2009年广州市高二数学竞赛试题

合集下载

高二数学竞赛试题及答案广东

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

2010年广州市高二数学竞赛试题

图12010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线10(x ay a +-=∈R )与圆2240x y x +-=的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是( ).A ．4800元B ．8000元C ．9600元D ．11200元 3. 函数()cos2sin (f x x x x =+∈R )的最大值和最小值分别为 A. 7,08 B.7,28- C. 9,08 D. 9,28- 4. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,则函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 另一个零点在()0,1内的概率为 A.14 B.1π C.12 D.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知大于1的实数,x y 满足()lg 2lg lg x y x y +=+, 则lg lg x y +的最小值为 .6. 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设a 、b 、c 都是单位向量，且⋅a b ＝0，则()()+⋅+a b b c 的最大值为 .lβαBAM8. 对于两个正整数,m n ，定义某种运算“ ”如下，当,m n 都为正偶数或正奇数时， m n m n =+ ；当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn = ，则在此定义下，集合(){,10,M p q p q p ==∈ N *,q ∈N }*中元素的个数是 .9. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1113,2nn n a a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭(n ∈N *)，则2010S =____________.10. 在Rt △ABC 中,1AB AC ==,如果椭圆经过,A B 两点,它的一个焦点为C ,另一个焦点在AB 上,则这个椭圆的离心率为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）在△ABC 中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,已知3272,cos ,42===C A A BA BC .(1) 求cos B 的值；（2）求b 的值.12．（本小题满分15分）如图，已知二面角l --αβ的平面角为45︒, 在半平面α内有一个半圆O , 其直径AB在l 上, M 是这个半圆O 上任一点(除A 、B 外), 直线AM 、BM 与另一个半平面β所成的角分别为1θ、2θ. 试证明2212cos cos θθ+为定值.13. (本小题满分20分）如图, 矩形ABCD 中, 10AB =, 6BC =, 现以矩形ABCD 的AB 边为x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, P 是x 轴上方一点, 使得PC 、PD 与线段AB 分别交于点1C 、1D , 且1111,,AD DC C B 成等比数列.(1) 求动点P 的轨迹方程；(2) 求动点P 到直线:l 60x y ++=距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．14．（本小题满分20分）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当),1[+∞∈x 时，求函数)(x f 的最小值.15．（本小题满分20分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：5(1)2f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）求(0)f 的值，并证明()f x 为偶函数；（2）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ，求数列{}n a 的通项公式；（3）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。

2016年广州市高二数学竞赛试卷(附答案)

2016年广州市高二数学竞赛试题考生注意：⒈ 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉ 不准使用计算器；⒊ 考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若sin 2cos 0θθ-=, 则22sin 2cos θθ-的值是A.103 B. 53 C. 54- D. 2- 2. 用min{}a,b 表示a,b 两数中的最小值.若函数()f x =min {}x ,x t -的图象关于直线12x =-对称，则t 的值为 A.2- B. 2 C. 1- D. 13. 设,x y 满足约束条件220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩ 若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8, 则41a b+的最小值为 A.1B. C. 2D. 4. 已知动点P(),x y 满足3455x y +-=, 则点P 的轨迹是A. 直线B. 圆C. 抛物线D. 椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5. 已知复数z=()21i的共轭复数为z , 则z z ⋅= .6. 某战争的模拟训练, 我军两支部队从不同驻地到某攻击点会师, 实行合围, 其到达攻击点的时刻均在5时与6时之间, 敌军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸, 则全歼敌军胜算的概率是 .7. 在△ABC 中, 角A ,B ,C 的对边分别为a,b ,c ,c =60C ︒=, 则a b -的取值范围是 . 8. 考查集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9的所有非空子集, 若一个非空子集中的偶数的个数不少于YXNMC 1B 1A 1CBA奇数的个数, 称这个子集是“好子集”, 则“好子集”的个数为 . 9.如图，一个箱子的每个面都是矩形且边长都是整数，若它的主对角线9XY =，则这个箱子的体积的最大值可以是 .10.设函数()f x 是定义在R 上的函数, 若()02016f =, 且对任意x ∈R ,满足()()283x f x f x +-≥⋅, ()()4803x f x f x +-≤⋅, 则()2016f = .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）我们规定:对于A ∀∈R , 若存在数列{}n a 和实数()0x x >,使得21123n n A a a x a x a x -=++++ , 则称数A 可以表示成x 进制形式,简记为:()()()()123n A x a a a a = .(1) 已知()()21213(m x x =+-其中0)x >,试将m 表示成x 进制的简记形式;(2) 记()()()()()12312nn n b a a a a a -= (n ∈N *), 若数列{}n a 是等差数列,且满足123a a +=, 347a a +=. 当9217n b =时, 求n 的值.12．（本小题满分15分）如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中, 90BAC ︒∠=, ,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1) 证明:MN ∥平面11A ACC ;(2)若AB AC ==且二面角1A MN C --为直二面角,求三棱锥1A CMN -的体积.13．（本小题满分20分）设椭圆22:11x C y m +=+的两个焦点为()1,0F c -,()2,0F c ()0c >.(1) 设E 是直线2y x =+与椭圆C 的一个公共点, 求使得12EF EF +取最小值时椭圆C 的方程;(2) 已知()0,1N-, 设斜率为()0k k ≠的直线l 与条件(1)下的椭圆C 交于不同的两点,A B , 点Q 满足AQ QB = , 且0NQ AB ⋅=, 求直线l 在y 轴上截距的取值范围.14．（本小题满分20分）设函数()()2ln f x x a x =++.(1) 若曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为y x b =+, 求实数a ，b 的值;(2) 若()f x 存在极值, 求实数a 的取值范围, 并证明所有极值之和大于eln2.15．（本小题满分20分）设函数()11(xf x n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N *, 且1n >, x ∈R ).(1) 设()f x '是函数()f x 的导数, 证明:()()()222f x f f x '+>;(2) 是否存在a ∈N*, 使得()1111knk an a n k =⎛⎫<+<+ ⎪⎝⎭∑恒成立? 若存在, 求a 的值;若不存在, 说明理由.2016年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．A 2．C 3．C 4．A 二、填空题：每小题6分，满分36分.5．146．597．( 8．255 9．112 10．201632015+三、解答题：满分90分． 11．（本小题满分15分） (1) 解:()()22312131236m x x x x x =+-=+--()()()()1236x =-- .(2 )解: 设数列{}n a 的公差为d ,由12343,7,a a a a +=⎧⎨+=⎩ 得1123,257,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =, 1d =.所以21122322n nb n -=+⨯+⨯++⨯ , ① 于是232222322n nb n =+⨯+⨯++⨯ , ②①-②得2112222n n nb n --=++++-⨯12212nn n -=-⨯- ()112n n =-+-⨯.所以()121n n b n =-⨯+. 因为9217nb =, 所以10n =. 12．（本小题满分15分） (1) 证明: 连接1AB ,1AC ,∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱, M为1A B 的中点,∴M 为1AB 的中点.∵N 为11B C 的中点,∴MN ∥1AC .∵1AC ⊂平面11A ACC , MN ⊄平面11A ACC ,∴MN ∥平面11A ACC .(2)解: 以AB 所在直线为x 轴, AC 所在直线为y 轴, 1AA 所在直线为z 轴, 建立空间直角坐标系A xyz -.设1AA a =,由于AB AC ==, 则()10,0,A a,()C,2a M ⎫⎪⎪⎝⎭,22N a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴1,022A N ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 122a A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,22CN a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 22a CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面1A MN 的法向量为1=n ()111,,x y z ,由1A N ⋅ 10=n , 1AM ⋅ 10=n ,得11110,0.22x y ax z =⎪-=⎪⎩令11x =，则11y =-, 1z =.∴1=n 1,1,a ⎛- ⎝⎭. 设平面CMN 的法向量为2=n ()222,,x y z ,由CN ⋅ 20=n , CM ⋅20=n ,得2222220,0.22x y az ax z +=⎪+=⎪⎩令21y =,则2z =23x =.∴2=n 3,1,⎛ ⎝⎭. ∵二面角1A MN C --为直二面角,∴1⋅n 20=n .∴13110⨯-⨯=. ∴1a =.∴点C 到平面1A MN 的距离d =11⋅CN nn ==∵112MN AC ==, 1112A M A B ==, 111112A N B C ==,∴1112A MNS A N ∆=⨯= ∴三棱锥1A CMN -的体积为13V d =⋅⋅111346A MN S ∆==. 13．（本小题满分20分）(1) 解:由题意, 知11m +>,即0m >.由222,1,1y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪+⎩ 得()()()2241310m x m x m +++++=,由()()()216112210m m m ∆=+-++≥,解得2m ≥或1m ≤-(舍去)所以2m ≥. 此时12EF EF+=≥当且仅当2m =时,12EF EF +取得最小值此时椭圆C 的方程为2213x y +=.(2) 设直线l 的方程为y kx b =+,由22,1,3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222136330k x kbx b +++-=,因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,所以()()()2226413330kb k b ∆=-+->, 即2213b k <+. ①设()()1122,,,Ax y B x y , 则122613kbx x k +=-+.由AQ QB = , 得点Q 为线段AB 的中点, 则1223213Q x x kbx k +==-+,213Q Q by kx b k =+=+.因为0NQ AB ⋅=,所以1AB NQ k k ⋅=-.即221131313bk k kb k ++⨯=--+, 化简得2132k b +=,代入①得22b b <，解得02b <<.又23210kb =->，得12b >所以直线l 在y 轴上截距的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．（本小题满分20分） (1)解:由()()2ln f x x a x =++, 得()12f x x x a'=++, 依题意,得()101f a'==, 所以,1a =.所以，()()2ln 1f x x x =++。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。

广州市数学竞赛高二试题

广州市数学竞赛高二试题广州市数学竞赛高二试题涵盖了高中数学的多个领域，包括但不限于代数、几何、概率统计和微积分。

以下是一套模拟试题，供参赛者练习。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)的根，那么\( a^2 + 4a \)的值等于：A. -5B. 5C. 0D. 不确定2. 在直角坐标系中，点\( P(x, y) \)关于直线\( y = x \)的对称点的坐标是：A. \( (y, x) \)B. \( (-x, -y) \)C. \( (-y, -x) \)D. \( (x, -y) \)3. 若函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数是\( f'(x) \)，那么\( f'(1) \)的值等于：A. 3B. 2C. -3D. -24. 已知正方体的体积为8，那么其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 645. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. \( (1, 0) \)B. \( (0, 1) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, 2) \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为______。

7. 一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项的值为______。

8. 已知函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。

9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 + c^2 =1 \)，则\( ab + bc + ca \)的最大值为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( x - y + 5 = 0 \)的距离为4，则直线与圆的位置关系是______。

2009广州市高二数学竞赛

2009年广州市高二数学竞赛试题2009.5.10 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为A ．B ．C ．D ．2．已知，且，则的值为A．2 B．1 C ．D ．3．已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则的值为A．5 B．1 C．0 D ．4．已知表示不超过的最大整数，则的值为A．18054 B．18044 C．17954 D．17944二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．关于的不等式的解集是．6．在区间上随机任取两个数，则满足的概率等于．7．设，则的值为．8．计算机执行以下程序：①初始值，；②；③；④若，则进行⑤，否则从②继续执行；⑤打印；⑥结束．那么由语句⑤打印出的数值为．9．在中，已知，，若最长边的长为，则最短边的长为．10．已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．11．（本小题满分15分）已知向量，其中．（1）试判断向量与能否平行，并说明理由？（2）求函数的最小值．如图1所示的等边△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点．现将△ABC 沿CD 折叠成如图2所示的直二面角A —DC —B ．（1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（2）求四面体A -DBC 的外接球体积与四棱锥D -ABFE 的体积之比．13．（本小题满分20分）已知直线与椭圆相交于A 、B 两点，且（其中O 为坐标原点）．（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P ，并求点P 的坐标．AB CDEF 图1 图2 ABCDEF定义一种新运算，满足（为非零常数）．（1）对于任意给定的，设，证明：数列是等差数列；（2）对于任意给定的，设，证明：数列是等比数列；（3）设，试求数列的前项和．15．（本小题满分20分）定义函数．（1）令函数的图象为曲线，求与直线垂直的曲线的切线方程；（2）令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；（3）当，且时，证明．2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分。

2009年广东省高考数学试题B卷(理数)

试卷代号：1161中央广播电视大学2006—2007学年度第一学期“开放本科”期末考试各专业英语Ⅱ(1) 试题2007年1月第一部分交际用语(共计10分，每小题2分)1—5小题阅读下面的小对话，从A、B、C、D四个选项中选出一个能填入空白处的最佳选项，并在答题纸上写出所选的字母符号。

1. --Hello, Sally. How's everything?A. Good for youB. Oh, I agreeC. That's rightD. Just so-so2. --Excuse me, would you lend me your calculator?A. Certainly. Here you areB. Please don't mention itC. It's nothingD. Yes, I have a hand3. --I don't like the spots programs on Sundays.A. So do IB. Neither do IC. So am ID. Neither am I4. --What's the problem, Harry?A. No problemB. No trouble at allC. Thank you for asking me about itD. I can't remember where I left my glasses5. --What kind of TV program do you like best?A. I like them very muchB. I only watch them at weekendC. It's hard to say, actuallyD. I'm too busy to say第二部分词汇与结构(20分，每小2分)6—20小尾阅读下面的句子，从A、B、C。

广东省广州六中2009届高三第二次质量检测理科数学2008...

广东省广州六中2009届高三第二次质量检测理科数学2008.11本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题，20小题. 满分150分.考试时间为120分钟.第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为A ．32-B ．32C ．23-D ．232．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）。

根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．80 3．设集合{|ln ,0}M y y x x ==>，{|ln ,0}N x y x x ==>，那么 “M a ∈”是“N a ∈”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分而不必要条件D ．必要而不充分条件4．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = －2 F (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（）. A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.56．已知函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时， 12)(-=xx f ，则)12(log 2f 的值为（）A31 B34 C 2D 11开始n p <是输入p结束输出S 否12nS S =+1n n =+0,0n S ==7．等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，20091-=a ,22005200720052007=-S S ,则2009S 的值为 A. 0 B. 2009 C.2009- D. 2009-2009⨯8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是111AA A D →→L ，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→L ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2009段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）A ．1B 2C 3D ． 0第二部分非选择题(共100分)二、填空题：本大题共7小题，其中（9）～（12）是必做题，（13）～（15）是选做题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选2题作答，三题都作答的只计算前两题的得分。

2009广东高考数学(理科B卷)试卷及详细解答

绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{ =N ，所以 }3,1{=N M 故，选B２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。

故，选C３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x 3.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点)a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。

广州市高二数学竞赛试题

广州市高二数学竞赛试题一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数=z ，z 是z 的共轭复数，则⋅z z 的值是 A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．已知向量a 2,3x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与向量b ()3,2x =-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()0,23. 已知函数()2sin2cos2=+f x x x x ，则下列不等式中恒成立的是 A ．()3124π⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f B ．()3142π⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f fC ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f D ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f 4. 若实数,x y 满足()99233+=+x y x y ，则33=+x yt 的取值范围是A ．02<≤tB ．24<≤tC ．04<≤tD ．4≥t二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知n ∈N *，()35721n a n =+++++，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = .6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是5”为事件B ，则事件A 、B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数()f x =的最大值是 .8. 设不等式组1,230,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线240x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于 .9. 已知,,A B C 是表面积为64π的球面上三点，2,30AB ACB ︒=∠=，O 为球心，则直线OA 与平面ABC 所成角的余弦值是 .10．若将函数()4=f x x 表示为()()()()()234012341111=+-+-+-+-f x a a x a x a x a x 其中01234,,,,a a a a a 为实数，则3a 的值为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知函数()2sin 2cos f x x a x =+(a ∈R ，a 为常数)，且6π是函数()=y f x 的零点. （1）求a 的值；（2）若,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，求()f x 的最大值和最小值. 12．（本小题满分15分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点. （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若2BC =，11AB BC ⊥，求三棱锥1D BC C -的体积.DC 1B 1A 1BA13. （本小题满分20分）已知椭圆:P ()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为()1,0-F c 、()2,0F c ，点M 、N 是直线2=a x c上的两个动点，且12⊥F M F N .（1）设圆C 是以线段MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系；（2）若椭圆P 的离心率为12，MN的最小值为P 的方程.14. （本小题满分20分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ，O 为坐标原点. 坐标平面上点n A 、(n B n ∈N *)分别满足下列两个条件：①12OA =j ，且1n n A A +=i +j ；②13OB =i ，且1233nn n B B +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭i .（1）求向量n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立？若存在，求M 的值；若不存在，说明理由.15．（本小题满分20分）已知函数1()(1)(0)xf x x x=+>，e 为自然对数的底数.（１）证明：()e f x <；（２）若n ∈N *，且a n >，证明：11e e 1a nnk a k n =++⎛⎫<⎪-⎝⎭∑.。

2009年广州市数字试题(理科)

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0 B ．2 C ．0或3 D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，，则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() AB R =ðA ．()(),35,-∞+∞B ．()[),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(](),35,-∞+∞4．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<5．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则点P 的轨迹方程为 A ．2y x =- B ．2y x = C ．28y x =- D ．24y x =+6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D.7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种 B ．30种C ．36种D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1，二面角l αβ--的平面角为150，则球O 的表面积为 A ．4πB ．16πC ．28πD ．112π图12图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～12题）9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为分．11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为．12．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是，()f n 的表达式是．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC ，FGAD ，则EF FGBC AD+的值为．14．（不等式选讲选做题）函数()f x ＝12x x -++的最小值为．15．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25c o s ,15s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为．图3数学（理科）试题参考答案及评分标准第 3 页共 12 页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -（1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ；（2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？420．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b-=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =．证明：点Q 总在某定直线上．数学（理科）试题参考答案及评分标准第 5 页共 12 页2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，m n2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =． ∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=． ∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，6A即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4．（2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直．以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC交1BC 于点P ．∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D D =，∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥．在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q∆∽1Rt C CD ∆，∴1111C QD C CD C C =，即1224C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C =14=，∴1C P =．在11APC ∆中，∵11AC =1111112cos A C A C P C B ∠==由余弦定理，得1A P =2==． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为2．方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC-=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--，，，()10 2 4C D =--，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =，即()()2 2 20 2 40x x ----=，，，，，∴12x =．数学（理科）试题参考答案及评分标准第 7 页共 12 页此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，∴12A P ⎛=-= ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P与1C D 垂直，且线段1A P 的长为2． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠，若m a ，2m a +，1m a +成等差数列，则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=．解得1q =或12q =-．当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法．证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方8法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++．（2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =，三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=．（3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且，解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），2x =当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a=，∵0a>，∴a=（2）解：对任意的[]12,1x x e∈，都有()1f x≥()2g x成立等价于对任意的[]12,1x x e∈，都有()mi nf x⎡⎤⎣⎦≥()maxg x⎡⎤⎣⎦．当x∈［1，e］时，()110g xx'=+>．∴函数()lng x x x=+在[]1e，上是增函数．∴()()max1g x g e e==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x aaf xx x+-'=-=，且[]1,x e∈，0a>．①当01a<<且x∈［1，e］时，()()()2x a x af xx+-'=>，∴函数()2af x xx=+在［1，e］上是增函数，∴()()2min11f x f a==+⎡⎤⎣⎦.由21a+≥1e+，得a又01a<<，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则()()()2x a x af xx+-'=<，若a＜x≤e，则()()()2x a x af xx+-'=>．∴函数()2af x xx=+在[)1,a上是减函数，在(]a e，上是增函数．∴()()min2f x f a a==⎡⎤⎣⎦.由2a≥1e+，得a≥12e+，又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e．③当a e>且x∈［1，e］时，()()()2x a x af xx+-'=<，∴函数()2af x xx=+在[]1e，上是减函数．∴()()2minaf x f e ee==+⎡⎤⎣⎦.数学（理科）试题参考答案及评分标准第9 页共12 页10由2a e e+≥1e +，得a，又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>，∴3a =．即223a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=．∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② 将②代入①，得23a =．∴双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，，则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝，112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得（1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠，数学（理科）试题参考答案及评分标准第 11 页共 12 页∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程. ∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB ＝，∴AP AQ PB QB＝－，即112233x x x x x x --=---，即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，，由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支相交于两点A ，B ，∴0λ>且1λ≠．∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PB AQ QB λλ=-=，．即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，，由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，设12 PA AQ PB BQ λλ==，，则120λλ+=．12 即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根. 即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠， ∴()122261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。

2009年高二理科数学期末试题及答案

广东北江中学2008---2009学年第一学期期末考试高二年级理科数学试题卷本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1．考生务必将自己的姓名．班级．学校用蓝．黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题．填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回。

4．参考公式：2344,3S R V R ππ==球球其中R 是球的半径.=()3hV S S 台体上底下底第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）函数2lg(4)y x x =--的定义域是： ()A ()(),14,-∞+∞ ()B (]1,4 ()C ()4,+∞ ()D ()1,4（2）在所有项均为正数的等比数列{}n a 中，已知373,48a a ==，则公比为 ()A 2 ()B 2± ()C 4± ()D 2或4（3）椭圆C:22164100x y +=的准线方程是 ()A 503x =±()B 503y =± ()C 323x =± ()D 323y =± （4）已知圆C: 2210x y my m ++--=,则圆C 必过定点的坐标是()A (1,1)- ()B (1,0)- ()C (1,1)-- ()D (0,1)（5）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为4的正三角形,俯视图是直径为4的圆,则此几何体的体积为()A 3()B ()C ()D（6）函数()cos cos )f x x x x =⋅+（其中x R ∈ ()A 12 ()B 1 ()C 12- ()D 32- （7）.如果函数y ＝ax 2+bx +a 的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（8）若函数123)(+-=a ax x f 在区间[1,1]-上无零点,则函数)43)(51()(3+--=x x a x g 的递减区间是()A (2,2)- ()B (1,1)- ()C (,1)-∞- ()D ),1()1,(∞+⋃--∞•••第二部分非选择题(共110分)二．填空题 (6小题，每小题5分,共30分) （9）.已知sin 4α=，则1cos 2α-=_________ （10）已知一个球的体积为π34，则此球的表面积为（11）设实数,x y 满足约束条件：2212x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则22z x y =+的最大值为（12）已知△ABC 的顶点坐标分别是A(1,2), B(-3,6), C(3,5), 则BC 边上的高所在的直线方程为（13）. 4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，而6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要元．（14）如图所示，AB 是圆O 的直径,CB 切圆O 于B 点, CD 切圆O 于D 点,交BA 的延长线于E 点,若,2,3==ED AB 则BC =____________;三．解答题（共80分，要写出必要的解题步骤）（15）（本题满分12分）求与直线:m 0532=++y x 平行且距离等于13的直线l 方程.(16)（本题满分14分）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若47104518,a a a a a ++=++……1477a +=，且13n a = （Ⅰ）求n 值；（Ⅱ）若2()log 421x xf x =-+，求21()f S 的值（17）（本题满分12分）如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14AB km =，60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离（假设,,,A B C D 在同一平面内，测量结果保留整1.414, 1.732,2.236===）18．(本题满分14分)如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离.B （19）（本题满分14分）已知1F 、2F 分别是椭圆C:22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点和右焦点,O 是坐标系原点, 且椭圆C 的焦距为6, 过1F 的弦AB 两端点,A B 与2F 所成⊿2ABF 的周长是. （Ⅰ）.求椭圆C 的标准方程.（Ⅱ）已知点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上不同的两点，线段PQ 的中点为(2,1)M . 求直线PQ 的方程；（Ⅲ）若线段PQ 的垂直平分线与椭圆C 交于点R 、S ，试问四点P 、R 、Q 、S 是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.（20）（本题满分14分）已知定义域为R 的两个函数(),()f x g x ,对于任意的,x y R ∈满足:()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且(1)0f ≠（Ⅰ）求(0)f 的值并分别写出一个()f x 和()g x 的解析式,使它们满足已知条件(不要求说明理由)（Ⅱ）证明:()f x 是奇函数;（Ⅲ）若(2)2(1)()nf f n N *=∈,记212[(1)(1)]2,,nn n n a g g S a a a =+--=+++2nn nT S =, 求证: 1232n T T T T ++++<DPAB C广东北江中学2008---2009学年第一学期期末考试高二理科数学试题答案一选择题：二填空题 (9)14；(10). 4π; (11). 68 (12). 640x y --=; (13). 22; (14) 3 三.解答题(15) 解: 设所求直线方程为032=++m y x ，……2分则1332522=+-m ，…………………6分解得18=m 或8-=m ，………………10分∴直线方程为01832=++y x 或0832=-+y x ……………12分（16）解：（Ⅰ）由题意得793181177a a =⎧⎨=⎩ ∴7967a a =⎧⎨=⎩…………3分 ∴ 公差12d =由71(7)2n a a n =+- 得 21n =………6分解：（Ⅱ）由7612a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得11662a =+⨯ ∴13a =……………9分21(313)21S 1682+⨯==2122168168()log 42log 842339421f S =-+=-+=-+=-.…14'（17）解：在△ABD 中，设BD=x ，…………1分则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x …………4分整理得：096102=--x x解之：161=x ，62-=x （舍去）， ………6分由正弦定理，得：BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin , ………8分∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ≈11(km). …………11分答：两景点B 与C 的距离约为11.km. ……………12分(18)．证：（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . …………2分∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥PA . 又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . …………4分解：（Ⅱ）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. ……………6分又∵PA =AD ，∴∠PDA=450 . 二面角P —CD —B 的大小是45︒……………8分（Ⅲ）∵PA =AB =AD =2∴PB =PD =BD =22设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，…………10分有d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3131，即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得332=d ………14分（19）（Ⅰ）解:设椭圆C: 22221,(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c,∵椭圆C: 22221,(0)x y a b a b +=>>的焦距为2, ∴2c=6,即c=3…………1分又∵1F 、2F 分别是椭圆C:22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点和右焦点,且过1F 的弦AB 两端点A 、B 与2F 所成⊿AB 2F 的周长是.∴⊿AB 2F 的周长 = AB+(AF 2+BF 2)= (AF 1+BF 1)+ (AF 2+BF 2)=4a =∴a = …………2分又∵222a b c =+, ∴21899b =-=∴椭圆C 的方程是221189x y +=…………4分（Ⅱ）解一：点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上不同的两点，∴22111189x y +=，22221189x y +=.以上两式相减得：222212120189x x y y --+=，即222212122()0x x y y -+-=，12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=，∵线段PQ 的中点为(2,1)M ，∴12124,2x x y y +=+=. ∴12124()4()0x x y y -+-=，当12x x =，由上式知，12y y = 则,P Q 重合，与已知矛盾，因此12x x ≠， ∴12121y y x x -=--. ∴直线PQ 的方程为1(2)y x -=--，即03=-+y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+.19180322y x y x ，消去y ，得01232=-x x ，解得0=x 或4=x . ∴所求直线PQ 的方程为03=-+y x . ………………8分解二: 当直线PQ 的不存在时, PQ 的中点在x 轴上, 不符合题意.故可设直线PQ 的方程为()21-=-x k y , ()()1122,,,P x y Q x y .由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.19182122yx x k y ，消去y ，得()()()028********=--+--+k k x k k x k (*) 22212148kkk x x +-=+∴. PQ 的中点为()1,2M , 421=+∴x x .4214822=+-∴k kk .解得1-=k . 此时方程(*)为01232=-x x ,其判别式0144>=∆.∴直线PQ 的方程为03=-+y x .（Ⅲ）由于直线PQ 的方程为03=-+y x ，则线段PQ 的垂直平分线RS 的方程为21-=-x y ，即01=--y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,1918,0322y x y x 得()()0,3,4,1.P Q -，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--,1918,0122y x y x 消去y 得016432=--x x ，设()()1122,,,.R x y S x y 则1212416,33x x x x +==-. ∴线段RS 的中点G 的横坐标为12223G x x x +==，纵坐标113G G y x =-=-.∴G 21,33⎛⎫-⎪⎝⎭.∴RS ===.∵3GP ==12RS =，GQ ==12RS =， ∴四点P 、R 、Q 、S 在同一个圆上，此圆的圆心为点G ，半径为3262，其方程为2221104339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分（20）解(Ⅰ) 令x y =得(0)()()()()0f f x g x f x g x =-=……………2分 ()sin ,()cos f x x g x x ==满足条件.……………………3分证(Ⅱ) (2):()()()()()[()()()()]f x y f x g y g x f y f y g x g y f x -=-=--=()[()]f y x f x y --=---()()0f x f x ∴-+-=故()f x 是奇函数.…………………7分证（Ⅲ）:(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]2(1)nf f fg g f f g g f =--=-=--=又(1)0f ≠故(1)(1)2ng g +-=………………8分所以42n n n a =-……………………………9分14(41)2(21)2(21)(21)41213n n n n n S +--=-=----……………11分12311()22121n n n n n T S +==---…………………12分故12322313111111[]2212121212121n n n T T T T +++++=-+-++------- =1313(1)22212n +-<<-…………14分.。

09全国高中那个数学联赛二试试题答案

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1．如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽．故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2．求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1xn=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n kk n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．3．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．4．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x xx S xx x x xx ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥．又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

2009广州市高二数学水平测试

开始输入输出结束①是否 2009学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．设集合，则 ( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．若直线与直线平行，则实数的值为 ( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3. 已知, 则( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4. 已知向量,满足,=2,, 则与的夹角大小是 ( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5. 在一次射击训练中, 某一小组10名成员的成绩如下表:已知该小组的平均成绩为环, 则的值为 ( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6. 某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费, 每月收费方法是:3人和3人以下的住户, 每户收取5元; 超过3人的住户, 每超出1人加收元, 相应收费系统的流程图如图1所示, 则①处应填( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．图17. 函数为自然对数的底数 ( )Ａ．是奇函数Ｂ．是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数环数 7环以下 7环 8环 9环 10环人数232242224222俯视图侧视图正视图8．圆关于直线的对称圆的方程为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9. 已知不等式组表示的平面区域为, 则区域的面积为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10. 某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量为( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知等差数列的首项为，公差为，则通项公式 .12. 在△中，角、、所对的边分别为、、，已知，则的值为 .13. 一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积．．．为 . 图214．已知，且三点共线，则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15.(本小题满分12分) 已知函数R.(1) 求函数的最小正周期和最大值;(2) 若为第一象限的角, 且满足, 求的值.16．(本小题满分12分) 有四条线段，其长度分别为.（1）从这四条线段中任意取出两条，求所取出的两条线段的长度之和大于7的概率；（2）从这四条线段中任意取出三条，求所取出的三条线段能构成三角形的概率.17．(本小题满分14分)在长方体中，，截面为正方形. （1）求长方体的体积；（2）求证：平面.18. (本小题满分14分) 已知R, 函数(1) 求的值; (2)证明: 函数在上单调递增; (3)求函数的零点.19. (本小题满分14分)已知圆经过三点，从圆外一点向该圆引切线，为切点，且（为坐标原点）.(1) 求圆的方程；（2）试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.20. (本小题满分14分)已知二次函数在区间上的最小值为.(1)求的值;(2)记为数列的前项和, 且N，点在函数的图象上, 求的表达式.2009年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每题5分，满分50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A B C B C A D D B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题，每题5分，满分20分.11. 12. 13. 14.三、解答题15. 本小题主要考查三角函数和三角恒等变换等基本知识.满分12分.解: (1)∵函数R,∴函数的最小正周期为, 最大值为1. ……4分(2)∵,∴. ……6分∵为第一象限角,∴. ……8分∴……10分.……12分16. 本小题主要考查古典概型等基本知识.满分12分.解：（1）从这四条线段中任意取出两条，共有6种不同的取法：，……2分其中两条线段的长度之和大于7的共有4种取法：，……4分∴所取出的两条线段的长度之和大于7的概率为.……6分（2）从这四条线段中任意取出三条，共有3种不同的取法：…8分其中能构成三角形的只有1种取法，……10分∴所取出的三条线段能构成三角形的概率为.……12分答：（1）所取出的两条线段的长度之和大于7的概率为；（2）所取出的三条线段能构成三角形的概率.17. 本小题主要考查空间线面位置关系，几何体体积等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(1) 解: 在直角三角形中, ,,∴. ……2分∵截面为正方形,∴. ……4分∴长方体的体积= (6)分(2)证法一:∵为长方体,∴平面.∵平面,∴. ……8分∵,∴四边形为正方形. ……10分∴. ……12分∵平面,平面,∴平面.……14分证法二:∵为长方体,∴平面.∵平面,∴平面平面. ……8分∵,∴四边形为正方形. ……10分∴. ……12分∵平面平面,平面,∴平面.……14分18．本小题主要考查函数的性质、函数的零点等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.(1)解: 当时, ,∴. ……2分(2)证明:在上任取两个实数,且,……3分则……4分.……5分∵,∴.∴, 即.∴.……7分∴函数在上单调递增.……8分(3) (ⅰ)当时, 令, 即, 解得.∴是函数的一个零点.……9分（ⅱ）当时, 令, 即.(※)①当时, 由(※)得,∴是函数的一个零点; ……11分②当时, 方程(※)无解;③当时, 由(※)得,(不合题意,舍去). ……13分综上所述, 当时, 函数的零点是和; 当时, 函数的零点是 (14)分19．本小题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力.满分14分.（1）解法一：设圆的方程为，……1分∵圆经过三点，∴……4分解得……7分∴圆的方程为.……8分解法二：设圆的方程为，……1分∵圆经过三点，∴……4分解得……7分∴圆的方程为.……8分解法三：∵，∴线段的垂直平分线方程为，……2分∵，∴线段的垂直平分线方程为即，……４分由解得圆心的坐标为.……6分故圆的半径.∴圆的方程为.……8分解法四：∵,,,……2分∴.∴△是直角三角形. ……4分∵圆经过三点，∴圆是Rt△的外接圆. ……6分∴圆的圆心的坐标为的中点，半径.∴圆的方程为.……8分（2）连接，则，……10分∵，且，∴，……12分化简得.∴点总在定直线上.……14分20．本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分. 解：（1）.……1分①若，即，则当时，取得最小值，依题意得，解得或（舍去）.……3分②若即，则当时，取得最小值，依题意得，解得（不合舍去）.……5分综合①、②得.……6分（2）由（1）得，∵点在函数的图象上,∴.∴，……8分即. ∵，∴，则.∴，即. ……10分∴.∴数列是首项为，公比为的等比数列. ……12分∴.∴. ……14分。

2019年广州市高二数学竞赛试题

2019年广州市高二数学竞赛试题2019．5．15考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()3sin 1f x x x =++()x ∈R ，若()2f a =，则()f a -的值为( )．A ．2-B ．1-C ．0D ．12．已知数列{}n a 的通项公式2log 1n n a n =+()*n ∈N ,设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（）．A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值163．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为（）．A ．3B ．1C ．1-D ．3-4．设o o o sin(sin 2011),sin(cos2011),cos(sin 2011)a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( )．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若过定点()1,0M -且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 * ．6．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于1的概率为 * ．7．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2=，则()+⋅等于 * ．8．在△ABC 中，若tan tan 1A B =，则sin 12C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ * ． 9．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围是 * ．10．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则412()i i S ih k ==∑．类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则41()i i iH ==∑ * ．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（15分）已知向量()sin ,cos x x =a ，()6sin cos ,7sin 2cos x x x x =+-b ，设函数()2f x =⋅-a b ．（1）求函数()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的值；（2）在A 为锐角的ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()4f A =且ABC ∆的面积为3，2b c +=+a 的值．12．（15分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2a ，AB ＝a ，F 为CE 的中点．（1）求证BF ⊥平面CDE ；（2）求多面体ABCDE 的体积；（3）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小．13．（ 20分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．（1）若e = （2）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．14．（ 20分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()33k k S S =成立．15．（ 20分）定义在R 上的函数2()1xb f x ax +=+(,a b ∈R 且0a ≠）是奇函数，当1x =时，)(x f 取得最大值．（1）求a b 、的值；（2）设曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线l 与y 轴的交点为(0,)t ，求实数t 的取值范围．。

2009年广州市数字试题(理科)

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i mm m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，，则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U=R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() A B R = ðA ．()(),35,-∞+∞B ．()[),35,+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(](),35,-∞+∞4．命题“x ∃∈R ，2210xx -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+>C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<5．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则点P 的轨迹方程为 A ．2y x =- B ．2y x = C ．28y x =- D ．24y x =+6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D.7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种 B ．30种 C ．36种 D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1l αβ--的平面角为150 ，则球O 的表面积为 A ．4π B ．16π C ．28π D ．112π图1图2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～12题） 9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()10 1 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为分．11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为．12．在平面内有n(*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是，()f n 的表达式是．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC ，FG AD ，则EF FGBC AD+的值为．14．（不等式选讲选做题）函数()f x ＝12x x -++的最小值为．15．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25c o s ,15s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD ABC D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -（1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1AP 与1C D 垂直，如果存在，求线段1AP 的长，如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ；（2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？20．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b -=00（，）a b >>的离心率为3，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MFF ∆的面积为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB = ．证明：点Q 总在某定直线上．2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，m n 2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =．∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B =．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=．∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD ACD ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4．（2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1AP 与1C D 垂直．以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC 交1BC 于点P ．∵11C D DQ ⊥，111C D AD ⊥，1111DQ AD D = ， ∴1C D ⊥平面11ADQ ．∵1AQ ⊂平面11ADQ ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1APQ ． ∵1AP ⊂平面1APQ ，∴11C D AP ⊥．在矩形11CDDC 中，∵11Rt DCQ ∆∽1Rt CCD ∆， ∴1111C Q DCCD C C=，即1224C Q =，∴11C Q =．∵1C PQ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C BC C =14=，∴12C P =．在11APC ∆中，∵11AC =1111112cos AC AC P C B ∠=．由余弦定理，得1AP===∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1AP 与1C D 垂直，且线段1AP 的长为2．方法2：以点D 为坐标原点，分别以D A ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1AP 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BCC ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ x PQ C C x BC -=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2AP x x =-- ，，，()10 2 4C D =--，，． ∵11AP C D ⊥，∴110APC D =，即()()2 2 20 2 40x x ----= ，，，，，∴12x =．此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，∴1A P == ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1AP 与1C D 垂直，且线段1AP． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠，若m a ，2m a +，1m a +成等差数列，则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+． ∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=．解得1q =或12q =-．当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+， ∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法．证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++ 122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=--11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++．（2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =，三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=．（3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值．∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且，解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x，2x =当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11fx f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的离心率为3，∴3a =．即223a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MFF∆的面积为1． ∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=．∴221244F F a -=．∴()222444ab a +-=，∴21b =． ②将②代入①，得23a=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，，则 1113cos cos AP x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝， 112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝，∵AP QB AQ PB ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得（1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k-≠，∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程.∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，AB ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB ＝， ∴AP AQ PB QB ＝－，即112233x x x x x x--=---，即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，，由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支相交于两点A ，B ， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PBAQ QB λλ=-= ，．即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，，由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，设12 PA AQ PB BQ λλ== ，，则120λλ+=．即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根. 即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠，∴()1261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。