2016-2017年河南省洛阳市洛宁一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
洛阳2017高三数学文理一练解析
洛阳2016-2017学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）1. 已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为答案：B解析：a=1且b=-1，故z=1-i2. 已知集合(){}{}|10,|1xA x x xB x e =-<=>，则()RC A B =A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D.[]0,1 答案：A解析：A=(0,1)，B 中x>03. 已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且121"x x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A解析：显然充分，但x 取1和2时反推不成立4. 一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为 A.227 B. 29 C. 13 D. 23答案：D解析：考查列表法当m 取2或4时，基本事件总数2×6＝12 由列表可知m+n>5的事件有8次5. 已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是A. sin cos y x x =+B.22sin y x x =C. c o s||y x= D.3sin cos 22x x y = 答案：B解析：A 中由辅助角公式得周期2π C 中由偶函数性质得cos ||cos y x x == D 中由正弦倍角公式得周期2π由排除法可得正确答案6. 执行下面的程序，若输入的253,161a b ==， 则输出的结果为A. 92B. 46C. 23D. 1 答案：C解析：考查流程图 A=253，b=161，r=92 A=161，b=92，r=69 A=92，b=69，r=23 A=69，b=23，r=46 输出237. 等差数列{}n a 为递增数列，若2211056101,11a a a a +=+=，则数列{}n a 的公差d 等于 A. 1 B. 2 C. 9 D. 10 答案：A解析：考查等差数列性质5611011a a a a +=+=，2110110()2101a a a a +-=解得11010a a =因此1101,10a a ==，显然公差d=18. 已知向量()1,0,a b a == 与b 的夹角为45，若,c a b d a b =+=- ，则c 在d 方向的投影为1- 答案：D解析：考查向量的数量积 首先分析投影||cos ||cdc d θ= 其次转换条件22121cd a b =-=-=-2222()2121d a b a b ab =-=+-=+-︒=因此c 在d 方向的投影为－19. 已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.103π B. 14π C.1683π- D. 1643π- 答案：D解析：圆锥与正四棱柱的组合体2216433r hV a h ππ=-=- 10. 已知实数,x y 满足条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为A. {}2,1-B. {}|2a R a ∈≠C. {}|1a R a ∈≠-D. {}|12a R a a ∈≠-≠且 答案：D解析：考查简单线性规划首先求解三个交点（2,0），（0,2），（－2,－2） 对应目标函数最大值可能是－2a ，2或2a-2 即22222a a -≠-≠且时，有唯一最大值2 11. 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n N *∈时，1n nS S -的最大值和最小值之和为 A. 23-B. 712- C. 14 D.56 答案：C解析：考查等比数列前n 项和公式1(1)11()12n n n a q S q -==---公比为负值，讨论n 的奇偶性当n 为奇数时，11()2n n S =+递减趋近1，最大值取132S =当n 为偶数时，11()2n n S =-递增趋近1，最小值取234S =令1()n nf n S S =-增减性与上述类似，最终趋近0 其最大值为325(1)236f =-=，最小值为347(2)4312f =-=- 因此最值之和为1/412. 四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====,则此四面体外接球的表面积为 A.192πB. C. 17π答案：A解析：由已知得等边△BCD 边长2，高BE= 3 由余弦定理得AC=AD=7，底面△ACD 中CD 边上的高AE= 6 由勾股定理得BE ⊥AE取等边△BCD 的中心F ，则EF=3/3由正弦、余弦定理得△ACD 的外接圆半径22149sin A 24r == 因此外接球半径249819248R +==，表面积21942S R ππ== 13. 已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线C 的离心率为 .答案：5/3解析：考查焦点在y 轴的双曲线由渐近线方程得34a b =，因此2221619b e a =-=14. 若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 .答案：180解析：考查定积分的图像解法，n=10则x 平方项为228210(2)(1)180C x x -=15. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .答案：9/4解析：设A(-2m,m^2)，B(2n,n^2) 则(-4m,2m^2)+(2n,n^2)=(0,3) 即n=2m ，6m^2=3AB 中点纵坐标为5/4，准线方程x=-116. 已知函数()ln xf x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围为 . 答案：m ≥0解析：考查导数与单调性首先求解定义域x>0，其次确定函数单调递增求导得'()0x xm xe mf x e x x+=+=≥，即x m xe ≥-令()x g x xe =-且'()0x g x x e =--<，g(x)<g(0)=017. 如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=（1）若75,10ABC AB ∠== ，且//AC BD ，求CD 的长； （2）若10BC =，求AC AB +的取值范围. 解析：考查平行线与角平分线的综合应用 等腰△ABD 中，AB=BD=10 在△ABC 中，根据正弦定理sin 60sin 45BC AB=︒︒得BC=5 6在△BDC 中，根据余弦定理得2150100250CD =+-︒=-18. 如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=,二面角F AB D--是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； （2）求二面角F CD A --二余弦值.解析：由于BE//AF 且BC//AD ，因此平面BCE//平面ADF 设平面CDF 与平面BCE 相交于直线l ，则直线l 必过点C 由平面相互平行的性质可得DF//直线l 且过点C以点A 为原点建系，则F(0,0,2)，D(1,0,0)，C(2,2,0) 故DF=(-1,0,2)，DC=(1,2,0)平面ACD 的法向量n=(0,0,1)且平面CDF 的法向量m 满足02020m DF x zm DC x y ⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎩ 则m=(2,-1,1) 因此二面角的余弦cos m,n||||m n m n ⋅<>==19. 雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望. 解析：随机选取共有3^4＝81种方法恰有一城未选，11223424()42C C A C +=概率42148127P == 有一个城市需要复检记作事件A ，则4115()1()216P A =-= 随机变量X 的可能取值有0,1,2,3，分布列如下03311(X 0)C ()164096P === 12315145(X 1)C ()16164096P ===223115675(X 2)C ()16164096P === 333153375(X 3)C ()164096P ===由于15~(3,)16X B 服从泊松分布，因此数学期望31516EX ⨯=20. 设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.解析：（1）方法一：三角形中位线法 方法二：平面向量三点共线法A(a,0),F(c,0),B(m,n),C(-m,-n)中点D((a-m)/2,-n/2)向量BF=(c-m,-n)//BD=((a-3m)/2,-3n/2) 因此－3n(c-m)/2＝－n(a-3m)/2 解得a=3c ，e=1/3（2）已知F(1,0)，c=1，A(3,0)椭圆方程22198x y +=，过F 的直线斜率不为0，故设直线方程为x=ny+1 联立方程解得关于y 的一元二次方程22(89)16640n y ny ++-= 设1122(1,),(1,)M ny y N ny y ++ AM 方程为1132y yx ny =-- 则116(9,)2y P ny -，同理可得226(9,)2y Q ny - 利用根与系数关系求证向量PF 与QF 数量积为0因此PF ⊥QF ，即以PQ 为直径的圆过点F21. 设函数()()211ln .2f x x a x a x =---（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 解析：（1）2(1)(1)()'()(1)a x a x a x x a f x x a x x x+--+-=---==（考查因式分解）函数定义域要求x>0，因此a ≤0时，恒有导函数为正，故f(x)在x>0时单调递增当a>0时，令导函数为正得x>a ，令导函数为负得x<a ，故f(x)在(0,a)上单减，在x>a 时单增 （2）由（1）知a>0时f(x)才有可能存在两个零点， 并且要求函数最小值f(a)<0，即2/2(1)ln 0a a a a a ---< 即/2ln 1a a +>，显然a=1不满足条件，故a=2 （3）设f(x)=b 的两个根120x x <<()()22222111111ln 1ln 22x a x a x x a x a x ---=--- 整理得()212121ln ln 12x x x x a ax x +---=- 由（1）知2121212'()(1)22x x x x af a x x ++=---+ 故2121221212121121ln ln 2'()(ln 2)2x x x x x x x a a f a x x x x x x x x x +--=-=--+-+ 令21/1x x t =>则1()ln 21t g t t t -=-+，求导得'()0g t > 因此，g(t)>g(1)=0请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.洛阳2016-2017学年高三年级第一次统一考试数学试卷（文）1. 若复数z 满足(12)1i z i +=-，则|z|＝ A.2/5 B.3/5 C.10/5 D.10 答案：C设z=a+bi ，代入复数方程得到2121a b a b -=⎧⎨+=-⎩解得13,55a b =-=-，|z |==2. 已知实数集合R ，集合2{x |x 3x 40}A =--> [2,2]B =- 则如图所示阴影部分所表示的集合为A.{|24}x x -≤<B.{|24}x x x ≤≥或C.{|21}x x -≤≤-D. {|12}x x -≤≤ 答案：D阴影部分代表集合[1,4][2,2][1,2]R C A B =--=- 3. 若[0,]θπ∈ 则sin(/3)1/2θπ+> 成立的概率为 A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.1答案：B解析：根据正弦函数图像得5336πππθ≤+≤即02πθ≤≤ 概率即为区间长度之比1/24. 已知平面向量a,b 满足||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为120度，且()(2)a b a b λ+⊥- 则实数λ的值为A.－7B.－3C.2D.3答案：D向量垂直等价于数量积为零，()(2)0a b a b λ+-= 其中||||cos1201ab a b =︒=-，解得λ＝35. 直线:1l y kx =+ 与圆22:1O x y += 相交于A,B 两点，则“k=1”是||AB = A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案：A考查圆心到直线距离，如图所示，只充分不必要6. 已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设 1.20.852,2,2log 2a b c =-==，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为A.f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)>f(b)>f(a)D. f(c)>f(a)>f(b) 答案：C显然a<0<c<1<b ，但是c<b<|a|根据偶函数单调区间上的递减特性得到选项C7. 某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S 值是 A.1007 B.1008 C.2016 D.3024 答案：B解析：找到规律，S=[2+1-2+1]+[6+1-6+1]+…四个一组和为2，停止时计算2016次，分为504组8. 某几何体的三视图所图所示，则该几何体的体积是 A.15π/2 B.8π C.17π/2 D.9π 答案：B首先分割为对称的两部分然后再分成高为3的圆柱和高为2的斜半个圆柱 故总体积2(3)8πππ+=9. 已知函数2(1)42,1()1log ,1a x a x f x x x -+-<⎧=⎨+≥⎩ 若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是A.(1,2]B. (,2]-∞C. (0,2]D. [2,)+∞ 答案：A如图所示，由于右侧对数图像单调递增， 因此右侧直线也必须单调递增，即斜率a>1 由分界点（1,1）处(1)1f -≥，可得a ≤2故得选项A10. 已知双曲线22:142x y E -=，直线l 交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为（1/2,－1），则直线l 的方程为A.410x y +-=B. 20x y +=C. 2870x y ++=D. 430x y ++= 答案：C中点斜率公式221,22AB OMOM b k k k a ===- 得AB 直线斜率为－1/4 且直线AB 会过中点M ，故选择C11. 已知函数2()ln f x x ax x =-+ 有两个零点，则实数a 的取值范围是A. (,1)-∞B. (0,1)C. 21(,)e e +-∞ D. 21(0,)e e+ 答案：B定义域优先，x>0转化为对数函数与二次函数2()ln ,h()g x x x ax x ==-的交点问题如图所示，分类讨论a 的取值范围显然|a|越大，抛物线开口越小，因此两零点要求0<a<112. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为16/3，则此三棱锥的外接球表面积为A.16π/3B.40π/3C.64π/3D.80π/3答案：D如图所示，PC=2R底面ACBD 是圆内接四边形由正弦定理得4sin 60DC ==︒PD 垂直于底面，是三棱锥的高211633V Sh h === 由此解得高h=PD=4/ 3在RT △PDC 中应用勾股定理得222(2)80/3R DC PD =+=因此，外接球表面积2480/3S R ππ==13. 已知实数x,y 满足1021050y x y x y -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=x-y 的最小值为___答案：－1先求交点（1,1），（4,1），（2,3）分别代入目标函数得0,3,-1，故最小值为－114. 若sin(/3)1/4πα-= 则cos(/32)πα+=___答案：－7/82211cos(2)cos 22(cos sin )cos 322πααααααα+==-11sin()sin 324πααα-=-=两边平方得22131cos cos sin 822αααα=-- 代入得17cos(2)1388πα+=-=- 15. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，B,C 是椭圆E 上关于原点对称的两点（B,C 不在x 轴上），若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为___答案：1/3设B(m,n)，则C(-m,-n)，连接ABA(a,0)，F(c,0)，AC 与BF 的交点即为中点D因此OD 是△ABC 的中位线，故相似比1:2 即132OF c a c AF a c ==⇒=-，解得13c e a ==16. 在△ABC 中，30,AC B ∠=︒=D 是AB 边上的一点，CD=2，若角ACD 为锐角，△ACD的面积为4，则BC ＝___答案：4典型的解三角形题目如图所示，在△ACD 中，由面积公式得242S α=⨯= 解得sin αα==由余弦定理得2420416AD α=+-⨯= 由正弦定理得,sinsin sin AD CD A A α== 在△ABC 中，由正弦定理得,4sin sin 30BC AC BC A ==︒17. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,0,1n n S a a ≠=，且()1243.n n n aa S n N *+=-∈（1）求2a 的值，并证明：22n n a a +-=；（2）求数列{}n a 的通项公式.解析：令n=1，得121243a a a =- 解得21/2a = 1243n n n a a S +=- 以及 121243n n n a a S +++=-两式作差得1212()4n n n n a a a a +++-=，因此22n n a a +-=当奇数项构成等差数列时，2112(1)21k a k k -=+-=-当偶数项构成等差数列时，21/22(1)23/2k a k k =+-=-综上所述，, n n 3/2,n n n a ⎧=⎨-⎩奇偶 18. 如图，正方形ADEF 与梯形A B C 所在的平面相互垂直，1//,,1,2AB CD AB BC DC BC AB ⊥===点M 在线段EC 上. （1）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若//AE 平面MDB ，求三棱锥E MDB -的体积. 解析：由于M 是动点，因此平面BDM 内找准固定直线BD首先，由面面垂直得BD ⊥AF其次，由勾股定理得BD ＝ 2解直角梯形ABCD 得AD ＝ 2由勾股逆定理得BD ⊥AD综上所述，BD ⊥平面ADEF ，即平面BDM ⊥平面ADEF连接底面对角线AC 交BD 于O ，由线面平行得到AE//OM由底面对角线三等分定理及相似得EM ＝2MC ，因此△EDM面积＝2323⨯= 三棱锥B-EDM的体积为139V Sh == 19. （本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须有专家组选取，求A 城市恰有两个专家组选取的概率；解析：ABC 三个城市都必须有专家选取，因此先分组再排列，即234336C A ⨯=A 城市恰有两个专家组选取，共有224212C A ⨯=种可能因此概率P=1/3（2）在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？22400(96003600)16100100300300K ⨯-==⨯⨯⨯>10.828，故有99.9%把握认定相关 20. 已知抛物线()2:20C x py p =>，过焦点F 的直线交C 于A,B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点.（1）若//AB l ，且ABD ∆的面积为1，求抛物线的方程；（2）设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N,证明：直线AN 与抛物线相切. 解析：通径AB 平行于准线，因此FD=p ，AB=2p三角形面积21S p ==，因此22x y = 焦点(0,)2p F ，设焦点弦AB 直线方程2p y kx =+ 联立抛物线方程22x py =得2220x kpx p --=因此212122,x x kp x x p +==-，1122(,),(,)22p p A x kx B x kx ++ 因此2(,),(,)22p p M kp k p N kp +- 111AN kx p x K x kp p +==-，并且对抛物线求导得'x y p= 因此抛物线在A 点的切线即为AN21. 已知函数()()21ln ,0.2f x x x a x a =-+> （1）若1a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>. 解析：当a=1时，2()ln 2x f x x x =-+，1'()1f x x x =-+ 因此（1,－1/2）处的切线方程为32y x =- 一般地，x>0且2'()1(0)a x x a f x x a x x-+=+-=>对勾函数()a g x x x=+最小值为g =即1/4a ≥时，导函数非负，即f(x)在定义域内单调递增；当104a <<时，导函数有两个零点，12x ±=即f(x)在单调递减，在单调递增，在)+∞单调递增 两极值点12,x x 是方程20x x a -+=的两根，因此12121,x x x x a +==221212121211()()()()(ln ln )ln 22f x f x x x x x a x x a a a +=+-+++=-- 令11()ln (0)24g x x x x x =--<<，'()ln 0g x x =< 因此132ln 2()()44g x g -->=，得证请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.解析：直角方程22(2)4x y +-=，对应极坐标方程为4sin ρθ= 联立射线与圆解得(2,)6P π；联立直线与射线解得Q(5,)6π因此PQ=5－2=323. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围. 解析：找出两个分界点，据此分段2,1()3,11/22,1/2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩144()()5()59b aa b a b a b ++=++≥+=即f(x)最大值为3令x －2＝3得x ＝5由图像解得－1≤x ≤5。
洛阳市高三期中考试数学理
洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则（ ） {}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12{}95＜x x B ≤==⋂B A A ． B. C ． D ．),5[2e ]7,5[}7,6,5{}8,7,6,5{2．复数的共扼复数是（ ） ii++12 A ． B ． C. D ．i 2123+-i 2123--i 2123-i 2123+3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） n m ,βα, A ．若,，则 B ．若，，则 α//m β//m βα//α//m βα//β//m C ．若，，则 D ．若，，则 α⊂m β⊥m βα⊥α⊂m βα⊥β⊥m 4．函数的一个单调递减区间是（ ）)42cos(ln π+=x y A ． B ． C ． D ． 8,85(ππ--8,83(ππ--8,8(ππ--)83,8(ππ-5．为△ABC 内一点，且，，若三点共线，则O 02=++OC OB OA AC t AD =D O B ,,t 的值为（ ） A ．B ．C ． D. 413121326．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（） A ．B ．C ． D. 1213142217.由及轴所围成的平面图形的面积是（ ） 2,1,===x xy x y x A ． B ． C ． D.12ln +2ln 2-212ln -212ln +8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝，则＝51BAC ∠sin （ ）A ．B ．C ． D.或22231313322 131339．已知函数是上的奇函数，且满足，当时，)(x f R )()2(x f x f -=+]1,0[∈x x x f =)(，则方程在182)(+-=x x x f 解的个数是（ ）),0(+∞ A ．3 B ．4 C ．5 D.6 10．已知数列为等比数列的前项和，，则（ ） n S {}n a n 14,2248==S S =2016S A ． B ． C ． D.22252-22253-221008-222016-11．已知三棱锥中，，面，∠BAC ＝，则三ABC P -1===AC PB PA ⊥PA ABC 32π棱锥的外接球的表ABC P -面积为（ ）A ．B ．C ． D. π3π4π5π812．定义在上的函数满足：，且，则的最R )(x f xe x xf x f ∙=-')()(21)0(=f )()(x f x f '大值为（ ）A ．0B ．C ．1 D.2 21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。
河南省洛阳市20162017学年高二上学期期中考试数学试题 (2)
洛阳市 2016—— 2017 学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题， 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的）1. 数列 1, 3,5, 7,9, 11,L 的一个通项公式为A ． a1 nC ． a n1n 1 n2n 1 ． a n 1n 11B2n 2 1D． a n 1 n1n2n2. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2, A 45o , C 75o ，则 b 等于6 2B． 3C．6D．6A ． 223. 已知公比为正数的等比数列a n 中， a 2a 6 8a 4 ,a 22 ，则 a 1A ． 8B ． 4C． 1D ．124. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 abcos A ，则 ABC 为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形 D．不确立5. 数列中， a 12, a n 1a n 1 n N, 则 a 2014a n 1A ．2B ．1C ．1D ． 3326. 设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 S k 2, S 2 k 18 ，则 S 4kA ． 24 B． 28C． 32D． 547.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，知足以下条件的有两个的是A ． a 1,b 2, A 30o B． b2, c 2, B 45oC ． a 1,b2, c 3D． a 3, b 2, A 60o8. 给出以下结论：①在ABC 中， sin A sin B a b;②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列 a 的通项公式为a n n2 kn 1，若an 为递加数列，则 k ,2 ；n④ ABC 的内角A,B,C 知足 sin A :sin B :sin C 3:5:7 ,则ABC 为锐角三角形.此中正确结论的个数为A．0 B．1C．2D．39. 定义n为 n 个正数 p1 , p2 ,L , p n的“均倒数”.若已知数列a n的前n项的“均p2 Lp1 p n倒数”为1，则 1 1 L 1 n a1a2 a2 a3a10a11A．9B ．9C ．20D．10 10 20 21 2110. 若对于x的不等式ax2 bx c 0 的解集为, 1 U 1,，则不等式cx2 bx a 0 2的解集为A．C．1,22,1B ．, 1U2,D ．, 2 U1,2x y 2 0,11. 设实数 x, y 知足拘束条件8x y 4 0, ，若目标函数z abx y a 0,b 0 的最大值为x 0, y 0,8，则a b的最小值为A．2B．4C ． 6 D ． 812. 已知函数 f x x 1 ，数列a n 的前 n 项和为 S n，且 a n f n ，则 S20172x 1 2017 A．1008 B ． 1010 C． 2019 D ．20192第Ⅱ卷（非选择题，满分90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 理
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题理数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足iz＝1＋2i，则｜z｜等于A．55B．5 C．1 D．32．已知集合A＝{x｜log3（x－2）≤2}，B＝{x｜2x－m＞0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是A．（－∞，4] B．（－∞，4）C．（－∞，22） D．（－∞，22]3．已知实数x，y满足1341y xx yy⎧⎪⎨⎪⎩－≤，＋≤，≥．则x＋3y的最大值为A．0 B．3 C．4 D．74．执行右面的程序框图，若输出的S＝14，则输入的n值为A．1 B．2 C．3 D．45．已知35a＝，02log01b．＝．，3log2c＝，则a，b，c的大小关系是A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为A．33 B．62 C．3D．27．已知偶函数f（x）的图象关于（1，0）对称，且当x∈（0，1）时，f（x）＝x2，则x ∈（9，10）时，f（x）＝A．x2 B．－x2 C．（x－8）2 D．－（10－x）28．已知p：函数y＝ln（x2－ax＋1）的定义域为R，q：e x＞ax对任意实数x恒成立，若p∧q真，则实数a的取值范围是A．[0，2） B．[2，e） C．（－2，e） D．[0，e）9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y ±＝ B．y ±＝或y x ±＝ C．y x ±＝ D．y x ＝或y x ±＝ 10．已知函数()(]201lg (1)x x x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋，∈，，＝，∈＋∞，若f （x ）＝a 有三个不等实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，111．已知数列{n a }满足11a ＝，22a ＝，2221cos sin 22n nn n a a ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝＋＋，n N *∈则2019a ·22020log a 的值为A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为ABC ．209πD ．203π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝2，｜b ｜＝1，｜a －2b ｜＝2，则｜a ｜＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx ，在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________． 16．已知点P 是曲线214x y ＝上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线 y ＝e x上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7． （1）求边BC 的长；（2）求△ABD 内切圆半径． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V －－＝，求二面角Q －MC －A 的大小． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞06P （2，2）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx －2x ． （1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x t y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ－－＝． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M （1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x －3｜－2｜x ｜． （1）求不等式f （x ）≥2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3．。
2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣211．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：设t=cos（2x+），则lnt在定义域上为增函数，要求函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos（2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos（2x+）＞0，即2kπ≤2x+＜2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，），故选：C．5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得=k+（1﹣k）=k+（1﹣k）t=，∴k=，（1﹣k）t=，解得t=．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣=．故选：B．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数关于直线x=1对称，在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，故选：B．10．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为﹣．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin120°=，故答案为：．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有①③．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣e x，x＞0，y′=1﹣e x＜0，函数单调递减，∵e a﹣e b=1，∴a＞b，∴a﹣e a＜b﹣e b，∴a﹣b＜e a﹣e b=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．【解答】解：（1）∵a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得a n=．（2）由（1）可得：S n=1++…+．∴b n=S2n﹣S n=+…+．﹣b n=+…+++﹣（+…+）∴b n+1=+﹣=﹣＞0，∴数列{b n}单调递增，∴b n的最小值为b1=．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，π]，所以2x﹣∈[﹣，]，列表：画图：19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B）， (2)分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα•sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；（2）x＞0时，k≥，令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤，φ′（x）=＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则⇒取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E为90°．…12分22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，x=是极小值点，g（）=﹣，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣＜k＜0，（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．。
河南省洛阳市高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省洛阳市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·南山期末) 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁UA）∩B等于（）A . {0，4}B . {0，3，4}C . {0，2，3，4}D . {2}2. （2分）已知是定义域为实数集的偶函数，若≠，则．如果，，那么的取值范围为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·万州期中) 已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则y=f（x2）的定义域是（）A . [0，4]B . [0，16]C . [﹣2，2]D . [1，4]4. （2分）(2016·北区模拟) 设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知命题p，q都是假命题，则下列命题为真命题的是（）A . p∨qB . p∧qC . （￢p）∧qD . p∨（￢q）6. （2分） (2018高二下·大连期末) 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·上海) 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A .B .C .D . 08. （2分）为得到函数图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位9. （2分）(2019·东北三省模拟) 已知函数，令函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）设函数f (x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f (x)的三个零点为x1 ， x2 ， x3 ，且x1＜x2＜x3 ，则（）A . x1＞－1B . x2＜0C . x2＞0D . x3＞2二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）命题p为真命题，命题q为假命题，则命题p∨q是________命题．（选填“真”或“假”）12. （1分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x﹣1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是________13. （1分）(2017·济南模拟) 以曲线与y=x为边的封闭图形的面积为________．14. （1分） (2019高二上·拉萨期中) 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为________．15. （1分） (2017高三·银川月考) 已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共45分)16. （10分） (2016高一上·陆川期中) 已知集合A={x| ≥1}，集合B={x| ＜2x＜2}．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|2a≤x≤a+1}，且（A∩B）⊇C，求实数a的取值范围．17. （5分） (2018高一上·陆川期末) 已知函数 .（I）求函数的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数的单调区间.18. （10分） (2019高二上·石河子月考) 已知分别为△ 三个内角的对边，且满足．（1）求角的大小；（2）当时，求△ 面积的最大值．19. （5分） (2016高一上·东海期中) 某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数是：P=该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是：Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N*），求这种商品的日销售金额的最大值．20. （5分） (2018高三上·邹城期中) 设函数 ( 为常数，是自然对数的底数),若曲线在点处切线的斜率为 .（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）令，试讨论函数的单调性.21. （10分） (2015高二下·上饶期中) 综合题。
河南省洛阳市2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题
洛阳市2016——2017学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数()12f x x =+的定义域为 A ．{}|32x x x ≥-≠-且B ．{}|32x x x ≥-≠且 C ．{}|3x x ≥-D ．{}|23x x x ≥-≠且2.已知集合{}{}{}21,2,31,1,3,3M m m N M N =--=-=，则m 的值为A ．4,1-B ．1-C ．1,4-D ．43.已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，则实数k 的取值范围是 A ．(],40-∞ B ．[)160,+∞ C ．()(),40160,-∞+∞D ．(][),40160,-∞+∞4.已知函数()22,1,,112,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()1f x =，则x 的值为A ．1,1-B ．1-C ．1D ．125.函数()2121x x f x +=-的图象一定 A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y x =轴对称6.设0.90.60.3414,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7.在同一平面直角坐标系中，函数()(),log a a f x x g x x ==的图象可能是8.要得到函数82x y -=⋅的图象只需要将函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象 A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位9.函数y x =的值域为A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10.若函数1112ln ,,122x y x x +⎡⎤=+∈-⎢⎥-⎣⎦的最大值与最小值分别为,M m ，则M m += A ．2 B ．4- C ．0 D ． 411.已知定义在R 上的函数()f x 满足()10f =，当1x ≠时，()ln 1f x x =-，设函数()()g x f x m =-（m 为常数）的零点个数为n ，则n 的所有可能值构成的集合为A ． {}0,4B ．{}3,4C ．{}0,3,4D ．{}0,1,3,412. 已知函数()()()xF x g x h x e =+=，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()2g x ah x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是A．(-∞ B．(,-∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2016届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣22．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．24．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．37．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成公差为1的等差数列，C=2A ． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求方向上的投影．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，∴a6﹣a2=4d=﹣2，解得d=﹣，∴数列{a n}的公差为﹣．故选：C．2．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁R M=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴∁R M∩N=[0，2]，故选：D．3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意易得2sinαcosα=﹣，由a∈（﹣，0），可得sinα+cosα=，代入即可求值得解．【解答】解：∵sin2α=﹣，∴2sinαcosα=﹣，∵a∈（﹣，0），∴cosα+sinα＞0，∴sinα+cosα===．故选：B．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．6．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．7．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．﹣S n﹣1【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，∴a n=，∴=．则n≥2时，a12+a22+…+=4+4×=．故选：B．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是（，π）．【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件得f′（x）=x2+||x+•=0成立，△=||2﹣4•＞0，由此能求出与的夹角的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数f（x）=x3+||x2+•x在R上有极值，∴f′（x）=x2+||x+•=0成立，方程有根，△=||2﹣4•＞0，∴||2﹣4||•||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案为：（，π）．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①函数f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值为，不正确；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”，正确；③∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∵y=sinx在（0，）上是增函数，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB 同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正确；④a≤0，函数f（x）=|x2﹣ax|的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得≤0，∴a≤0，∴“a ≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确．故答案为：②③④．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）﹣1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f （e）+f（﹣e）=2，f′（e）﹣f′（﹣e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【解答】解：f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+ln（+x），则g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=，g（x）+g（﹣x）=0，故g（x）为奇函数，g′（x）=f′（x）==，由g′（x）﹣g′（﹣x）=﹣，可知g′（x）=f′（x）为偶函数，g（e）+g（﹣e）=f（e）﹣1+f（﹣e）﹣1=0，∴f （e ）+f （﹣e ）=2． 又f′（e ）=f′（﹣e ）， ∴f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，∴f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．可得b n +1﹣b n =，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．利用“累加求和”可得：a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=，可得=3．利用“裂项求和”可得：+++…+=3=＞，解出即可．【解答】（1）证明：∵3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．∵b n =a n ﹣a n ﹣1，∴b n +1﹣b n =，由a 2﹣a 1=a 1﹣a 0+，∴=b 1+，解得b 1=．∴{b n }是等差数列，首项为，公差为．∴b n ==．（2）解：由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=+×2++…+=，∴=3．∴+++…+=3+…+=3=＞成立，则n＞5．因此为使+++…+＞成立的最小的正整数n=6．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）根据用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f（x）的解析式．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（x+），再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x﹣=0，求得x=故①为．令x﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x﹣=2π，求得x=，故③为．函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣），（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin[（x+π）﹣]=2sin（x+）的图象．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，故g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．19．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=﹣3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．【解答】解（1），，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当x∈时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b．即可得出．（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1．由于与的夹角为（π﹣C），可得方向上的投影=cos（π﹣C）．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．∴可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：=，化为．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b=5．∴a，b，c的值分别为4，5，6．（2）由（1）可知：cosA=，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．∵与的夹角为（π﹣C），∴方向上的投影=cos（π﹣C）=5×（﹣cosC=）=﹣．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；（2）求证：∀n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=a﹣lna﹣1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）≤0；（2）根据题意得到e x＞x+1，从而可得（x+1）n+1＜（e x）n+1=e（n+1）x，给x赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a＞0，及f′（x）=e x﹣a可得：函数f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，则g′（a）=﹣lna，故a∈（0，1）时，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g（1）=0，故g（a）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f（x）=e x﹣x﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x＞0时，总有e x＞x+1，于是可得（x+1）n+1＜（e x）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=﹣，可得（）n+1＜e﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e1﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e2﹣n，…，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e﹣1，对以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜e﹣n+e1﹣n+e2﹣n+…+e﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2017年1月15日。
河南省洛阳市2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案
【考试时间:2016年10月13日15：00~17：00】洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时,须将答案答答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}Z x x x A ∈=，＜＜3log12,{}95＜x x B ≤=，则=⋂B A （）A ．),5[2e B.]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{ 2．复数ii ++12的共扼复数是（ ）A ．i 2123+-B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+3．设n m ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是（ ）A ．若α//m ,β//m ,则βα//B ．若α//m ，βα//，则β//mC ．若α⊂m ,β⊥m ，则βα⊥D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m4．函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是（ ）A ．)8,85(ππ-- B ．)8,83(ππ-- C ．)8,8(ππ-- D ．)83,8(ππ-5．O为△ABC 内一点,且02=++OC OB OA ，AC t AD =，若D O B ,,三点共线，则t 的值为（）A ．41B ．31 C ．21D.326．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图,则该几何体的体积是（ ）A ．121 B ．31 C ．42D.217。
由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ）A ．12ln +B ．2ln 2-C ．212ln - D 。
河南省洛阳市高三数学期中试题 理(含解析)
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（）①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；②命题“，”的否定是“”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. B. C. D.【答案】B【解析】对于①，若“” 为真命题，则都为真命题，“” 为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故①错误；对于②，命题“，”的否定是“”，故②错误；对于③，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以③正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，，又时，函数为增函数，且可取得任意实数，故选B。
考点：函数的奇偶性，对数函数的图象。
点评：简单题，研究函数的图象问题，一般要考虑函数的定义域、值域、函数的奇偶性及单调性等。
5. 某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，，函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在等比数列中，由，得，函数是个因式的乘积，展开后含的项仅有，其余的项的指数均大于等于，中的常数项仅有，，故选D.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，故选B.8. 向量均为非零向量，，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，因为所以，..................... 即，所以向量和的夹角为,又，所以，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.9. 已知数列的首项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出的图象，如图，设，原方程化为，①由图知，要使方程个不等的实数根方程，只需在有上有两个不等的根，则，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.12. 用表示不超过的最大整数（如）.数列满足，（），若，则的所有可能值得个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，，其中，整数部分为，，整数部分为，，整数部分为，由于，时，的整数部分都是，的所有可能值得个数为，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量满足约束条件：，则的最大值是__________．【答案】【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.14. 若定义在上的函数，则__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得，是以原点为圆心，以为半径的圆的面积的一半，，，故答案为.15. 设均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】均为正数，且，，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________．【答案】或【解析】由，得，即，令，则当时，，即在上是减函数，，，即不等式等价为，在是减函数，偶函数是定义在上的可导函数，，在递增，由得，，或，故答案为或.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量.（I）若，求的值;（II）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】（I）；（II），.【解析】试题分析：（I）由可得，从而可得，根据二倍角的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得，根据平移变换可得，利用正弦函数的单调性，解不等式即可得结果.试题解析：（I），即，，（II）由（I）得，从而，解得，的单调增区间时.由得即函数图象的对称中心为.18. 已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证：.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（I）可化为即，，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.（II），，，.19. 在中，分别是角的对边，且.（I）求的大小;（II）若为的中点，且，求面积最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得，进而可得结果；（II）由余弦定理可得，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可得结果.试题解析：（I）由，得，，，，又 .（II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，二式相加得，整理得，，所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.20. 已知函数，其导函数的两个零点为和.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）求函数在区间上的最值.【答案】（I）；（II）增区间是，，减区间是；（III）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（I）求出，由解得，根据导数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（II）求出，得增区间，得减区间；（III）根据（II）求出函数的极值，与区间端点出的函数值进行比较即可得结果.试题解析：（I）.由知，解得从而所以，曲线在点处的切线方程为即. （II）由于，当变化时，的变化情况如下表：故的单调增区间是，，单调减区间是.（III）由于故函数在区间上的最大值为，最小值为.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，.（I）求证：平面平面；（II）设为上的一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又从而，底面，，平面所以平面平面.（II）由（I）可知为与底面所成角.所以，所以又及，可得,以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量.则由得取同理平面的法向量为所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 已知函数.（I）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（II）若，且有两个极值点，求取值范围. 【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）在其定义域内单调递增等价于，即在上恒成立,利用基本不等式求出的最小值，从而可得结果；（II）根据韦达定理可得，，利用导数研究函数的单调性，即可求得取值范围.试题解析：（I）的定义域为，在定义域内单调递增，，即在上恒成立, 由，所以，实数的取值范围是. （II）由（I）知，当时有两个极值点，此时.因为，解得，由于于是令，则所以在上单调递减，即故的取值范围为.。
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 理(含解析)
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以因为，所以，，选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（）①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；②命题“，”的否命题是“，”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，若“” 为真命题，则都为真命题，“” 为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故①错误；对于②，命题“，”的否定是“”，故②错误；对于③，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以③正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，当时，，图象就是把的图象向右平移1个单位，可见选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，，，函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数，，则．故选C．考点：导数的运算.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，故选B.8. 向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.9. 已知数列的首项，，则（）A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如图：注意，设,当时，有4个实根，若方程在上有两个不等实根时，方程有8个不等实根，则：.....................解得：，选C.【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图象，设t=f(x),化方程的根的个数问题为直线y=t与曲线y=f(x)的交点的个数问题去解决，然后观察t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制t的个数t的范围，从而得出参数的范围.12. 用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，（），若，则的所有可能值的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，，其中，整数部分为，，整数部分为，，整数部分为，由于，时，的整数部分都是，的所有可能值得个数为，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件：则的最大值是__________．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.14. 若定义在上的函数，则__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得，是以原点为圆心，以为半径的圆的面积的一半，，，故答案为.15. 设、均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】均为正数，且，，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】，，当时，，，说明在上为增函数，为偶函数，则为偶函数，图象关于轴对称，所以在上是减函数，原不等式可化为，则或，即或，不等式的解集为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，（1）若，求的值；（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间即图象的对称中心.【答案】(1) (2) 的单调增区间是（），函数图象的对称中心为（）【解析】试题分析：先根据数量积的坐标运算公式求出数量积，由于向量垂直，所以数量级为0，得出tanx,再利用二倍角正切公式求出tan2x的值，第二步求出函数f(x)的表达式化为标准形式后，函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），相当于x 替换为2x, 再把所得图象沿轴向左平移个单位，相当于把x替换为，得到函数的解析式，根据解析式求出单增区间和对称中心.试题解析：（1）∵，即∴，∴.（2）由（1）得，从而.解得（），∴的单调增区间是（），由得（），即函数图象的对称中心为（）.【点睛】函数图像变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换以及旋转变换，主要掌握前3种，把函数图象沿x轴向左或向右平移，我们常称之为“左加右减”，沿y轴上下平移，我们常称为“上加下减”；纵坐标不变横坐标伸长或缩短到原来的倍，对应的解析式就是把替换为，掌握基本图象变换方法，就可以方便的解题了.18. 已知数列满足，，设.（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析：（I）可化为即，，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.（II），，，.19. 在中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求的大小；（2）若为的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得，进而可得结果；（II）由余弦定理可得，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可得结果.试题解析：（I）由，得，，，，又 .（II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，二式相加得，整理得，，所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1）∵，∴，由知，解得从而，∴.所以，∴，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，，的变化情况如下表：故的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又从而，底面，，平面所以平面平面.（II）由（I）可知为与底面所成角.所以，所以又及，可得,以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量.则由得取同理平面的法向量为所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围. 【答案】（1）实数的取值范围是（2）的取值范围为【解析】试题分析：函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m 的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.试题解析：（1）的定义域为，在定义域内单调递增，，即在上恒成立，由于，所以，实数的取值范围是.（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，，∴，因为，解得，由于，于是.令，则，∴在上单调递减，.即.故的取值范围为.。
洛阳市第一高级中学数学高三上期中复习题(专题培优)
一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20473．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．35．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720206．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252437．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km8．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-9．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++10．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或711．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形12．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832313．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒15．已知正项数列{}n a *(1)()2n n n a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC 的面积为______．18．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________20．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.21．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________22．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 23．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 24．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．25．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题26．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．28．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.29．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.30．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．D4．A5．B6．A7．D8．C9．A10．B11．A12．B13．A14．C15．B二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦18．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题19．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n＞1n∈N*满足Sn+20．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【21．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式22．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题23．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形24．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求出BC△ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC＝1525．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩.所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．6．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=,所以30EDB EBD ∠=∠=, 所以90ADB ∠=,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+120=,30EBD ∠=,所以CBD ∠90=, 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯ 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 10．B 解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.11．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．13．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.14．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b > 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.15．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理 解析：6 【解析】 试题分析：274sin cos 222A B C +-=，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =．2222cos c a b ab C =+-，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinBcosB， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，∴cosB （sinA cosA +sinBcosB）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinBcosAcosB+=﹣2sinC ，∴cosB•()sin A B cosAcosB+=sinCcosA=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23π；∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=1922⨯⨯4，． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．18．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.19．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+解析：91 【解析】 【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2．则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【解析：3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.考点：一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.21．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.22．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题【解析】 【分析】利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1sin sin c b B A=，从而得到所求之值. 【详解】∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.在ABC ∆中，由余弦定理2221cos 22c b a A bc +-== ，因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得2sin sin sin sin sin sin c C Cb B B B B==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，故2sin sin 1sin sin sin sin 3C C B A C A ===. 故答案为. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.23．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1【解析】 【分析】 【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形24．【解析】【分析】△ACD 中求出AC△ABD 中求出BC△ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC＝15解析：【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin15040sin15AC ===，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，CD BCsin CBDsin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π 【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3.三、解答题 26．（1）12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出112b =，318b =，5132b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当112b =，318b =，5132b =时成立. 此时公比23114b q b ==，12q = 所以12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为()1312nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以123...n n T c c c c =++++()1231111258...312222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()2311111125...343122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()123111111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5135222nn +⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.27．（1）12n n a ；（2）21122n n n -++-【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可． 【详解】（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①， 当1n =时，1121a S =+，∴11a =， 当2n ≥时，203m/s B B BF m ga m μ-==②①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n a --=⨯=．（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=+=+， 所以()12121111n n n T b b b n n a a a =+++=+++++ ()()1111211211212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 28．(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或【解析】试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而裂项求和，得到221n a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：（1）31239T a a a =++=，13a d ∴+= 又125,,a a a 成等比数列2215a a a ∴= 11a ∴=`,221n d a n =∴=-（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21n n =+ 对任意的*n N ∈,24n S a a ≤-恒成立只需n S 的最大值小于或等于24a a -，而12n S < 22a a ∴-≥1a ∴≤-或2a ≥29．（1）12n n a +=（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，因此可得12n n a +=．（2）由（1）得12n n b +=，所以()34n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和可得123111141111141122113231233239n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以可得229k ≥，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵15a a ，的等比中项为16．∴316a =，又328a a -=， 28a ∴=，∴322a q a ==， ∴21822n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得141log 22n n n b ++==， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =． ∴()113224n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==， ∴()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭ 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239⎛⎫<⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229k ≥，∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3．点睛：用裂项法求和的原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．30．(1) 23n a n =- (2) 22n T n =【解析】【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =， 所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.。
洛阳市高三数学上学期期中试卷
洛阳市高三数学上学期期中试卷大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的洛阳市高三数学上学期期中试卷，希望对大家有协助。
一、选择题(每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只要一个是契合题意的)1.设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，假定AB，那么实数m=()A. 0B.1C.2D.32.设双数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，假定z1z2为实数，那么实数b=()A.﹣2B.﹣1C.1D.23.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假定S8=32，那么a2+a7=()A. 1B.4C.8D.94.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD= ，AA1=h，那么异面直线BD与B1C1所成的角为()A. 30B.60C. 90D.不能确定，与h有关5.某顺序的框图如下图，运转该顺序时，假定输入的x=0.1，那么运转后输入的y值是()A.﹣1B.0.5C.2D.106.抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A. B. C.1D.7.f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0，2)时，f(x)=2x2，那么f(2021)=()A. 2B.﹣2C.8D.﹣88.向量 =(cos，sin)，( ，)， =(0，﹣1)，那么与的夹角等于()A.﹣B. +C. ﹣D.要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的洛阳市高三数学上学期期中试卷，希望大家喜欢。
洛阳市16-17学年高一上学期期中考试 数学(word版w)
洛阳市2016——2017学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2的定义域为 A ．{x ｜x ≥－3，且x ≠－2} B ．{x ｜x ≥－3，且x ≠2}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥－2，且x ≠－3}2．已知集合M ＝{1，2，m 2－3m －1}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则m 的值为A ．4，－1B ．－1C ．1，－4D ．43．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，10]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40)∪(160，＋∞)D ．(－∞，40]∪[160，＋∞)4．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤－1x 2 －1＜x ＜12x x ≥1，若f (x )＝1，则x 的值为 A ．1，－1 B ．－1 C ．1 D ．125．函数f (x )＝2x ＋12x －1的图象一定 A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y ＝x 轴对称6．设a ＝40.6，b ＝80.34，c ＝(12)－0.9，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a7．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝x a ，g (x )＝log a x 的图象可能是8．要得到函数y ＝8·2－x 的图象只需要将函数y ＝(12)x 的图象 A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位9．函数y ＝x －3x －2的值域为A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[－112，＋∞)D ．(－112，＋∞) 10．若函数y ＝2＋ln 1＋x 1－x，x ∈[－12，12]的最大值与最小值分别为M , m ，则M ＋m ＝ A ．2 B ．－4 C ．0 D ．411．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝0，当x ≠1时，f (x )＝|ln|x －1||，设函数g (x )＝f (x )－m （m 为常数）的零点个数为n ，则n 的所有可能值构成的集合为A ．{0，4}B ．{3，4}C ．{0，3，4}D ．{0，1，3，4}12． 已知函数F (x )＝g (x )＋h (x ) ＝e x ，且g (x ), h (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，若对任意的x ＞0，不等式g (2x )≥ah (x )恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，22]B ．(－∞，22)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市2016--2017学年第一学期期中考试高一数学试卷
【 - 初中作文】是一些纸张或电子版的答题卷或问题卷，在纸张或电子版上印有考试组织者为检测接受考试者学习情况而设定的并规定在一定时间内必须完成的试题。
也可以是资格考试中用以检验考生有关知识能力而进行人才筛选的工具。
zw234作文网小编精心为大家整理了河南省洛阳市2016--2017学年第一学期期中考试高一数学试卷，希望对你有帮助。
河南省洛阳市2016--2017学年第一学期期中考试高一数学试卷2016-2017学年第一学期高一数学上册期中试题(含答案)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A CU B等于 ( )A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}2.已知且，则A的值是 ( )A.7B.C.D. 983.若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围是 ( )A.0<a<1 a="" d.="" c.="" b.="">14.函数 ( >0且≠1)的图象必经过点( )A.(0,1)B. (1,1)C. (2,3)D.(2,4)5.三个数之间的大小关系是( )A. .B.C.D.6.函数y=在[1,3]上的最大值与最小值的和为1，则a=( )A . B. 2 C. 3 D.7.下列函数中，在区间(0，2)上不是增函数的是( )A. B. C. D.8.函数与 ( )在同一坐标系中的图像只可能是( )9. 下列各式:①=a;②(a2-3a+3)0=1③=.其中正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 310.计算()A. B.C. 5D. 1511. f(x)=则f=()A. -2B. -3C. 9D.12. 已知幂函数的图象经过点(9,3),则 ( )A. 1B.C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(每小题5分，共20分)13. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1+ ,则f(-2)=.14.若函数在区间内单调递减,则a的取值范围是______________.15.函数的定义域是 .16.求值：=________ _.三、解答题：(本题共包含5个大题，共70分)17. 求值:(10分)(1) ;(2)求log2.56.25+lg +ln + 的值.18. 已知M={x| -2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a-1},若M N，求实数a的取值范围.(12分)19. 已知函数f(x)=loga(3+2 x),g(x)=loga(3-2x)(a>0,且a≠1).(12分)(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域.(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.20. 已知函数且 .(12分)(1)判断的奇偶性,并证明;(2)求使的的取值范围.21.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(12分)(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)若f(x)=lg g( x)，判断函数g(x)在(0,1)内的单调性并用定义证明 .22.设函数 .(12分)(1)设 ,用表示 ,并指出的取值范围;(2)求的最值,并指出取得最值时对应的x的值.2016-2017学年第一学期期中考试高一数学试卷答案一、选择题(60)1-12. DBDDC CCABA CB二、填空(20)13. -14.15.16. 49. B【解析】令a=-1，n=2时，=1，①错;因为a2-3a+3>0,所以②正确;=，③显然错误.所以选项B错误.10. A【解析】 ? log23? ,故选A.11. C【解析】因为f=log3=-2,所以f=f(-2)==9,故选C.12. B【解析】设f(x)=由幂函数的图象经过点(9,3)，则f(9)=，所以f(x)=，故选B.三、(70分)17.(10分)(1) 原式 .(2) 解：原式=2-2+ ln +=+6=18.(12分)解：①当N=φ时，即a+1>2a-1，有a<2;②当N≠φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3.19. (12分)(1) y=f(x)-g(x)=loga(3+2x)-loga(3-2x),要使该函数有意义,则有 ,解得<x< p="" .<="">所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是 .(2) 由第1问知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)=-[loga(3+2x)-loga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.20. (12分)(1) 由 ,得 .故的定义域为 .∵ ,∴是奇函数.(2) 当时,由 ,得 ,所以 ,当时,由 ,得 ,所以 .故当时, 的取值范围是 ;当时, 的取值范围是 .21. (12分)22. (1 2分)(1) 设 ,因为 ,所以 .此时, ，即 ,其中 .(2) 由第1问可得, .因为 ,函数在单调递增,在单调递减,所以当 ,即 ,即时, 取得最大值 ;当 ,即 ,即时, 取得最小值 .。
河南省洛阳市高三上学期期中数学试卷
河南省洛阳市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（∁UB）等于（）A . {1}B . {0，1}C . {1，3}D . {0，1，2，3}2. （2分）设（是虚数单位），则（）A .B .C .D .3. （2分）已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一下·潮州期末) 已知tanα=3，则sinαcosα=（）A .B .C .D .5. （2分）若且,则下列不等式恒成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）已知向量=（1，﹣2），=（2m，1），若⊥，则m的值为（）A . -1B . 1C . -D .8. （2分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A . （5，6）B . （3，4）C . （2，3）D . （1，2）二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2015高三上·和平期末) 在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为________10. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知等比数列中，，，则________；11. （1分）已知函数y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在幂函数f（x）的图象上，则f（2）=________12. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知圆C：x2+（y﹣2）2=1，P是x轴正半轴上的一个动点，若PA，PB分别切圆C于A，B两点，若|AB|= ，则直线CP的方程为________13. （1分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是________．14. （1分） (2019高一上·集宁月考) 若 ,则的值域是________.(请用区间表示)15. （1分）若函数f（x）=2|x﹣1|且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于________三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高二下·芒市期中) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2 ，B= ．（1）若a=2，求角C；（2）若D为AC的中点，BD= ，求△ABC的面积．17. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知（1）求的值；（2）求的值.18. （5分）(2017·泰安模拟) 若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn ，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 对一切n∈N* ，求实数λ的取值范围．19. （5分） (2017高二上·红桥期末) 已知椭圆C： +y2=1．（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；（Ⅱ）经过椭圆C的左焦点F1作直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|= ，求直线l的方程．20. （15分） (2015高二上·船营期末) 设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；求实数m的取值范围．（2）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、。
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2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣211．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则++ +…+=．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：设t=cos（2x+），则lnt在定义域上为增函数，要求函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos（2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos（2x+）＞0，即2kπ≤2x+＜2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，），故选：C．5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得=k+（1﹣k）=k+（1﹣k）t=，∴k=，（1﹣k）t=，解得t=．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣=．故选：B．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数关于直线x=1对称，在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，故选：B．10．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为﹣．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin120°=，故答案为：．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有①③．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣e x，x＞0，y′=1﹣e x＜0，函数单调递减，∵e a﹣e b=1，∴a＞b，∴a﹣e a＜b﹣e b，∴a﹣b＜e a﹣e b=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．【解答】解：（1）∵a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得a n=．（2）由（1）可得：S n=1++…+．∴b n=S2n﹣S n=+…+．﹣b n=+…+++﹣（+…+）∴b n+1=+﹣=﹣＞0，∴数列{b n}单调递增，∴b n的最小值为b1=．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，π]，所以2x﹣∈[﹣，]，列表：画图：19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B）， (2)分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα•sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；（2）x＞0时，k≥，令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤，φ′（x）=＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则⇒取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E为90°．…12分22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，x=是极小值点，g（）=﹣，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣＜k＜0，（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．。