2014年福州市中考数学规律性试题汇总与解析(一)

2014年全国中考数学试题----规律试题（一）
1. （2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×( )2= ( )；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【解析】解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42=17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，
左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，
右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．
2. （2014•漳州）已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是( ) ．（用含n的代数式表示）.
【解析】解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是3n﹣1，故答案为：3n﹣1．
3. （2014•白银）观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=( )．
分析：13=12
13+23=（1+2）2=32
13+23+33=（1+2+3）2=62
13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102
13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
解答：解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2
所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
4. （2014•兰州）为了求1+2+22+23+...+2100的值，可令S=1+2+22+23+...+2100，则2S=2+22+23+24+ (2101)
因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是_______________ .
【解析】解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，
①式两边都乘以3，得
3M=3+32+33+…+32015 ②．
②﹣①得
2M=32015﹣1，
两边都除以2，得
M=
，
故答案为：
．
5. （2014•天水）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）．
【解析】解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），
OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，
P2（2.5，﹣0.25）
P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，
p10的纵坐标是﹣0.25，
故答案为（10.5，﹣0.25）．
6. （2014•梅州）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是( )；点P2014的坐标是( )
【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
当点P第3次碰到矩形的边时，点P3的坐标为：（8，3）；
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P2014的坐标为（5，0）．
故答案为：（8，3），（5，0）．
7. (2014年广东深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有( )．
【解析】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485．
故答案为：485．
8. （2014•珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为．
【解析】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，
∴AA1=OA=1，OA1=OA=；
∵△OA 1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．
故答案为：8．
9. （2014•贵港）已知点A1（a1，a2），A2（a2，a3），A3（a3，a4）…，A n（a n，a n+1）（n为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若a1=2，则a2014=_________________.
【解析】解：将a1=2代入a2=x+3，得a2=5，
同理可求得，a3=8，a4=11，a5=14，a6=17，
a n=2+3（n﹣1），
a2014=2+3（2014﹣1）=2+3×2013=2+6039=6041，
故答案为6041．
10. (2014年广西钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是（）分．
【解析】解：甲报的数中第一个数为1，
第2个数为1+3=4，
第3个数为1+3×2=7，
第4个数为1+3×3=10，
…，
第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
3n﹣2=2014，则n=672，
甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分．
故答案为：336．
11. (2014年贵州安顺)如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA 的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=（）．
【解析】解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，
第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，
第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，
则第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2，
故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．
故答案为：8n﹣4．
12. （2014•毕节地区）观察下列一组数
：，，，，
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是____________________.
【解析】解：根据题意得：这一组数的第n个数是
．故答案为：
．
13. （2014•黔南州）已知= = 3，= = 10，= = 15
，…观察以上
计算过程，寻找规律计算=（）
．
【解析】解：∵==3
，
==10
，
==15
，
∴==56
．
故答案为56．
14. （2014•遵义）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是3．
【解析】解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2014÷4=503…2，
∴滚动第2014次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3，
故答案为：3．
15. （2014•河北）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．
将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；
再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；
继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．
则点P37所表示的数用科学记数法表示为．
【解析】解：M1表示的数为0.1×=10﹣3，
N1表示的数为×10﹣3=10﹣5，
P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，
P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6．
故答案为：3.7×10﹣6．
16. (2014年黑龙江龙东地区）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．
【解析】解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；
AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；
AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；
∵2013=3×671，
∴AP2013=（2013﹣761）+671=1342+671，
∴AP2014=1342+671+=1342+672．
故答案为：1342+672．
17. (2014年黑龙江牡丹江)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，
以此继续下去，则点A 2014到x 轴的距离是（ ）．
【解析】解：如图，∵点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴△B 1OC 1∽△B 2E 2C 2∽B 3E 4C 3…，△B 1OC 1≌△C 1E 1D 1，…， ∴B 2E 2=1，B 3E 4=，B 4E 6=，B 5E 8=…， ∴B 2014E 4016 =
，
作A 1E ⊥x 轴，延长A 1D 1交x 轴于F ， 则△C 1D 1F ∽△C 1D 1E 1，
∴=
，
在Rt △OB 1C 1中，OB 1=2，OC 1=1， 正方形A 1B 1C 1D 1的边长为为=，
∴D 1F=，
∴A 1F=
， ∵A 1E ∥D 1E 1， ∴
=
，
∴A 1E=3，∴=
，
∴点A 2014到x 轴的距离是×
=
.
18. （20104.齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系xoy 中，有一个等腰直 角三角形AOB ，∠OAB=90°，直角边AO 在x 轴上，且AO=1.将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋
转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1,且A 1O=2AO ， 再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到
等腰直角三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O ，……，
依此规律，得到等腰直角三角形A 2014OB 2014，
则点A 2014的坐标为________________.
【解析】解：∵将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O=2AO ， 再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O …，依此规律， ∴每4次循环一周，A 1（0，-2），A 2（-4，0），A 3（0，8），A 4（16，0）， ∵2014÷4=503…2，
∴点A 2014的坐标与A 2所在同一象限， ∵-4=-22，8=23，16=24， ∴点A 2014（-22014，0）．
B 1
A 2
B 2
A 1
B A x y
o 第20题图
故答案为：（-22014，0）．
19. （2014•绥化）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）．【解析】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2014÷10=201…4，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，
即线段BC的中间位置，点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
20. （2014•莆田）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y
轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（）【解析】解：过B1向x轴作
垂线B1C，垂足为C，
由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，
∴CO=OB1cos30°=，
∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，
∴直线AA1的解析式为：y=x+2，
∴y=×+2=3，
∴A1（，3），
同理可得出：A2的横坐标为：2，
∴y=×2+2=4，
∴A2（2，4），
∴A3（3，5），
…
A2014（2014，2016）．
故答案为：（2014，2016）．。