数学分析第一讲函数详讲

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《数学分析》第一章实数集与函数

x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
由二项展开式
(1+ h)n 1+ nh + n(n 1) h2 + n(n 1)(n 2) h3 + + hn ,
2!
3!
有 (1+ h)n >上式右端任何一项.
今日作业 P4,3, 4, 6, 7
§1.2 数集·确界原理
一、区间与邻域二、上确界、下确界
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质 1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a | a | , b 0

数学分析(一)：一元微积分南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开

一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。

数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)

解释下面记号： a A, a A,
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中有唯一的元素与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？

北大数学分析

2 。
下面图中给出 y = x ， x 2 ， x 2 ， x − 1 四个幂函数的图形。（见下页）
1
π
3
y 2 y=x y=x y = x1/2 y = x- 1 0 x 0 它们的上升，下降，凸凹性质是很值得研究的。当 α > 0 时， y = xα 在 [ 0,+∞) 严格上升， α > 1 时凸函数（从下往上看，严格定义以后再讲）， 0 < α < 1 时凹函数。当 α < 0 时， y = xα 在 [ 0,+∞) 严格下降。
幂函数 y = xα ， 0 < x < +∞ ， α ≠ 0 。如果 α = １，２，３，．．．，它就是单项式函数的一
半，这里我们研究一般的 α ≠ 0 ，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比如
π
2 如何定义都很难说清楚，要等到第三册才能给出严格定义，其实 2 本身的定
指数函数 y = a x （ a > 0 ， a ≠ 1 ）．
y y=ax (a<1) y=ax (a>1)
a > 1 时在 ( −∞,+∞ ) 严格上升。
a < 1 时在 ( −∞,+∞ ) 严格下降。
第一章函数
§１．１初等函数
数学分析的研究对象是函数。初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们回顾一下初等函数，用严厉和好奇的目光，看一看定义上它们有什么不完善的地方，性质上它们还有哪些深刻的东西尚不为认识，为了进一步认识这些性质，需要什么样的新工具。这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数，即常数函数，单项式函数，多项式函数，有理函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，我们还将介绍双曲函数及其反函数。常数函数 y = c 对所有 x ， − ∞ < x < +∞ ．这里 − ∞ ， + ∞ 分别表示负无穷大和正无穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是 y = 1 的函数图形，它是一条与

数学分析讲义(第一章)

Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二函数极限
1 定义函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有

数学分析1.3函数的概念

第一章实数集与函数3 函数的概念一、函数的定义定义1：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，则对D内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作：f:D→Mx↦y数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记为f(x)。

全体函数值的集合f(D)={y|y=f(x),x∈D}( ⊂ M)称为函数f的值域。

我们常用y=f(x)，x∈D表示一个函数。

习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量。

使函数解析式有意义的自变量的全体通常称为存在域。

以存在域做为定义域时可以省略不写。

函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应，也称为映射。

对于a∈D，f(a)称为映射f下a的象，a则称为f(a)的原象。

在函数定义中，对每一个x∈D，只能有唯一的一个y值与它对应，这种函数称为单值函数；若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种函数为多值函数。

两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同，但对应法则的表达形式可能不同，如：f(x)=|x|，x∈R和f(x)=，x∈R.二、函数的表示法函数有三种主要的表示法，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。

在定义域不同部分用不同公式表示的函数称为分段函数。

如符号函数：sgn x=，，，函数f(x)=|x|可表示为：，，或f(x)=xsgn x函数y=f(x)，x∈D还可以表示为有序数对的集合：G={(x,y)|y=f(x), x∈D}狄利克雷函数：D(x)=，当为有理数，，当为无理数定义在[0,1]上的黎曼函数：R(x)=当为既约真分数当和内的无理数三、函数的四则运算给定两个函数f,x∈D1和g,x∈D2，记D=D1∩D2，并设D≠Ø，则定义：F(x)=f(x)+g(x)，x∈D；G(x)=f(x)-g(x)，x∈D；H(x)=f(x)g(x)，x∈D；令D*=D1∩{x|g(x)≠0, x∈D2}≠Ø，则L(x) =，x∈D*.四、复合函数设有两个函数：y=f(u), u∈D；u=g(x), x∈E.记E*=E∩{x|g(x)∈D}. 若E*≠Ø，则对每一个x∈E*，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f对应唯一的一个值y。

《数学分析》第一章实数集与函数 1

o a
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母 y, t等表示变量.

大学数学《数学分析》第一章_实数集与函数

数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22§1 实数（1时）一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数，y x .证明：存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3，4，5，6；§2 确界原理（2时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7, 8；§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ，参阅[1]P17—19， Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；。

数学分析第一章实数集与函数

第一章实数集与函数
§1 实数
教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质教学重点：绝对值与其不等式性质教学要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。
一实数及其性质
．实数无有理理数数负正无分分限数数不，，循qp (环p,小q为数整。数且q 0)或有限小数和无限循环小数。
R x | x为实数全体实数的集合
-a
0
a
9
绝对值的一些主要性质
1. | a| | a| 0 当且仅当 a0 时 | a| 0 2. -|a|a |a| 3. |a|h -h< a< h; |a| h hah, h0 4. a b ab a b 5. | ab|| a| |b| 6. a |a| , b0
b |b|
10
性质 4（三角不等式）的证明：
比如 2 1.4142,
1.4,1.41,1.414,称为 2的不足近似值; 1.5,1.42,1.415,称为 2的过剩近似值.
注: 实数x的不足近似xn当n增加时不减，过剩近似xn当n增加时不增。
如: x 32.179834521
x5 32.17983 x6 32.179834
x5 32.17984 x6 32.179835 y 187.834521
7
证明:由x y 存在非负整数n,使得xn yn , 取r xn yn ,则r为有理数,且 2 x xn r yn y.
实数的主要性质
1 四则运算的封闭性。
2 有序性: 任意两个实数a,b必满足下列关系之一: a b, a b, a b.
3 传递性: a b,b c a c. 4 Archimedes:即对a,b R,若b a 0,则存在正整数n,使得na b.

数学分析第一章 12复合函数和反函数、初等函数

14
余弦函数 y cos x
2
y cos x
3
2
2
D(f ) (,),R(f ) [1,1]
2021/3/22
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15
正切函数 y tan x
y tan x
3
3
22
2
2
D(f ) {x | x (2n 1),n Z}, R(f ) (,)
2021/3/22
1
y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
2021/3/22
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11
3.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
D(f ) (,),R(f ) (0,)
2021/3/22
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12
4.对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
D(f ) (0,),R(f ) (,)
2021/3/22
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13
5.三角函数
正弦函数 y sin x
2
y sin x
2
D(f ) (,),R(f ) [1,1]
2021/3/22
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例
:
设g(x)
2 2
x x
x x
0 0
,
f
(x)
x2 - x
x 0,求f[g(x)] x0
从里到外
2021/3/22

江苏大数学分析-1-3-函数的概念

yx
或记为 x f 1 y, y f D.
注1 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
f : X Y f 1 : Y X
显然有 f 1 f I : X X (恒等变换）
f f 1 I : Y Y
( f )1 1 f : X Y
② 列表法
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y 5 6 3 10 32 45 56 34 28
③ 图像法
④ 描述法
Dirichlet函数：
1
D

x

1,
0 ,
当x为有理数, 当x为无理数.
Riemann函数：定义在 0,1 上
R

x

1 q
,
当x p ( p, q N ,且 p 为既约分数）,
q
q
0, 当x 0,1和0,1中的无理数.
⑤ 分段函数函数在定义域内
不同部分用不同的公式表示.
例如：符号函数绝对值函数
1, x 0,
sgn x 0, x 0,
-1, x 0.
f
x

x

x, x ,
x 0, x 0.
例1 函数 f x 3 2x 1 去掉绝对值符号.
§1.3 函数概念
一、函数的定义二、函数的表示法三、函数的四则运算四、复合函数五、反函数六、初等函数
一、函数的定义
函数是整个数学分析中最基本的研究对象,可
以说数学分析就是研究函数.
定义1：给定两个实数集 D 和 M，若有对应法则 f ，
使对 D 内每个数 x ，都有唯一的一个数 y M 与 x

高中数学教案第1讲函数的概念及其表示

第1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.2.同一个函数(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几类函数的定义域：(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A.y＝(x)2B.u＝3v3C.y＝x2D.m＝n2n解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2n和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.(2)已知f(x)＝x＋3＋1x＋2，若f(a)＝133，则a＝.解析：f(a)＝a＋3＋1a＋2＝133，解得a＝1或－5 3 .答案：1或－5 3(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1x－2的定义域为.解析：x2＋2x＋3≥0，－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].答案：[－1，2)∪(2，3]函数的概念1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2xD.f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.反思感悟函数概念的判定方法(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.函数的定义域例1(1)(2024·雅安期末)函数y ＝ln （x ＋1）4－x2的定义域为()A.(－1，2)B.(－1，2]C.(1，2)D.(1，2]解析：A ＋1＞0，－x 2＞0得－1＜x ＜2，所以函数y ＝ln （x ＋1）4－x 2的定义域为(－1，2).故选A.(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是()A.[－5，5]B.－12，2C.[－2，3]D.12，2解析：B函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12，2.故选B.反思感悟函数定义域的求解方法(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(2)求抽象函数定义域的方法：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.训练1(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋|x |x －1的定义域为()A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)B.[－3，1)∪(1，2]C.[－2，1)∪(1，3]D.(－2，1)∪(1，3)解析：Cx 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得－2≤x ≤3且x ≠1.(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为()A.(2，3]B.(－2，3]C.[－2，3]D.(0，3]解析：A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，≤3，即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.函数的解析式例2(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1x )＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f(x＋1x)＝x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0).∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，a＝2，5a＋b＝17，a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.反思感悟函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).训练2(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝.解析：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).答案：x 2－4x ＋3(x ≥1)(2)已知f (x )满足f (x )－2f (1x )＝2x ，则f (x )＝.解析：∵f (x )－2f (1x)＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f (1x )－2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .答案：－2x 3－43x(3)已知f [f (x )]＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝.解析：因为f (x )为一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋b (k ＋1)，因为f [f (x )]＝4x ＋9，所以k 2x ＋b (k ＋1)＝4x ＋9恒成立，2＝4，（k ＋1）＝9，＝2，＝3＝－2，＝－9，所以f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.答案：2x ＋3或－2x －9分段函数求分段函数的函数值例3已知函数f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，则f (3)＝.解析：因为f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，所以f (3)＝f (1)＝f (－1)＝e －1＋1＝1.答案：1分段函数与方程、不等式例4(1)(2024·济宁模拟)已知a ∈R ，函数f (x )log 2（x 2－3），x ＞2，3x ＋a ，x ≤2.f (f (5))＝2，则a ＝.解析：因为5＞2，所以f (5)＝log 2(5－3)＝1≤2，所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.答案：－1(2)(2024·咸阳模拟)已知函数f (x )2x ，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则不等式f (x )＜1的解集为.解析：当x ≤0时，f (x )＝2x ＜1＝20，解得x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝|ln x |＜1，即－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.综上，不等式f (x )＜1的解集为(－∞，0)∪(1e ，e).答案：(－∞，0)∪(1e，e)反思感悟分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.训练3(1)(2024·合肥模拟)已知f (x )e x －2，x ＜4，log 5（x －1），x ≥4，则f (f (26))等于()A.1 5B.1 eC.1D.2解析：C f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1.(2)(2024·唐山模拟)设函数f(x)2＋1，x≤0，x，x＞0.若f(a)＝0，则a＝.解析：当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，a＝1，故实数a的值为1.答案：1限时规范训练(六)A级基础落实练1.(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A.y＝(x＋2)2B.y＝3x3＋2C.y＝x2x＋2 D.y＝t＋2解析：BD函数y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝(x＋2)2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误；对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.2.函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A.(2，＋∞)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：D∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，－2＞0，－3≠0，解得x＞2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3.(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是()解析：ACD对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象.故选ACD.4.(2023·成都期末)已知函数f(x)x＋2），x≤0，x，x＞0，则f(f(－2))＝()A.4B.8C.16D.32解析：C f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C.5.一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝()A.1B.2C.3D.5解析：C设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，2－2k＝0，＋b＝3，解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.6.(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(|x|)＝x3B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x|D.f(|x|)＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误.对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误.对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误.对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.故选D.7.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)x＋1－1，x≥1，log3（x＋5）－2，x＜1，且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝()A.－16B.16C.26D.27解析：C若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m＜1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m ＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.8.(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝f（x）x＋2的定义域是()A.[－2，5]B.(－2，3]C.[－1，3]D.(－2，5]解析：D因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝f（x）x＋2有意义，则5≤x≤5，＋2＞0，解得－2＜x≤5，所以y＝f（x）x＋2的定义域是(－2，5].故选D.9.已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝.解析：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x.答案：x2－2x10.设函数f(x)，x≤0，x，x＞0，则满足f(x＋2)＜f(2x)的x取值范围为.解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x ＞2.综述：x取值范围为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)11.(2024·昆明市第一中学考试)已知f(x＋1)＝1x，则f(x)＝，其定义域为.解析：0，0，解得x＞0，所以f(x＋1)＝1x(x＞0)，令x＋1＝t，则t＞1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝1（t－1）2(t＞1)，所以f(x)＝1（x－1）2(x＞1).答案：1（x－1）2(1，＋∞)12.已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋1－2x的定义域为.解析：2≤2x≤2，－2x≥0，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].答案：[－1，0]B级能力提升练13.(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则()A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R，2x2＋4x＋3f（x）＜2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R，2x2＋4x＋5f（x）＜2解析：B因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6，所以f(x)＝x2＋2x＋2.对于A，C，f(x)＝(x＋1)2＋1≥1，所以f(x)的最小值为1，无最大值，故A，C错误；对于B，2x2＋4x＋3f（x）＝2x2＋4x＋3x2＋2x＋2＝2－1x2＋2x＋2，因为0＜1x2＋2x＋2≤1，所以1≤2－1x2＋2x＋2＜2，即1≤2x2＋4x＋3f（x）＜2，故B正确；对于D，2x2＋4x＋5f（x）＝2x2＋4x＋5x2＋2x＋2＝2＋1x2＋2x＋2，2＜2＋1x2＋2x＋2≤3，即2＜2x2＋4x＋5f（x）≤3，故D错误.故选B.14.(2024·武汉二调)已知函数f(x)＋1，x≤a，x，x＞a，若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，1]C.[0，＋∞)D.(－∞，1]解析：B法一：易知函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域为R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]，故选B.法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x＞a时，2x＞12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除选项A，D；若a＝2，则当x≤a 时，x＋1≤3，当x＞a时，2x＞4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除选项C.故选B.15.设函数f (x )x ＋λ，x ＜1（λ∈R ），x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是.解析：当a ≥1时，2a ≥2，∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立；当a ＜1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案：[2，＋∞)16.设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )x ＋a ，－1＜x ＜0，e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f (92)＝f (32)，则ab的取值范围为.解析：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (92)＝f (12＋4)＝(2)2f (12)＝2e b ，f (32)＝f (－12＋2)＝2f (－12)＝22×（－12）＋a ＝2(a －1).因为f (92)＝f (32)，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈(2e ，＋∞)，故ab的取值范围为(2e ，＋∞).答案：(2e ，＋∞)。

数学分析课件-函数列

05
结论
函数列的重要性和意义
函数列是数学分析中的重要概念，它对于理解函数的性质、极限、连续性和可微性等方面具有重要意义。通过函数列，我们可以更好地理解函数在不同点上的行为，以及函数在极限状态下的性质。
函数列在解决实际问题中也有广泛应用。例如，在物理学、工程学和经济学等领域中，经常需要用到函数列来描述物理量随时间的变化规律、工程结构在不同载荷下的响应以及经济数据的趋势等。
函数列的未来发展方向
随着数学和其他学科的不断发展，函数列的研究也在不断深入。未来，函数列的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，例如与调和分析、复分析、微分方程和概率论等领域的结合，以产生更加丰富的研究成果。
随着计算机技术的不断发展，数值计算和模拟在科学研究中的应用越来越广泛。函数列的数值计算和模拟也是未来的一个重要研究方向，例如在计算物理、计算化学和计算生物学等领域中的应用。此外，随着大数据和人工智能技术的兴起，函数列在数据分析和机器学习等领域中也具有广阔的应用前景。
THANKS
感谢观看
解的存在性
通过构造满足特定条件的函数列，并证明其收敛，可以证明某些积分方程解的存在性。
在实数列极限中的应用
极限的性质
利用函数列的性质，可以证明实数列极限的一些性质，如极限的唯一性、四则运算性质等。
VS
收敛准则
通过研究函数列的收敛性，可以得到实数列收敛的一些准则，如Cauchy收敛准则等。
函数列是由一列函数组成的集合，这些函数可以是同一变量或不同变量的函数。
函数列中的每个函数都有自己的定义域和值域，并且按照某种顺序排列。
02
函数列的一致收敛性
一致收敛的定义

高等数学(数学分析)

第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。

如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。

定理：函数的极限若存在，则必唯一。

定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。

（反之，也成立。

）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。

注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。

（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。

数学分析1.4函数的性质

x∈D
x∈D
sup f x + g x ≤ sup f x + sup g x .
x∈D
x∈D
x∈D
二、单调函数定义 3：设 f 为定义在 D 上的函数，若对任何 x1,x2∈D，当 x1< x2 时，总有 (1)f(x1)≢f(x2)，则称 f 为 D 上的增函数，当 f(x1)<f(x2)时，称 f 为 D 上的严格增函数； (2)f(x1)≣f(x2)，则称 f 为 D 上的减函数，当 f(x1)>f(x2)时，称 f 为 D 上的严格减函数. 增函数和减函数统称单调函数，严格增函数和严格减函数统称严格单调函数.
(2)G(-x)=f(-x)-f(x)= -G(x)，对任意的 x∈[-a,a]都成立，
∴G(x)=f(x)-f(-x)是[-a,a]上的奇函数.
(3)f(x)= f x +f −x
+(f 2
x
−f
−x
)=F (x )+2 G (x )；
(1)中已证 F(x)是[-a,a]上的偶函数；(2)中已证 G(x)是[-a,a]上的奇函数；
r<x1
r<x2
∴ax 当 0<a<1 时，在 R 上严格减.
根据定理 1.2 可知：对数函数 y=logax 当 a>1 时，在 R 上严格增；当 0<a<1 时在 R 上严格减.
三、奇函数和偶函数定义 4：设 D 为对称于原点的数集，f 为定义在 D 上的函数。若对每一个 x∈D 有 f(-x)= -f(x)（f(-x)=f(x)），则称 f 为 D 上的奇(偶)函数。从函数图象上看，奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称。

1第一讲函数极限的概念1 慕课讲稿

第三章函数极限§1函数极限的概念同学们好，这一讲我们来学习函数极限的概念在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。

二者的关系是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。

通过数列极限的学习。

我们应该有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或者可以总结成两句话：第一句话：随着自变量变化，第二句话：相应的因变量的变化趋势。

例如，数列an的极限是研究随着n越来越无限增大，an的变化趋势。

函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量变化相对比较复杂，可以有x 趋于正无穷，x趋于负无穷，x趋于无穷，x趋于x0，x从右侧趋于x0，x从左侧趋于x0。

下面，我们就依次讨论这些极限。

一、x趋于无穷时函数的极限设函数f 定义在a到正无穷上，类似于数列极限，我们研究当自变量x趋于正无穷时，即随着x越来越无限增大时，相应的函数值能否与某个固定的常数A越来越无限接近。

例如：f(x)等于x分之一，当x无限增大时，f(x)无限地接近于0；例如：g(x)等于arctanx，当x无限增大时，f(x)无限地接近于二分之pi；例如：h(x)等于x，当x无限增大时，f(x)与任何实数都不能无限地接近。

正因为如此，所以才有必要考虑x趋于正无穷时，f(x)的变化趋势。

我们把像f(x)，g(x)这样，当x趋于正无穷时，对应函数值无限地接近于某个固定的常数A，称为“函数f(x) 当x趋于正无穷时有极限A”。

[问题] 如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x趋于正无穷时，函数极限的精确定义如下：1. x趋于正无穷时函数极限的定义定义１设f(x)为定义在a到正无穷上的函数，A为实数。

若对任给的正数epsilon，存在正数M（大于等于a），使得当x大于M时，有绝对值f(x)减A小于epsilon, 则称函数f(x)当x 趋于正无穷时以A为极限。

记作lim x趋于正无穷f(x)=A或f(x)趋于A(当x趋于正无穷).极限不存在的定义如同数列极限一样，写出否命题即可。

《数学分析》第一章实数集与函数 2

y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
4,三角函数 , 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
3,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
恒成立 . 则称f ( x )为周期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
三,反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x

D
y
D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个, 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数, 数叫做单值函数,否则叫与多值函数. 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如, 例如, x + y = a .
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),

高等数学函数讲解大学教材

高等数学函数讲解大学教材高等数学是大学数学学科中一门重要的课程，其中函数是一个关键概念。

函数是数学中的一种映射关系，它在数学和实际问题中都有广泛应用。

本文将对大学教材中关于高等数学函数的讲解进行介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

在大学教材中，函数的定义通常是这样的：设A和B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于A中的每个元素x，都恰好有一个唯一的元素y与之对应，那么就称f是从A到B的一个函数。

函数通常用符号表示，如f(x)或者y = f(x)。

函数具有以下几个重要的性质：1. 定义域与值域：函数的定义域指的是自变量x的取值范围，值域指的是因变量y的取值范围。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数在自变量增大时，因变量的变化趋势。

有增函数、减函数、严格增函数、严格减函数等概念。

3. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数特殊的分类，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

4. 周期性：周期函数具有一定的周期，即f(x+T) = f(x)，其中T是正常数。

二、常见的函数类型在大学教材中，常见的函数类型包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次方乘积所组成的函数。

多项式函数的最高次项的次数决定了函数的阶数。

2. 有理函数：有理函数是多项式函数除以另一个多项式函数得到的函数。

有理函数的定义域为所有使得分母不为零的实数。

3. 指数函数：指数函数是以指数为变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，形式为f(x) = loga(x)，其中a是一个大于0且不等于1的实数。

5. 三角函数：三角函数根据单位圆上点的坐标定义，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

数学分析函数极限概念ppt课件

xk
x0 | }；
(2) 若
x0 {
x1 ,
, xn}, 则令
min { | 1k n
xk
x0
| }.
于是, 当 0 | x x0 | 时，对以上两种情形都有
| R( x) 0 | .
这就证明了 lim R( x) 0 . x x0
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注有兴趣的同学可以证明：
lim R( x) lim R( x) 0.
0
x
π 2
.
前页后页返回
因为当 x π 时, sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,
2
有 sin x x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R. 上式中的等号仅在 x 0 时成立.
对于任意正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
分析对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
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x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限，记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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例3 求证 lim ex 0. x
证对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,

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