高三数学总复习课件第1篇第1节集合

{x|x∈A，或 x∈B}
补集
设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集，由 U 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合，记作∁UA＝
{x|x∈U，且 x∉A}
韦恩图示
性质
A∩ A＝ A A∩∅＝∅ A∩ B＝ B∩ A A∩ B⊆ A A∩ B⊆ B A∪ A＝ A A∪∅＝ A A∪ B＝ B∪ A A∪ B⊇ A A∪ B⊇ B A∩(∁U A)＝∅ A∪(∁U A)＝U (∁UA)∩(∁UB) ＝∁U(A∪ B) (∁UA)∪(∁UB) ＝∁U(A∩ B)
思路点拨：解决本题的关键是将集合 B 化简，即因式分解． 解：由 x2－3x＋2≤0 得：1≤x≤2，∴A＝{x|1≤x≤2}． B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}． (1)若 A B，则有 B＝{x|1≤x≤a}，∴a>2. (2)若 B⊆A，如图
有 1≤a≤2. (3)若 A＝B，则有 a＝2.
即 a≤－2，或 a≥12. 又 a<1，∴a≤－2 或12≤a<1. 故实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪[12，1)．
【例2】 学校先举办了一次语文竞赛，某班有8名同学参 加，又举办了一次数学竞赛，这个班有12名同学参赛，两 次均参加的同学有5人．在这两次竞赛中，这个班共有多 少名同学参赛？
2 ． 下 列 五 种 表 达 ： ① {0}∈{1,2,3} ； ② ∅ ⊆ {0} ； ③ {1,2,3}⊆{3,2,1}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，其中错误的表达的个 数为( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析：由元素与集合及集合与集合的关系可知，①④⑤错误， 故选B.
3．已知全集U＝R，集合∁UM＝{x|x≤－3或x>5}，集合∁UN＝ {x|x≤－5或x≥5}，则M∩N等于( B ) (A){x|－5<x<5} (B){x|－3<x<5} (C){x|－5<x≤5} (D){x|－3<x≤5}
解 ： A＝ {x| － 1≤x≤3} ， B＝ {x|[x－ (m－ 2)][x － (m ＋ 2)]≤0 ， x∈R ， m∈R} ＝ {x|m － 2≤x≤m＋2}，
(1)∵A∪B＝A，∴B⊆A，如图
有：mm－＋22≥≤－3 1 ，∴mm≥≤11 ，∴m＝1. (2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3} ∴mm－＋22＝≥03 ，∴m＝2 (3)∁RB＝{x|x<m－2 或 x>m＋2}． ∵A⊆∁RB，∴m－2>3 或 m＋2<－1， ∴m>5 或 m<－3.
区别 概念
概念上的区别
符号上的区别
关系
元素 集合
研究对象特征 确定性，互异性
，无序性
一些对象组成的 全体
用小写英文字母a ，b，c，…表 示
大写的字母A，B ，C…表示
a∈A或 a∉A
(2)集合的表示法
表示方法 列举法 描述法 韦恩图
使用范围 一般用于含有有限个元素且元素个数较
少的集合 用于清楚集合的代表元素的特征的集合
若 a＝15，由 ax－1＝0，
得15x－1＝0，即 x＝5，
∴B＝{5}．∴B A.
(2)∵A＝{3,5}，且 B⊆A，
故若 B＝∅，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0；
若 B≠∅，则 a≠0，
由 ax－1＝0，得 x＝1a，
∴1＝3，或1＝5，即 a＝1，或 a＝1.
a
a
3
5
故 C＝{0，131.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于 关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列 举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别 给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求 两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义 ，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关 系及集合的基本运算．
思路点拨：将A中元素逐一验证即可． 解：∵1∈A， ∴a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1， (1)若a＋2＝1，则a＝－1，此时a＋2＝a2＋3a＋3＝1， ∴a＝－1不符合题意． (2)若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. 当a＝0时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝3，符合题意； 当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1， ∴a＝－2不符合题意． (3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2. 由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合题意， 综上可知：a＝0.
提示：集合A是函数y＝x2＋1的定义域，即A＝R；集合B是 函数y＝x2＋1的值域，即B＝{y|y≥1}；集合C是函数y＝x2＋1 图象上的点构成的集合．
2．集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
相等
集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同
子集 真子集
空集
集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的 元素
考纲解读
1.以考查集合的运算为主，同时考查集合的 性质及集合与元素、集合与集合之间的关系
，同时注意“Venn图”的考查． 2．以选择题为主，也有填空题以及与其他
知识结合的大题． 3．本部分内容是高中数学的起始章节，对 函数的学习至关重要，是高考必考内容，但
都属于低档题、送分题.
1．元素与集合 (1)集合与元素
与集合运算有关的新概念问题
【例4】 (2010年高考广东卷)在集合{a，b，c，d}上定义 ⊗如下：
abcd a abcd b bbbb c cbcb d dbbd
⊗abcd aaaaa babcd cacca
dadad
那么d⊗(a c)等于( )(A)a (B)b (C)c (D)d
思路点拨：
⊗的运算对应表查出结果．
1 ． (2010 年 高 考 四 川 卷 ) 设 集 合 A ＝ {3,5,6,8} ， 集 合 B ＝ {4,5,7,8}．则A∩B等于( D ) (A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C){4,7} (D){5,8}
解 析 ： 因 为 A ＝ {3,5,6,8} ， B ＝ {4,5,7,8} ， 所 以 A∩B ＝ {5,8}，故选D.
解析：依题意：M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}， ∴M∩N＝{x|－3<x<5}．故选B.
4．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A∩B＝{2}， 则实数a＝________.
解析：∵A∩B＝{2}，∴a＝2. 答案：2
集合的基本概念
【例1】 已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求 实数a的值．
集合的运算
【例3】 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2 －4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∪B＝A，求实数m的取值； (2)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值； (3)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
思路点拨：(1)由A∪B＝A得B⊆A，借助数轴求解； (2)结合已知条件，比较集合端点求解； (3)先求出∁RB，利用子集关系，借助数轴求解．
(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表 达式中寻找两集合的关系，二是用列举法表示集合，从元 素中寻找关系；
(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关 系转化为元素间的关系，进而转化为参数之间的关系(要注 意集合本身两个端点的比较)；
(3)两个数集之间的关系，常借助数轴判断．
用封闭的曲线内部表示集合
举例
{1,2,3，…， 2012}
{x|1≤x<10}
(3)常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N＋或 N* Z
Q
RC
质疑探究1：集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝ {(x，y)|y＝x2＋1}，有什么区别，你能看出来吗？
提示：集合A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集 有2n－2个．
3．集合的运算类型及性质
运算 类型
定义
交集
由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合， 记作 A∩B＝{x|x∈A 且
x∈B}
并集
由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合，记作 A∪B＝
解决两个数集之间的关系问题时，避免出错的一个有效手段 是合理利用数轴分析求解．
变式探究21: 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.
解：(1)由 x2－8x＋15＝0，得 x＝3，或 x＝5，
∴A＝{3,5}，
当 a＝－1 时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，
∴a＝－1 舍去．
当 a＝－3时，a－2＝－7，2a2＋5a＝－3，适合．
2
2
因此，a 的值为－32.
集合间的基本关系
【例2】 已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋ a≤0}． (1)若A B，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围．
解析：∵a c＝c，d⊗c＝a，
∴d⊗(a c)＝a，故选A.
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，在新给出的运 算法则下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式．
变式探究41：定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}， 设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( ) (A)0 (B)2 (C)3 (D)6