最新浙教版2018-2019学年九年级数学上册《比例线段》同步练习1及答案-精编试题
4.1比例线段练习卷浙教版数学九年级上册
浙教版九年级上册《4.1 比例线段》同步练习卷一、选择题1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC=3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：42．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1：2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（）A．一根火柴的长度B．一支钢笔的长度C．一支铅笔的长度D．一根筷子的长度3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC=3：2，则AC：AB为（）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：54．如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A．√3：2 B．1：√3C．√2：√3D．√2：25．将两块长为am,宽为bm的长方形红布，加工成一个长为cm,宽为dm的长方形，有人就a,b,c,d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（）A．2c =dbB．ac=d2bC．2d=cbD．a2c=db二、填空题6．已知a4=b5，且a+b=9，那么ab= ______ ．7．在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 ______ 千米．8．（1）正方形的边长与对角线的比是 ______ ，等边三角形的边长与高的比是 ______ ．（2）若△ABC的三个内角的比为1：2：3，则这个三角形的三边长的比为 ______ ．9．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度 ______ ．三、解答题10．如图，4×4方格中的四条线段，AB，CD，EF，GH是不是比例线段？请说明理由．11．已知在△ABC中，AB=12cm,如图，点D，E分别在AB，AC上，AE=6cm,EC=4cm,且ADDB =AEEC．（1）求AD的长；（2）试说明线段DB，AB，EC，AC是否成比例．12．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F．（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；（2）若AB=10，DE=2.5，BF=5，求BC的长．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．（1）求证：AC•BC=CD•AB；（2）AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？14．已知：在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求：（1）AB、BC的长．（2）△ABC的面积．。
浙教版九年级数学上册《4.1比例线段》同步测试题及答案
浙教版九年级数学上册《4.1比例线段》同步测试题及答案1. 如果数x是2和32的比例中项，那么x等于()A．8 B．－8C．16 D．±82. 已知在三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项线段．若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项线段c的长为()A．4 B．±4C．±16 D．1或163. 若x是a，b的比例中项，则下列式子中，不一定成立的是()A．x2＝ab B．ax＝xbC．bx＝xa D．ab＝x4. 如图，已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论中，正确的是()第4题图A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC．BCAC＝5－12D．ACBC＝5－125. 苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8千米．苏堤上有名的六座桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、束浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时是湖船东来西去的通道．从地图上看，压堤桥位于苏堤北部．请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为()A．0.9千米B．1.1千米C．1.3千米D．1.4千米6. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．第6题图7. 在13世纪，数学家法布兰斯写了一本书，提到了一些奇异数的组合．这些奇异数的组合是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在这组数中有两个规律：(1)从第3个数开始，任何一个数都等于____________．(2)从第8个数21开始，任何一个数与后面的数相除时，其商都接近____________.8. 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，若支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为_____________cm.第8题图9. 融融家的木地板是按照如图所示的方式拼接的，其中四个小矩形是全等的．经测量、计算发现E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈____________DE(精确到0.001).第9题图10. 如图，C是线段AB的黄金分割点，CB＞CA，△PAB和△QBC均是等边三角形．若S1表示△PAC的面积，S2表示△QBC的面积，则ACBC的值为_____________，S1与S2的大小关系为_____________.第10题图11. 回答问题，并思考两题有何区别．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．12. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计雕塑时，使雕塑的腰部以下部分的高度a 与全身高度b的比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中a＝125 cm，b＝200 cm，则雕塑的发髻高出头顶多少时，其上半部分与下半部分符合黄金分割(精确到0.1 cm)?第12题图13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心，CB长为半径画弧，交边AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点．第13题图14. 若一个矩形的短边与长边的比值为5－12，则称这样的矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD(AB＞AD)是黄金矩形．以黄金矩形ABCD的短边AD为边作正方形AEFD，得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由．第14题图15. 古希腊数学家发现“黄金三角形”很美——顶角为36°的等腰三角形，称为“黄金三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，其中BCAC≈0.618，“0.618”⎝⎛⎭⎪⎫5－12又称为黄金比，是著名的数学常数．作∠ABC的平分线，交AC于点C1，得到黄金三角形BCC1；作C1B1∥BC，交AB于点B1，再作B1C2∥BC1，交AC于点C2，得到黄金三角形B1C1C2；作C2B2∥BC，交AB于点B2，再作B2C3∥BC1，交AC于点C3，得到黄金三角形B2C2C3……依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形．若BC的长为1，求C5C6的长.第15题图参考答案1. 如果数x是2和32的比例中项，那么x等于(D)A．8 B．－8C．16 D．±82. 已知在三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项线段．若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项线段c的长为(A)A．4 B．±4C．±16 D．1或16【解析】∵c2＝ab＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4(不合题意，舍去).3. 若x是a，b的比例中项，则下列式子中，不一定成立的是(D)A．x2＝ab B．ax＝xbC．bx＝xa D．ab＝x4. 如图，已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论中，正确的是(C)第4题图A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC ．BCAC ＝5－12 D ．ACBC ＝5－125. 苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8千米．苏堤上有名的六座桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、束浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时是湖船东来西去的通道．从地图上看，压堤桥位于苏堤北部．请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为( B ) A ．0.9千米 B ．1.1千米 C ．1.3千米 D ．1.4千米【解析】 设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x 千米 由题意，得2.8－x 2.8＝5－12 解得x ≈1.1即压堤桥到栖霞岭下的大致距离为1.1千米．6. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．第6题图【解析】 设ac ＝m ，则a ＝cm . 又∵a b ＝bc ＝2 ∴ac ＝b 2 ∴c 2m ＝b 2 ∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝2.7. 在13世纪，数学家法布兰斯写了一本书，提到了一些奇异数的组合．这些奇异数的组合是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在这组数中有两个规律：(1)从第3个数开始，任何一个数都等于__前面两个数的和__．(2)从第8个数21开始，任何一个数与后面的数相除时，其商都接近__0.618__.8. 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，若支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为__805－160__cm.第8题图【解析】∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点∴AC＝BD＝80×5－12＝(405－40)cm∴CD＝BD－(AB－AC)＝2BD－AB＝(805－160)cm.9. 融融家的木地板是按照如图所示的方式拼接的，其中四个小矩形是全等的．经测量、计算发现E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈__0.618__DE(精确到0.001).第9题图【解析】∵E是AD的黄金分割点∴DEAD＝AEDE≈0.618.由题意，得EG＝AE∴EGDE≈0.618即EG≈0.618DE.10. 如图，C是线段AB的黄金分割点，CB＞CA，△PAB和△QBC均是等边三角形．若S1表示△PAC的面积，S2表示△QBC的面积，则ACBC的值为__5－12__，S1与S2的大小关系为__S1＝S2__.第10题图【解析】∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，则ACBC＝BCAB＝5－12∴BC2＝AC·AB.易知S1＝34AC·AB，S2＝34BC2∴S1＝S2.11. 回答问题，并思考两题有何区别．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．解：(1)∵b是a，c的比例中项∴b2＝ac∴b＝±ac.又∵a＝4，c＝9∴b＝±36＝±6.(2)∵线段MN是AB，CD的比例中项线段∴MN2＝AB·CD∴MN＝AB·CD.又∵AB＝4cm，CD＝5cm∴MN＝20＝25(cm).通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b为数值，MN为线段∴b可以取负值，而MN不可以取负值．12. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计雕塑时，使雕塑的腰部以下部分的高度a 与全身高度b的比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中a＝125 cm，b＝200 cm，则雕塑的发髻高出头顶多少时，其上半部分与下半部分符合黄金分割(精确到0.1 cm)?第12题图解：设发髻高出头顶x(cm)由题意，得125200＋x＝0.618解得x≈2.3.经检验，x≈2.3是原方程的解，且符合题意．答：雕塑的发髻高出头顶约2.3 cm时，其上半部分与下半部分符合黄金分割．13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心，CB长为半径画弧，交边AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点．第13题图证明：设BC＝a，则AB＝2a，由勾股定理，得AC＝5a.由题意，得CD＝BC＝a∴AE＝AD＝AC－CD＝5a－a∴AEAB＝5－12即E是线段AB的黄金分割点．14. 若一个矩形的短边与长边的比值为5－12，则称这样的矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD(AB＞AD)是黄金矩形．以黄金矩形ABCD的短边AD为边作正方形AEFD，得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由．第14题图解：四边形EBCF是黄金矩形．理由如下：∵四边形AEFD是正方形∴∠AEF＝∠BEF＝90°.又∵∠B＝∠C＝90°∴四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则ba ＝5－12∴CFEF＝a－bb＝ab－1＝25－1－1＝5－12∴矩形EBCF是黄金矩形．15. 古希腊数学家发现“黄金三角形”很美——顶角为36°的等腰三角形，称为“黄金三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，其中BCAC≈0.618，“0.618”⎝⎛⎭⎪⎫5－12又称为黄金比，是著名的数学常数．作∠ABC的平分线，交AC于点C1，得到黄金三角形BCC1；作C1B1∥BC，交AB于点B1，再作B1C2∥BC1，交AC于点C2，得到黄金三角形B1C1C2；作C2B2∥BC，交AB于点B2，再作B2C3∥BC1，交AC于点C3，得到黄金三角形B2C2C3……依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形．若BC的长为1，求C5C6的长.第15题图【解析】∵△BCC1是黄金三角形∴CC1BC＝5－12，即CC1＝5－12.∵C1B1∥BC，B1C2∥BC1，BC1平分∠ABC∴易知B1C1＝B1B＝C1C＝5－1 2.∵△B1C1C2是黄金三角形∴C1C2＝5－12C1C＝⎝⎛⎭⎪⎫5－122依此类推，C5C6＝5－12C4C5＝…＝⎝⎛⎭⎪⎫5－126＝9－4 5.第11 页共11 页。
九年级数学上册4.1比例线段同步练习(新版)浙教版【含解析】
A. 19.4
B. 19.5
C. 19.6
D. 19.7
9. 如图所示，������ 为线段 ������������ 的黄金分割点 (������������ > ������������)，四边形 ������������������������ 、四边形 ������������������������ 都为正方形， 且面积分别为 ������1 ，������2 ．四边形 ������������������������ 、四边形 ������������������������ 都为矩形，且面积分别为 ������3 ，������4 ，下列说 法正确的是 ( )
16. 若 =
2
������
������ 3
= （������，������，������ 均不为 0），则
4
������
������+2������−������ ������
的值为
． ． ������2．（填“ > ”“ = ”或“ < ”）
17. 如果线段 ������ 是 ������，������ 的比例中项，且 ������ = 4，������ = 9，则 ������ = 积，������2 表示长是 ������������ 、宽 ������������ 的矩形的面积，则 ������1
18. 如图，已知点 ������ 是线段 ������������ 的黄金分割点，且 ������������ > ������������ ．若 ������1 表示以 ������������ 为一边的正方形的面
������
������
C. ������ = ������
2018-2019学年浙教版九年级上数学4.1比例线段3同步导学练含答案
4.1 比例线段（3）黄金比为215-≈0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和联系．1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(B).A.10B.8C.-8D.±82.已知C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC·AB，则下列式子成立的是(B).3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(C).A.5（5-1）B.5（5+1）C.10（5-2）D.5（3-5）5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(A).A.S1=S2B.S1＞S2C.S1＜S2D.不能确定（第5题）（第7题）6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b= 6 .7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m （精确到0.01m，参考数据2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）.8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC=3-5，则AB的长为 2 ．9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.（第9题）【答案】∵C，D是线段AB的黄金分割点，∴AC=215-AB=55-5，BD=215-AB=55 -5.∴AD=AB-BD=15-55.∴CD=AC-AD=55-5-（15-55）=105-20.（第10题）10.如图1所示为一张宽与长之比为215-的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么矩形EFDC 还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】矩形EFDC 是黄金矩形.理由如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB=DC=AF.∵ADAB =215-，∴AD AF =215-,即F 是线段AD 的黄金分割点.∴AF FD =AD AF =215-.∴DCFD =215-.∴矩形EFDC 是黄金矩形.11.乐器上的一根琴弦AB=60cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为(C ).A.（90-305）cmB.（30+305）cmC.（305-30）cmD.（305-60）cm12.如图所示，P 为线段AB 的黄金分割点（PB ＞PA ），四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为S 1，S 2.四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S 3，S 4.下列说法中，正确的是(B ).A.S 2=215-S 1B.S 2=S 3C.S 3=215-S 4D.S 4=215-S 1 （第12题） （第14题）13.已知线段AB 及AB 上一点P ，P 为AB 的黄金分割点.给出下列结论：①AP 2=AB·PB；②AP=215-AB ；③PB=253-AB ；④PB AP =215-；⑤APAB =215-.其中正确的是(A ). A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个．15.（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP ，PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且AB AP =AP BP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时ABPA 的值为 215- . （2）如图所示，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以点C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于点D ，再以点A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于点E.求证：E 是线段AB 的黄金分割点.（第15题）【答案】(1) 215- (2)设BC=a ，则AB=2a ，∴AC=5a.由题意得CD=BC=a ，∴AE=AD=5a-a ，BE=AB-AE=3a-5a. ∴AB AE =215-，AE BE =215-.∴AB AE =AEBE ，即E 是线段AB 的黄金分割点. （第16题）16.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BOC=108°，过点C 作直线CD 分别交直线AB 和⊙O 于点D ，E ，连结OE ，DE=12AB ，OD=2．（1）求∠CDB 的度数．（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比215-． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.②求弦CE 的长.③在直线AB 或CD 上是否存在点P （点C ，D 除外），使△POE 是黄金三角形？若存在，画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，DE=21AB ，∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC. 设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°，x=36°.∴∠CDB=36°.(2)①有三个：△DOE，△COE，△COD.∵OE=DE，∠CDB=36°，∴△DOE 是黄金三角形.②∵△COD 是黄金三角形，∴OCOD=215-.∵OD=2，∴OC=5-1.∴CD=O D=2，DE=OC=5-1. ∴CE=CD -DE=2-（5-1）=3-5.（第16题答图）③存在，有三个符合条件的点P 1，P 2，P 3，如答图所示，以OE 为底边的黄金三角形：作OE 的垂直平分线分别交直线AB ，CD 得到点P 1，P 2;以OE 为腰的黄金三角形：点P 3与点A 重合.17.【山西】宽与长之比是215-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心、FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D ).（第17题）A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图所示，线段AB=1，点P1是线段AB 的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3）……依此类推，则APn 的长度是 （253-）n ．（第18题）19.如图1所示，点C 将线段AB 分成两部分，若AB AC =ACBC ，点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S S 1=12S S ，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2所示，在△ABC 中，D 是AB 的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD 是△ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C 作直线交AB 于点E ，过点D 作DF ∥CE ，交AC 于点F ，连结EF （如图3所示），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线.请你说明理由．（第19题）【答案】(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线.理由如下：∵D 是AB 的黄金分割点，∴AB AD =AD BD .∵，.∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线.(2)∵三角形AB 边的中点D ′把AB 分成相等的两条线段，即AD ′=BD ′，∴.∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF ∥CE ，∴S △FDE =S △FDC ，S △DEC =S △FEC .∴S △AEF =S △ADC ，S四边形BEFC =S △BDC .∵.∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线.。
浙教版九年级数学上册同步练习：4.1 比例线段
4.1 比例线段一、填空题1．（2019春•邗江区校级期末）若a：b：c＝1：2：3，则＝2．（2019•金牛区模拟）若，则＝．3．（2018秋•武陵区校级期末）若，那么＝．4．（2018秋•双峰县期末）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．5．（2018秋•江干区期末）已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝．6．（2018秋•宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝．二、选择题7．（2019•杨浦区模拟）在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.38．（2019•郫都区模拟）如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（）A．B．C．D．9．（2019春•工业园区期末）若＝，则下列变形错误的是（）A．＝B．＝C．3a＝2b D．2a＝3b10．（2019春•乳山市期末）如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）A．14﹣6B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣2011．（2018秋•皇姑区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）12．（2018秋•包河区期末）若＝＝，则的值是（）A．B．C．D．413．（2019春•张店区期末）据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（）A．21℃B．22℃C．23℃D．24℃14．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x＝3y15．（2019•庆云县一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x＝x：2 B．x：（2﹣x）＝（2﹣x）：2C．（1﹣x）：x＝x：1 D．（1﹣x）：x＝1：x三、解答题16．（2018秋•赣榆区期末）已知a、b、c满足2a＝3b＝4c，且6a+9b﹣4c＝20，分别求出a、b、c的值．17．（2018秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．18．（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．19．已知：＝＝＝，求值：（1）；（2）．20．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案一、填空题1．（2019春•邗江区校级期末）若a：b：c＝1：2：3，则＝﹣2【思路点拨】设a＝k，b＝2k，c＝3k把a、b、c的值代入，求出即可．【答案】解：由a：b：c＝1：2：3，可设a＝k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝．故答案为：﹣2【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．2．（2019•金牛区模拟）若，则＝．【思路点拨】直接利用已知变形进而得出a，b之间的关系．【答案】解：∵，∴3（a+2b）＝7（b﹣a），故3a+6b＝7b﹣7a，∴10a＝b，则＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．3．（2018秋•武陵区校级期末）若，那么＝．【思路点拨】依据，即可得到x＝2y，再代入代数式化简即可．【答案】解：∵，∴2x+2y＝3x，∴x＝2y，∴＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．4．（2018秋•双峰县期末）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿10cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．【思路点拨】设应穿xcm高的鞋子，根据黄金比为0.618列式计算即可．【答案】解：设她应穿xcm高的鞋子，根据题意，得＝0.618．解得，x≈10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．5．（2018秋•江干区期末）已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝6．【思路点拨】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【答案】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．则b＝±（负值舍去）．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了比例线段，关键是根据比例中项的定义解答．6．（2018秋•宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝9．【思路点拨】根据比例的性质解答即可．【答案】解：由果═3可得：，因为b+d+f＝3，所以a+c+e＝9，故答案为：9【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．二、选择题7．（2019•杨浦区模拟）在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.3【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【答案】解：设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝300000cm＝3km．∴这条道路的实际长度为3km．故选：A．【点睛】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．8．（2019•郫都区模拟）如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（）A．B．C．D．【思路点拨】可设x＝3k，根据已知条件得到y＝5k，再代入计算可求x：（x+y）的值．【答案】解：∵x：y＝3：5，∴可设x＝3k，则y＝5k，则x：（x+y）＝3k：（3k+5k）＝3：8；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．9．（2019春•工业园区期末）若＝，则下列变形错误的是（）A．＝B．＝C．3a＝2b D．2a＝3b【思路点拨】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【答案】解：由＝得3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，变形正确；B、由等式性质可得：3a＝2b，变形正确；C、变形正确；D、2a＝3b与3a＝2b不一致，变形错误．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．10．（2019春•乳山市期末）如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）A．14﹣6B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣20【思路点拨】利用黄金比进行计算即可．【答案】解：由＝得，AC＝＝＝﹣1，BC＝＝＝3﹣，因为CBDE为正方形，所以EC＝BC，AE＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，矩形AEDF的面积：AE•DE＝（2﹣4）×（3﹣）＝10﹣22．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的意义，熟练利用黄金比计算是解题的关键．11．（2018秋•皇姑区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）【思路点拨】根据黄金比值是计算即可．【答案】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB＝2（﹣1）cm，则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，故选：A．【点睛】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．（2018秋•包河区期末）若＝＝，则的值是（）A．B．C．D．4【思路点拨】设＝＝＝k，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，代入进行计算即可．【答案】解：设＝＝＝k（K≠0），则x＝2k，y＝7k，z＝5k，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用设k法进行计算是解决问题的关键．13．（2019春•张店区期末）据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（）A．21℃B．22℃C．23℃D．24℃【思路点拨】根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.618倍．【答案】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为≈0.618．14．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x＝3y【思路点拨】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．【答案】解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．15．（2019•庆云县一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x＝x：2 B．x：（2﹣x）＝（2﹣x）：2C．（1﹣x）：x＝x：1 D．（1﹣x）：x＝1：x【思路点拨】设它的下部的高度应设计为xm，则设它的上部的高度应设计为（2﹣x）m，于是利用雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比可列方程．【答案】解：根据题意得（2﹣x）：x＝x：2．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．三、解答题16．（2018秋•赣榆区期末）已知a、b、c满足2a＝3b＝4c，且6a+9b﹣4c＝20，分别求出a、b、c的值．【思路点拨】根据题意，设2a＝3b＝4c＝k．又因为6a+9b﹣4c＝20，则可得k的值，从而求得a、b、c的值．【答案】解；设2a＝3b＝4c＝k．可得：，把a、b、c代入6a+9b﹣4c＝20，得：k＝4，所以a＝2，b＝，c＝1．【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．17．（2018秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．【思路点拨】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．【答案】解：设＝＝＝k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．【点睛】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．18．（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．【思路点拨】根据比例的性质，即可解答．【答案】解：∵k＝＝＝，且a+b+c≠0，∴k＝＝＝﹣1．【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．19．已知：＝＝＝，求值：（1）；（2）．【思路点拨】根据已知比例式，利用比例的等比性质直接求解即可．【答案】解：（1）∵＝＝＝，∴原式＝；（2）∵＝＝＝，∴＝＝，∴原式＝．【点睛】考查了等比的性质．如果（b+d+…n≠0），＝．20．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．【思路点拨】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD＝BC，DE＝AB，∴＝＝﹣1＝＝．∴矩形ABFE是黄金矩形．【点睛】根据已知条件和正方形的性质进行分析求解．。
4.1 比例线段 浙教版九年级数学上册同步练习 (含答案)
4.1 比例线段一、选择题（共9小题）1. 已知线段 a =4，b =16，线段 c 是 a ，b 的比例中项，那么 c 等于 ( )A. 10B. 8C. ―8D. ±82. 已知 C 是线段 AB 上的一个点，且满足 AC 2=BC ⋅AB ，则下列式子成立的是 ( )A. ACBC =5―12B. ACAB =5―12C. BCAB =5―12D. BCAC =5+123. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近 0.618 时会给人一种美感．已知某女士 160 cm ，下半身长与身高的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A. 6 cmB. 10 cmC. 4 cmD. 8 cm4. 已知 P ，Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB =10 cm ，则 PQ 长为 ( )A. 5(5―1)B. 5(5+1)C. 10(5―2)D. 5(3―5)5. 如图所示，P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA >PB ，如果 S 1 表示以 PA 为一边的正方形的面积，S 2 表示长为 AB ，宽为 PB 的矩形的面积，那么 S 1 与 S 2 之间的大小关系是 ( )A. S 1=S 2B. S 1>S 2C. S 1<S 2D. 不能确定6. 若 b 是 a 和 c 的比例中项，则关于 x 的一元二次方程 ax 2+2bx +c =0 的根的情况是 ( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断7. 如图所示，P 为线段 AB 的黄金分割点 (PB >PA )，四边形 AMNB 、四边形 PBFE 都为正方形，且面积分别为 S 1，S 2．四边形 APHM 、四边形 APEQ 都为矩形，且面积分别为 S 3，S 4．下列说法中，正确的是 ( )A. S 2=5―12S 1 B. S 2=S 3 C. S 3=5―12S 4 D. S 4=5―12S 18. 已知线段 AB 及 AB 上一点 P ，P 为 AB 的黄金分割点，给出下列结论：① AP 2=AB ⋅PB ；② AP =5―12AB ；③ PB =3―52AB ；④ APPB =5―12；⑤ AB AP =5―12．其中正确的是 ( )A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤9. 已知线段 AB =10，C 是线段 AB 的黄金分割点 (AC >BC )，则 AC 的长为 ( )A. 55―10B. 15―55C. 55―5D. 10―25二、填空题（共5小题）10. 为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的宽为 15 cm ，则它的长为 cm （精确到 0.1 cm ）．11. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 m （精确到 0.01 m ，参考数据 2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．12. 已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，BC =3―5，则 AB 的长为 ．13. 顶角为 36∘ 的等腰三角形称为黄金三角形．如图所示，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角相等，则图中的黄金三角形有 个．14. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图所示，线段 AB =1，点 P 1 是线段 AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点 P 2 是线段 AP 1 的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点 P 3 是线段 AP 2 的黄金分割点（AP 3<P 2P 3）⋯⋯ 依此类推，则 AP n 的长度是 ．三、解答题（共5小题）15. 如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF =PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上．（1）AM，DM的长分别为，．（2）M是AD的黄金分割点吗?请说明理由．的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．按图2所示16. 如图1所示为一张宽与长之比为5―12的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．17. 如图所示，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，取BC的中点E，折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置Bʹ，因而EBʹ=EB．类似地，在AB 上折出点Bʺ使ABʺ=ABʹ．这时Bʺ就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．18. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108∘，过点C作直线CD分别交直线AB，OD=2．AB和⊙O于点D，E，连接OE，DE=12（1）求∠CDB的度数．（2）我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比（或者．底边长与腰长的比）等于黄金比5―12①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．②求弦CE的长．③在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使△POE是黄金三角形?若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．19. 如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若ACAB =BCAC，点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线，如图2所示，在△ABC中，D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗?为什么?（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3所示），则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由．答案1. B2. B3. D4. C5. A6. A7. B8. A9. C10. 24.311. 1.2412. 213. 2015. （1）5―1；3―5（2）∵AMAD =5―12，DMAM=3―55―1=5―12，∴M是AD的黄金分割点．16. 矩形EFDC是黄金矩形．理由如下：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF．∵ABAD =5―12，∴AFAD =5―12，即F是线段AD的黄金分割点．∵FDAF =AFAD=5―12．∴FDDC =5―12．∴矩形EFDC是黄金矩形．17. 设正方形ABCD的边长为2．∵ E为BC的中点，∴ BE=1．∴ AE=AB2+BE2=5．∵ BʹE=BE=1，∴ ABʺ=ABʹ=AE―BʹE=5―1．∴ ABʺ:ABʹ=(5―1):2． ∴ Bʺ 是线段 AB 的黄金分割点．18. （1） ∵ AB 是 ⊙O 的直径，DE =12AB ， ∴ OA =OC =OE =DE ．则 ∠EOD =∠CDB ，∠OCE =∠OEC ．设 ∠CDB =x ，则 ∠EOD =x ，∠OCE =∠OEC =2x ． ∵ ∠BOC =108∘， ∴ ∠CDB +∠OCD =108∘． ∴ x +2x =108∘，x =36∘． ∴ ∠CDB =36∘．（2） ①有三个：△DOE ，△COE ，△COD ． ∵ OE =DE ，∠CDB =36∘， ∴ △DOE 是黄金三角形．② ∵ △COD 是黄金三角形， ∴ OCOD =5―12． ∵ OD =2， ∴ OC =5―1．∴ CD =OD =2，DE =OC =5―1． ∴ CE =CD ―DE =2―(5―1)=3―5．③存在，有三个符合条件的点 P 1，P 2，P 3，如图所示，以 OE 为底边的黄金三角形：作 OE 的垂直平分线分别交直线 AB ，CD 得到点 P 1，P 2；以 OE 为腰的黄金三角形：点 P 3 与点 A 重合．19. （1） 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．理由如下： ∵D 是 AB 的黄金分割点， ∴ADAB =BDAD ．∵S △ADCS △ABC =ADAB ，S △BDCS △ADC =BDAD ， ∴S △ADCS △ABC =S △BDCS △ADC ．∴ 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．（2） ∵ 三角形 AB 边的中点 Dʹ 把 AB 分成相等的两条线段，即 ADʹ=BDʹ，∴S△ADʹCS△ABC =ADʹAB=12，S△BDʹCS△ADʹC=BDʹADʹ=1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC．∵S△ADCS△ABC =S△BDCS△ADC，∴S△AEFS△ABC =S四边形BEFCS△AEF．∴直线EF是△ABC的黄金分割线．。
初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段-比例的性质 同步训练I卷
初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段-比例的性质同步训练I卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、基础巩固 (共9题；共16分)1. （2分） (2019九上·萧山月考) 若 ,则 = （）A . 3：2B . 2：3C . 2：1D . 1：22. （2分） (2017九上·下城期中) 已知，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018九上·灌云月考) 已知则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）如果2x=3y,则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2019九上·鱼台期末) 如果3a=2b(ab≠0)，那么下列比例式中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017九上·桂林期中) 下列四条线段中，不能成比例的是（）A . a=3，b=6，c=2，d=4B . a=1，b= ，c= ，d=4C . a=4，b=5，c=8，d=10D . a=2，b=3，c=4，d=57. （1分）已知a:b=3:2，则(a-b):a=________ ．8. （1分） (2019九上·福田期中) 若，则 ________.9. （2分）若 = ，则的值为________．二、强化训练 (共10题；共46分)10. （2分）(2019·海宁模拟) 已知，则等于（）A .B .C . 2D . 311. （2分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔術社上學期345下學期432A . 舞蹈社不变，溜冰社减少B . 舞蹈社不变，溜冰社不变C . 舞蹈社增加，溜冰社减少D . 舞蹈社增加，溜冰社不变12. （2分） (2018九上·温州期中) 若2a=3b，则的值为（）A .B .C .D .13. （3分） (2018九上·江阴期中) 直接写出解： ________；若，则 ________。
精选(浙教版)九年级数学上册41比例线段(1)同步导学练(含答案)
----九年级第一学期第4章 相似三角形4.1 比例线段（1）比例的基本性质：b a =d c ad=bc(a,b,c,d 都不为0).1.已知2x=5y （y≠0），则下列比例式中成立的是(B ). A.2x =5y B.5x =2y C.y x =52D.2x =y5 2.若y x =43，则xy x +的值为(D ). A.1B.74C.45D.47 3.如果a ，b ，c ，d 满足b a =dc ，那么下列等式中，不一定成立的是(C ). 4.若5a =7b =8c ，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c 的值是(D ). A.4B.42C.7D.314 5.已知a∶b=3∶2，则（a-b ）∶a= 1∶3 ．6.如果x y =32，那么y x x y +-4= 2 . 7.已知a∶b=2∶3，b∶c=3∶5，则a∶c= 2∶5 ．8.已知n n m -2 =31，则mn= 32 ． 9.已知ab=32，求下列算式的值.（1）a+bb.（2）2a+b3a-2b.【答案】∵. 10.已知a=21,b=2+3,c=2-3． （1）若a∶b=c∶x，求x ．---- （2）若b∶y=y∶c，求y ．【答案】(1)由a∶b=c∶x 得x=abc =()()213232-+=2. (2)由b∶y=y∶c 得y 2=bc=(2+3)(2-3)=1,∴y=±1.11.若2a=3b=4c ，且abc≠0，则b c b a 2-+的值是(B ). A.2B.-2C.3D.-312.若a∶b∶c=51∶41∶31，则a∶b∶c 化为整数比为(D ). A.3∶4∶5B.5∶4∶3C.20∶15∶12D.12∶15∶2013.若x∶y=1∶3，2y=3z ，则yz y x -+2的值是(A ). A.-5B.-310C.310D.5 14.已知4a =3b =2c ，则b a c b a 2++-= 103 . 15.设x ，y ，z 是三个互不相等的正数，若=31 ．16.如果，那么= 21 ． 17.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且a+b+c=36，3a =4b =5c ，求△ABC 三边的长． 【答案】设3a =4b =5c =k,则a=3k,b=4k,c=5k.∵a+b+c=36,∴3k+4k+5k=36,解得k=3. ∴a=3k=9,b=4k=12,c=5k=15.∴△ABC 三边的长为a=9，b=12，c=15.18.若，且2a-b+3c=21.试求a∶b∶c． 【答案】设=k ，则a=3k-2，b=4k ，c=6k-5，∴2（3k-2）-4k+3（6k-5）=21，解得k=2.∴a=4，b=8，c=7.∴a∶b∶c=4∶8∶7.19.【兰州】已知2x=3y （y≠0），则下列结论中，成立的是(A ).---- 20.【六盘水】已知，则a cb 的值为 23.21.已知，求的值．【答案】设比值为k ，则2a-b-c=ka ，-a-c+2b=kb ，-a-b+2c=kc ，∴b+c=（2-k ）a ，a+c=（2-k ）b ，a+b=（2-k ）c.∵=k ，∴k==0.∴=（2-k ）3=（2-0）3=8.。
浙教版数学九年级上册练习：4.1比例线段(1)
4.1 比例线段（1）（巩固练习）姓名 班级第一部分1、根据下列条件，求m ∶n 的值.(1) 34m n =；(2)53m n =. 2、已知233535y x y x +=-，求x ∶y 的值.3、求下列比例式中的x .(1) 123x x +=；(2) 112x x x -=+.4、已知324x x =+，求211x x ++的值.5、已知a cb d=判断下列比例式是否成立，并说明理由. (1) a b c d a c --=；(2) 22a a bb c d+=+.6、已知234x y z==，求x y z x y z +++-的值.第二部分1. 数－4与2的比值是 .2. 已知小华的身高为1.5米，大树与小华的身高比为5∶1，则大树高为________米.3. 如果3a =4b ，则ba=________. 4. 在比例式2163=中，两个内项的积是 .5. 若3x y =，则_______x y y+=. 6. 已知2y =5x ，则x ∶y =______________. 7. 已知5922=-+b a b a ，则a ∶b =___________.8. 已知比例式3142a a -=+，则a = . 9. 求下列各式中的x 的值.(l) (－3)∶x =2∶(－6)；(2) x ∶(x +l)=(l －x )∶3.10. 判断22-，1，2，2+2四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式．参考答案第一部分1、根据下列条件，求m ∶n 的值.(1) 34m n =；(2)53m n =. 【解】(1)43m n =； (2)3553m n m n =⇒=⇒53m n =. 2、已知233535y x y x +=-，求x ∶y 的值.【解】23355(23)3(53)24553524y x x y x y x x y y x y +=⇒+=-⇒=⇒=-. 3、求下列比例式中的x .(1)123x x +=；(2) 112x x x -=+. 【解】(1) ()1321223x x x x x +=⇒=+⇒=； (2)()()2121121012x x x x x x x x -=⇒=+-⇒--=+，解得12x =±. 4、已知324x x =+，求211x x ++的值. 【解】()2313743262417x x x x x x x +=⇒=+⇒=⇒=++. 5、已知a cb d=判断下列比例式是否成立，并说明理由.(1)a b c d a c --=；(2) 22a a bb c d+=+. 【解】(1) 比例式成立. 理由如下： ∵a cb d =，∴11ac bd -=-，即a b c da c--=. (2) 比例式不成立. 理由如下：设a c kb d ==，则a=bk ，c=dk . ∴2222a b bk b bcd dk d d ++==++，而a c b d =，∴22a a bb c d+≠+. 6、已知234x y z==，求x y z x y z +++-的值.【解】设234x y zk ===，则x =2k ，y=3k ，z =4k . ∴2349234x y z k k kx y z k k k++++==+-+-.第二部分1. 数－4与2的比值是 .答案：－22. 已知小华的身高为1.5米，大树与小华的身高比为5∶1，则大树高为________米.答案：7.5 3. 如果3a =4b ，则ba=________. 答案：344. 在比例式2163=中，两个内项的积是 .答案：6 5. 若3x y =，则_______x y y+=. 答案：46. 已知2y =5x ，则x ∶y =______________.答案：257. 已知5922=-+b a b a ，则a ∶b =___________.答案：22138. 已知比例式3142a a -=+，则a = . 答案：109. 求下列各式中的x 的值.(l) (－3)∶x =2∶(－6)；(2) x ∶(x +l)=(l －x )∶3. 解：(1) ∵(－3)∶x =2∶(－6)，∴2x =(－3)×(－6)，∴x =9.(2) ∵x ∶(x +l)=(l －x )∶3，∴3x =(x +1)(1－x )，即x 2－3x +1=0，解得3132x ±=. 10. 判断22-，1，2，2+2四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式． 分析：要判断四个数是否成比例，按教材要求这四个数必定按顺序排列，不必分多种情况讨论.解：∵()()2222212-+==⨯, ∴222122-=+, 即四个数成比例.初中数学试卷灿若寒星制作。
2018-2019届最新浙教版九年级数学上册：比例线段(2)同步导学练及答案-精品试卷
4.1 比例线段（2）求线段的比要注意统一长度单位，特别在地图问题中单位的转换是易错点．1.C 是线段AB 上的一点，且AC ∶CB=2∶3，那么AB ∶BC 等于(B).A.2∶3B.5∶3C.3∶2D.3∶52.在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm ，则两地的实际距离是(C).A.30kmB.300kmC.3000kmD.30000km3.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是(C).A.2，5，10，25B.4，7，4，7C.2,21,21，4D.2,5,25，52 4.给出下列各组线段，其中成比例线段是(D).A.a=2cm ，b=4cm ，c=6cm ，d=8cmB.a=21cm ，b=41cm ，c=61cm ，d=81cm C.a=2cm ，b=3cm ，c=10cm ，d=25cmD.a=2cm ，b=5cm ，c=23cm ，d=15cm5.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105km ，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A).A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度6.已知线段a=2cm ，b=（2-1）cm ，c=（2-2）cm ，则线段a ，b ，c 的第四比例项是2423 cm ．7.C 是线段AB 上一点，BC=2AC ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，那么MN ∶BC= 43 ． （第8题）8.在某地图册上，连结甲、乙、丙三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示.如果飞机从丙直飞甲的距离约为1290km ，那么飞机从丙绕道乙再到甲的空中飞行距离约是 3870 km ．9.如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F.找出图中的一组比例线段，并说明理由．（第9题）【答案】∵S ABCD =BC ·AE=CD ·AF ，∴CD BC =AEAF . （第10题）10.如图所示，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°．（1）求ACAB 的值． （2）求AB ∶AC ∶BC.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，∵∠B=30°，∴AD=21AB,BD=3AD.在Rt △ADC 中，∵∠C=45°，∴AD=22AC,CD=AD.∴21AB=22AC.∴AC AB =2. (2)∵AB=2AD ，AC=2AD ，BD=3AD ，CD=AD ，∴BC=BD+CD=（3+1）AD.∴AB ∶AC ∶BC=2∶2∶（3+1）.11.已知甲、乙两幅地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20000，如果甲图上A ，B 两地的距离与乙图上C ，D 两地的距离恰好相等，那么A ，B 两地的实际距离与C ，D 两地的实际距离之比为(C).A.5∶2B.2∶5C.1∶4D.4∶112.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是(C).（第12题）A.19.4B.19.5C.19.6D.19.713.如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于(A).（第13题） A.2∶1B.1∶2C.3∶1D.1∶314.已知AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的三等分点，则BC AC = 3或33． 15.李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作，在第一次操作后，原线段AB 上的41，43均变成21，21变成1.那么在线段AB 上的点中（点A ，B 除外），在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是 1 ．（第15题）16.如图所示，C 是线段AB 上的点，D 是AB 延长线上的点，且AD ∶BD=3∶2，AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，求AD 的长．（第16题）【答案】∵AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，∴AB=6.∵AD ∶BD=3∶2，∴AB ∶AD=1∶3.∴AD=18.17.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2.（1）求下列各线段的比：BC CD ，CF EF ，ABBF . （2）指出AB ，BC ，CF ，CD ，EF ，BF 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5.∴BC CD =5.63=136，CF EF =5.43=32，AB BF =32. (2)成比例线段有CF EF =ABBF (答案不唯一).18.【娄底】若在比例尺为1∶6700000的地图上量得我国南北的图上距离是82.09cm ，则我国南北的实际距离大约是 5500 km （结果精确到1km ）.19.已知点P 在线段AB 上，且AP ∶BP=2∶3，则AB ∶PB= 5∶3 .20.在线段AB 上存在一点C ，满足AC ∶CB=CB ∶AB=k ．（1）求k 的值．（2）如果三条线段a ，b ，c 满足a ∶b=b ∶c=k ，这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．（第20题）【答案】(1)设AB=x,则CB=kx,AC=k 2x.∵AC+BC=AB ，∴k 2x+kx=x.∴k=251±-. ∵k ＞0，∴k=215-. (2)不能.理由如下：∵a ∶b=b ∶c=k ，∴b=kc=215-c,a=kb=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2152c=253- c.∴a+b=c.∴线段a，b，c不能构成三角形.。
浙教版九年级数学上4.1比例线段(一)同步练习含答案
4.1比例线段（一）一．选择题1.下列各组数中成比例的是（ ）A. 3,4,5,6B.1,3,3,5C. 1,4,4,2D. 1,4,2,82.已知3x ＝2y ，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. 2x=3y B. 3x=2y C. x=6y D.xy=6 3.已知21=b a ，则ba a +的值为（ ） A. 21 B. 32 C. 31 D. 43 4.若3x=2y 则yy x +的值（ ） A.53 B. 35 C. 25 D.52 5.若54==d c b a ，则db c a --的值（ ） A. 41 B. 4 C. 54 D.45 二．填空题6.若=+=yx y y x 则,34_________ 7.已知的值是则k k ac b b c a c b a ,=+=+=+________ 8.已知=+--+=z y x z y x z y x 33,5:3:1::则__________ 9.若=++++===fd be c af e d c b a 则,43___________ 10.若=++=yx y x 3,922则可得比例式：_________ 三．解答题 11.从632,3,21，，，，中选取四个数，使他们组成一个比例式，并写出这个比例式.12. 求下列各式中x 的值（1）432=+x x （2）211-=+x x x13. 已知.),0(是否成立，并说明理由判断比例式d c d c b a b a b a d c b a +-=+-≠+=14. 已知.332332332的值，求k k ba c a cbc b a =+=+=+15.已知a,b,c,均为非零实数，且满足,t ac b a b c b a c c b a =++-=+-=-+试判断一次函数t kx y +=的图象必定经过哪些象限.4.1比例线段（一）1—5 DACBC 6. 73 7. 2或-1 8. 35- 9. 43 10.3-x y 11.答案不唯一 12. ()()21261±==x x 13. 成立，理由略 14. 32-31或 15.t=1时过一二三象限，t=-2时过二三四象限，所以必过二三象限。
浙教版初中数学九年级上册《4.1 比例线段》同步练习卷
浙教新版九年级上学期《4.1 比例线段》同步练习卷一．选择题（共29小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3 2．若，则k的值为（）A．B．1C．﹣1D．3．已知，则的值为（）A．B．C．D．4．如果，那么的值等于（）A．B．C．D．5．若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．6．已知a＝2b，则下列选项错误的是（）A．a+c＝c+2b B．a﹣m＝2b﹣m C．D．7．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（）个．（1）（2）2a＝3b（3）（4）3a＝2bA．1B．2C．3D．4 8．若x：y：z＝2：3：7，且x﹣y+3＝z﹣2y，则z的值为（）A．7B．63C．D．9．若a：b＝3：4，则b：（a﹣b）的值为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4 10．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（）A．2：2B．3：1C．3：2D．2：3 11．若＝，则的值为（）A．5B．C．3D．12．已知＝＝＝，若a+c+e＝6，则b+d+f＝（）A．12B．9C．6D．413．如果＝2017，则等于（）A．2017B．﹣2017C．2016D．﹣201614．下面四组线段中，不能成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6B．a＝1，b＝，c＝，d＝C．a＝2，b＝5，c＝，d＝D．a＝1，b＝，c＝，d＝10 15．已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（）A．1B．或﹣1C．﹣2D．1或﹣2 16．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（）A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm17．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±418．已知线段a＝2，线段b＝8，线段c是a和b的比例中项，则c等于（）A．2B．4C．±4D．819．已知mx＝ny≠0，则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝20．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝8cm，则线段d 的长为（）A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm21．如果＝成立，那么下列各式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝22．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：323．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对24．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．25．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°26．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣27．如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（）个黄金三角形．A．5B．10C．15D．2028．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个29．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）30．若＝≠0，则．31．已知：3a＝2b，那么＝．32．若，则的值是．33．已知，则＝．34．设＝＝，则＝，＝．35．已知点P是线段AB上的点，AB＝4cm，且AP是AB和PB的比例中项，那么AP＝cm．36．如果线段m是线段a、b、c的第四比例项，已知a＝4，b＝5，c＝8，那么线段m的长等于．37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，则AC的长为．三．解答题（共3小题）38．若＝＝，且2a﹣b+3c＝21，求4a﹣3b+c的值．39．已知，求的值．40．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．浙教新版九年级上学期《4.1 比例线段》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x 的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若，则k的值为（）A．B．1C．﹣1D．【分析】首先根据条件，根据a+b+c＝0和a+b+c≠0，可得到k值．【解答】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），因而k＝＝＝﹣1；当a+b+c≠0时，k＝＝．故k的值是﹣1或．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由整理得出2m＝3n，由比例的性质可得答案．【解答】解：∵，∴2m﹣2n＝n，则2m＝3n，∴＝，故选：C．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．4．如果，那么的值等于（）A．B．C．D．【分析】依据，即可得到a＝b，进而得出＝＝．【解答】解：∵，∴3a﹣3b＝5b，∴3a＝8b，即a＝b，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积．5．若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由得，3x＝2y，故本选项比例式成立；B、由得，xy＝6，故本选项比例式不成立；C、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；D、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．6．已知a＝2b，则下列选项错误的是（）A．a+c＝c+2b B．a﹣m＝2b﹣m C．D．【分析】根据等式的性质判断即可．【解答】解：A、因为a＝2b，所以a+c＝c+2b，正确；B、因为a＝2b，所以a﹣m＝2b﹣m，正确；C、因为a＝2b，所以，正确；D、因为a＝2b，当b≠0，所以，错误；故选：D．【点评】此题考查比例的性质，关键是根据等式的性质解答．7．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（）个．（1）（2）2a＝3b（3）（4）3a＝2bA．1B．2C．3D．4【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：由（a≠0，b≠0）得，3a＝2b，（1）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；（2）、由等式性质可得2a＝3b，错误；（3）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；（4）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．8．若x：y：z＝2：3：7，且x﹣y+3＝z﹣2y，则z的值为（）A．7B．63C．D．【分析】根据题意，设x＝2k，y＝3k，z＝7k，代入x﹣y+3＝z﹣2y即可求得k的值，易得z的值．【解答】解：由题意，设x＝2k，y＝3k，z＝7k，∴由x﹣y+3＝z﹣2y，得2k﹣3k+3＝7k﹣6k，解得k＝，∴z＝7k＝．故选：C．【点评】考查了比例的性质．能够用一个未知数表示出相关比，再进一步求其比值即可．9．若a：b＝3：4，则b：（a﹣b）的值为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【分析】根据比例的性质求出a＝b，代入求出即可．【解答】解：a：b＝3：4，a＝b，b：（a﹣b）＝b：（b﹣b）＝﹣4，故选：D．【点评】本题查比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，本题属于简单题．10．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（）A．2：2B．3：1C．3：2D．2：3【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．【解答】解：∵x：y＝1：2，∴设x＝a，则y＝2a，∴（x+y）：y＝（a+2a）：2a＝3：2．故选：C．【点评】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．11．若＝，则的值为（）A．5B．C．3D．【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由＝，得4b＝a﹣b．，解得a＝5b，＝＝5，故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．12．已知＝＝＝，若a+c+e＝6，则b+d+f＝（）A．12B．9C．6D．4【分析】由＝＝＝得a＝b、c＝d、e＝f，代入到a+c+e＝6可得答案．【解答】解：由＝＝＝得a＝b、c＝d、e＝f，则b+d+f＝6，即（b+d+f）＝6，∴b+d+f＝6×＝9，故选：B．【点评】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质和等式的性质是解题的关键．13．如果＝2017，则等于（）A．2017B．﹣2017C．2016D．﹣2016【分析】由＝2017得到y＝2017x，代入代数式即刻得到结果．【解答】解：∵＝2017，∴y＝2017x，∴＝＝﹣2016，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．14．下面四组线段中，不能成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6B．a＝1，b＝，c＝，d＝C．a＝2，b＝5，c＝，d＝D．a＝1，b＝，c＝，d＝10【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．【解答】解：A、2×6＝3×4，能成比例；B、1×＝×，能成比例；C、5×≠2×，不能成比例；D、1×10＝×，能成比例；不能成比例的是C．故选：C．【点评】此题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（）A．1B．或﹣1C．﹣2D．1或﹣2【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．【解答】解：根据题意有：2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b+c≠0，∴k＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形三边关系及比例的基本性质的综合运用，注意三角形的三边之和大于0．16．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（）A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可．【解答】解：20千米＝2000000厘米，2000000×＝4（cm）．故选：D．【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．17．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±4【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项．【解答】解：∵数b是数a和数c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得：b＝±4，故选：D．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．18．已知线段a＝2，线段b＝8，线段c是a和b的比例中项，则c等于（）A．2B．4C．±4D．8【分析】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值．【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c＝±4，∵c＞0，∴c＝4．故选：B．【点评】本题考查了比例线段，熟记比例中项的定义是解题的关键，要注意线段的长度是正数．19．已知mx＝ny≠0，则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、，正确；B、，错误；C、，错误；D、，错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．20．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝8cm，则线段d 的长为（）A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad＝cb，代入a＝5cm，b＝2.5cm，c＝8cm，解得：d＝4．故线段d的长为4cm．故选：B．【点评】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．21．如果＝成立，那么下列各式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用比例的性质即可一一判断．【解答】解：A、错误．应该是＝；B、错误．≠；C、错误．≠；D、正确．设＝＝k，则a＝bk，c＝dk，左边＝＝k+2，右边＝＝k+2，∴左边＝右边．故选：D．【点评】本题考查比例线段，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．23．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC；故选：B．【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．24．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题设条件，由，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x＝，∵0＜x＜1，∴x＝．故选：D．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．25．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．想办法证明△BCD∽△ACB，推出∠ABC＝∠C＝2∠A即可解决问题；【解答】解：如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．∵BC＝AB，AD＝BC，∴AD＝AB，∴点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2＝CD•CA，∴BC2＝CD•CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴∠BDC＝∠ABC，∠DBC＝∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则∠ABC＝∠A＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，故选：B．【点评】本题考查黄金分割．等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．26．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝（﹣1）cm．故选：A．【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．27．如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（）个黄金三角形．A．5B．10C．15D．20【分析】根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析．【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有△EMR、△ARQ、△BQP、△CNP、△DMN、△DER、△EAQ、△ABP、△BCN、△CDM、△DAB、△EBC、△ECA、△ACD、△BDE，△ABR，△BQC，△CDP，△DEN，△EAQ，共20个．故选：D．【点评】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．28．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．29．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴∠EBC＝36°，∴∠ABE＝∠A＝36°，∵∠DBE＝72°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD∥AE，∴△AEF∽△BDF，∴＝（）2，设BC＝BE＝AE＝x，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE•CA，∴x2＝（2﹣x）2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，∴＝（）2＝故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共8小题）30．若＝≠0，则1．【分析】根据＝得到a＝，然后代入代数式约分化简即可．【解答】解：∵＝，∴a＝，∴＝＝＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个字母表示出另一个字母，难度不大．31．已知：3a＝2b，那么＝﹣．【分析】由3a＝2b，可得＝，可设a＝2k，那么b＝3k，代入，计算即可求解．【解答】解：∵3a＝2b，∴＝，∴可设a＝2k，那么b＝3k，∴＝＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，利用设“k”法比较简单．32．若，则的值是8或﹣1．【分析】先设＝＝＝k，易得b+c＝ka①，a+c＝kb②，a+b＝kc③，①+②+③可得2（a+b+c）＝k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k＝2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c＝0，则有a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．【解答】解：设＝＝＝k，于是b+c＝ka①，a+c＝kb②，a+b＝kc③，①+②+③得，2（a+b+c）＝k（a+b+c），∴当a+b+c≠0，则k＝2，∴＝＝k3＝8；当a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，∴＝＝﹣1．故答案是8或﹣1．【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．33．已知，则＝．【分析】由，即可设a＝2k，b＝3k，然后将其代入代数式，化简求解即可求得答案．【解答】解：设a＝2k，b＝3k，则＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握由，设a＝2k，b＝3k的解题方法．34．设＝＝，则＝，＝26．【分析】根据比例的基本性质，用一个未知量k分别表示出x、y和z，代入原式中即可得出结果．【解答】解：根据题意，设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝7k，则＝＝.＝＝26，故填；26．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．35．已知点P是线段AB上的点，AB＝4cm，且AP是AB和PB的比例中项，那么AP＝﹣2+2cm．【分析】设AP＝x，则PB＝4﹣x，根据AB：AP＝AP：PB，列方程解答．【解答】解：设AP＝xcm，则PB＝AB﹣AP＝4﹣x（cm），根据题意知：＝，整理，得：x2+4x﹣16＝0，解得：x＝﹣2±2，经检验：x＝﹣2±2均为原分式方程的解，∵x＞0，∴x＝﹣2+2，即AP＝﹣2+2（cm），故答案为：﹣2+2．【点评】本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．36．如果线段m是线段a、b、c的第四比例项，已知a＝4，b＝5，c＝8，那么线段m的长等于10．【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：m，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．【解答】解：∵线段m是线段a、b、c的第四比例项，∴，∵a＝4，b＝5，c＝8，∴，m＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握第四比例项的概念是关键，书写比例式时要注意顺序．37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，则AC的长为或或．【分析】根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC 三种情况，分别代入AB＝2，BC＝3进行计算可得结论．【解答】解：∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值已舍去）；∴当AC＝或或时，△ABC是比例三角形．故答案为：或或．【点评】本题主要考查比例线段，解题的关键是理解比例三角形的定义．三．解答题（共3小题）38．若＝＝，且2a﹣b+3c＝21，求4a﹣3b+c的值．【分析】令＝＝＝k，则可用含k的代数式分别表示a、b、c，再代入2a﹣b+3c＝21，求出k的值，进而求出a、b、c的值，把a、b、c的值代入4a﹣3b+c，即可得出结果．【解答】解：令＝＝＝k，则a+2＝3k，b＝4k，c+5＝6k，即a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，∵2a﹣b+3c＝21，∴2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，∴k＝2．∴a＝4，b＝8，c＝7．∴4a﹣3b+c＝4×4﹣3×8+7＝﹣1．【点评】本题实际上考查了三元一次方程组的解法．通过设辅助未知数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入2a﹣b+3c＝21，可使问题较为简便．39．已知，求的值．【分析】利用已知用同一未知数表示出a，b的值，再代入化简即可．【解答】解：∵，∴设a＝2x，b＝3x，则原式＝﹣＝﹣＝﹣1+4＝3．【点评】此题主要考查了比例的性质以及分式的加减运算，正确把已知代入是解题关键．40．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C ＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。
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4.1 比例线段（三）
1．已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a，c的比例中项，则线段b的值为(B)
A. 2.5
B. 5
C. ±2.5
D. ± 5
2．已知b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于(B)
A.9∶7
B.7∶3
C.3∶7
D.7∶9
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式中，正确的是(C)
A. AB2＝AC·BC
B. BC2＝AC·AB
C. AC2＝BC·AB
D. AC2＝2AB·BC
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点．若AD＝4，BD＝5，AC是AD与AB的比例中项，则AC等于(B)
(第4题)
A. 2 5
B. 6
C. 20
D. 36
5．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为(C)
A. (3 5－3)cm
B. (9－3 5)cm
C. (3 5－3)cm 或(9－3 5)cm
D. (9－3 5)cm 或(6 5－6)cm
6．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 的长为20 m ，则主持人走到离点A7.6或12.4m 处最自然得体(精确到0.1 m)．
7．我们把两条邻边中较短边与较长边的比值为
5－1
2
的矩形称做黄金矩形．现将长度为20 cm 的铁丝折成一个黄金矩形，求这个黄金矩形的面积．
【解】 设这个黄金矩形的较长边为x(cm)．根据题意，得
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋
5－12x ＝20，解得x ＝5 5－5. ∴这个黄金矩形的较短边为
5－1
2
×(5 5－5)＝(15－5 5)cm. ∴这个黄金矩形的面积为(5 5－5)×(15－5 5)＝(100 5－200)cm 2.
8．如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA>PB.若S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长为AB ，宽为PB 的矩形的面积，则S 1__＝__S 2(填“>”“<”或“＝”)．
(第8题)
【解】 ∵点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA>PB ， ∴PA 2＝PB·AB.
∵S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2.
9．已知实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”．当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝2__5－4．
(第9题)
【解】 ∵AM 2
＝BM·AB，BN 2
＝AN·AB， ∴M ，N 为线段AB 的两个黄金分割点．
∴AM ＝
5－12AB ＝5－1
2(b －a)＝5－1， AN ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－
5－12AB ＝3－52(b －a)＝3－ 5. ∴m －n ＝MN ＝AM －AN ＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.
10．如果a ＝1，b ＝
5－12，c ＝3－5
2
，那么(C) A. a 是b ，c 的比例中项 B. c 是a ，b 的比例中项 C. b 是a ，c 的比例中项 D. 1是a ，b ，c 的第四比例项
【解】 ∵a＝1，b ＝
5－12，c ＝3－5
2
， ∴b 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－122＝6－254＝3－5
2＝ac ，
∴b 是a ，c 的比例中项．
11．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(AP 1＜BP 1)，点P 2是线段AP 1
的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此类推，求AP n 的长度．
(第11题)
【解】 ∵线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(AP 1＜BP 1)，
∴BP 1＝
5－12AB ＝5－1
2， ∴AP 1＝1－
5－12＝3－5
2
. ∵点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)， ∴AP 2＝3－52×3－52＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－522
，
∴AP 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－523
，
……
∴AP n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－52n
.
12．如图①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BC
AC ，那么称点C 为线段AB 的黄
金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1和S 2，如果S 1S ＝S 2
S 1
，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
(1) 研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(第12题)
(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF∥CE，交AC 于点F ，连结EF(如图③)，则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．
(4) 如图④，点E 是▱ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF∥AD 交DC 于点F ，显然直线EF 是▱ABCD 的黄金分割线．请你画一条▱ABCD 的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．
【解】 (1)“直线CD 是△ABC 的黄金分割线”正确．理由如下： 易得S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD
AD .
∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴
AD AB ＝BD AD .∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC
S △ADC
. ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．
(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2
S 1，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．
(3)∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高也相等，∴S △DEC ＝S △FCE . 设直线EF 与CD 交于点G ，则S △DGE ＝S △FGC.
∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC. 由(1)，得S △ADC S △ABC ＝S △BDC
S △ADC
.
∴
S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC
S △AEF
. ∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线． (4)画法不唯一，现提供两种画法如下：
画法一：如解图①，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于点M ，N ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．
画法二：如解图②，在DF 上取一点N ，连结EN ，再过点F 作FM∥NE 交AB 于点M ，连结MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．
（第12题解）。