大学物理学第二版下册振动

-A1
x
A1
A2
o
- A2
反相时振动曲线
-A1
x2 x1 t
x2 x1 t
x
A1
x2
A2
o
- A2
x1 t
-A1
x2 先于x1 到达各自同方向最大值，
x2 振动超前 x1 振动 /2 ； 或 x1 振动落后 x2 振动 /2 。
由简谐振动周期性有 x x
Acos(t ) Acos((t T ) )
0
0
Acos(t ) Acos((t T ) )
0
0
余弦函数为周期函数，周期为 2 周期的倒数称为频率
所以 T 2
把 称作角频率
T 2
1 T 2
细杆稍微偏离平衡位置（ 很
小），让其摆动 D. 一质点作匀速圆周运动，它在直
径上的投影点的 运动
BCD
选项B图示
1. 周期、频率、角频率
作一次全振动的最短时间间隔称为振动的周期
由简谐振动的运动方程
记作 T
x Acos(t ) 0
A、、 0
经过一个周期，运动方程为
为一常数
x Acos((t T ) ) 0
5. 速度、加速度
x Acos(t ) 0
速度 加速度
v

dx dt

A
sin(t
0 )
a

d2x dt 2

A 2
cos(t
0 )
写成标 准形式
v

A
cos(t
0


2
)
a A 2 cos(t 0 )
速度和加速度也作简谐振动
1
1
01
x A cos(t )
2
2
02
x1 和 x2 到达各自同方向最大值需
t1 01 2k
t2 02 2k
t1

2k 01
t2

2k 02
02 01 0 02 01 t1 t2
则 x2 将先于x1 到达各自同方向最大值，
A
0
0
v 0 0
sin 0 取“－” 0
v 0 0
sin 0 0
取“＋”
x A
o
T
-A
T
v 0 质点向下振动 0
质点向上振动还是向下振动
t
可根据 t=0 邻近时刻的振动
方向来判断
利用振动曲线讨论位相关系问题：
已知两同频率
x
A1
简谐振动 x1 、 x2 ， A2
o
同相时振动曲线
- A2
B
（一）函数法——写出振动方程
两类问题：
x Acos(t ) 0
已知表达式 A、T、 фo 已知 A、T、 фo 表达式
（二）几何法——画出振动曲线
时间 t 为横坐标，以 x 为纵坐标－称作振动曲线：
x
o t
两类问题：
x A o -A
已知 A、T、 фo 画曲线 已知曲线 A、T、 фo
解得： c x ，c 0
1
0,
2
t 0，
x x0,
dx ( dt )t0

0
Kf m
o
x
x 0
f Kx x
d2x 2x 0
dt 2
弹簧振子所受合外力
f Kx
x x cos(t) 0
x 表示物体相对
平衡位置位移
表明：合外力与物体的位移成正比方向相反 这样的力称作弹性回复力
x、v、a 比较
x Acos(t ) 0
v A cos(t )
02
a A 2 cos(t ) 0
#1a1001002a
一个物体做简谐运动。若其振幅增加一倍，则作用 在该物体上的力的最大值是
A. 是原来的四分之一 B. 是原来的一半 C. 是原来的四倍 D. 是原来的二倍 E. 和原来一样
2
0,
0 cos(t )
d
( dt )t0 0
f Kx 合外力与物体的位移成正比方向相反
M mgl 5
合外力矩与小球的角位移成正比方向相反
结论
若物体所受合外力或合外力矩
练
与位移（线位移或角位移）成正比而方向相反， 习
则物体作简谐振动。
题
二．简谐振动描述——运动学部分 （一）描述简谐振动的特征量
称 x2 振动超前 x1 振动 Δф ；或称 x1 振动落后 x2 振动 Δф 。
02 01 0 02 01 t1 t2
则 x2 将晚于x1 到达各自同方向最大值， 称 x2 振动超前 x1 振动 Δф ； 或称 x1 振动落后 x2 振动 Δф 。
通常把 Δф 限定在 [－π， π ] 内
电磁振动：又叫电磁振荡，是指电路中的电流、电压 以及电磁场中的场量随时间做周期性变化的现象。
机械振动和电磁振动在工程技术中有着广泛的应用。
振动有简单复杂之分， 最简单、最基本的振动是简谐振动， 一切复杂的振动都可以看作是 由许多简谐振动合成的。 简谐振动是学习研究的重点内容。
§14.1 简谐振动 一. 简谐振动
5 . 理解简谐运动的能量特点.
什么是振动？
广义振动：任何一个物理量(如位移、电流等) 在某一量值附近随时间做周期性变化， 都称之为振动。
主要研究机械振动、 电磁振动 。 机械振动：物体在平衡位置附近所做的来回往复运动
机械振动的例子在日常生活中很多， 如钟表摆动； 汽车发动时，发动机运转时产生的振动； 人为什么能说话，依靠声带的振动。
由转动定律
d 2
J ml 2 M J dt 2
l
mgl sin ml 2 d 2
dt 2
T
d 2 g sin 0
dt 2 l
o mg
当θ 很小时
d 2 g 0
dt 2 l

5 sin
d 2
dt 2
2

0

令 2 g
一般地，任意一个物理量满足以下微分方程
d2x dt 2

2x

0
为一常数
或物理量随时间按余弦规律变化 x Acos(t ) 0
则物理量作简谐振动。
A、、 为一常数 0
特点：1) 等幅振动； 2) 周期振动
注意：这里的物理量可以是位移、速度等， 也可以是电场强度，磁感应强度等。
求放置在光滑水平桌面上的弹簧振子的运动学方程
弹簧振子：一个轻质弹簧一端固定， 另一端连一个可以自由移动的物体。
K m o
如果沿水平方向拉开物体一段距离 xo ，然后释放， 则物体在 o 两侧作往复运动。
K m
ox 0

K
fm
ox
x
0
选 o 为原点，建立o x 坐标系。
初始条件： t 0，x x 及( dx ) 0
振动与波动——物质运动形式
主要内容：
第一部分 振动
微观粒子运动规律的描述
第二部分 机械波 第三部分 波动光学
物质波动属性的描述
第四部分 量子物
波粒二象性：粒子性和波动性
理基础
第14章 振动
主要内容：
简谐振动
特征量（振幅、频率，相位…) 表示法（旋转矢量表示法） 能量
阻尼振动、受迫振动、共振
l
c cos(t c )
1
2
d 2
dt 2
2

0
c cos(t c )
1
2
d
dt
c1 sin( t c2 )
0 c1 cos c2
l
T
o mg
0 c1 sin c2
初始条件： t 0，
解得： c ，c 0
1
0,
多选题
(a)
(b)
(c)
A. (a) B. (b) C. (c) D. (a) & (b) E. (a) & (c)
θ角很小
ABC
#1b1001001d
下列所示的运动中，哪个物体是做简谐运动（忽略
摩擦力）？多选题
A. 完全弹性球在钢板上的上下跳动 B. 一小木块在半径很大的光滑凹球
面上滚（设小木块所经过的弧线 很短） C. 长为l，质量为m的均质细杆，将 顶端悬挂在固定 光滑轴上。今使
#1a1001001b
下列各式显示了力F和位移x的函数关系，且式中k均 为正常数，问哪个方程式表示振子做简谐运动？
A. F kx
B. F kx
C. F k
x
D. F k
x
E. 以上均不对
B
#1b1001001c
下列各图所示的运动中，哪个物体是做简谐运动（忽
略摩擦力）？
0,
dt t0
物体沿o x 坐轴运动，只需考虑水平方向受力，
忽略空气阻力，表面光滑，物体只受弹簧弹力作用。
Kf m
f Kx
o
x
x 0
x
t 时刻物体相对o点位移为x ，则弹力
根据牛顿第二定律
d2x m dt 2 Kx 0
f

Kx

m
d2x dt 2
d2x 2x 0
dt 2
T
T
t
已知图示振动曲线确定A、T、 фo A： 等于曲线最高点或最低点纵坐标的绝对值。
T 两个相邻最高点或最低点之间的时间间隔。
фo
x Acos(t ) 0
t 0时，x x x Acos
0
0
0
0

x arccos 0
确定：
考察
v 0
0
v A sin
弹簧振子所满足的动力学微分方程
2 K
m
一元二阶常系数齐次微分方程，其通解为：
x c cos(t c )
1
2
Kf m
o
x
x 0
f Kx x
x c cos(t c )
1
2
初始条件：
dx dt

c1
sin( t

c2 )
x0 c1 cos c2 0 c1 sin c2
求 单摆的运动学方程
小球相对平衡位置的角
位移θ t 0，
初始条件： 0, d ( ) 0 dt t0
小球所受合外力矩为
M MT MG
选择逆时针方向为正
M mgl sin
●
O
ll
T
m oo mg
M 0 T
M mgl sin G
M mgl sin
简谐振动合成
同方向、同频率振动合成 方向垂直、同频率振动合成
教学要求：
1 . 掌握简谐运动的基本特征和规律.
2 . 掌握描述简谐运动的旋转矢量法,并能用以分 析 问题,特别是相位、相位差问题.
3 . 掌握描述简谐运动的三个特征量的意义和求法, 从而建立简谐运动的运动学方程.
4 . 理解同方向同频率简谐运动的合成规律及合振 动振幅极大或极小的条件.
，同频率

02
01
同相和反相
2k .....(k 0,1,2....)
此时同频率的两振动步调相同，称同相。
同时达到正的最大，同时达到负的最大，同时越过 平衡位置并且方向相同。
x A cos(t )
1
1
01
x A cos(t )
2
2
02
把振动表达式中 t ，称之为位相 0
当
t

0
时，位相等于
0
称之为初位相
4. 振动的比较——位相差
x A cos( t )
1
1
1
01
x A cos( t )
2
2
2
02
位相差 ( t ) ( t )
2
02
1
01
当
2
1
在简谐振动的表达式
x Acos(t ) 0
中
A表示物理量所能达到的最大值，
它给出了物理量变化的范围，称之为振幅
还看振动方程 x Acos(t ) 0
当
A 为一常数，函数值只决定于 t
0
物理上则意味着，简谐振动的振动状态
只决定于 t 0
3. 位相、初位相 0 [ , ]或0 [0,2 ]
弹簧振子 K
m
T 2 m
K
单摆
g
l
T 2 l
g
T、、 都是描述简谐振动周期性的物理量，
并且只与振动系统自身性质有关。
弹簧振子的运动学方程 x x cos(t) 0 单摆的运动学方程 cos(t) 0
x 、
0
0
2. 振幅
分别是弹簧振子的物体和单摆的小球 最大的位移和角位移，它表示了物体 运动的范围，称之为振幅
D
#1a1001002b
一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍， 则该物体的最大速度：
A. 是原来的四分之一 B. 是原来的一半 C. 是原来的四倍 D. 是原来的二倍 E. 和原来一样
E
#1a1001002c
一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍， 则该物体的最大加速度
A. 是原来的四分之一 B. 是原来的一半 C. 是原来的四倍 D. 是原来的二倍 E. 和原来一样
(2k 1) .....(k 0,1,2....)
此时两振动步调相反，称反相。 一个达到正的最大，另一个达到负的最大， 同时越过平衡位置但方向相反。
当 k .....(k 0,1,2....)
称之为不同相，此时就有超前落后之分
• 超前和落后 x A cos(t )