第3章 单自由度体系1(时域)
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构动力学3-4
3.7 单自由度体系 对周期荷载的反应
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
1/71 2/71
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载 是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反 应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。 3/71
19/71
1 P ( ) m F F U ( ) u (t ) , P( ) p (t )
20/71
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
单自由度体系时域运动方程：
(t ) 2 n u (t ) n 2u (t ) u
1 p (it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u
速度和加速度的Fourier变换为：
p( )h(t )d
0
t
h(t ) u (t )
1 sin[ n (t )] t m n
u (t )
1 mn
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力学单自由度
对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。
综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。
变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
直接平衡法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
FD cy c 为阻尼系数，y 为质量的速度。
结构体系运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
EI1
EI l 1
FP (t ) FS 2
FI FS1 FD
[解]
1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数。 y(t )
3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程：
第3章 时域分析法
6．稳态误差 在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表 示，通常用ess反映系统跟踪输入时的稳态精度。
稳态误差ess：对单位负反馈系统，当t→∞时，系统单位阶跃响应的实际稳态 值与给定值之差，即
ess1= 1 − c(∞) 如果c(∞)为1, 则系统的稳态误差为零。
函数的图形如图3-5所示。
t 0
图3-5 正弦函数图形
3.2 阶跃响应的性能指标
（1）动态过程。动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信 号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数 选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一 个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳 定的，动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼 情况等信息，这些信息是用系统动态性能描述的 。
（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t→∞时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复 现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。在分 析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后， 系统进入稳态。
由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状 态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么在其他输入形式 作用下的动态性能也能满足要求。
时间ts。稳态值称为误差带，可以是5%或2%，前者称为5%误差带， 后者称为2%误差带。
5．峰值时间
在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的峰值时间可以用tp来 表示，通常用tp评价系统的响应速度，也反映系统的局部快速性。
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
单自由体系名词解释
单自由体系名词解释
单自由度系统（Single Degree of Freedom System）是指工程动力学和振动学中常用的一个概念，用来描述一个仅有一个自由度运动的系统。
这个自由度通常是指系统的一个独立运动参数，如质点在一维空间内的位移或者转角。
在单自由度系统中，该自由度的运动可以完全描述整个系统的动态特性。
单自由度系统的经典例子是弹簧质点振子系统，也就是简谐振动系统。
这种系统由一个质点 （质量为m）通过一根弹簧 （弹性系数为k）与一个固定支点相连构成。
该质点在弹簧的作用下可以在水平方向上作简谐振动。
单自由度系统的重要特征包括：
- 自由度： 单自由度系统中仅有一个运动自由度。
- 动力学方程： 可以使用牛顿运动定律和哈克定律等原理来建立该系统的运动方程，描述质点运动的规律。
- 简谐振动： 如果系统的回复力服从胡克定律，并且没有阻尼和外力的作用，系统将表现出理想的简谐振动。
- 阻尼和非线性： 通常情况下，单自由度系统可能会有阻尼和非线性因素的存在，这会使得其振动特性发生变化。
单自由度系统的研究对于理解振动学原理、分析结构动力学响应、设计工程结构等方面都具有重要意义。
它为工程师和研究人员提供了一种简化模型来分析和预测结构或系统的振动行为，对于许多工程应用和设计过程都具有指导意义。
1/ 1。
第3章 单自由度系统
第三章单自由度机械系统动力学3.1 概述在绪论中我们曾指出：机械动力学研究机械在运动时所受的力，以及机械在力作用下的运动。
在第一类问题中，假定输入构件按给定的某种规律运动，计算在此运动情况下需施加于驱动构件上的平衡力矩及运动副中的反力，称为逆动力学。
本书第一章和第二章都属于逆动力学问题。
在第二类问题中，抛掉输入构件按某种给定规律运动的假定，求解在施加于机械的真实外力的作用下，机械系统的运动随时间而变化的规律，称为正动力学。
本章即讨论正动力学问题。
图3.1.1A一停车阶段B一启动阶段；C稳定运转阶段；机械运转的三个阶段，如图3.1.1所示，机械系统从启动到停车的全过程中包含三个阶段：启动阶段（A）稳定运转阶段（B）和停车阶段（C）。
在机械的稳定运转阶段，由于外力的周期性变化，机械的速度会产生周期性的波动。
速度波动会在运动副中产生附加动压力，引起系统的振动，降低机械工作的精度和可靠性。
研究机械的真实运动和调节速度波动的方法就需要进行动力学分析。
在机械的启动阶段和停车阶段，即所谓过渡历程中，会产生较大的动载荷。
在进行机械零部件的强度计算时，常需要知道这一动载荷。
对启动频繁的机械，启动和制动所需要的时间也常常是人们感兴趣的问题。
这也都需要进行动力学分析。
本章首先研究应用最为广泛的单自由度机械系统的动力学分析。
在研究单自由度机械系统时历来都采用一种等效力学模型来代替原有的机械系统。
本章仍介绍这种传统的方法。
这种传统方法只局限在单自由度系统中应用，而不适用于多自由度系统。
由于各种自动机和机器人的出现，多自由度系统应用越来越广泛。
基于多自由度系统分析的需要，提出了多种动力学建模方法，并开发了相应的计算机软件。
单自由度系统是多自由度系统的一个特例，当然也可以用这类通用的方法和软件来进行分析。
在下一章中研究多自由度机械系统的 1动力学分析时，我们再对这些建模方法做一综合介绍。
单自由度机械系统动力学分析大体包括以下几个步骤：1）将实际的机械系统简化为等效动力学模型；2）根据等效动力学模型列出系统的运动微分方程；3）应用解析方法或数值方法求解系统运动微分方程，求出等效构件的运动规律。
振动理论03(1)-单自由度系统自由振动
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2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
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2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
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2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
第3章_单自由度体系
不同结构的自振周期可能相差很大，从一般平房的0.1 秒，到200m左右高度的超高层结构的4~5秒，到大型 悬索桥的17秒不等。
第3章 单自由度体系
3.2 有阻尼自由振动
3.2 有阻尼自由振动
自由振动： p(t)=0
运动方程： mu cu ku 0
初始条件：u(t) t0 u(0) u(t) t0 u(0)
u(t)
e
nt
[u(0)
cosDt
(
u(0)
D
nu(0)
)
sin
Dt
]
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
相邻振动峰值比：
ui ui1
u(ti ) u(ti TD )
exp(nTD )
exp(
2 ) 1 2
u(t) u1
TD
TD
ui ui+1
ti
ti+TD
t
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
将： c 2mn
c c ccr 2mn
代入：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2 n iD
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
u est s1,2 n iD
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
)
e
nt
[u(0)
3.1 无阻尼自由振动
mu(t) cu(t) ku(t) p(t)
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0
运动方程： mu(t) ku(t) 0
初始条件： u(t) t0 u(0) u(t) t0 u(0)
自动控制原理 第3章时域分析
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
第3章_单自由度体系
将： c 2mn
c c ccr 2mn
代入：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2 n iD
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
u est s1,2 n iD
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
)
e
nt
[u(0)
得待定常数为：A u(0), B u(0)
n
3.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解：
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
sin
nt
其中：
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动(Simple harmonic motion)
n ——自振频率（Natural frequency）。
3.1 无阻尼自由振动
3.2.2 低阻尼体系
现场实测： D 和 TD 理论计算： n 和 Tn 工程中结构的阻尼比
在1—5%之间， 一般不超过20%，
D n 1 2
TD
Tn
1 2
因此可以用 有阻尼体系的结果 代替 无阻尼结果。
阻尼对自振频率和自振周期的影响
3.2 有阻尼自由振动 u(t)
低阻尼体系的阻尼对 结 构 自 由 振 动 的 影 响 u(t)
(k m2 )C p0 sint (k m2 )D cost 0
C
p0 k
1
1
( / n
)2
,
D0
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频
率之比 。
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
单自由度体系杜哈梅积分对应的的时程曲线
一、概述单自由度体系是指系统中只有一个可以自由运动的质点，它的运动可以由一个广义坐标来描述。
对于单自由度体系，可以采用杜哈姆积分的方法求解系统的运动方程，并绘制出对应的时程曲线。
本文将对单自由度体系的杜哈姆积分与时程曲线进行探讨。
二、杜哈姆积分的基本原理杜哈姆积分是一种对变阻尼振动系统非定常响应的数值积分方法。
对于线性系统，杜哈姆积分可以简化为一个积分型的微分方程，其基本原理可以用以下公式表示：其中，x(t)为系统的位移，x0表示系统的初始位移，v(t)为位移的导数，ω为系统的固有频率，t为时间，F(t)为外力。
利用杜哈姆积分方法，可以求解系统在给定外力作用下的位移和速度。
三、杜哈姆积分的应用杜哈姆积分广泛应用于工程实践中，尤其是在机械振动、结构动力学和地震工程中。
在求解单自由度体系的非定常响应时，我们可以利用杜哈姆积分方法得到系统的位移和速度随时间的变化规律。
四、时程曲线的绘制通过杜哈姆积分方法求解得到系统的位移和速度随时间的变化规律后，我们可以利用这些数据绘制出对应的时程曲线。
时程曲线可以直观地展示系统在外力作用下的振动情况，有利于工程师对系统的动态响应进行分析和评估。
五、实例分析以弹簧振子为例，假设有一个质量为m的弹簧振子，弹簧的刚度为k，外力为F(t)，系统的初始位移和初始速度分别为x0和v0。
利用杜哈姆积分方法，我们可以得到弹簧振子在外力作用下的位移和速度随时间的变化规律，并绘制出对应的时程曲线。
六、结论杜哈姆积分方法是一种对变阻尼振动系统非定常响应进行数值积分的有效方法。
通过对单自由度体系的杜哈姆积分和时程曲线的分析，我们可以更好地理解系统在外力作用下的动态响应规律，并为工程实践提供重要参考。
七、展望未来，我们可以进一步研究杜哈姆积分方法在多自由度体系和非线性系统中的应用，探索更加精确和高效的变阻尼振动系统响应预测方法，为工程实践和科研工作提供更加可靠的理论基础和技术支持。
单自由度体系的杜哈姆积分与时程曲线是工程动力学研究中的重要内容，它对于理解和预测系统动态响应具有重要意义。
第3章 单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程： 自由振动方程： 特征方程： 特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2） ）
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为 ， 显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
l3 按各梁的单位弯矩图，求梁的δ 按各梁的单位弯矩图，求梁的δ： δ 1 = 48 EI
三种情况的频率： 三种情况的频率： ω1 = 三种情况的频率比： 三种情况的频率比：
48 EI ml 3
ω2 =
768 EI 7 ml 3
192 EI ω3 = ml 3
ω1 : ω2 : ω3 = 1:1.51: 2
cc = 2m ω
这时，对应的 这时，对应的s 值为 ： s1 = s 2 = − c c / 2 m = − ω 临界阻尼自由振动方程的解为： 临界阻尼自由振动方程的解为： （3-15） ）
y( t ) = (G1 + G2 t )e −ωt
（3-16） ）
临界阻尼位移解： 临界阻尼位移解： 速度解： 速度解：
随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生sinsin随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生二阻尼体系cossincossin327随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生cossinsincoscossincossinsincoscossincossin变量t为任意值时等式均恒成立的条件
振动力学3单自由度自由
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
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第三章单自由度体系自由振动和强迫振动时域分析
3.1力学模型
•单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom ）System
•结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定•分析单自由度体系的意义：
1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。
2、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系统进行分析
重力的影响
1、考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。
在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。
2、当需要考虑重力影响时，结构的总位移为
总位移=静力解+动力解
应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。
在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。
重力的影响
3、注意1：由于应用了叠加原理，上述结论是用于线弹性体系。
4、注意2，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。
如果重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。
1.1无阻尼自由振动
运动方程的通解为：
121212()n n i t
i t
s t
s t
u t c e c e
c e
c e
ωω−=+=+指数函数与三角函数的关系：
cos sin cos sin ix
ix
e x i x e
x i x
−=+=−运动方程的解：
()cos sin n n u t A t B t
ωω=+A ，B —待定常数，由初始条件确定。
一些重要性质：
（1）自振周期只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。
（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越
大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬
殊，则动力性能相差很大。
反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
P=1
3l /16
5l /32P=1l /2
EI l l l l l EI l 7687)325216322(61321=×−××=δEI l 76873
2=δEI
l 1923
3=
δ32277681ml EI m ==δω3
31921m ==δω据此可得：ω1∷ω2 ∷ω3= 1∷1.512∷2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
完全粘接后的静力
d
n
ξ
1.2.5
有阻尼自由振动
1、当ξ＜1时，体系产生往复振动
2、当ξ≥1时，体系不发生往复振动
3、在ξ≥1情况下，以ξ=1时衰减最快
2.单自由度体系对简谐荷载的反应
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。
研究的的意义：
（1）不仅工程中实际存在这种形式的荷载；（2）简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解结构动力特性的方法和手段；
（3）是分析复杂荷载作用反应的基础。
∞。