期末复习圆锥曲线

隆昌一中高2013届期末复习——圆锥曲线

一、 椭圆，双曲线，抛物线定义及应用 1、 定义

（1）椭圆：

（2）双曲线：

（3）抛物线：

2、标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）坐标轴为对称轴，并且经过两点经过点)2,0(A 和点)3,2

1(B ； （2）经过点)3,2(-且与且与椭圆364922=+y x 有共同的焦点。

例2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； （2）离心率2=

e , 经过点M (－5，3)；

（3）实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍，一个顶点为(0，2)； （4）经过两点 )24,3(-A ，)5,4

9(B 。 （5）渐近线方程为x y 32±

=，经过点)1,2

9

(-M （6）渐近线方程为043=±y x ，a=2

例3求过点A （-3，2）的抛物线的标准方程。

3、圆锥曲线的定义的应用

椭圆（双曲线）上一点 P 与椭圆的两焦点21F F 、构成的21PF F ∆称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆（双曲线）的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．

例4． 已知 P 为椭圆

19

162

2=+y x 上一点，21F F 、是椭圆的两焦点02160=∠PF F ，求21PF F ∆的面积S 。

变∶ 本例中其他条件不变，02160=∠PF F 改为02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积． 思考∶当θ=∠21PF F 时，焦点三角形21PF F ∆面积S=?

例5. 已知双曲线x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2

＝60°，求△F 1PF 2的面积．

思考：双曲线)0(122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦点21,F F ，点M 是双曲线上任意一点，并且

θ=21MF F ，求21MF F ∆的面积。

4、利用定义求轨迹方程

【思路点拨】用定义法求圆锥曲线方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合某种曲线的定义，若符合定义，则用待定系数法求解即可。

例6 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．

变∶已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64内切，而和定圆C2：x22＋(y＋3)2＝4外切．求动圆圆心M的轨迹方程．

例7.如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?

例8．点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

变：(1)求与圆 C: x2 + (y+3)2 = 100 内切，且过点A(3,0)的动圆圆心M的轨迹方程。

(2)求与圆 A:(x+1)2 +y2=1 外切，且与圆 B:(x-1)2+y2 = 81内切的动圆圆心M的轨迹方程。

(3)已知圆 B:(x+1)2 +y2=16，A(1,0)，C 为圆上任意一点，AC中垂线与 CB交于点 P，求点 P 的轨迹方程。

二、 几何性质

例1.求满足下列条件的离心率： （1）双曲线的渐近线方程是x y 2

3±

= （2）过焦点且垂直于实轴的弦与另一个焦点的连线所成角为90°

（3）双曲线)2(122

22>=-a y a

x 的两条渐近线（含实轴）的夹角为60°

例2. 椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上有一点P ，使得1PF 与 x 轴垂直

(1) 若 PF 2//AB,求e ；

(2) 若 PO//AB,求e 。

例3、以椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点 F 为圆心，FO 为半径作圆与椭圆的一个交

点M ，且MO MF =，求e

三、 直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥置关系的常用方法为：

联立直线与圆锥，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则

(1) 直线与椭圆相交⇔Δ>0； (2) 直线与椭圆相切⇔Δ＝0； (3) 直线与椭圆相离⇔Δ<0. 例1．已知椭圆1422=+y x 与直线m x y +=.，当直线和椭圆有公共点时， 求实数 m 的范围．

2、 弦长问题

设而不求的方法求弦长，联立直线和曲线方程得关键方程，利用韦达定理，计算AB ，则

,

4)(11212212212x x x x k x x k AB -++=-+=或

2

121

1||y y k

AB -+=

例1．已知椭圆1422=+y x 与直线m x y +=.，当直线和椭圆有公共点时， 求实数 m 的范围．

例2.过椭圆422

2

=+y x 的左焦点作倾斜角为60°的弦AB ，求AB 弦长。

例3.已知椭圆

125

752

2=+y x 被直线 L 截的弦的中点为)21,21(-，求直线 L 的方程。

3.中点弦问题

关于中点的问题一般可采用两种方法解决：

(1) 联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题； (2) 利用点差法，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．

例4.过椭圆

14

162

2=+y x 内一点 P （2,1）作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使得线段AB 被点 P 平分，求此直线方程。

变：已知椭圆 C: 12

42

2=+y x (1) 弦AB 的中点为 P(1,1), 求直线 AB 的方程及|AB|；

(2)若椭圆与斜率为 2 的直线交于A,B ，求 AB 中点 M 的轨迹方程； (3)若椭圆与过定点(0,1)的直线交于A,B ，求 AB 中点 M 的轨迹方程；

4.综合应用

例5. 椭圆一个顶点A(0,-1), 焦点在 x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的 距离为3

(1)求椭圆方程；

(2)若椭圆与直线 y=kx+m(k 不为0）交于不同两点 M,N 且 |AM|=|AN|, 求 m 范 围。