多元函数微分学

}
梯度与方向导数的关系
函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数 向导数的最大值. 的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值 的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值
(三)多元函数极值 1.无条件极值 1.无条件极值 定理1 定理1 （必要条件） 必要条件） 具有偏导数， 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点 ( x0 , y0 ) 处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零, 处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零, 即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0.
gradf ( x0 , y0 , z0 ) = f x ( x 0 , y0 , z 0 ) i + f y ( x 0 , y0 , z 0 ) j + f z ( x 0 , y0 , z 0 ) k = f x ( x0 , y0 , z0 ),
{
f y ( x0 , y0 , z0 ),
f z ( x 0 , y0 , z 0 )
数,且 Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0, F ( x0 , y0 ) = 0. 则方程 F ( x , y ) = 0 在 且 点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内总能惟一 确定一个具有连续的 导数的隐函数 y = f ( x ) 它满足条件 y0 = f ( x0 ), 且
dy Fx =− . dx Fy
(一)微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面 空间曲线 Γ : x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), z = ω ( t ). 其上一点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 切线方程为 法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 . = = ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′( t 0 )
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2.条件极值：对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 条件极值 拉格朗日乘数法 要求函数 z = f ( x , y ) 在条件 ϕ ( x , y ) = 0 下的可能 极值点， 先构造函数 L( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ), 极值点， 其中 λ 为某一常数，可由 为某一常数， ∂L x ∂x = f x′ ( x , y ) + λϕ ′ ( x , y ) = 0 ∂L = f y′ ( x , y ) + λϕ ′ ( x , y ) = 0 y ∂y ϕ ( x , y ) = 0 解出x , y , λ , 其中( x , y ) 就是可能的极值点的坐标. 就是可能的极值点的坐标.
∂ ∂z ∂ 2 z = 2 = f xx ( x , y ), ∂x ∂x ∂x ∂ ∂z ∂ 2 z ∂x = ∂x∂y = f xy ( x , y ), ∂y
∂ ∂z ∂ 2 z ∂y = ∂y 2 = f yy ( x , y ), ∂y ∂ ∂z ∂ 2 z ∂y = ∂y∂x = f yx ( x , y ). ∂x
定理1 定理1 如果函数 u = u( t ) 及 v = v ( t ) 都在 t 点可导, 点可导, 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏导数,则 具有连续偏导数, 复合函数 z = f [ u( t ), v ( t )] 在点t 可导,且 可导,
dz ∂z du ∂z dv . = + dt ∂u dt ∂v dt
ϕ ′( t0 )( x − x0 ) + ψ ′( t 0 )( y − y0 ) + ω ′( t0 )( z − z0 ) = 0.
２. 曲面的切平面与法线 曲面
π : F ( x , y , z ) = 0.
在其上 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 点的切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
一、偏导数和全微分
(一)偏导数的定义 一 偏导数的定义
z = f ( x, y)
∂z ∂x
∂z ∂y
( x0 , y0 )
d = f ( x , y0 ) dx
d = f ( x0 , y ) dy
x0
( x 0 , y0 )
y0
(二)高阶偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
第二章 多元函数微分学
第一部分主要内容
第二部分典型例题
一、主要内容
多元函数概念 多元函数的极限 多元函数的极限
多元函数连续的概念 多元连续函数 的性质
全微分 概念
复合函数 求导法则 隐函数 求导法则
偏导数 概念
方向导数
高阶偏导数 微分法在 几何上的应用
多元函数的极值
第一部分
主要内容
一、偏导数和全微分 二、偏导数的应用
2 时可能有极值,也可能没有极值. （ 3 ）∆ = B − AC = 0 时可能有极值,也可能没有极值. .
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y ) 极值的一般步骤： (1)解方程组 (1)解方程组
f x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) = 0
求出实数解，得驻点. 求出实数解，得驻点. (2)对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), (2)对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值 A, B , C . 的符号，判定是否取得极值. (3)根据 (3)根据 ∆ = B 2 − AC 的符号，判定是否取得极值.
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 . = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
(二)方向导数和梯度的公式 设函数 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z )可微, 方向 l 的 可微, 方向余弦为
cos α ,cos β ,cos γ , 则函数 f ( x , y , z )
在点 P ( x , y , z ) 沿方向 l 的方向导数为
∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
梯度的计算公式 设函数 u = f ( x , y , z )在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数， 一阶连续偏导数，则函数在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ G 的梯度为
例4
设 z = uv + sin w , u = e t , v = cos t , w = t . dz 求全导数 . u dt 解
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = + + dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
= ve t + u( − sin t ) + cos w
= e t cos t − e t sin t + cos t
混合偏导数
(三)全微分的公式 可微,则它的偏导数一定存在, 如果函数 z = f ( x , y ) 可微,则它的偏导数一定存在,且
∂z ∂z dz = dx + dy. ∂x ∂y
(四)多元函数连续、可导、可微的关系 多元函数连续、可导、 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
(五)复合函数求导法则
与定理3类似, 与定理3类似,在 F ( x , y, z ) 满足相应条件的情况下 对于 满足相应条件的情况下,对于 由方程 F ( x , y , z ) = 0 确定的隐函数 z = f ( x , y ) 有
Fy ∂z Fx ∂z =− , =− . ∂x Fz ∂y Fz
二、偏导数的应用
2 2 2 解 令F ( x , y , z ) = xyz + x + y + z − 2 x y Fx = yz + , F = xz + y x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 z Fx ∂z Fz = xy + =− x2 + y2 + z2 Fz ∂x
z
v w
t
复合函数求导的链式法则. 测试点 复合函数求导的链式法则
例5
设 z = z ( x , y ) 是由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的全微分. 所确定的隐函数. 所确定的隐函数.求 z = z ( x , y )在点 (1,0, −1) 的全微分.
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z 例2 设函数 z = x sin 2 y , 求 , , . 2 ∂x ∂x ∂x ∂y
2
解
∂z = 2 x sin 2 y ∂x
( x 看成自变量 y 看成常量 看成自变量, 看成常量)
∂2z ∂ ∂z ( ) = 2sin 2 y = 2 ∂x ∂x ∂x
∂ z ∂ ∂z = ( ) = 4 x cos 2 y . ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
二、典型例题
4 x − y2 的定义域是 例1 函数 z = 2 2 ln(1 − x − y ) A.{( x , y ) 0 < x 2 + y 2 < 1,4 x ≥ y } B.{( x , y ) x 2 + y 2 < 1,4 x ≥ y } C.{( x , y ) 0 < x + y ≤ 1,4 x ≥ y }
称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
定理2 定理2
如果 u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y )都在点( x , y )具有
的偏导数， 对 x 和 y 的偏导数，且函数 z = f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏导数， 具有连续偏导数，则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 在点 ( x , y )的两个偏导数都存在,且 的两个偏导数都存在,
所有一阶偏导数都为零的点， 定义 所有一阶偏导数都为零的点，称它为该函数的驻 点. 注意 驻点 极值点
充分条件） 定理2 定理2 （充分条件） 的某邻域内连续， 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )的某邻域内连续，且有一阶 及二阶连续偏导数， 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 令 f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B , f yy ( x0 , y0 ) = C . 则 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： 处是否取得极值的条件如下： 时有极值， （ 1 ）∆ = B 2 − AC < 0 时有极值， 时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， A > 0 时有极小值； 当 时没有极值； （ 2 ）∆ = B 2 − AC > 0 时没有极值；
2 2
D.{( x , y ) 0 < x 2 + y 2 < 1,4 x > y } 答案: 答案 A
(1)分母不能为零;(2)负 (1)分母不能为零;(2)负 分母不能为零;(2) 数不能开偶次方;(3) ;(3)零 数不能开偶次方;(3)零 和负数没有对数;(4) ;(4)其 和负数没有对数;(4)其 它
2
测试点:偏导数 高阶偏导数的求法 测试点 偏导数,高阶偏导数的求法 偏导数 高阶偏导数的求法.
例3
设
z = f ( x 2 − y 2 ), f ( u) 为可微函数. 为可微函数.
则 ∂z = ∂y 解
x
.
z
u
y
∂z ∂u ′( u ) = f = −2 yf ′( x 2 − y 2 ). ∂y ∂y 测试点: 复合函数求导法. 测试点 复合函数求导法
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v , = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v . = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
u
x
y
z v
分线相加, 分线相加,连线相乘
(六)隐函数的求导法则 定理3 定理3 设 F ( x , y ) 在( x0 , y0 ) 的某邻域中有连续的偏导