2019学年高中数学第二章数列第07课时等差数列的概念与通项公式课件新人教B版必修5

所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均 匀排开的一群孤立的点．
当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是 平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．
(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的 任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公
[类题通法]
定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤： (1)作差an＋1－an，将差变形； (2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数 列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不 是等差数列．
变式训练2
已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－
(2)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列 为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.
知识点2 通项公式 等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则通项公式是an＝a1 ＋(n－1)d. 讲重点 对等差数列通项公式的理解
(1)从函数的角度看等差数列的通项公式． 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－ d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常 数．当p≠0时，an是关于n的一次函数，即(n，an)在一次函数y ＝px＋q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在 一次函数y＝px＋q的图象上．
(2)如果数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n>1，n∈N*)，那么数 列{an}是等差数列.
知识点3 等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a，b的等差中
项．
讲重点 等差中项的性质：
(1)A是a与b的等差中项，则
A＝
a＋b 2
或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一
个．
[类题通法] 等差数列的通项公式与四个量有关，即首项a1，公差d，项 数n，通项an，可以用方程的方法知三求一．又首项a1与公差d 是两个基本量，所以，设出首项与公差是解答等差数列问题的
基本方法．
变式训练1 在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求 a10.
解析：设数列{an}的公差为d，由题意知，
(2)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差， 不可颠倒，即d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a3－a2＝a2－a1.
(3)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同 一个常数，就断言此常数为等差数列．
讲拓展 (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有 两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二 是强调这两项必须相邻．
a1＋4d＝11 a1＋7d＝5
，解得ad1＝＝－192
.
∴an＝a1＋(n－1)d＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
类型二 等差数列的判定与证明
【例2】
已知数列{an}满足a1＝Baidu Nhomakorabea，an＋1＝
2an an＋2
，则数列
a1n是否为等差数列？说明理由．
(2)当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
2 说方法·分类探究 类型一 等差数列的通项公式及应用
【例1】 (1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求 首项a1与公差d；
(2)已知数列{an}是等差数列，若a2＝1，a1＋a4＝1，求a3＋ a5的值．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， ∵a5＝10，a12＝31，则aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad1＝＝3－. 2， 所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3. (2)设数列{an}的公差为d，首项为a1， 则由aa12＋＝a14，＝1， 得a21a＋1＋d＝ 3d1＝，1， 解得da＝1＝－2，1. ∴a3＋a5＝2a1＋6d＝4－6＝－2.
4 an－1
(n>1)，
记bn＝an－1 2.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：∵bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2＝4－a14n－2－ 1 an－2
＝2aan－n 2－an－1 2＝2aann－－22＝12， 又b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
式，可以写出数列中的任意一项．
(3)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个 变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可 以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称
之为“知三求一”．
讲拓展 (1)如果数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(p，q是常 数)，那么数列{an}是等差数列．
递推 关系
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*).
讲重点 对等差数列定义的理解 (1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一 个常数”． ①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项 起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差 数列． ②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管 是常数，但这个数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数 可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列． ③等差数列中至少有三项．
1说基础·名师导读
知识点1 等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它
文字 语言
的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，公差通常用字母d表示．
在数列{an}中，如果an＋1－an＝d(n∈N*)(或an－ 数学 an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等 符号 差数列，常数d称为等差数列的公差．
思维启迪：判断一个数列是否为等差数列，首先应考虑定 义，对本题来说，即判断an1＋1－a1n是否为常数．
解析：数列a1n是等差数列． 理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2. ∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n. ∴an1＋1－a1n＝12(常数)． ∴a1n是以a11＝12为首项，公差为12的等差数列．