用向量法解立体几何复习课
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(3)求面面的夹角:
AB n AB n
B
β
若 n1 , n2 分别是两个平面的法向量,则 n1 , n2 就是 所求二面角的平面角或其补角的大小
(4)两点A、B间的距离:
AB
AB n n
(5)点A到平面α的距离:
A
d
B
O
(8)直线AB⊥平面
:
AB CD, AB EF CD ,EF CD EF P
垂直和平行:
(7)线线垂直(如洛阳卷) (8)线面垂直(如三校联考、04一模) (9)面面垂直(如长春卷) (10)线面平行(如南京二模、04二模)
二、题型解法:
(1)求直线a,b的夹角:
a b cos a , b ab
α
(2)求直线AB与平面 的夹角β:
A
O
sin cos AB n
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hmq046dfk
是啊,也许是为了把那些不愉快的事忘掉的缘故吧,小荷已是十六岁了,还没有过一次生日,也从来没有人提起过。眼前的情景让我都有些不 知所措„„我笑了,“这些事还是问你妈,也许你妈记得最清楚„„” “爸,你在说谎,分明我妈什么也不记得了。”小荷撒起娇来。我看了 看妻子,她在憨憨地对我笑。 “来来来,点上蜡烛,小荷吹蜡烛啦„„”马大嫂招呼起来。一阵喧嚣之后,一根根蜡烛被吹灭了,大家安静下 来。 “今天是小荷的生日,也是小年,我们要记住这个不平凡的日子,我建议大家共同干了这杯酒 。”马天栓举起酒杯。 “祝你生日快乐!” “祝你生日快乐!„„”轮到马大嫂时,她使了个眼色,推辞着以茶代酒。我忽然明白过来,看样子马大嫂有喜了。我风趣地说:“祝贺大哥 大嫂天天发财,早生贵子。”于是大家一饮而尽。这是我进城以来过得最愉快的一个夜晚,我和天栓喝了很多酒,说着我们各自的未来。 “六 弟„„你打算在城里常住下去吗?”天栓问我。我说:“等小荷和宝根考上了大学,我就会到山里去过我的田园生活„„你呢?” “好好干 吧„„说不准哪一天我要在城里买座楼房再也不回山里了,到那时,你可要解囊相助吆„„”马天栓没有正面回答我。 “马大哥„„手头紧你 就找我„„说不准我还真地帮上你的忙!” “好!有你这句话我就放心了„„来来来,我俩把这杯酒干了!”我举起酒杯与他一饮而尽。„„ 就这样,忘记了烦恼,忘记了忧伤„„路灯依然亮着,熙熙攘攘的人流和南来北往的车辆把整个县城点缀得如此繁荣。冷冽的寒风迎面吹来, 我们一家人离开了马天栓的饭馆,手拉手地走在回家的路上„„ “爸„„马天栓这人不可靠„„你喝了酒不应该答应借给他钱„„”小荷悄悄 地对我说。 “这是大人的事„„小孩子家少插嘴„„” “爸„„难道你忘了他是怎么害你的吗?妈妈不记得了„„我可不能眼睁睁地看着我 的爸爸被人骗了„„” “小荷,老爸活了大半生„„还没有人把我当傻子,我的女儿竟然说我傻„„” “爸„„你太善良了,善良的有点愚 忠„„你知道吗?„„傻子让人可怜,你却遭人憎恨!”女儿的话让我的心加速跳动起来,久久不能平静„„17第十四章|肖艳的身体状况一天 一天好起来,出乎意料的是她彻底失忆了。已生说,她能醒过来就是个意外,失忆症对像她这样的病人来说,就是一个最好的结局。屋漏偏遭 连夜雨,接下来发生的事更是雪上加霜。 “燕子,我是你娘,你还记得我吗?”岳母像哄小孩一样的问她。肖艳摇着头,眼神中充满了陌生感, “娘?我没有娘„„” “燕子„„难道你真的不记得娘了吗?我就是„„生你养你的亲娘啊„„”岳母抚摸着女儿的脸嚎啕大哭起来。 “只 要你高兴„„我就叫你叫娘好了,但是„„在这以前„„我的确是不认识你的„„”肖艳给母亲擦拭着脸上的泪,努力地想让她平静下来。 “肖艳,我们回家吧,女儿和儿子都在家等着你呢。”我试探着对她说。她看了我很久,讪讪地问:“你又是谁?凭什么让我回家?„„回家? 我的家在哪儿?”她想了一会儿,自言自语地说,“我根本就没有家,哪儿来的女儿和儿子呢?” “肖艳,难道你真的想不起来了么?我们的 女儿叫小荷,儿子叫宝根,我们一家四口„„住在山里的杨柳树村„„你是村里的公主,我是你的丈夫叫苏林„„半瓶酱油兑成一瓶的人就是 我呀„„我俩说好等孩子长大了讲给他们听的„„难道你真的不记得了吗?„„”我努力地启发着她,引导着她的思路。 “我叫肖艳?你是我 丈夫?我们的女儿叫小荷?儿子叫宝根?„„”她突然用手抱着头,头痛起来。我把她搂在怀里,安慰地说:“肖艳,什么也别想了,以后你 就把我看成是你的丈夫,你就是我的妻子好了,我要好好地对待你,我相信你会好起来的„„” “爸„„我不想上学了„„我要跟你去卖 菜„„”小荷流着泪对我说。我被女儿的话惊呆了,一股无名之火涌向心头,“你这没出息的东西,你„„你让我太失望了!„„” “爸„„ 我妈病了,我不能眼睁睁地看着你和我妈再为**劳下去„„”小荷走近我,拉着我的手,“爸,我要跟你一起去挣钱„„无论将来有多难,我 都不会怪你和妈妈的„„”女儿的话已是
1 cos AB , n 例2 : 3 ,其中
量,则直线AB与平面 的夹角为:
n 为平面 的法向
1 例3: cos n1 , n2 3 ,其中 n1 , n2 分别为两个
平面的法向量,则该二面角的大小为: 1 1 arccos( )(或 arccos( )) 3 3
1 arcsin 3
用向量法解立体几何复习课
一、立体几何的主要题型:
夹角:
(1)线线的夹角(如01天津卷、洛阳卷、南京卷、 汕头一模、调研) (2)线面的夹角(如天津卷、04二模) (3)面面的夹角(如01天津卷(甲)(乙)、南京 二模、长春卷、三校联考)
距离:
(4)两点间的距离(即线段的长度)(如02天津卷、 汕头一模) (5)点到面的距离(如03辽宁卷、04一模) (6)异面直线间的距离(如调研)
(9)面面垂直:
证明两个平面的法向量垂直
(10)直线AB与平面
平行:
方法一:证直线AB与平面α的法向量垂直,即 AB n 0
方法二:直线AB与平面 α 的夹角为0 方法三:直线AB上两点(如点A、B)到平面 α 的距离 相等,且这两点在平面 α 的同侧 方法四:在平面 α 内找出 AB的共线向量
三、空间直角坐标系的建立:
直接建系:
不方便直接建系:
四、易错处:
(1)不规则几何体空间直角坐标系的建立 (2)用平面法向量 n1 , n2 的夹角 n1 , n2 求面面夹角 时,两个角何时相等何时互补
n2
n1
(3)求线线夹角、线面夹角、面面夹角时, 结论的表述: 1 例1: COS AB , CD 3 ,则直线AB,CD的夹角 为: arccos 1 3
AB n AB n
B
β
若 n1 , n2 分别是两个平面的法向量,则 n1 , n2 就是 所求二面角的平面角或其补角的大小
(4)两点A、B间的距离:
AB
AB n n
(5)点A到平面α的距离:
A
d
B
O
(8)直线AB⊥平面
:
AB CD, AB EF CD ,EF CD EF P
垂直和平行:
(7)线线垂直(如洛阳卷) (8)线面垂直(如三校联考、04一模) (9)面面垂直(如长春卷) (10)线面平行(如南京二模、04二模)
二、题型解法:
(1)求直线a,b的夹角:
a b cos a , b ab
α
(2)求直线AB与平面 的夹角β:
A
O
sin cos AB n
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是啊,也许是为了把那些不愉快的事忘掉的缘故吧,小荷已是十六岁了,还没有过一次生日,也从来没有人提起过。眼前的情景让我都有些不 知所措„„我笑了,“这些事还是问你妈,也许你妈记得最清楚„„” “爸,你在说谎,分明我妈什么也不记得了。”小荷撒起娇来。我看了 看妻子,她在憨憨地对我笑。 “来来来,点上蜡烛,小荷吹蜡烛啦„„”马大嫂招呼起来。一阵喧嚣之后,一根根蜡烛被吹灭了,大家安静下 来。 “今天是小荷的生日,也是小年,我们要记住这个不平凡的日子,我建议大家共同干了这杯酒 。”马天栓举起酒杯。 “祝你生日快乐!” “祝你生日快乐!„„”轮到马大嫂时,她使了个眼色,推辞着以茶代酒。我忽然明白过来,看样子马大嫂有喜了。我风趣地说:“祝贺大哥 大嫂天天发财,早生贵子。”于是大家一饮而尽。这是我进城以来过得最愉快的一个夜晚,我和天栓喝了很多酒,说着我们各自的未来。 “六 弟„„你打算在城里常住下去吗?”天栓问我。我说:“等小荷和宝根考上了大学,我就会到山里去过我的田园生活„„你呢?” “好好干 吧„„说不准哪一天我要在城里买座楼房再也不回山里了,到那时,你可要解囊相助吆„„”马天栓没有正面回答我。 “马大哥„„手头紧你 就找我„„说不准我还真地帮上你的忙!” “好!有你这句话我就放心了„„来来来,我俩把这杯酒干了!”我举起酒杯与他一饮而尽。„„ 就这样,忘记了烦恼,忘记了忧伤„„路灯依然亮着,熙熙攘攘的人流和南来北往的车辆把整个县城点缀得如此繁荣。冷冽的寒风迎面吹来, 我们一家人离开了马天栓的饭馆,手拉手地走在回家的路上„„ “爸„„马天栓这人不可靠„„你喝了酒不应该答应借给他钱„„”小荷悄悄 地对我说。 “这是大人的事„„小孩子家少插嘴„„” “爸„„难道你忘了他是怎么害你的吗?妈妈不记得了„„我可不能眼睁睁地看着我 的爸爸被人骗了„„” “小荷,老爸活了大半生„„还没有人把我当傻子,我的女儿竟然说我傻„„” “爸„„你太善良了,善良的有点愚 忠„„你知道吗?„„傻子让人可怜,你却遭人憎恨!”女儿的话让我的心加速跳动起来,久久不能平静„„17第十四章|肖艳的身体状况一天 一天好起来,出乎意料的是她彻底失忆了。已生说,她能醒过来就是个意外,失忆症对像她这样的病人来说,就是一个最好的结局。屋漏偏遭 连夜雨,接下来发生的事更是雪上加霜。 “燕子,我是你娘,你还记得我吗?”岳母像哄小孩一样的问她。肖艳摇着头,眼神中充满了陌生感, “娘?我没有娘„„” “燕子„„难道你真的不记得娘了吗?我就是„„生你养你的亲娘啊„„”岳母抚摸着女儿的脸嚎啕大哭起来。 “只 要你高兴„„我就叫你叫娘好了,但是„„在这以前„„我的确是不认识你的„„”肖艳给母亲擦拭着脸上的泪,努力地想让她平静下来。 “肖艳,我们回家吧,女儿和儿子都在家等着你呢。”我试探着对她说。她看了我很久,讪讪地问:“你又是谁?凭什么让我回家?„„回家? 我的家在哪儿?”她想了一会儿,自言自语地说,“我根本就没有家,哪儿来的女儿和儿子呢?” “肖艳,难道你真的想不起来了么?我们的 女儿叫小荷,儿子叫宝根,我们一家四口„„住在山里的杨柳树村„„你是村里的公主,我是你的丈夫叫苏林„„半瓶酱油兑成一瓶的人就是 我呀„„我俩说好等孩子长大了讲给他们听的„„难道你真的不记得了吗?„„”我努力地启发着她,引导着她的思路。 “我叫肖艳?你是我 丈夫?我们的女儿叫小荷?儿子叫宝根?„„”她突然用手抱着头,头痛起来。我把她搂在怀里,安慰地说:“肖艳,什么也别想了,以后你 就把我看成是你的丈夫,你就是我的妻子好了,我要好好地对待你,我相信你会好起来的„„” “爸„„我不想上学了„„我要跟你去卖 菜„„”小荷流着泪对我说。我被女儿的话惊呆了,一股无名之火涌向心头,“你这没出息的东西,你„„你让我太失望了!„„” “爸„„ 我妈病了,我不能眼睁睁地看着你和我妈再为**劳下去„„”小荷走近我,拉着我的手,“爸,我要跟你一起去挣钱„„无论将来有多难,我 都不会怪你和妈妈的„„”女儿的话已是
1 cos AB , n 例2 : 3 ,其中
量,则直线AB与平面 的夹角为:
n 为平面 的法向
1 例3: cos n1 , n2 3 ,其中 n1 , n2 分别为两个
平面的法向量,则该二面角的大小为: 1 1 arccos( )(或 arccos( )) 3 3
1 arcsin 3
用向量法解立体几何复习课
一、立体几何的主要题型:
夹角:
(1)线线的夹角(如01天津卷、洛阳卷、南京卷、 汕头一模、调研) (2)线面的夹角(如天津卷、04二模) (3)面面的夹角(如01天津卷(甲)(乙)、南京 二模、长春卷、三校联考)
距离:
(4)两点间的距离(即线段的长度)(如02天津卷、 汕头一模) (5)点到面的距离(如03辽宁卷、04一模) (6)异面直线间的距离(如调研)
(9)面面垂直:
证明两个平面的法向量垂直
(10)直线AB与平面
平行:
方法一:证直线AB与平面α的法向量垂直,即 AB n 0
方法二:直线AB与平面 α 的夹角为0 方法三:直线AB上两点(如点A、B)到平面 α 的距离 相等,且这两点在平面 α 的同侧 方法四:在平面 α 内找出 AB的共线向量
三、空间直角坐标系的建立:
直接建系:
不方便直接建系:
四、易错处:
(1)不规则几何体空间直角坐标系的建立 (2)用平面法向量 n1 , n2 的夹角 n1 , n2 求面面夹角 时,两个角何时相等何时互补
n2
n1
(3)求线线夹角、线面夹角、面面夹角时, 结论的表述: 1 例1: COS AB , CD 3 ,则直线AB,CD的夹角 为: arccos 1 3