六年级奥数考点：不定方程问题
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程
所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是：
（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？
例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？
做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？
例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有3
1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？
做一做：一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的5
六年级奥数不定方程
六年级奥数 不定方程
【知识要点】
如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。
不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。
不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a 、b 、c 为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。
一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。
【典型例题】
例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。”你知道李军的生日是几月几日吗？
分析：如果设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。
解：设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，列方程：31x+12y=347
变形后得： y=12
31347x -………………………………………………………………（1） 即y=29-3x+12
15-x ∵x 、y 为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除
∴x=5 把x=5代入（1），得所列方程的整数
解为: 答：李军的生日是5月16日。
例 2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
例6．卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅买了多少包奶糖？
4.樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．
（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子？
（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1.2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？
「分析」不妨设已经截出了 根长36厘米的管子和 根长24厘米的管子．合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？
练习4、酒店里有500升女儿红，李一白每次路过这里就打走35升，杜二甫每次路过这里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？
二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解．而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢？
六年级奥数学习讲义 第40讲 不定方程 练习及答案
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4
。可列表试验求解：
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5 Y=5 y=2 练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程
在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个方程。当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程的正整数解。
2725=+y x 【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数
⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==1
5,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解
【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程
一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲
例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?
例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?
例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?
例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。问:小鸡至多被套中多少次?
例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?
例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?
例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?
例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?
不定方程
学而思奥数网奥数专题 (杂题) 不定方程
1、 六年级不定方程问题：
难度：低难度
答：
2、 六年级不定方程问题： 难度：高难度
答：
3、 六年级不定方程问题：
难度：中难度
答：
甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?
在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?
有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?
4、 六年级不定方程问题： 难度：高难度
答：
5、 六年级不定方程问题： 难度：高难度
答：
将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?
学而思奥数网奥数专题（杂题）不定方程
1、六年级不定方程习题答案： 【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支． 有7x +3y =50，这个不定方程的解法有
多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的
性质来求解的方法：
将系数与常数对3取模(系数7，3中，
3最小)：
得x =2(mod 3)，所以x 可以取2，此时
y 取12；x 还可以取2+3=5，此时y 取5；
即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．
【6年级奥数详解(上)】第07讲 不定方程仅答案
小学奥数创新体系6年级
（上册授课详解） 最
新
讲
义
小学奥数
第七讲 不定方程
例题：
例题1. 答案：14或10
详解：由于方程两边除以3的余数相同，()73mod3x y x +≡，()502mod3≡，所以x 除以3余2．又因为750x ≤，所以x 是不超过7的自然数，只能取2或5．当2x =时，()5027312y =-⨯÷=，14x y +=；当5x =时，()505735y =-⨯÷=，10x y +=．所以张明共买了14支或10支铅笔．
例题2. 答案：26
详解：设买了大盒鸡蛋x 盒，小盒鸡蛋y 盒，则2316500x y +=．考虑方程两边除以16的余数，得：7x 除以16的余数是4．首先要求7x 是4的倍数，所以x 是4的倍数，验证x =4、8、12、……发现满足7x 除以16的余数是4的最小x 值是12，相应的y 的值是14，
即1214
x y ==⎧⎨⎩．由于1216
例题3. 答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有x 人和y 人．则两队植树棵数分别为131x -棵和102y -棵．由分析得：10131y x -=．将y =0、1、2、……代入方程验证x 是否是自然数，可以求出方程的y 值最小的一组
自然数解43
y x ==⎧⎨⎩，此时每队的植树棵数均为38棵． 方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y 值增加
13且同时x 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解
是1713y x ==⎧⎨⎩，3023y x ==⎧⎨⎩，4333
y x ==⎧⎨⎩，……），每次“y 值增加13且同时x 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4
。可列表试验求解：
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5 Y=5 y=2 练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
六年级奥数不定方程
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六年级奥数不定方程
1、求2343=+y x 的自然数解。
2、求2523=+y x 的自然数解。
3、求3754=+y x 的自然数解。
4、求1635=-y x 的最小自然数解。
5、求方程组的正整数解。⎩⎨⎧=--=++26325
375z y x z y x
6、求方程组的正整数解。⎩⎨⎧=++=-+24237
234z y x z y x
7、求方程组的正整数解。⎩⎨⎧=++=++5297568
1197z y x z y x
8、求方程组的正整数解。⎩
⎨⎧=--=++26326
475z y x z y x
9、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
10、某校六（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可做5人。那么需要小船和大船各几只（大、小船都有）？
11、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
12、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少枝？
13、买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
14、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
15、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，铅笔每枝9角。问每种笔各买几枝（每种都要买）？
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程
知识要点
如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。如x＋
y＝10，
15
12
x a
y a
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，
。
不定方程(组)的解是不确定的。一般地，如果没有给不定方程的制约
条件，那么它就有无限多个解。小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0
a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)
即 20a＋1＝7b
所以 a＝71 20 b-
因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，
所以 a＝1，b＝3
即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？
点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有
1800x＋1200y＋800z＝16000
举一反三-六年级奥数分册~第40周 不定方程
第四十周 不定方程
专题简析：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有：
x ＝2.4
x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6
……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3
如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．
求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x
4
。可列表试验求解： 所以方程3x+4y ＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2 练习一
1、 求3x+2y ＝25的自然数解。
2、 求4x+5y ＝37的自然数解。
3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。 例2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z ＝25 3x －y －6z ＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
六年级奥数第二十四讲 不定方程 全集
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4
。可列表试验求解：
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5 Y=5 y=2 练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②，得13x+13y＝52
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程
不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念
不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法
1. 列举法
列举法是最常用的解不定方程的方法。具体步骤是：
（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；
（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法
当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。具体步骤是：
（1）先令a、b互换，使得a > b；
（2）用b去除以a，得到余数r；
（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；
（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；
（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用
不定方程在实际生活中有广泛的应用。以下举例说明：
1. 整数约分
在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题
在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题
奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
【小学六年级奥数】第40讲 不定方程
旗开得胜
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
1
旗开得胜
2
先将原方程变形，y ＝23－3x
4
。可列表试验求解：
X 1 2 3 4 5 6 7
Y 5 × × × 2 × ×
所以方程3x+4y ＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2
练习1
1、求3x+2y ＝25的自然数解。
旗开得胜
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
小学奥数 不定方程 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、设A和B都是自然数，且满足 + = ，求A+B的值。
4、甲、乙二人植树，甲每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？
教学过程
不定方程知识要点和基本方法
1、当方程（组）中未知数的个数多于方程的个数时，称这个方程（组）为不定方程（组）
2、一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
例1、求方程 的整数解
巩固、求方程 的整数解。
例5、一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？
巩固、一个正整数与17的和为4的倍数，与17的差是5的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？
例6、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
例3、用20元钱买10枝笔。已知毛笔每枝4元，彩色笔每枝1元，钢笔每枝8元。问每种笔各买几枝？（每种都要买）
巩固、买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
例4、已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆=.
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考点：不定方程问题
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4
。可列表试验求解：
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2
练习1
1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②，得13x+13y＝52
X+y＝4 ③
把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝7
2、7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
3、5x+7y+4z＝26（课后）
3x－y－6z＝2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、（课后）某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共
几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－y
2
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
练习4
1、（课后）有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？