克非
是有意义的 ． Ｈｓ（ Ｆ） ＝ｌ ｉ ｍＨｓ Ｆ） δ（
δ→０
＋
ｎ ｓ ， 另外 ， 由定义 １． 对于 Ｒ 中的任意集合Ｆ ， 必有 Ｈｓ 并且 Ｈｓ ３ 易知 ， Ｆ） Ｆ） ０＜ Ｆ） ≤Ｈδ（ δ＜ ＋∞ ． ＋∞ （ δ（
与 Ｈｓ 有如下关系成立 ： Ｆ） ＋∞ （
［］ 命题 １ 则 ． １５ 设 Ｆ 为 Ｒｎ 中的任意子集 ， ｓ 为一非负实数 ， ｌ ｉ ｍＨｓ Ｆ） ＝Ｈｓ Ｆ） ． ＋∞ （ δ（
的关系hausdorff测度洪盛中平东北师范大学数学与统计学院吉林长春130024在对满足开集条件的自相似分形的测度关系进行了分析的基础上对一般分形的hausdorff测度的对应关系进行了讨论
第４ ３ 卷第 １ 期 ２ ０ １ １年３月
东 北 师 大 学 报 （自 然 科 学 版 ） （ ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｓ ｔ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｙ
ｎ 定义 １ 用｜ ． １ 设 Ｕ 为ｎ 维欧式空间Ｒｎ 中的非空子集 ， ｘ－ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ 距离 ， Ｕ 的直 ｜表示 ｘ， ｙ ｙ∈Ｒ 的 Ｅ ｛ ， 径定义为｜ 即 Ｕ 内任何两点距离的上确界 ． Ｕ｜＝ｓ ｕ ｘ－ ｘ， ｜ ｜： ｐ ｙ ｙ∈Ｕ ｝ ｎ 由上述定义 可 见 ， 单 点 集 的 直 径 为 零， 即｜｛ 另 外， 约 定 空 集 的 直 径 为 － ∞， 即 ｘ｝ ｜＝０， ｘ∈Ｒ ．
Ｓ（ ｘ） －Ｓ（ ｃ ｘ－ ｜ ｜≤ ｜ ｜， ｘ， ｙ） ｙ ｙ∈Ｄ， ， ， 则称ｃ 为压缩比 ． 当上式等号恒成立时 称 Ｓ 为相似压缩映像 ｃ 称为相似比 ．
Hausdorff测度H s(F)与Hδ s(F)的关系
采用 的一些 符号 、 义及 引理 ， 见文 献 ［ — ］ 在 给 出 Ｈａ ｓｏ ｆ 测 度 Ｈｉ Ｆ） Ｈ Ｆ） 定 参 １２． ｕ ｄ ｒｆ （ 与 （ 的定 义 时 ，
我们 做 了一些 修改 ． 将其 中 ｓ 一０这一 特殊 情况 （ 数 测度 ） 统一 在 一 般形 式 中． 将便 于对 Ｈａ ｓ ｏｆ 计 ， 这 ｕｄ ｒ ｆ 测 度进行 统一 处理 ． 定 义 １ １ 设 Ｕ 为 维欧 式空 间 Ｒ”中的非 空子集 ， １ —ＹＩ 示 ， ＥＲ ． 用 ｚ 表 Ｙ ”的 Ｅ ｃ ｄ距 离 ， ｕｌ ｉ 【 ，的直 径 定义 为 ｌ —ｓ ｐ ｌ — ｌ ． ， Ｕ 内任何 两 点距离 的上 确界． ｕＩ ｕ ｛ｚ ： ｙ Ｕ） 即 ， Ｅ 由上述定 义 可 见 ， 点 集 的直 径 为零 ， １ ｚ） —０ Ｖｚ∈Ｒ ． 外 ， 定 空 集 的 直 径 为 一ｃ ， 单 即 ｛ １ ， 另 约 ｘ 即 。
Ｉ Ｉ 一Ｃ ． 一 ｘ Ｄ
定 义 １ ２ 设 ８ ０ 如 果 （ ｝ 可列 个 直径 不 超过 的集 合 构成 的集列 ， ． ＞ ， Ｕ 为 并且 它 能覆 盖 集 合 Ｆ 即 ． Ｆ ＵＵ 且 对 每个 ｉ ， 都有 ０ Ｉ ≤ ， 称 ｛ ｝ ≤ ｌ Ｕ 则 Ｕ 为集合 Ｆ 的一 个 覆 盖． 注意 ， 上述 覆 盖 中的集合 也可 以是 空集． 我们在 计算 下面 的覆盖 体积 时 ， 定 ０ 一１ （ 。 约 。 ； 一。 ）一０ ，
Ｍ ａ ｃ Ｏ１ ｒｈ ２ １
［ 文章 编 号 ］ ０ ０ １ ３ （ ０ １ ０ — ０ ６０ １ ０ — ８ ２ ２ １ ） １０ ０ — ４
Ｈａ ｓ ｏ ｆ 测 度 Ｈ Ｆ） Ｈ吝Ｆ） ｄ ｒｆ ｕ （ 与 （ 的关 系
测度的概念和相关
数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
泛函分析课程提纲
泛函分析课程提纲第一章，度量空间度量空间及其附属概念：距离、收敛、极限、Cauchy列、完备性、完备化、列紧性。
一般的拓扑空间上，可以定义收敛序列、领域、闭包、稠密性、可分性、连续映射、紧性等概念。
度量空间依所给的度量，自然成为一个拓扑空间，其相应的如上概念可以用度量重新给出定义。
要求：理解这些概念和定义，会利用这些概念和定义对一些具体的例子进行验证或否定。
理解度量空间的完备化操作。
度量空间上的列紧性与自列紧性，ϵ-网，完全有界集，列紧性与完全有界性之间的关系，度量空间上自列紧性与紧性的等价性。
要求：学会运用这些命题证明度量空间上某些集合的列紧性、完全有界性或紧性。
理解这部分几个命题的证明和技巧(Hausdorff定理)。
连续函数空间的性质：完备性，等度连续与列紧集的刻画，Arzela-Ascoli定理。
要求：理解并会运用这些性质。
度量空间上的压缩映射以及Banach不动点定理。
要求：理解压缩映射，并会运用不动点定理。
第二章，赋范向量空间基本概念：向量空间（又称线性空间），拓扑向量空间，向量空间上的范数、半范数，Banach 空间，闭单位球的列紧性与有限维。
要求：理解并会验证这些概念和定义，掌握一些常见Banach空间的例子和不完备的赋范空间例子，并会验证它们相应的完备性和不完备性。
赋范线性空间上的线性算子和线性泛函的定义，线性算子的连续性和有界性，算子的范数，算子收敛。
有界线性算子空间的完备性，对偶空间及其性质。
要求：理解这些概念和定义，会推导并运用相关性质。
三、内积空间和Hilbert空间基本概念和定义：线性空间上的内积，内积空间，Hilbert空间，正交，集合之间的距离相关性质和定理：Schwarz不等式，极化恒等式，平行四边形公式，Hilbert空间上的最优逼近，正交分解定理，正交规范集(标准正交集)及其完备性、封闭性，Bessel不等式，Parseval 恒等式，可分Hilbert空间中完备正交规范集的存在性与Gram-Schmidt正交化，Riesz表示定理及其应用。
纲函数,度量和Hausdorff测度的关系
纲函数,度量和Hausdorff测度的关系
文胜友;文志英
【期刊名称】《自然科学进展》
【年(卷),期】2003(013)003
【摘要】讨论加倍条件,Hausdorff测度的等价性及度量的等价性之间的关系.证明了Hρ,g 1与Hρ,g2对所有紧度量空间(X,ρ)等价,当且仅当纲函数g1与g2等价;对于给定的c∈(0,∞)＼{1},证明了Hρ,g和Hcρ,g对所有紧度量空间(X,ρ)等价,当且仅当纲函数g满足加倍条件.其中Hρ,g是X上关于度量ρ与纲函数g的Hausdorff测度.
【总页数】4页(P305-308)
【作者】文胜友;文志英
【作者单位】武汉大学基础与应用数学基地,武汉,430072;湖北大学数学系,武汉,430062;清华大学数学系,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.基于copula 函数对相依部件系统可靠度的度量和改进 [J], 张明珠
2.关于度量及纲函数的Hausdorff测度的两个反例 [J], 姚媛媛
3.余弦度量和适应度函数改进的聚类方法 [J], 施侃晟;刘海涛;白英彩;宋文涛;洪亮亮
4.基于Copula函数的风险度量和保费定价模式 [J], 王纯杰;宋立新
5.从弹尾纲和原尾纲的亲缘关系质疑缺尾纲(=近昆虫纲)的有效性(六足总纲) [J], 尹文英;谢荣栋;栾云霞
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Strongart数学笔记：漫谈集合比较：基数、测度与纲
漫谈集合比较：基数、测度与纲(2011-07-2613:31:28)转载标签：现代数学测度基数拓扑纲推理strongart教育分类：Strongart的数学探索在现代数学中，比较集合的大小大致有三种衡量标准，基数（也称为势）、测度与纲（也有翻译成范畴的，但它不是代数中范畴！），分别是从集合、测度与拓扑的角度出发的。
下面我先简述自己对这三种结构的理解，然后来比较一下这三者之间的区别与联系。
从集合出发的衡量标准就是基数，它是从计数活动自然推广出来的。
对于有限集而言，它能够起到充分的区分效力，但对于一般的无穷集，尽管也有可数基数与连续基数（记作c）乃至更高阶基数的区别，但是从某种意义上来说还是比较模糊的。
相信大家都听说过所谓的连续统假设，就是说在可数基数与连续基数之间有没有其他基数，它是完全独立于ZFC系统的。
当然啦，在初级的实变函数研究中，只要能够区分可数基数与不可数基数似乎也已经足够了。
从测度出发的衡量标准就是测度，它是从测量活动自然推广出来的。
很遗憾这里没有从语言上区分两种测度，其实第一个测度是指作为公理化测度结构的测度（可以类比于拓扑，有兴趣的参见Rudin的《实分析与复分析》第一章），第二个测度则是具体的Lebesuge测度（下文中的测度无特别声明均为Lebesgue测度）。
对于有限集乃至可数集，测度的作用的软弱无力的（除非是重新定义计数测度），但对于与区间有关的集合（也包括区间的“无穷补”集——Cantor集），测度常常能够发挥非凡的作用。
当然，这里的测度也不是太精细，它无法区分开与闭区间，也许有的读者能自己发明一些更加精致的测度结构。
从拓扑出发的衡量标准就是纲，这里面似乎没有什么简明的动机，只是依靠是否能够表示为无处稠密集的可数并，来区分为第一纲集与第二纲集两个等级。
或许，Rudin在他的《泛函分析》教材中的一段不失幽默的评述相当能够说明问题：“这个术语（属于Baire）是公认的平淡无味和缺少启发性的，在某些教科书中采用贫乏集和非贫乏集来代替。
Hausdorff型测度和维纹
number. For any δ > 0 , we define
∑ H
s δ
(
F
)
=
inf
⎧ ⎨ ⎩
∞ i =1
Ui
s
: {U i }
is
a
δ
-cover
of
F
⎫ ⎬
.
⎭
Clearly, as δ decreases, Hδs (F ) increases and so Hδs (F ) approaches a limit as δ → 0 . We write
b(Δ) and c(Δ) be the length of the sides of Δ . We assume that a(Δ) ≥ b(Δ) ≥ c(Δ) . Denote
p1 (Δ)
:=
a(Δ)
+
b(Δ) 2
+
c(Δ)
,
p2 (Δ)
:=
a(Δ)
+
b(Δ) 2
−
c(Δ)
,
p3 (Δ)
:=
a(Δ)
dimension prints. Dimension print was introduced in [5] and was further studied by [3].
Now we give the definition of dimension print due to Rogers as follows. LetU be a rectangle on plane and a(U ) ≥ b(U ) be the length of the sides ofU . Let s and t be the non-negative numbers. For any
魔鬼阶梯的Hausdorff测度与维数的开题报告
魔鬼阶梯的Hausdorff测度与维数的开题报告1. 研究背景魔鬼阶梯（Devil's Staircase）是一个经典的分形模型，它是一条连续但处处不可微的函数曲线。
魔鬼阶梯最早由卡特兰（Cantor）提出，并由伯斯克（Birkhoff）命名为“魔鬼阶梯”。
魔鬼阶梯有着多种应用，例如在图像处理、信号处理、地理信息系统和经济学中使用。
Hausdorff测度和维数是两个重要的分形理论工具，已经成为研究分形的基本方法。
Hausdorff测度可以描述分形的尺度特征，而维数可以描述分形的空间复杂度。
在分形研究中，Hausdorff测度和维数已经成为了分形分析的基本工具。
2. 研究内容本文主要研究魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数。
具体研究内容包括以下几个方面：（1）介绍魔鬼阶梯的基本定义和性质；（2）通过构造逐步分形过程，确定魔鬼阶梯的分形特征；（3）分别使用Box-counting和Covering数法计算魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数；（4）比较Box-counting和Covering数法的计算结果，并分析它们的误差来源；（5）讨论魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数与逐步分形过程的关系。
3. 研究意义研究魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数，可以更深入了解魔鬼阶梯的分形特征和尺度特征。
此外，本文的研究方法还可以推广到其他分形模型的研究中。
对于工程应用来说，本文的研究可以为图像处理、信号处理和地理信息系统等提供基础性理论支持。
4. 研究方法本文采用数学分析和计算机模拟的方法，具体步骤如下：（1）利用分形逐步构造法构造魔鬼阶梯模型；（2）分别使用Box-counting和Covering数法计算魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数；（3）比较计算结果，分析误差来源；（4）分析Hausdorff测度和维数与逐步分形过程的关系。
5. 预期成果本文的预期成果包括以下几个方面：（1）详细介绍魔鬼阶梯的基本定义和性质；（2）确定魔鬼阶梯的分形特征和尺度特征；（3）计算魔鬼阶梯的Hausdorff测度和维数，并分析误差来源；（4）讨论Hausdorff测度和维数与逐步分形过程的关系。
分形函数图像的Hausdorff维数
分形函数图像的Hausdorff维数
本论文主要包括两个部分:第一、计算了一类自仿射分形插值函数图像的Hausdorff维数.第二、计算了一类经典的Weierstrass函数图像的Hausdorff 维数.分形插值函数图像的Box维数公式是由Barnsley、Hardin与Massopust 等人在上世纪80年代给出的.然而对于它们的Hausdorff维数,至今没有很好的结果.通常我们只能得到它们的Hausdorff维数上下界估计.在本文中,我们利用Keller在2017年所发表论文的方法,将一类分形插值函数的图像看作某个动力系统的吸引子,以此得到该类分形插值函数图像的Hausdorff维数.Weierstrass 函数图像的分形维数计算是分形几何中很重要的一个问题.目前,这类函数图像的Box维数已经得到解决,但是其Hausdorff维数计算相当复杂.曾有人猜想对于所有的Weierstrass函数,它们的Box维数和Hausdorff维数相等.沈维孝教授在2017年证明了对于余弦型Weierstrass函数,该猜想在某些条件下成立.我们知道如果前推测度关于勒贝格测度绝对连续,则该猜想成立.为计算余弦型Weierstrass函数图像的Hausdorff维数,沈维孝的主要想法是将它们的图像视为某个动力系统的排斥子,并通过该动力系统证明前推测度的绝对连续性.受此启发,我们计算了一类正弦型Weierstrass函数图像的Hausdorff维数.。
直觉犹豫模糊集距离测度及其应用
㊀第54卷第4期郑州大学学报(理学版)Vol.54No.4㊀2022年7月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Jul.2022收稿日期:2021-07-15基金项目:国家自然科学基金项目(11975025);安徽省自然科学基金项目(2108085MA0);安庆师范大学科研发展基金项目(100001104)㊂第一作者:王拥兵(1980 ),男,副教授,主要从事计算智能和不确定性理论分析研究,E-mail:wangybng@㊂通信作者:左照鑫(1996 ),女,硕士研究生,主要从事不确定性理论分析研究,E-mail:z199********@㊂直觉犹豫模糊集距离测度及其应用王拥兵,㊀左照鑫,㊀张丽霞(安庆师范大学数理学院㊀安徽安庆246013)摘要:在决策过程中考虑决策者对备选方案给出评估信息的犹豫性,定义了直觉犹豫模糊集的犹豫度㊂首先,结合传统的距离测度,给出了基于犹豫度的直觉犹豫模糊集的距离测度,通过具体的模式识别案例分析,将所提出的直觉犹豫模糊集的距离测度与已有的直觉犹豫模糊集的距离测度进行了比较,结果显示,所提出的距离测度具有实用性和有效性㊂其次,结合有偏好的决策问题和TOPSIS 方法,给出了备选方案的决策模型和算法步骤㊂最后,将此方法应用于锂离子电池供应商模型,并对相应的参数进行了敏感性分析,证明了所提出的距离测度具有稳定性和可行性㊂关键词:直觉犹豫模糊集;犹豫度;距离测度;多属性决策;锂离子电池中图分类号:O159㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2022)04-0020-07DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.2021308Intuitionistic Hesitant Fuzzy Set Distance Measure andIts ApplicationWANG Yongbing,ZUO Zhaoxin,ZHANG Lixia(College of Mathematics and Physics ,Anqing Normal University ,Anqing 246013,China )Abstract :Considering the hesitancy of decision-makers to give evaluation information for alternatives inthe decision-making process,the hesitation degree of intuitionistic hesitation fuzzy sets were defined.Firstly,combined with the traditional distance measure,the distance measure of intuitionistic hesitationfuzzy set based on hesitation degree was given.Through the analysis of specific pattern recognition cases,the proposed distance measure of intuitionistic hesitation fuzzy set was compared with the existing distancemeasure of intuitionistic hesitation fuzzy set.The results showed that the proposed distance measure was practical and effective.Secondly,the decision model and algorithmic steps of the alternatives were givenby combining the decision problem with preference and TOPSIS method.Finally,this method was ap-plied to the lithium-ion battery supplier model,and sensitivity analysis was performed on the correspond-ing parameters to demonstrate the stability and feasibility of the proposed distance measure.Key words :intuitionistic hesitant fuzzy set;hesitation degree;distance measure;multi-attribute decisionmaking;lithium-ion battery0㊀引言自Zadeh [1]提出模糊集概念以来,许多学者陆续给出了模糊集的多种扩展形式㊂例如,文献[2]提出了直觉模糊集的概念,并研究了直觉模糊集代数运算及其应用㊂文献[3-4]定义了犹豫模糊集,讨论了不同类型犹豫模糊集的集成算子㊂由于犹豫模糊集只对每个属性信息给出不同的隶属度,在实际决策过程中不能够全面地反映决策者的评估信息㊂基于此,文献[5]定义了直觉犹豫模糊集,并将其应用于多属性决策问题㊂直觉犹豫模糊集集成了㊀第4期王拥兵,等:直觉犹豫模糊集距离测度及其应用直觉模糊集和犹豫模糊集的优势,能够更好地描述决策者的偏好不一致性㊂此外,文献[6]研究了基于犹豫直觉模糊语言集距离的TOPSIS和TODIM多属性决策方法;文献[7]结合相关系数研究了直觉犹豫模糊集的群决策问题㊂距离测度在决策过程中一直是研究的热点问题之一,已经在许多领域得到了广泛的应用,如多属性决策问题㊁市场前景预测㊁模式识别等㊂文献[8]研究了模糊集的几何度量和Hausdorff度量;文献[9-11]研究了犹豫模糊集的距离测度㊁相似测度和相关测度㊂文献[12]同样考虑了直觉犹豫模糊集的距离度量问题,但只考虑了隶属度和非隶属度之间的差异,并未考虑直觉犹豫模糊集犹豫程度的差异㊂犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一,基于此,本文将给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念,并基于犹豫度定义给出不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度,结合偏好决策和TOPSIS方法,通过模式识别案例和锂离子电池供应商模型,验证了所提方法的有效性和优越性㊂1㊀预备知识定义1[2]㊀设X是一个有限的非空集合,则称I={ x,μ(x),ν(x)⓪xɪX}为直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set,IFS),其中μ(x)和ν(x)分别表示元素xɪX对于集合I的隶属度和非隶属度,μ(x)ȡ0,ν(x)ȡ0,且μ(x)+ν(x)ɤ1㊂进一步地,π(x)=1-μ(x)-ν(x)表示元素对于集合I的犹豫度㊂定义2[3-4]㊀设X是一个有限的非空集合,则称H={ x,h(x)⓪xɪX}为X上的一个犹豫模糊集(hesitant fuzzy set,HFS),其中h(x)是[0,1]区间中一些数值的集合,表示元素关于集合A的一些可能的隶属度㊂定义3[4]㊀设X是一个有限的非空集合,则称A={ x,ΓA(x),ΨA(x)⓪xɪX}为直觉犹豫模糊集(intuitionistic hesitant fuzzy set, IHFS),其中ΓA(x)和ΨA(x)是[0,1]区间中的两个子集合,表示xɪX的可能的隶属度和非隶属度,即ΓA(x)={γ1,γ2, ,γl(h)},ΨA(x)={η1,η2, ,ηl(g)},其中:对于任意的γA(x)ɪΓA(x),有ηA(x)ɪΨA(x),且满足0ɤγA(x)+ηA(x)ɤ1;反之,对任意的ηA(x)ɪΨA(x),有γA(x)ɪΓA(x),且满足0ɤγA(x)+ηA(x)ɤ1㊂所有直觉犹豫模糊集构成的集合记为IHFS(X)㊂对于任意的xɪX, x,ΓA(x),ΨA(x)⓪被称为直觉犹豫模糊元(intuitionistic hesitant fuzzy element, IHFE),可以简写为a= ΓA,ΨA⓪= {γ1A,γ2A, ,γl A A},{η1A,η2A, ,ηg A A}⓪,其中:l A和g A分别表示隶属度和非隶属度元素的个数㊂一般情况下要求l A=g A㊂若l Aʂg A,可以对较短的隶属度个数或非隶属度个数进行延伸,直至lA=gA,延伸方式为γA=ξγ+A+(1-ξ)γ-A,ηA=ζη+A+(1-ζ)η-A,这里,γ+A=maxγAɪΓA{γA},γ-A=minγAɪΓA{γA},η+A=maxηAɪΨA{ηA},η-A=minηAɪΨA{ηA},其中:0ɤξ,ζɤ1,ξ和ζ是由决策者风险偏好所决定的㊂令σ:{1,2, ,m}ң{1,2, ,m},满足γσ(j)Aȡγσ(j+1)A,ησ(j)Aȡησ(j+1)A(j=1,2, ,m-1),这里γσ(j)A和ησ(j)A分别表示ΓA(x)和ΨA(x)中第j大的值㊂特别地,对于任意的xɪX,若ΨA(x)=∅,此时,IHFS退化为HFS;而当满足0ɤmaxγAɪΓA{γA}+ maxηAɪΨA{ηA}ɤ1时,IHFS退化为对偶犹豫模糊集(du-al hesitant fuzzy set,DHFS)㊂定义4㊀设A,BɪIHFS(X),若函数D: IHFS(X)ˑIHFS(X)ң[0,1]满足以下性质:1)0ɤD(A,B)ɤ1,2)D(A,B)=0当且仅当A=B,3)D(A,B)=D(B,A),则称D(A,B)为A和B间的直觉犹豫模糊集的距离测度㊂设A,BɪIHFS(X),其中A={ x,ΓA(x),ΨA(x)⓪xɪX},B={ x,ΓB(x),ΨB(x)⓪xɪX},则A和B间的Hamming距离为D H(A,B)=12nðn i=1(1l iðl i j=1γσ(j)A(x i)-γσ(j)B(x i)+ 1giðg ij=1ησ(j)A(x i)-ησ(j)B(x i))㊂㊀㊀A和B间的广义距离为D G(A,B)=[12nðn i=1(1l iðl i j=1γσ(j)A(x i)-γσ(j)B(x i)p+12郑州大学学报(理学版)第54卷1g i ðg ij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )p)]1p,其中:p >0㊂特别地,若p =2,则为A 和B 间的Euclidean 距离(D E (A ,B ))㊂例1㊀设X ={x },A ,B ,C ɪIHFS (X ),其中A ={ x ,{0.4,0.2},{0.8,0.5}⓪},B ={ x ,{0.3,0.1},{0.5,0.4}⓪},C ={ x ,{0.7,0.3},{0.6,0.1}⓪},则D H (A ,C )=D H (B ,C )=0.25,D E (A ,C )=D E (B ,C )=0.2739㊂根据上述计算结果,传统的Hamming 距离和Euclidean 距离无法识别样本C 是属于模式A 还是模式B ㊂因此,有必要进一步考虑直觉犹豫模糊集的距离测度㊂本文将在直觉犹豫模糊集犹豫度的基础上,提出一些新的直觉犹豫模糊集的距离测度公式㊂2㊀基于犹豫度的直觉犹豫模糊集的距离测度㊀㊀定义5㊀设A ɪIHFS (X ),对任意的x i ɪX ,则直觉犹豫模糊元A (x i )的直觉犹豫度定义为μA (x i )=1l A ðlAj =1γj A (x i )-γA (x i )+1g A ðg Aj =1ηj A (x i )-ηA (x i ),其中:γA (x i )表示A 的隶属度均值;ηA (x i )表示A 的非隶属度均值;μA (x i )表示A 的隶属度和非隶属度与其平均值之间的偏差之和㊂实际上,这里的μA (x i )表示决策者对给出隶属度与非隶属度的犹豫程度㊂特别地,若μA (x i )=0,表示决策者可以很明确地得出隶属度和非隶属度;若μA (x i )=1,表示决策者对给出隶属度与非隶属度最犹豫不决的情况㊂定义6㊀设A ,B ɪIHFS (X ),对任意的x i ɪX ,则A 和B 关于x i 的直觉犹豫度的偏差定义为μA B (x i )=μA (x i )-μB (x i ),其中,μA (x i )和μB (x i )分别为直觉犹豫模糊元A (x i )和B (x i )的直觉犹豫度㊂特别地,若μA B (x i )=0,表示决策者对A 和B 的犹豫程度相同;若μA B (x i )=1,表示决策者对A 和B 中的一个直觉犹豫模糊集可以很明确地给出隶属度和非隶属度,而对另一个直觉犹豫模糊集,决策者对给出隶属度与非隶属度最犹豫不决㊂例2㊀设A ,B ,C 为例1中的IHFS,根据定义6,计算出μA C (x )=0.2,μB C (x )=0.3,可知C 与B 的直觉犹豫度偏差大于C 与A 的直觉犹豫度偏差㊂定义7㊀设a 1= Γ1,Ψ1⓪,a 2= Γ2,Ψ2⓪ɪIHFE (X ),则a 1和a 2间的Hamming 距离为D HH (a 1,a 2)=12[t (1l iðl ij =1γσ(j )a 1(x i )-γσ(j )a 2(x i )+1g i ðgi j =1ησ(j )a 1(x i )-ησ(j )a 2(x i ))+(1-t )2μa 1a 2(x i )],其中:参数t ɪ[0,1]㊂对应的A ,B ɪIHFS (X ),则A 和B 间新的Hamming 距离定义为D HH (A ,B )=12n ðn i =1[t (1l i ðlij =1γσ(j )A (x i )-γσ(j )B (x i )+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B (x i ))+(1-t )2μA B (x i )],其中:参数t ɪ[0,1]㊂A 和B 间新的Euclidean 距离定义为D HE (A ,B )=12n ðn i =1[t (1l i ðlij =1γσ(j )A (x i )-γσ(j )B (x i )2+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B (x i )2)+(1-t )2μA B(x i )2]12,其中:参数t ɪ[0,1]㊂A 和B 间新的广义距离定义为D HG (A ,B )=12n ðn i =1[t (1l i ðlij =1γσ(j )A (x i )-γσ(j )B (x i )p+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B (x i )p)+(1-t )2μA B (x i )p ]1p,其中:参数t ɪ[0,1],p >0㊂定理1㊀设A ,B ɪIHFS (X ),则D HH (A ,B ),D HE (A ,B ),D HG (A ,B )满足定义4中的三条性质㊂证明㊀以D HH (A ,B )为例进行证明,其他距离测度的证明类似㊂1)设A ={ x ,ΓA (x ),ΨA (x )⓪x ɪX },B ={ x ,ΓB (x ),ΨB (x )⓪x ɪX },γσ(j )A 和ησ(j )A分别表示ΓA (x )和ΨA (x )中第j 大的值,γA (x i )表示A 的隶属度均值,ηA (x i )表示A 的非隶属度均值,则-1ɤγσ(j )A (x i )-γσ(j )B(x i )ɤ1,-1ɤησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )ɤ1,从而0ɤγσ(j )A (x i )-γσ(j )B(x i )ɤ1,0ɤησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )ɤ1,故有22㊀第4期王拥兵,等:直觉犹豫模糊集距离测度及其应用0ɤ1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )ɤ1,0ɤ1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )ɤ1,所以,0ɤ1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )+1g i ðg ij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )ɤ2,0ɤγj A(x i )-γA (x i )ɤ12,0ɤηj A (x i )-ηA (x i )ɤ12,0ɤ1l A ðl Aj =1γj A (x i )-γA (x i )ɤ12,0ɤ1g A ðgA j =1ηj A (x i )-ηA (x i )ɤ12㊂于是,有0ɤμA (x i )=1l A ðl Aj =1γj A (x i )-γA (x i )+1g A ðg Aj =1ηj A (x i )-ηA (x i )ɤ1,同理可得0ɤμB (x i )ɤ1㊂从而0ɤ2μA B (x i )=2μA (x i )-μB (x i )ɤ2,进一步可得0ɤt (1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )+1g i ðg ij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B (x i ))+(1-t )2μA B (x i )ɤ2,因此,0ɤD HH (A ,B )=12n ðn i =1[t (1l i ðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i ))+(1-t )2μA B (x i )]ɤ1㊂2)若D HH (A ,B )=0,则1l iðl ij =1γσ(j )A (x i )-γσ(j )B (x i )+1g i ðg ij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )=0,且μAB(x i )=0,从而有γσ(j )A (x i )-γσ(j )B (x i )=0,ησ(j )A(x i )-ησ(j )B(x i )=0,故μA (x i )-μB (x i )=0,即γσ(j )A (x i )=γσ(j )B (x i ),ησ(j )A (x i )=ησ(j )B(x i ),可得μA (x i )=μB (x i ),故A =B ㊂反之,显然成立㊂3)根据定义7,有D HH (A ,B )=12n ðn i =1[t (1l i ðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i ))+(1-t )2μAB (x i )]=12n ðn i =1[t (1l i ðl ij =1γσ(j )B(x i )-γσ(j )A(x i )+1g i ðgij =1ησ(j )B (x i )-ησ(j )A(x i ))+(1-t )2μB A (x i )]=D HH (B ,A )㊂综上所述,D HH (A ,B )满足定义4中的三条性质㊂由于属性之间存在差异,因此有必要将属性的权重纳入距离测度考虑中㊂定义A 和B 间的新Hamming 加权距离为㊀D HH ω(A ,B )=12n ðn i =1ωi (t (1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i ))+(1-t )2μA B (x i ))㊂A 和B 间的新Euclidean 加权距离为㊀D HE ω(A ,B )=[12n ðn i =1ωi (t (1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )2+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )2)+(1-t )(2μAB(x i ))2)]12㊂A 和B 间的新广义加权距离为㊀D HG ω(A ,B )=[12n ðn i =1ωi (t (1l iðl ij =1γσ(j )A(x i )-γσ(j )B(x i )p+1g i ðgij =1ησ(j )A (x i )-ησ(j )B(x i )p)+(1-t )(2μAB(x i ))p)]1p㊂例3 设A ,B ,C 为例1中的IHFS,根据上述距离测度,并取t =0.5,可以计算出D HH (A ,C )=0.225,D HH (B ,C )=0.275㊂由此可判别模式C 属于模式A ,这与直观上认识是一致的㊂此外,从问题的计算结果来看,本文提出的新距离测度既保留了传统的直觉犹豫模糊集距离测度的特点,又考虑了直觉犹豫模糊集本身的数据结构特征,克服了传统距离测度的不足㊂32郑州大学学报(理学版)第54卷3㊀属性权重的确定方法目前,多属性决策问题是一个研究热点,决策者需要在权衡多个属性后选择最优方案㊂近年来,人们对解决这一问题的方法进行了广泛的研究,TOPSIS 是其中比较有效的方法之一㊂对于属性值为直觉犹豫模糊元的多属性决策问题,决策者对备选方案有一定的主观偏好,且偏好值为直觉犹豫模糊元㊂决策举证中的属性值可以作为客观偏好值,但由于现实条件的限制,主观与客观偏好间常常存在一定的偏差㊂为了使决策更合理,属性权重的选择应使决策者的主观偏好与客观偏好的总偏差最少㊂本文提出的距离测度既充分考虑了直觉模糊元之间隶属度和非隶属度的关联,又考虑了直觉犹豫模糊元的犹豫度,且在实际应用中是有效的㊂由此,将基于新的直觉犹豫模糊集的距离测度来确定属性信息的权重模型,min f (ω)=ðmi =1ðnj =1d HH (αij ,αi )ωj ,s.t.㊀ðn j =1ω2j =1,ωj ȡ0㊂ìîíïïïïï(1)㊀㊀为了求解该模型,构造拉格朗日函数L (ω,λ)=ðmi =1ðnj =1d HH (αij ,αi )ωj +λ2(ðnj =1ω2j-1),㊀㊀对λ和ωj 分别求偏导,并令∂L (ω,λ)∂ωj=0,∂L (ω,λ)∂λ=0,得∂L (ω,λ)∂ωj =ðmi =1dHH (αij ,αi )+λωj =0,∂L (ω,λ)∂λ=ðn j =1ω2j-1=0,ìîíïïïïï(2)㊀㊀属性权重为ωj =ðmi =1dHH(αij ,αi )ðnj =1(ðmi =1dHH(αij ,αi ))2,j =1,2, ,n ㊂㊀㊀在解决实际问题时,通常要求属性权重的和为1,将上述属性权重式子归一化,可得ωj =ðmi =1d HH (αij ,αi )ðnj =1ðmi =1d HH (αij ,αi ),j =1,2, ,n ㊂(3)㊀㊀根据直觉犹豫模糊元的新距离测度,分别计算方案与正㊁负理想元的加权距离,d HH (Y i ,α+)=ðnj =1dHH(αij ,α+j )ωj ,d HH (Y i ,α-)=ðnj =1dHH(αij ,α-j )ωj ,其中:α+j = {1},{0}⓪,α-j = {0},{1}⓪分别表示直觉犹豫模糊元的正理想元和负理想元㊂进一步地,根据TOPSIS 思想计算各方案的相对贴近度为R (Y i )=d HH (Y i ,α-)d HH (Y i ,α+)+d HH (Y i ,α-),j =1,2, ,n ㊂(4)㊀㊀根据R (Y i )的值对备选方案进行排序,R (Y i )越大,则方案Y i 越优㊂4㊀决策步骤本文给出一种对方案有偏好的直觉犹豫模糊集的多属性决策方法,具体步骤如下㊂Step 1㊀决策者对各方案按照属性进行评估,获得直觉犹豫模糊决策矩阵M =(αij )m ˑn ,同时给出对各方案的偏好值αi (1ɤi ɤm )㊂Step 2㊀根据属性权重优化模型,利用式(3)计算属性权重㊂Step 3㊀根据式(4)计算各方案的相对贴近度㊂Step 4㊀进一步根据R (Y i )(1ɤi ɤm )的值,对方案进行排序㊂5㊀算例分析5.1㊀算例在TOPSIS 方法中,用Y ={Y 1,Y 2, ,Y m }表示m 个备选方案,C ={C 1,C 2, ,C n }表示n 个属性,ω={ω1,ω2, ,ωn }是属性权重,且ðnj =1ωj=1,其中ωj 表示属性C j 的重要程度㊂在属性C j (j =1,2, ,n )下,αij = Γαij ,Ψαij ⓪,这里Γαij ={γ1ij ,γ2ij , ,γl ij }和Ψαij ={η1ij ,η2ij , ,ηgij }表示满意值和不满意值㊂下面通过具体实例对上述算法进行说明㊂例4㊀与传统二次电池相比,锂离子电池具有能量高㊁循环性能好㊁无记忆效应等优点㊂自其诞生以来,在短短的数年内,锂离子电池就占据了手机㊁数码相机㊁摄像机和笔记本等便携式移动电子设备领域㊂影响锂离子电池性能的因素是多种多样的,下面将利用直觉犹豫模糊集的决策方法,分别从锂42㊀第4期王拥兵,等:直觉犹豫模糊集距离测度及其应用离子电池正负极材料的选择(C1)㊁电解质的选择(C2)㊁隔膜的选择(C3)㊁电池的结构和尺寸(C4)四种主要属性来对Y1㊁Y2㊁Y3和Y4这四家锂离子电池供应商进行评估㊂Step1㊀专家对这四种属性进行评估,得到各方案的属性值,以直觉犹豫模糊元的形式给出,如表1所示㊂表1㊀专家评估信息表Table1㊀Expert evaluation information form供应商C1C2C3C4Y1 {0.2,0.7},{0.2}⓪ {0.8,0.6},{0.1,0.2}⓪ {0.7},{0.4,0.2}⓪ {0.5,0.8},{0.2,0.1}⓪Y2 {0.8,0.7},{0.2,0.1}⓪ {0.3,0.4,0.2},{0.5}⓪ {0.3,0.4},{0.5,0.6}⓪ {0.6,0.7},{0.3,0.1}⓪Y3 {0.5,0.3},{0.4}⓪ {0.6,0.4,0.5},{0.3}⓪ {0.6,0.8},{0.2,0.3}⓪ {0.9,0.8},{0.1}⓪Y4 {0.6,0.5},{0.3,0.2}⓪ {0.6},{0.4,0.3}⓪ {0.7,0.6},{0.3}⓪ {0.7,0.8},{0.1}⓪㊀㊀评估专家给出各方案的偏好值αi(1ɤiɤm)为:α1= {0.6,0.8},{0.3}⓪,α2= {0.7,0.5},{0.2}⓪,α3= {0.7,0.6},{0.3}⓪,α4= {0.8, 0.7},{0.1}⓪㊂由此得到决策矩阵为M=(αij)4ˑ4={0.2,0.7},{0.2}⓪ {0.8,0.6},{0.1,0.2}⓪ {0.7},{0.4,0.2}⓪ {0.5,0.8},{0.2,0.1}⓪ {0.8,0.7},{0.2,0.1}⓪ {0.3,0.4,0.2},{0.5}⓪ {0.3,0.4},{0.5,0.6}⓪ {0.6,0.7},{0.3,0.1}⓪ {0.5,0.3},{0.4}⓪ {0.6,0.4,0.5},{0.3}⓪ {0.6,0.8},{0.2,0.3}⓪ {0.9,0.8},{0.1}⓪ {0.6,0.5},{0.3,0.2}⓪ {0.6},{0.4,0.3}⓪ {0.7,0.6},{0.3}⓪ {0.7,0.8},{0.1}⓪æèççççöø÷÷÷÷㊂㊀㊀这里不妨取t=0.5,p=1,可计算出各方案的d HH(Y i,α+),d HH(Y i,α-),结果列于表2㊂同时,可计算出d HH(Y1j,α1),d HH(Y2j,α2),d HH(Y3j,α3), d HH(Y4j,α4),结果列于表3㊂表2㊀各方案与α+和α-之间的距离Table2㊀The distance between each alternative andα+,α-供应商d HH(Y i,α+)d HH(Y i,α-)Y10.27260.4753Y20.24860.3477Y30.21320.4089Y40.19280.4135表3㊀各方案与偏好之间的距离Table3㊀The distance between each alternative and preferences 属性d HH(Y1j,α1)d HH(Y2j,α2)d HH(Y3j,α3)d HH(Y4j,α4) C10.26250.05000.05000.1000 C20.06250.20000.15000.0500 C30.10000.03750.07500.1000 C40.13750.05000.07500因此,可得ðn j=1d HH(α1j,α1)=0.5625,ðn j=1d HH(α2j,α2)=0.3375,ðn j=1d HH(α3j,α3)=0.3500,ðn j=1d HH(α4j,α4)=0.2500㊂Step2㊀取t=0.5,p=1,建立属性权重优化模型为min f(ω)=0.5625ω1+0.3375ω2+0.3500ω3+0.2500ω4,s.t.ðn j=1ω2j=1,ωjȡ0㊂㊀㊀根据式(3)计算属性权重为ω=(0.375,0.225,0.233,0.167)㊂Step3㊀由式(4)计算各方案的相对贴近度为R(Y1)=0.6355,R(Y2)=0.5831,R(Y3)=0.6573,R(Y4)=0.6820㊂Step4㊀按照R(Y i)(1ɤiɤ4)的大小,对方案进行排序,即R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)㊂因此,Y4为最佳锂离子电池供应商㊂5.2㊀敏感性分析令p=1,通过对参数t取不同的数值进行敏感性分析㊂当t分别取0.2㊁0.5㊁0.6㊁0.8㊁1.0时,分析备选方案评价结果的排序情况,结果如表4所示㊂可以看出,随着参数t取值的不同,最佳备选方案Y4的排序结果始终没有发生改变,由此可知,备选方案的排序结果对参数t的变化不敏感㊂表4㊀参数t对方案排序的影响Table4㊀The ranking results of alternatives withdifferent parameter tt方案排序0.2R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2) 0.5R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2) 0.6R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)0.8R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)1.0R(Y4)>R(Y1)>R(Y3)>R(Y2)㊀㊀令t=0.5,通过对参数p取不同的数值进行敏感性分析㊂当p分别取1㊁2㊁4时,分析备选方案评价结果的排序情况,结果如表5所示㊂可以看出,随着参数p取值的不同,最佳备选方案Y4的排序结果52郑州大学学报(理学版)第54卷始终没有发生改变㊂也就是说,备选方案的排序结果对参数p的变化不敏感㊂表5㊀参数p对方案排序的影响Table5㊀The ranking results of alternatives with differentparameter pp方案排序1R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)2R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)4R(Y4)>R(Y3)>R(Y2)>R(Y1)㊀㊀综合参数t㊁p的敏感性分析,表明了本文方法的稳定性和可行性㊂注㊀利用文献[12]中提出的Hamming距离进行计算,其结果为R(Y4)>R(Y1)>R(Y3)>R(Y2)㊂由此可知,其排序的最优方案和最劣方案与本文方法的计算结果基本一致㊂此外,通过上述例1和例3的分析可知,本文提出的直觉犹豫模糊集距离测度可以克服文献[12]中Hamming距离的不足之处,进一步说明本文所提出的距离测度是有效的㊂6㊀小结犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一,在决策过程中能够很好地反映决策者犹豫不决的程度㊂基于此,本文给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念,以及不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度,具体模式识别案例分析结果表明了本文所提出的距离测度的有效性和实用性㊂此外,结合有偏好的决策问题和TOPSIS方法,给出了备选方案的决策模型和算法步骤㊂将此方法应用于锂离子电池供应商模型,并对相应的参数t㊁p进行了敏感性分析,可以得到的最优方案始终相同,证明了所提出的距离测度具有实用性和稳定性㊂参考文献:[1]㊀ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965,8(3):338-353.[2]㊀ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzysets and systems,1986,20(1):87-96.[3]㊀TORRA 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[4]㊀XIA M M,XU Z S.Hesitant fuzzy information aggrega-tion in decision making[J].International journal of ap-proximate reasoning,2011,52(3):395-407. [5]㊀PENG J J,WANG J Q,WU X H,et al.The fuzzy cross-entropy for intuitionistic hesitant fuzzy sets and their appli-cation in multi-criteria decision-making[J].Internationaljournal of systems science,2015,46(13):2335-2350.[6]㊀刘东海,刘原园,陈晓红.基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的多属性决策研究[J].中国管理科学,2019,27(1):174-183.LIU D H,LIU Y Y,CHEN X H.Study on multiple at-tribute decision making based on mean-standard deviationpreference distance measure using hesitant intuitionisticfuzzy linguisticterm sets[J].Chinese journal of manage-ment science,2019,27(1):174-183.[7]㊀陈秀明,钱丽,胡贤德,等.直觉犹豫模糊集的相关系数在群推荐中的应用[J].计算机工程与科学,2017,39(11):2139-2144.CHEN X M,QIAN L,HU X D,et al.Correlation coeffi-cients of intuitionistic hesitant fuzzy sets and their appli-cations in group recommendation[J].Computer engineer-ing&science,2017,39(11):2139-2144. [8]㊀ZWICK R,CARLSTEIN E,BUDESCU D V.Measuresof similarity among fuzzy concepts:a comparative analysis[J].International journal of approximate reasoning,1987,1(2):221-242.[9]㊀XU Z S,XIA M M.Distance and similarity measures forhesitant fuzzy sets[J].Information sciences,2011,181(11):2128-2138.[10]XU Z S,XIA M M.On distance and correlation measuresof hesitant fuzzy information[J].International journal ofintelligent systems,2011,26(5):410-425. [11]LI D Q,ZENG W Y,LI J H.New distance and similari-ty measures on hesitant fuzzy sets and their applications inmultiple criteria decision making[J].Engineering appli-cations of artificial intelligence,2015,40:11-16. [12]SINGH P.Distance and similarity measures for multiple-attribute decision making with dual hesitant fuzzy sets[J].Computational and applied mathematics,2017,36(1):111-126.62。
函数概念的发展历史
函数概念的发展历史1.早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。
与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。
他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞，1707-1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。
不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
39
的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
42
)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法: