高考三角函数题型探析_王洁

文章编号：1672－691X （2012）S11－0050－04高考三角函数题型探析王洁（武山县第三高级中学，甘肃武山741300）摘要：三角函数的图象与性质、三角恒等变换和解三角形问题都是高考数学三角函数部分主要考查对象，考生如何把握命题意图与考点，找到突破方法技巧，获得正确的结论，笔者结合自己的教学经验和学生的实际情况提出一些自己的观点.关键词：高考；三角函数；题型；探析中图分类号：G633．62文献标识码：A收稿日期：2012-11-04.作者简介：王洁（1976－），男，甘肃武山人，武山县第三高级中学一级教师，主要从事高中数学教学工作.纵观历年高考数学试卷，对三角函数解答题部分的考查主要有三个方面；三角函数的图象与性质，三角恒等变换，解三角形问题.笔者认为只要考生把握命题意图与考点，找到科学的方法和技巧，才能获得正确的结论.特此结合自己的教学实际提出一些探析建议，供参考.1三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法．⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题．⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识．例1（2011高考广东理）已知函数f （x ）＝2sin （1x －π），x ∈R ．（1）求f （5π）的值；（2）设α，β∈0，π∈∈，f （3a＋π2）＝1013，f （3β＋2π）＝65，求cos （α＋β）的值．命题意图与考点：本题考三角函数的基本公式以及两角和与差的正余弦公式等基础知识和基本运算技能．解析：（1）f （5π4）＝2sin （5π12－π6）＝2sin π4＝2姨；（2）f （3a＋π2）＝2sin α＝1013，sin α＝513，又α∈0，π姨姨，cos α＝1213，f （3β＋2π）＝2sin （β＋π2）＝2cos β＝65，cos β＝35，又β∈0，π2姨姨，sin β＝45，cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝1665．突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有：变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如，，2三角函数的图象和性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型．此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用．会用数形结合的思想来解题．例2．（2012年高考（四川理））函数f （x ）＝6cos 2甘肃联合大学学报（自然科学版）Journal of Gansu Lianhe University （Natural Sciences ）第26卷2012年11月Vol．26Nov ．2012王洁：高考三角函数题型探析ωx 2＋3姨cos ωx －3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x 0）＝83姨5，且x 0∈（－10，2），求f （x 0＋1）的值．命题意图与考点：考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换问题、分析问题与解决问题的能力数形结合、转化等数学思想.解析（Ⅰ）由已知可得：f （x ）＝6cos 2ωx 2＋3姨cos ωx －3（ω＞0）＝3cos ωx＋3姨sin ωx ＝23姨sin （ωx＋π）又由于正三角形ABC 的高为23姨，则BC＝4所以，函数f （x ）的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4所以，函数f （x ）的值域为［－23姨，23姨］（Ⅱ）因为f （x 0）＝83姨5，由（Ⅰ）有f （x 0）＝23姨sin （πx 04＋π3）＝83姨5，即sin （πx 04＋π3）＝45.由x 0∈（－103，23），得（πx 04＋π3）∈（－π2，π）,所以，即cos （πx 04＋π3）＝1－（45）2姨＝35.故f （x 0＋1）＝23姨sin （πx 0＋π＋π）＝23姨［sin （πx 04＋π3）＋π4］＝23姨［sin （πx 04＋π3）cos π4＋cos （πx 04＋π3）sin π4＝23姨（4×2姨＋3×2姨）＝76姨突破方法技巧：研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y＝Asin （ωx＋φ）的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路．如果由图象来求正弦曲线y＝Asin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π2，x ∈R ）的解析式时，其参数A 、ω、φ的确定：由图象的最高点或最低点求振幅A ，由周期或半个周期（相邻最值点的横坐标间的距离）确定ω，考虑到φ的唯一性，在确定A 、ω的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式，在给定的区间内求出φ的值．对于单调区间，要把ωx＋φ看作一个整体，如由2k π－π2≤ωx＋φ≤2k π＋π2（k ∈Z ）解出的x 的取值区间即为y＝Asin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的增区间．3求三角函数的定义域、值域或最值此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力．⑵考查利用三角函数的性质，诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力．⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力．例3．（2012年高考重庆理）设f （x ）＝4cos （ωx－π）sin ωx－cos （2ωx＋π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y＝f （x ）的值域（Ⅱ）若f （x ）在区间［－3π2，π2］上为增函数，求ω的最大值命题意图与考点：考查运用两角和的正余弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.解析：（1）f （x ）＝43姨2cos ωx＋12sin ωωωxsin ωx＋cos2ωx＝23姨sin ωxcos ωx＋2sin 2ωx＋cos 2ωx－sin 2ωx ＝3姨sin2ωx＋1因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y＝f （x ）的值域为［1－3姨，1＋3姨］（2）因y ＝sinx 在每个闭区间2k π－π，2k π＋πωω（k ∈Z ）上为增函数，故f （x ）＝3姨sin2ωx ＋1（ω＞0）在每个闭区间k πω－π4ω，k πω＋π4ωωω（k ∈Z ）上为增函数．51依题意知－3π2，π2哿k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k＝0，于是－3π2≥－π4ωπ2≤π4ω≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤，解得ω≤16，故ω的最大值为16．突破方法技巧：三角函数的最值主要有以下几种类型：①、形如y＝Asin （ωx＋φ）、y＝asinx＋bcosx 的，充分利用其有界性去求最值；②、形如y＝sinx＋cosx＋sinxcosx 的，换元去处理；③、形如y＝asinx＋bsin 2x 的，转化为二次函数去处理；④、形如y＝2－cosx 2－sinx的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决.4解三角形此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征．解此类题目要注意综合应用上述知识．例4（2012年高考江西理）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知，A＝π4，bsin （π4＋C ）－csin （π＋B ）＝a．（1）求证：B－C＝π（2）若a＝2姨，求△ABC的面积．命题意图与考点：主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用．解析：（1）证明：由bsin （π4＋C ）－csin （π4＋B ）＝a 及正弦定理得：sinBsin （π＋C ）－sinCsin （π＋B ）＝sinA ，即sinB （2姨2sinC＋2姨2sinC ）－sinC （2姨2sinB＋2姨2sinB ）＝2姨2整理得：sinBcosC－cosBsinc＝1，所以sin （B－C ），又0＜B ，C＜3π所以B－C＝π2（2）由（1）及B＋C＝3π4可得B＝5π8，C＝π8，又A＝π4，a＝2姨所以b＝asinB sinA＝2sin 5π8，c＝asinC sinA＝2sin π8，s＝12bcsinA＝2姨sin 5π8sin π8＝2姨sin π8cos π8＝2姨2sin π4＝12突破方法技巧：（1）内角和定理：A＋B＋C＝π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）正弦定理：asinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R （R 为三角形外接圆的半径）．注意：①正弦定理的一些变式：（i ）a ：b ：c＝sinA ：sinB ：sin ；（ii ）sinA＝a ，sinB＝b ，sinC＝c ；（iii ）a＝2RsinA ，b＝2RsinB ，b＝2RsinC ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．（3）余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状（4）面积公式：S＝12ah a ＝12absinC．总之高考命题往往会以突出能力立意，加强对三角知识综合性和应用性的考查，常常在知识的交汇点设计综合型试题，综合考查学生对三角函数的图像和性质，三角恒等变换和解三角形的灵活运用能力.参考文献：［1］［2］李桂平．求解三角函数问题的几大思路［J ］．科学之友：版，2010（1）：135－136．路长育．如何设计三角函数线的教学［J ］．数理化解题研究：高中版．2009（08）：45－48．（下转第54页）Analysis of the Trigonometric Function Test Patterns in the University Entrance ExamWANG Jie(The Third Senior School of Wushan County,Wushan 741300，China)Abstracts:Images and properties,identity transformation and solution problems of trigonometric function are mainly examines objects of the college entrance examination mathematics,the author put forward some own views to help examinee to grasp the proposition intention and the test points,find the scientific methods and skills,get the correct conclusion,combining with own teaching experience and the students'actual situation.Key words ：college entrance examination;trigonometric function;the types of test question;analytic锐角A 的对边与斜边的比值也固定不变.由这个结论，我们就可以解决刚开始提出的问题了.2．3应势利导，给出定义师：同学们联想过去学习的知识中，圆的周长与圆的直径的比是一定的，我们用符号∏来表示.今天我们也用一个符号sinA 来表示∠A 的对边与斜边的比如图，在Rt △ABC 中，∠C 是直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦，记做sinA ，即sinA＝∠A 的对边／斜边．同学们还可以发现，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值，我们把它叫做∠A 的余弦，记做cosA ，即cosA＝∠A 的邻边／斜边请同学们计算并回答下列问题：（1）sin30°＝sin45°＝sin60°＝（2）cos30°＝cos45°＝cos60°＝（3）当∠A 为锐角时，sinA 、cosA 均大于0，试比较sinA 与1的大小，cosA 与1的大小.3课堂小结在这节课中，我们一起研究和探讨了下面几个问题：1、表达式sinA＝∠A 的对边／斜边，揭示直角三角形中那些元素之间的关系？（口答）2、它们是怎样定义的？其范围是什么？为什么？（口答）3、30°、45°、60°角的正弦和余弦值是什么？（口答并牢记）4布置作业（略）［在这堂课的教学中，我将问题作为数学教学的出发点，设计一系列从具体到抽象，从特殊到一般的问题，让学生在小坡度问题的思考、解答过程中，逐步掌握概念，并能初步应用概念，为直角三角形这一主题打下“伏笔”.同时，我也感到，无论是重点中学的老师，还是一般中学的老师，要适应当今的教学，必须提高自身素质，需要从“经验型”向“科研型”转化.按照学生的心理特征和认知规律，精心设计教学过程，只有这样，才能走出“死教书，教死书”的困境］马俊雄．解读高考三角函数［J ］．考试周刊．2009（16）：56－58．（上接第52页）［3］［4］徐旭明．解读高考解答题中的三角函数题［J ］．数学学习与研究：教研版，2009（5）：122－124．。