3-2函数的极值与最值
高二数学选修1、3-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数
3.3.2函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 [答案] C[解析] 如：y ＝|x |，在x ＝0时取得极小值，但f ′(0)不存在． 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D[解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0，当－23<x <0时y ′>0，∴当x ＝－23时取极小值，当x ＝0时取极大值．4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④[答案] B6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( ) A ．y 有极小值0，且0也是最小值 B ．y 有最小值0，但0不是极小值 C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值 [答案] A7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239B.229C.329D.38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎫33＝239. 8．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意，得f (1)＝0，∴p ＋q ＝1① f ′(1)＝3－2p －q ＝0，∴2p ＋q ＝3③ 由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，f ⎝⎛⎭⎫13＝427，f (1)＝0. 9．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( ) A ．y 有极小值，但无极大值 B ．y 有极小值0，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值[答案] C[解析] 作出函数y ＝|x 2－3x ＋2|的图象，由图象知选C.10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) [答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意，知1、－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b3a，b ＝0.二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案] －1，－3[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－3，当x ＝1时，取极大值－1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋42 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________． [答案] －6[解析] y ′＝1－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±33，f (0)＝0，f (2)＝－6，f ⎝⎛⎭⎫－33＝－239，f ⎝⎛⎭⎫33＝33－⎝⎛⎭⎫333＝33－39＝239，∴最小值为－6.14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． [答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6. 当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．求下列函数的最值 (1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤π2. [解析] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，∴x ＝1和x ＝－1是函数f (x )在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又f (x )在区间端点的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18. 比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴2x ∈[－π，π]，∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的两个极值分别为 f ⎝⎛⎭⎫π6＝32－π6，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为 f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数． [解析] f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]． 令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0 ○ ．(1)当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设○ 有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2).即f (x )有两个极值点．(2)当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设有两个相等实根x 1，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．(3)当Δ<0，即0<a <4时，x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1>0，所以f ′(x )>0.故f (x )也无极值． 综上所述，当a <0或a >4时，f (x )有两个极值， 当0≤a ≤4时f (x )无极值．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x) (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[分析] 所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.。
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
函数极值与最值的区别
函数极值与最值的区别摘要：1.极值与最值的概念区分2.极值的局部性质3.最值的全局性质4.极值与最值的联系5.实际应用举例正文：在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。
许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。
本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。
首先，我们来区分一下极值和最值。
极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。
最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。
简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。
接下来，我们来了解极值的局部性质。
在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。
在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。
也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。
需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。
然后，我们来了解最值的全局性质。
最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。
在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。
最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。
也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。
此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。
在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。
然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。
因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。
最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。
假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。
我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到极值点x = 1。
在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。
3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )A ．12；－8B ．1；－8C ．12；－15D ．5；－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值[答案] D[解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)，当x >0或x <－23时，y ′<0，当－23<x <0时y ′>0，∴当x ＝－23时取极小值，当x ＝0时取极大值．3．设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋a 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝－1，b ＝0，c ＝－1B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3.4．函数y ＝2x x 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案] 1，－1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1， 令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.5．(2012·重庆文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a 、b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝08a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝04a ＋b ＝－8， 解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.。
函数最值和极值的关系公式
函数最值和极值的关系公式
函数最值与极值的关系是十分重要的数学核心知识点之一，也是语言资格考试
中必考的知识点。
所谓函数最大值（或最小值），是指在函数图象中，y值（或代
表函数结果的y值）处于一系列函数取值中最高（或最低）的点。
而极值，也称极限值，指的是通过某种函数到达某种程度后，结果不再发生变化的最大值或最小值，它可以是函数求导的结果，也可以是函数在某条轴线或坐标轴上的点。
函数最大值与极值之间的关系很好概括为一句话：一切极值都是函数最大值，
但不是所有函数最大值都是极值。
因此，在求解函数最大值和极值关系时，有必要明确概念：函数最大值主要指整体函数中最大值所在的点，而极值则要求函数能够收敛到一定值，也就是说极值就是一个唯一的值，而函数最大值不一定是唯一的。
以一元函数为例，可以利用一阶导数的概念结合函数的图象来判断函数的极值。
首先，从一阶导数的符号变化开始，然后推导出此时函数有可能出现极值的解析式，最后再利用函数图象与此极值解析式来判断其是否是极大值还是极小值。
若一元函数定义域中存在多个极值，可以再考虑多阶导数来判断其类型，即比较此多个极值处函数多阶导数是否都小于零或大于零。
从而可以判断此函数有关极值、最值的关系。
从上述介绍可以得出，函数最大值与极值的关系是十分复杂的，但只要掌握科
学的概念与类比，以及认真分析函数的所有解析式，就可以轻松正确的得出函数的极值与最值的关系，运用就更是会得心应手。
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
人教版高中数学5-3-2《函数的极值与最大(小)值》(第一课时)教学课件
（2）假设这个函数图象是导函数y f ' x 的图象,试找出函数 y f x的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
y
yy ff' xx
x3
x a x0 x1 o x2 x4 x5 x6 b
（3）函数极大值一定比极小值大吗？
（4）函数 y f x 一定有极大值和极小值吗？（自己举例）
f (x)
+
f x 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
பைடு நூலகம்
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当x2 3时, f x 有极大值 54 ; 当 x1 3 时, f x 有极小值 – 54 .
必做：教科书P98练习4,5,6; 选做：求函数 f ( x) x a ln x(a R) 的极值.
在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在区 间(a，b)内有极小值点( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x3
x1 x2
x4
x5
x1 x2
x3
x4
3.求函数 f (x) x3 27 x 的极值
解: 令f ( x) 3x2 27 0,
解得 x1 3, x2 3；
x (-∞, –3)
探究：如图,(1)函数 y f x 在 x a,b, c, d , e 等点的函数值与这
些点附近的函数值有什么关系？
(2)y f x在这些点的导数值是多少？ (3)在这些点附近，y f x的导数的正负性有什么规律？
1、极小值点、极小值
我们把 a 叫做函数 y f x的极小值点，f a 叫做函数 y f x的极小值；
函数的极值与最值(第一课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Oa
h '(t) 0
h '(t) 0
h '(t) 0
t
函数的极值 如图，函数 y f (x) 在 x = a，b，c，d，e这些点与这些点附近的函数 值有什么关系？在这些点及这些点附近的导数正负性有什么规律？
y
ab
c
de
x
先以 x a 为例，如图，可以发现，函数 y f (x) 在点 x a 处的函数 值 f (a) 比它在点 x a 附近其他点处的函数值都小，f '(a) 0 ，而且在点 x a 附近的左侧 f '(x) 0 ，右侧 f '(x) 0 . 我们把点 a 叫做函数的极小 值点， f (a) 叫做函数 y f (x) 的极小值.
5.3.2 函数的极值与最值(第一课时)
1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用． 2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条 件．(重点) 3．会用导数求函数的极大值、极小值．(难点)
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函 数的增减. 如果函数在某些点处的导数为0，那么函数在这些点处有什么 性质呢？
2
因为 f (1) 1 1 2 c 3 ，得 c 1.
2
2
所以 f (x) x 3 1 x 2 2x 1 ，则 f '(x) 3x 2x) ， f (x) 的变化情况如下表
x
，
2 3
2 3
2 3
，1
1
(1，+∞)
f '(x)
+
0
(2) f (x) ln x
x
解：(1)函数 f (x) x 3 3x 2 9x 5 的定义域为 R ，且 f '(x) 3x 2 6x 9 令 f '(x) 0 ，得 x 1 或 x 3 当 x 变化时，f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表
新教材高中数学5-3-2函数的极值与最大小值第一课时函数的极值课件新人教A版选择性必修第二册
无极值 ．
当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a，
当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x) ＜0； 当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上 单调递减 ，在(ln a，＋∞)上 单调递增 ， 故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a ，无极大值． 综上， 当 a≤0 时，函数 f(x)无极值 ； 当___a_＞__0_时__，__f_(_x_)在___x_＝__l_n_a__处__取__得__极__小__值__l_n_a_，__无__极__大__值__．
∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数． ∴f(x)在x＝－1时取得极小值，∴a＝2，b＝9.
2．已知函数极值求参数时的注意点 (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法 求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数 法求解后必须验证充分性．
[对点练清] 1．[已知极值求参数范围]若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个
[对点练清] [多选]已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是 A．函数 f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数 B．函数 f(x)在区间(－1,1)上无单调性 C．函数 f(x)在 x＝－12处取得极大值 D．函数 f(x)在 x＝1 处取得极小值
高中数学选择性必修二 5 3 2 函数的极值与最大(小)值新教学设计
5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。
函数的极值与最值是函数的一个重要性质。
在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。
课程目标学科素养A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；B．掌握求函数最值的方法及其应用；C．体会数形结合、化归转化的数学思想．1.数学抽象：求函数最值的方法2.逻辑推理：函数极值与最值的关系3.数学运算：运用导数求函数的最值4.直观想象：最值与极值的关系重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系多媒体一、温故知新1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f '(x) = 0.当 f '(x) = 0 时：如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x) 为极大值；如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x) 为极小值；二、探究新知我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。
也就是说，如果x是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。
3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
基础巩固强化一、选择题1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．2．(2012～2013学年度黑龙江大庆实验中学高二期末测试)函数f(x)＝x3－3x的极大值与极小值的和为()A．0 B．－2C．2 D．－1[答案] A[解析]f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1<x<1，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝2，当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝－2，∴极大值与极小值的和为0.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．4．(2012～2013学年度贵州湄潭中学高二期末测试)设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点[答案] D[解析]f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．5．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和13，则()A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D [解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )，由f ′(x )＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．二、填空题7．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取得极小值时，x 的值是________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－x 2＋x ＋2，令f ′(x )>0得－1<x <2，令f ′(x )<0，得x <－1或x >2，∴函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．8．函数y ＝x －1x ，x ∈[1,3]的最大值为________，最小值为________．[答案] 83 0[解析] y ′＝1＋1x 2>0恒成立，∴函数y ＝x －1x 在区间[1,3]上是增函数，∴当x ＝1时，取最小值0，当x ＝3时，取最大值83.9．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________．[答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6.当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)，故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12)＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值．三、解答题10．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．[解析] 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (d ≠0)，因为其图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，得ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax 3－bx 2＋cx －d ，∴b ＝0，d ＝0，即f (x )＝ax 3＋cx .由f ′(x )＝3ax 2＋c ，依题意，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋c ＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18a ＋c 2＝－1， 解之，得a ＝4，c ＝－3.故所求函数的解析式为f (x )＝4x 3－3x .。
高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值课件湘教版必修第一册
答案：C
解析：∵a2－a＋1＝
－a＋1)≤f
3
4
.故选C.
a−
1 2 3
＋
2
4
≥
3
.又函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2
4
状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对
应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2 解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实
值范围是( C )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪ 3， + ∞
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为
6
________．
3
(4)已知函数f(x)＝
，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
2x−1
解析：(4)先证明函数f(x)＝
递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是
相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定
要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
x1 −1
x
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．( √ )
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
3
【教案】函数的极值与最大(最小)值(第3课时)教学设计人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5．3．2函数的极值与最大（小）值》教学设计第3课时◆教学目标1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系．2．初步掌握求函数极值的方法．3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．◆教学重难点◆教学重点：求函数极值教学难点：函数极值与导数的关系◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第89~92页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的极值；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的极值与最值是函数的一个重要性质．在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？设计意图：通过该问题，引起学生思考，顺利地进入本节课的学习．进一步培养学生学会分析和思考的能力．【探究新知】知识点1：函数的极值问题3：观察图（1），当t a =时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？图（1）图（2）师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案：放大t a =附近函数()h t 的图象，如图（2）．可以看出，()0h a '=；在t a =的附近，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<．这就是说，在t a =附近，函数值先增（当t a <时，()0h t '>）后减（当t a >时，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 设计意图：通过熟悉的例子及图象，逐步引导学生思考导数值为0的点附近函数图象的特点以及导数正负性的变化规律．发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养． 思考：对于一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？问题4：如图，函数()y f x =在x a b c d e =，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的正负性有什么规律？师生活动：学生认真观察图形后回答，教师完善．预设的答案：以x a b =，两点为例，可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．教师总结：我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．设计意图：通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养． 结论：(1)极小值点与极小值若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，就把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，就把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．【练一练】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 师生活动：学生讨论后回答，教师完善．预设的答案：设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．即答案为B. 问题5：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数3()f x x =，我们有2()3f x x '=．虽然(0)0f '=，但由于无论0x >，还是0x <，恒有()0f x '>，即函数3()f x x =是增函数，所以0不是函数3()f x x =的极值点．一般地，对于可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要条件，而非充分条件．设计意图：通过寻找特例，让学生明白对于可导函数来说，导数值为0的点与该点为极值点之间的关系．同时让学生明白，极值不是可导函数的特有的．发展学生数学抽象的核心素养． 问题5：极大值一定大于极小值吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善． 预设的答案：如图是函数1()sin 2f x x x =-的部分图象，由图可知，函数1()sin 2f x x x =-在73x =π处的极小值大于在点73x =-π处的极大值．设计意图：通过该例，让学生不要产生极大值一定大于极小值的错误想法．【巩固练习】例1 求函数31()443f x x x =-+的极值．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x =-=+-'．令()0f x '=，解得2x =-或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x (2)-∞-，2-(22)-，2 (2)+∞，()f x '＋ 0 － 0 ＋()f x单调递增 283单调递减 43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养． 方法总结：一般地，可按如下方法求函数()y f x =的极值： 解方程()0f x '=，当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值． 例2求函数y ＝x 3(x －5)2的极值：师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善． 预设的答案：y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5)＝5x 2(x －3)(x －5)． 令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5．当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞) y ′ ＋＋0 －0 ＋y↗无极值↗极大值 108↘ 极小值0↗∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．方法总结：一般地，求函数()y f x =的极值的步骤 （1）求出函数的定义域及导数f ′（x ）；（2）解方程f ′（x ）＝0，得方程的根x 0可能不止一个；（3）用方程f ′（x ）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′（x ），f （x ）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；（4）由f ′（x ）在各个开区间内的符号，判断f （x ）在f ′（x ）＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f （x ）在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f （x ）在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点． 练习：教科书P 92练习1、2【课堂总结】1．板书设计：5．3．2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）新知探究巩固练习 知识点1：函数的极值例1例22．总结概括：函数的极值的有关定义；求函数()y f x =极值的方法和步骤． 师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 98习题5．34、5 【目标检测设计】1．设函数()e (1)(2)x f x x x =--，则( ) A ．()f x 的极大值点在()1,0-内 B ．()f x 的极大值点在()0,1内 C ．()f x 的极小值点在()1,0-内D ．()f x 的极小值点在()0,1内设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法，以及函数零点存在定理．2．已知函数()()3261f x x mx m x =++++既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是( ) A ．()1,2-B ．(),36,()⋃-∞-+∞C ．()3,6-D ．(),12,)(⋃-∞-+∞设计意图：进一步巩固利用导数求函数极值的方法以及方程有解问题的处理方法． 3．求函数y ＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法． 参考答案：1．A 依题意()()22()e 32,()e 1x x f x x x f x x x '=-+=--，令)'(0f x =，解得15x ±=．当15x -<或15x +>时，)'(0f x >1515x -+<<时，)'(0f x <，故函数()f x 在15(1,0)x -=-时取得极大值，在151x +=>时取得极小值．故选A ． 2．B32()(6)1f x x mx m x =++++，2()32'6f x x mx m ∴=+++，函数()f x既存在极大值，又存在极小值，∴导函数'()f x有两个不相等的变号零点，2412(6)0m m∴∆=-+>，即23180m m-->，解得3m<-或6m>．∴实数m的取值范围是(,3)(6,)-∞-⋃+∞．故选B．3．解：(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y ↗极大值↘极小值↗当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22．。
2023年新高考数学一轮复习3-2 函数的单调性与最值(真题测试)解析版
专题3.2 函数的单调性与最值（真题测试）一、单选题1．（2014·北京·高考真题（文））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x = 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意； 对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.2．（2020·山东·高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数 【答案】C【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立， 等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数.故选：C3.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ）A ．函数的最大值是1B ．函数图象的对称轴是直线1x =C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞D ．函数图象过点()2,0【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】 ()22211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确；对称轴是直线1x =，B 正确；单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误；令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确，故选：C4．（2021·全国·高三专题练习）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（ ） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,+∞ 【答案】B【解析】【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞． 故选：B.5．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】 分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断. 【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数 可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件.故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，并且对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（ ） A ．(0)(3)f f <B ．(2)(2)f f =-C ．(2)f f <-D ．1)1)f f <【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数()f x 关于2x =对称，且在区间(,2)-∞上单调递减函数，在区间(2,)+∞上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解．【详解】由函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，可得函数()f x 关于2x =对称， 又由对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-， 可得函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减函数，则在区间(2,)+∞上单调递增函数，由()(0)4(3)f f f =>，所以A 不正确；由(2)(2)f f <-，所以B 不正确；由()(6)2f f f <=-，所以C 正确；1212->-，所以))11f f >，所以D 不正确. 故选：C.7．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x -=-，且[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()33f =．若对()1,3x ∀∈，()230f x a -->恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,9-B ．[]1,7-C ．()(),19,-∞-+∞ D ．(][),17,-∞-+∞【答案】D【解析】【分析】 由抽象函数单调性和对称性的定义可得()f x 在[)1,+∞上单调递增，在(],1-∞上单调递减且()()133f f -==，由此可将恒成立的不等式化为23x a ->或21x a -<-，分离变量后，根据函数最值可得a 的范围.【详解】[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增；()()13f x f x -=-，()f x ∴图象关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减；()33f =，()()133f f ∴-==；由()230f x a -->知：()()23f x a f ->或()()21f x a f ->-，23x a ∴->或21x a -<-，23a x ∴<-或21a x >+，()1,3x ∈，1a ∴≤-或7a ≥，即a 的取值范围为(][),17,-∞-+∞.故选：D. 8．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】分0m ≥和0m <进行分类讨论，分别确定m 的取值范围，最后综合得答案.【详解】0m ≥时，()()()22220f x m mf x x m mx ++=++>，符合题意；0m <时，()()20f x m mf x ++>，即()())2f x m mf x f+>-=显然()f x 在R 上递增，则2x m +>对1x ∀≥恒成立 (120x m +>对1x ∀≥恒成立则：10104120m m ⎧⎪⇒-<<⎨>⎪⎩； 综上，1,4m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭， 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）函数()21x a f x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <- 【答案】AC【解析】分离常数()221a f x x +=-+，根据()f x 在区间()b +∞，上单调递增，可得201a b +>⎧⎨≥-⎩，从而可得出选项.【详解】()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b .故选：AC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数23()4x f x x +=+，则下列叙述正确的是（ ） A ．()f x 的值域为()(),44,-∞--+∞ B ．()f x 在区间(),4-∞-上单调递增 C ．()()84f x f x +--=D ．若{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为-3 【答案】BCD【解析】【分析】 将函数转化为()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++，再逐项判断. 【详解】 函数()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++， A. ()f x 的值域为()(),22,-∞+∞，故错误；B. ()f x 在区间(),4-∞-上单调递增，故正确；C. ()23()8134442x x x f x f x x ++=--++++=，故正确； D. 因为{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为(3)3f -=-，故正确；故选：BCD11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(12)3221a x a y a x -++=+-（a 是常数）在[2,5]上的最大值是5，则a 的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.【详解】令(12)324()221211a x a f x y a a a x x -++==+=++---（a 是常数）， 因为[2,5]x ∈，所以41[2,5]1x +∈+. 若1a ≤，44()212111f x a a x x =++-=+--的最大值为5，符合题意； 当512a <≤时，()f x 的最大值为(2)f 与(5)f 中较大的数，由(2)(5)f f =， 即2|52|2|22|a a a a +-=+-，解得74a =， 显然当714a <≤时，()f x 的最大值为5，当74a >时，()f x 的最大值不为定值. 综上，当74a ≤时，()f x 在[2,5]上的最大值是5，结合选项可知，a 的值可能是0或1， 故选AB . 12．（2022·江苏·二模）已知定义在[]1,6上的函数()4f x x x=+，则（ ） A ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长B ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 不能作为一个三角形的三条边长C ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均不能成为一个直角三角形的三条边长D ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 能成为一个直角三角形的三条边长【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在定义区间上的最值，再结合构成三角形、直角三角形的条件判断作答.【详解】函数()4f x x x =+在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，min ()(2)4f x f ==，max 20()(6)3f x f ==，任意[],,1,6a b c ∈，不妨令()()()f a f b f c ≥≥，则min max ()()2()2()()()f b f c f c f x f x f a +≥≥>≥，即()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取2,2a b c ===，满足[],,1,6a b c ∈，则()()4,()f a f b f c ===显然有222[()][()][()]f a f b f c +=，即()f a ，f b ，()f c 为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．（2022·山东淄博·三模）设()()232,2x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩．若()()2f a f a =+，则=a __________． 【答案】19【解析】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有02a <<3a =，即可求结果.【详解】由y =(0,2)上递增，3(2)y x =-在(2,)+∞上递增，所以，由()()2f a f a =+，则02a <<，3a =，可得19a =. 故答案为：19 14．（2022·湖北武汉·模拟预测）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【解析】【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可， 设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞15．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数()f x 为定义在R 上的函数，对任意的R x ∈，均有()()22f x f x +=-成立，且()f x 在[)2,+∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()10f x -≥的解集为__________．【答案】[]0,6##}{06x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 对任意的R x ∈均有()()22f x f x +=-，所以可得函数()f x 的图象关于2x =对称，又由()f x 在[)2,+∞上单调递减，则()f x 在(,2)-∞上单调递增，因为()10f -=，可得()()510f f =-=，则不等式()10f x -≥，可得115x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以不等式()10f x -≥的解集为[]0,6.故答案为：[]0,6.16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____.【解析】【分析】设(1)f a =，令1x =、1x a =+求得()1111f f a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，结合()f x 单调性求出a 值，代入()f x 验证即可得结果.【详解】设(1)f a =，令1x =得：()()()111111f f f a f a⎡⎤+=⇒+=⎣⎦； 令1x a =+得：()()()111111111f f a f a f a f a a a ⎡⎤⎛⎫++=⇒+== ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭，因为()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，所以1111a a a +=⇒=+，当()1f a ==时，由()()11111101a f a f a a a a +>⇒+>⇒>⇒<-<<或矛盾.故()1f a ==.四、解答题17．（2021·江苏·高三）比较2ππ1+，103【答案】2ππ1013+<<【解析】【分析】构造()21x f x x+=，函数在()1,+∞上单调递增，3π<<. 【详解】设()21x f x x +=，故()211x f x x x x+==+，函数在()1,+∞上单调递增.故3π<<()()3πf f f <<，即2ππ1013+<< 18．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【答案】(1)()()20s y bv a v c v =+<≤ (2)答案见解析【解析】【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式； （2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.(1)由题意知：每小时可变部分的成本为2bv ，全程运输时间为s v时， ∴全程运输成本()()20s y bv a v c v=+<≤. (2)由（1）得：a y s bv v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，c >时，y 在(]0,c 上单调递减；则当v c =时，y 取得最小值；c 时，y 在⎛ ⎝上单调递减，在c ⎤⎥⎦上单调递增；则当v =y 取得最小值；c >时，应以速度c c . 19．（2021·上海浦东新·一模）已知函数2()1=++f x x ax ，a R ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞，证明见解析【解析】【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；（2）求得1()g x x a x=++，可以确定()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，之后利用函数单调性证明即可.(1)当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ， 任选x ∈R ，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-； 0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；(2)函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞. 证明：()1()f x g x x a x x==++， 任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <，1212121212111()()()()(1)g x g x x a x a x x x x x x -=++-++=--1212121()()x x x x x x -=-， 由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∞∈+，则121210x x x x ->； 所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <. 函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞.20．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2) 因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 21．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知函数()f x 的定义域为R ，,a b ∀∈R ，()()()f a f a b f b -=，且当0x >时，()1f x >.(1)求(0)f ，并写出一个符合题意的()f x 的解析式；(2)若()()22248f m m f m +>-，求m 的取值范围. 【答案】(1)(0)1f =，()2x f x =（答案不唯一） (2)423,⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊值求出()0f ，再根据指数的运算性质得到()f x 的一个解析式；（2）令2a b =，即可得到()0f x >，再利用单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；(1) 解：因为(),,()()f a a b f a b f b ∀∈-=R ，所以()0f x ≠. 令a b =，得()(0)1()f a f f a ==. 所以()f x 的一个解析式为()2x f x =（答案不唯一）.(2) 解：令2a b =，则2()02a f a f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()0f x >. 令12x x <，则()()()2211f x f x x f x -=. 因为当0x >时，()1f x >，所以()()()22111f x f x x f x -=>. 因为()0f x >，所以()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.不等式()()22248f m m f m +>-等价于22248m m m +>-， 即23280m m --<，解得423m -<<，即m 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+. (1)求函数()y f x =的最小值()m a ；(2)若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩(2)1a ≤<【解析】【分析】（1）先将()f x 的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0,2]的位置关系，可求出函数()y f x =的最小值()m a ；（2）根据函数的单调性求出函数()f x 的最小值和()g x 的最大值，然后使()()21min max f x g x >，建立关系式，解之即可求出答案.(1)由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以 ()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩； (2)()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈，又()g x 在区间[0,2] 上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立 则()()21min max f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：1a ≤<.。
3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
能力拓展提升一、选择题11．(2012～2013学年度贵州遵义四中高二期末测试)函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( )A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值 [答案] C[解析] y ′＝3x 2－6x －9， ∵－2<x <2，∴令y ′>0得－2<x <－1，令y ′<0，得－1<x <2，∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减， ∴当x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝－1－3＋9＝5，f (x )无极小值．12．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229 C.329 D.38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.13．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427 C ．－427，0 D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝01－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427. 当x ＝1时f (x )取极小值0.14．(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题15．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.[答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0a2＋4b ＋1＝0，∴a ＝－23.16．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，由3x 2－3＝0得x ＝1或－1，当x <－1，或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调增；当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调减．∴x ＝－1时，f (x )取到极大值f (－1)＝2，x ＝1时，f (x )取到极小值f (1)＝－2，∴欲使直线y ＝a 与函数f (x )的图象有相异的三个公共点，应有－2<a <2.三、解答题17．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间； (2)求函数的极值．[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示： x(－∞，－1)－1(－1,3)1(3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值f (－1)减极小值f (3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.18．(2012～2013学年度甘肃临夏县土桥中学高二期末测试)已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c ，在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值．(1)求a 、b 、c 的值；(2)求出f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝12a －4b －2＝0f ′(1)＝3a ＋2b －2＝0f (－2)＝－8a ＋4b ＋4＋c ＝6，解得a ＝13，b ＝12，c ＝83.(2)由(1)知f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83，f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )256↗6↘32↗616由上表可知，当x ＝3时，f (x )取得最大值616，当x ＝1时，f (x )取得最小值32.。
函数的极值与拐点的判断方法
函数的极值与拐点的判断方法函数的极值与拐点是数学中的重要概念，它们在函数的图像中起到了至关重要的作用。
在本文中，我们将讨论函数的极值和拐点的判断方法，并介绍如何通过这些方法来确定函数的极值和拐点。
一、函数的极值判断方法函数的极值包括最大值和最小值，它们是函数图像上的极点。
下面是几种常见的判断函数极值的方法：1. 导数法导数法是判断函数极值的常用方法。
对于函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)=0且f''(x)存在，那么该点就是函数f(x)的极值点。
具体而言，如果f''(x)>0，则f(x)在该点取得极小值；如果f''(x)<0，则f(x)在该点取得极大值。
2. 边界点法边界点法适用于闭区间上的函数。
对于函数f(x)，如果在闭区间[a, b]上f(x)有极值，那么该极值必然出现在端点a和b，或者在[a, b]内的某个点x处，且满足f'(x)=0。
3. 高阶导数法高阶导数法是判断函数极值的一种扩展方法。
对于函数f(x)，如果在某一点x 处，f'(x)=f''(x)=...=f^(n)(x)=0，且f^(n+1)(x)存在，那么该点就是函数f(x)的极值点。
其中，f^(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
二、函数的拐点判断方法拐点是函数图像上的特殊点，它表示函数曲线从凹向上凸或从凸向上凹的转折点。
下面是几种常见的判断函数拐点的方法：1. 二阶导数法二阶导数法是判断函数拐点的常用方法。
对于函数f(x)，如果在某一点x处，f''(x)=0且f'''(x)存在，那么该点就是函数f(x)的拐点。
具体而言，如果f'''(x)>0，则f(x)在该点由凹转为凸；如果f'''(x)<0，则f(x)在该点由凸转为凹。
3-2 函数的单调性与极值概述
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例8 求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的 半径为R. 解 设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V, V = r 2 2h 得 由r 2 h 2 = R 2，
z
O
y
V = 2 ( R h ) h, 0 < h < R
2 2
x
R 令 Vh = 0, 得 h = 3
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法
三、最大值最小值问题
1
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一、函数的单调性
•观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ •观察结果 函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零
f ( x) >0 f ( x) <0
2
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16
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例6 求函数f(x)=exsin x的极值
解
f (x)=ex(sin xcos x)
令f (x)=0 得驻点 xk = k f (x)=2excos x 因为 f ( x2k ) = 2 e x2 k > 0, 所以 f ( x2 k ) =
证明 只证(1) 在[a b]上任取两点x1 x2(x1<x2)
由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x<x2) 因为f (x)>0 x2x1>0 所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)>0 即 f(x1)<f(x2) 这就证明了函数f(x)在[a b]上单调增加
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极值可疑点
不可导点
如何判断极值可疑点是 否确为极值点?
◆极值的第一判别法
的某个邻域内可导（ 可除外） 设函数 y = f ( x) 在点 x0 的某个邻域内可导（点 x0 可除外） y
（ ） x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 1
x ∈ ( x0 , x0 + δ )
f ′( x) > 0
f ′( x) < 0
上的最大值与最小值． 例1 求y=2x3+3x2−12x+14在[−3, 4]上的最大值与最小值． = + 在− 上的最大值与最小值 解: f(x)= 2x 3+3x 2−12x +14， = ， f ′(x)=6x 2+6x−12=6(x+2)(x−1)， = − = + − ， 令f ′(x)=0，得 驻点 1=− ，x2=1， = ， 驻点x =−2， ， 由于 f(−3) =23、f(−2)= 34、f(1) =7、 f(4) =142 − 、 − = 、 、 所以
解：函数的定义域为( −∞， ∞ ) +
令y′ = 0 得驻点 x = 1
2x (1 − x) 2 y′ = 1 − = 2 1+ x 1+ x2
但是y′ > 0 ( x ≠ 1时)
两边不变号不变号，即函数是单调增加的，所以无极值。
定理2 第二判别法 设函数f(x)在点 0处具有二阶 第二判别法) 在点x 定理 (第二判别法 设函数 在点 导数且f ′(x 0)=0，f ′′(x 0)≠0，那么 导数且 = ， ′′ ≠ ， (1)当f ′′ 0)<0时，函数 当 ′′(x 时 函数f(x)在x 0处取得极大值； 在 处取得极大值； (2)当f ′′ 0)>0时，函数 当 ′′(x 时 函数f(x)在x 0处取得极小值． 在 处取得极小值． 口诀： 大小、小大” 口诀：“大小、小大” 应注意的问题： 应注意的问题： 如果函数f(x)在驻点x 0处的二导数f ′′(x 0) ≠0，那么 如果函数 在驻点 处的二导数 ′′ ， 一定是极值点，并且可以按二阶导数f ′′(x 的符号 点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数 ′′ 0)的符号 是极大值还是极小值． 来判定f(x 是极大值还是极小值 但如果f ′′(x = 或者 来判定 0)是极大值还是极小值．但如果 ′′ 0)=0或者 f(x)在该点不可导 ，必须用第一判别法来判别。 在该点不可导 必须用第一判别法来判别。
a
x0
b
x
a
x0 b
x
1− x 【例7】求函数 f ( x) = arctan 】 在[0,1]上的最大值和最小值 1+ x
x2 x1
由于函数在不同的区间的单调性不同， 由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图 象上会出现“ 象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内 使函数值在局部范围内 局部范围 出现“最大” 出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小 最小” 称之为函数的极大、 值。
极值的定义： 极值的定义： 设函数f(x)在区间 在区间(a, b)内有定义 ， x 0 ∈ (a, b)． 内有定义， 设函数 在区间 内有定义 ．
x
f ′( x )
(-∞,0)
0 不存在 极大值0 极大值0
(0,1)
+
↗
↘
+
↗
f (x)
所以， 的极大值； 的极小值。 所以，f (0)=0为f(x)的极大值；f (1)=-3 为f(x)的极小值。 为 的极大值 的极小值
的极值。 【例3】求函数 y = x − ln(1 + x 2 ) 的极值。 】
y
（2） x ∈ ( x0 − δ , x0 )
处取得极大值 极大值； 则 y = f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
x0 −δ x0 x0 +δ
x
f ′( x) < 0 f ′( x) > 0
y
x ∈ ( x0 , x0 + δ )
（3）x ∈ ( x0 − δ , x0 )
处取得极小值 极小值； 则 y = f ( x) 在点 x0处取得极小值；
f max = f (4) = 142, f min = f (1) = 7
两种特殊情况： 两种特殊情况： 1、闭区间上的单调函数最值必然在端点处取得。 、闭区间上的单调函数最值必然在端点处取得。 内有且只有一个极大(小 值 2、如果连续函数在区间[ a, b] 内有且只有一个极大 小)值， 、 而没有极小(大 值 则此极大(小 值就是函数在 而没有极小 大)值，则此极大 小)值就是函数在 [ a, b] 上的最大(小 值 上的最大 小)值。 这对其他区间也成立(包括无穷区间)。 这对其他区间也成立(包括无穷区间)。 包括无穷区间 y y
求函数极值的步骤： 求函数极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数f ′(x)； 找出定义域内全部驻点和不可导点； (3) 这些点将定义域分成若干个小区间，列表考察各 个驻点和不可导点的左、右两侧导数的符号，根据定 理判断是否为极值点，如果是再进一步确定是极大值 点还是极小值点； (4)求出各极值点的函数值，就得到函数的所有极值。
∗ 如果在 x 0点的左右近旁 , 有 f ( x ) ≤ f ( x 0 )
的一个极大值； 则称f ( x0 )为f ( x)的一个极大值；
∗ 如果在 x 0点的左右近旁 , 有 f ( x ) ≥ f ( x 0 )
的一个极小值； 则称f ( x0 )为f ( x)的一个极小值；
函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取 极值 得极值的点称为极值点． 得极值的点称为极值点． 极值点
复习： 复习：
确定函数单调区间的步骤
(1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数f ′(x)； 找出定义域内全部驻点和不可导点； (3) 这些点将定义域分成若干个小区间； 列表判断函数的导数在每个小区间上的 符号，从而可以求出函数的单调区间。
§3.2 函数的极值和最值
一、函数的极值 由上节知道：大部分函数 由上节知道：大部分函数f(x)在其定义域内的单调 在其定义域内的单调 可能是不唯一的 是不唯一的。 性可能是不唯一的。
x
f ′(x) f(x)
(−∞ −1) −1 −∞,− −∞ + 0
极大 值 10
(−1, 3) − −
3 0
极小值
(3, +∞) +∞ +
−22
所以，函数 的极大值为f(− = ， 所以，函数f(x)的极大值为 −1)=10， 的极大值为 极小值为f(3)= −22． 极小值为 = ．
的极值。 例2 求y = (2 x − 5) x 的极值。
如上图中， 如上图中，函数有极大值
f ( x1 ) 和极小值 f ( x 2 )
y y=f(x)
f(a)和 f(b)是否为极值？ 和 是否为极值？ 是否为极值
x3 O a x1 x2 x4 x5 x6 x7 b x
极大值点有：x2、x4、x6
极小值点有：x1、x3、x5、x7
◆函数的极值和最值的区别： 函数的极值和最值的区别： （1）函数的极值是一个局部性概念，最值是全局性概念 ）函数的极值是一个局部性概念， （2） 极值的个数可能有多个，极小值可以大于极大值； ） 极值的个数可能有多个，极小值可以大于极大值； 但是最值可以在端点取到。 （3）极值一定在区间内部取得 但是最值可以在端点取到。 ）极值一定在区间内部取得,但是最值可以在端点取到 （4）函数在某个区间内可能有极值，也可能无极值； ）函数在某个区间内可能有极值，也可能无极值； 单调函数一定无极值。 单调函数一定无极值。 见书上图形 ◆函数的极值和最值的联系： 函数的极值和最值的联系： 函数的最值如果不在端点处取到， 函数的最值如果不在端点处取到，则一定在区间内 部的极值点处取到。 部的极值点处取到。
取得极值的必要条件： 取得极值的必要条件：
观察极值与切线的关系： 观察极值与切线的关系： y y=f(x)
x3 O a x1 x2 x4 x5 x6 x7 b x
在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的． 在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．
定理1 费马定理）（必要条件）设函数f(x)在点 0处可 ）（必要条件 在点x 定理 （费马定理）（必要条件）设函数 在点 = ． 导，且在x0处取得极值，那么f ′(x0)=0． 且在 处取得极值，那么 注：可导的极值点一定是驻点 因此：对可导的函数找极值点， 因此：对可导的函数找极值点，只需找驻点即可 但应注意的是：驻点只是可疑的极值点 但应注意的是：
如y = x 3的驻点为x = 0, 但是在x = 0处不取极值。
另外：函数在不可导点也有可能取得极值 另外：函数在不可导点也有可能取得极值 有可能
如y = x 在x = 0点不可导, 但是在x = 0处取极小值。
而y = 3 x 在x = 0点不可导, 但是在x = 0处却不取极值。
驻点 : f ′( x ) = 0 的点
= ( 2 − 4 x + x 2 )e − x ′′(2) = −2e −2 < 0 f ∵ f ′′(0) = 2 > 0
∴ f (0) = 0为 f ( x )的极小值； 的极小值；
f (2) = 4e− 2为f ( x)的极大值。 的极大值。
二、函数的最大值、最小值
极值与最值的关系： 极值与最值的关系： 在闭区间[a， 上连续 上连续， ◎设函数 f (x) 在闭区间 ，b]上连续，则函数的最 大值和最小值一定存在． 大值和最小值一定存在． ◎函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 ◎如果最值不在区间的端点取得，则必在开区 ，b) 如果最值不在区间的端点取得，则必在开区(a， 的极值点处取得． 的极值点处取得． 因此：找最值只需比较端点的函数值和极值点处 因此：找最值只需比较端点的函数值和极值点处 端点的函数值和极值点 的函数值即可。 的函数值即可。