2010高考数学考前提醒82个问题(五)

【例 4】 (1993 年,全国卷)
在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an 中 , 若 a5a6 9 , 则
log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10 (
).
（A）12
(B)10
(C) 8
(D) 2 log 3 5
【分析及解】本题的直接解法并不难,而且有多种解法.但是对于这
(D)无公共点
【分析及解】本题的直接解法,需要联立方程组,消去 x ,得到关于 y
的二次方程,再研究判别式,而间接解法则只要选取在抛物线 y2 4x 的
内部的一个特殊点即可.
取 (x0 , y0 ) 1,0 ,显然, 1,0 在抛物线 y2 4x 的内部,此时,相应
的直线为 x 1 与抛物线 y2 4x 没有公共点,从而排除(A),(B),(C),而
高考数学 考前提醒的 82 个问题
78. 解选择题要注意什么? ① 选择题中的题干,选项和四选一的要求都是题目给出的信息, 要充分利用. ② 在解选择题时,除了用直接计算方法之外,还可以用逆向化策 略，特殊化策略,图形化策略,极限化策略,整体化策略等方法和策略. 一. 逆向化策略 在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要 求的是重要的信息, 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息. 解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断 进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找 到所要选择的，符合题目要求的选项。 逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反，是充分利用题目中 的选项信息进行解题的一种策略，但是在解题时，逆向化策略常常与 其他解题策略结合起来使用。
【例 1】（2005 年，天津卷）
设 f 1 (x) 是 函 数 f (x) 1 (a x ax ) (a 1) 的 反 函 数 ， 则 使 2
f 1 (x) 1 成立的 x 的取值范围为（
）.
（A）( a 2 1 ,) （B） (, a 2 1) （C）( a 2 1 , a)（D） [a,)
2 2 ,从而，排除（A），
55
（B），（D），选（C）.
【例 7】 f (x) 是定义在 (,) 上的偶函数且在 0,上是减函
数,则使函数 f (1 x2 ) 为增函数的区间是(
).
（A） 1,1
(B) ,1和1,
(C) ,1和0,1
(D) 1,0和1,
【分析及解】本题如果直接求解,由于涉及到复合函数的单调性,比
径为 r .
则 x , y 2r sin 2r sin x ,
C
Q
O
2r
2r
x
因此, 点 P 从 O 点出发，沿圆周运动时,
P
OP y 与 x 的关系为正弦函数关系,符合题设的
图象,故选(C).
【例 3】如果凸 n 边形 F n 4所有对角线都相等,则(
).
(A) F {四边形} (B) F {五边形}
即选(A)必选(C),同样,如果 F {五边形}正确,那么 F {四边形} {五边
形}也正确,即选(B)必选(C),所以(A),(B)都不正确.
所以只需研究(C),(D).
对于（D）可以联想到等腰梯形，等腰梯形的对角线都相等，但是，
等腰梯形既不是边相等的多边形，也不是角相等的多边形，有这一反
例可知，（D）不正确.
斜率 k 的取值范围是
（A） (2 2,2 2)
(B) ( 2, 2)
(C)
2, 4
2 4
(D)
1 8
,
1 8
【分析及解】 过点P2,0 的直线与 y
圆相交的极端位置是切线的位置,画出直线与圆,
如图, PA, PB 为切线,, A, B 为切点..
可以求出 PB PA 2 2 ,
kPB
取
a 1, x 1 1, 0
2
,则
f
1 2
log2
1 2
1
1
0
,不合
f x 0 的要求,由此排除(C),因而选(A).
【例 3】（2005 年，辽宁卷） 已知 y f (x) 是定义在 R 上的单调函数，实数
x1
x2,
1 , a
x1 x2 1
,
x2 x1 1
,
若| f (x1) f (x2 ) || f () f ( ) | ， 则 （ ）
个选项中只有一个选项符合题目要求这一信息，就可以间接地得到符
合题目要求的选项，这是一种解选择题的特殊化策略.
【例 1】（2006 年，天津卷，理 7）
已知数列an,bn 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1 ,
且 a1 b1 5 , a1,b1 N ,设 cn abn n N ,则数列cn 的前 10 项和等
（A） 0 (B) 0 (C) 0 1 (D) 1
【分析及解】因为没有给出具体的函数 y f (x) ,所以不能直接计
算,可以选取一个符合题目要求的特殊的单调函数,例如设 f x x ,则
有
x1 x2
x1 x2 1
x2 x1 1
x1 x2 1 1
,
即 1 1 ,解得 0 ,因而选(A).
（5）求值，可以构造与所求值的几何意义有关图形，通过计算图 形的有关数据，得到所需要的值.
图形化策略是依靠图形的直观进行选择的,用这种策略解题比直接 计算求解,更能抓住问题的实质,简捷迅速地得到结果.
【例 1】（2005 年，全国卷Ⅰ，理 4）
已知直线l 过点（－2，0），当直线 l 与圆x2 y 2 2x 有两个交点时，其
较难于思考,选取一个符合题目要求的特殊函数可以把抽象问题具体
化.
设 f x x2 , 则 f x x2 是 定 义 在 (,) 上 的 偶 函 数 且 在
0, 上是减函数,
f (1 x2 ) 1 x2 2 1 2x2 x4 x ,
对 x 求导,有x 4x 4x3 ,
条件的特殊的 P,Q ,例如设 P 为椭
圆长轴上的一个端点, Q 为椭圆短
轴上的 uuur uuur
一
个
端
点
,
显然满足
OP OQ 0,
在 OPQ 中作 OH PQ 于 H ,则 OH 为直角 OPQ 斜边上的高,
由
uuur OP
uuur 4, OQ
3,
uuur PQ
5 ,得
uuur OH
3 4
（1）求方程解的个数，可以画出方程两边的函数的图象，通过观 察图象的交点的个数来研究方程解的个数；
（2）求参数的范围，可以研究所求参数的几何意义以及这些几何 意义的变化状态，通过几何意义的变化状态反映出参数的范围；
（3）求最值，通过研究与最值有关的几何图形或图象的极端位置 得到最值；
（4）解不等式，可以研究不等式两边的函数图象的相互位置关系， 寻找符合不等要求的 x 的取值范围；
长为 l 的图形运动一周, O, P 两点的距离为 y 与点
P 走过的路程 x 的函数关系如右图,那么点 P 所
运动的图形是(
).
y
O
l
l
x
2
R
S
R
P
O
T
(A)
P
O
T
(B)
P O
(C)
P O
(D)
【分析及解】对于（A），考虑点 P 在 OT 上运动时，应为 y x ，
其图象是一条线段，而已知图象中没有线段，所以否定（A）； 对于（B），同理，应有一段的图象一条线段，而已知图象中没有
于是只能选(C).
二.特殊化策略
在求解数学问题时，如果要证明一个问题是正确的，就要证明该
问题在所有可能的情况下都正确，但是要否定一个问题，则只要举出
一个反例就够了，基于这一原理，在解选择题时，可以通过取一些特
殊数值，特殊点，特殊函数，特殊数列，特殊图形，特殊位置等对选
项进行验证，从而可以否定和排除不符合题目要求的选项，再根据 4
道选择题,构造一个特殊的数列会更简单.
考虑到四个选项的值都是唯一的,并且只有一个是正确的,所以可
以构造一个符合题目要求的特殊数列.
由于 an 是各项均为正数的等比数列,且 a5a6 9 ,可以构造一个常
数列: 3,3,L ,3,L ,此时,原式 10 log3 3 10 ,因此选(B).
【例
选(D).
【例 6】若动点 P,Q 在椭圆 9x2 16 y 2 144 上,且满足 H PQ, uuur
OPOQ 0,OH PQ 0,则 OH ( ).
（A） 6 2 (B) 5 3 (C) 2 2
3
4
5
【分析及解】若动点 P,Q 在椭
(D) 4 15
圆上在满足条件的情况下任意选
取,则加大了运算量,可以选择满足
5】若点 (x0 ,
y0 )
满足
y
2 0
4x0 ,
就叫作点 (x0 , y0 ) 在抛物线
y2 4x 的内部,如果点 (x0, y0 ) 在抛物线 y2 4x 的内部,则直线
y0 y 2(x x0 ) 与抛物线 y 2 4x ( （A）有一个公共点
). (B)至少有一个公共点
(C) 恰有两个公共点
若定义在区间 1,0 内的函数
则 a 的取值范围是(
).
f (x) log 2a (x 1) 满足, f x 0
（A） 0, 1 2
(B)
0,
1 2
(C) 1 , 2
(D) 0,
【分析及解】取特殊的底,特殊的真数进行排除.
由于对数的底 2a 1,则 a 1 ,由此排除(B),(D); 2
（A） b 0 且 c 0