【走向高考】2016高考数学二轮第一部分微专题强化练专题26 函数与方程的思想、分类讨论的思想(含解析)

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2016届高考数学(文)二轮复习专题整合突破函数的图象与性质(选择、填空题型)(含答案)

一、选择题1.[2015·太原一模]已知集合A ＝{x|y ＝1－x}，B ＝{y|y ＝x 2}，则A∩B＝( ) A ．(－∞，1] B ．[0，＋∞) C ．(0,1) D ．[0,1]答案 D解析由题意得A ＝(－∞，1]，B ＝[0，＋∞)，∴A∩B＝[0,1]．2．[2015·江西八校联考]已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m 为常数)，则f(－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案 B解析 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，得m ＝－1，∴f(log 35)＝3log 35－1＝4，∴f(－log 35)＝－f(log 35)＝－4.3．[2015·云南统测]下列函数，有最小正周期的是( )点击观看解答视频A.y ＝sin|x| B ．y ＝cos|x| C ．y ＝tan|x| D ．y ＝(x 2＋1)0答案 B解析 A ：y ＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x≥0－sinx ，x<0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x|＝cosx ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧tanx ，x≥0－tanx ，x<0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．4．[2015·太原一模]已知函数f(x)＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f(x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f(x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5．[2015·石家庄一模]设函数f(x)为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则f(－2)＝( )A ．－12B.12 C ．2 D ．－2答案 B解析因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log 22＝12，故选B.6．[2015·长春质监(二)]已知函数f(x)＝|x ＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A.7．[2015·山西四校联考(三)]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3xlog 13＞，则函数y ＝f(1－x)的大致图象是( )答案 D解析当x ＝0时，y ＝f(1)＝3，即y ＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f(3)＝－1，即y ＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝log 1343＜0，即y ＝f(1－x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，log 13 43，排除C ，故选D. 8．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为( )A ．－1<a<4B ．－2<a<1C ．－1<a<0D ．－1<a<2答案 A解析 ∵f(x)是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，a －4a ＋1<0，解得－1<a<4.9．设函数f(x)＝x|x －a|，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式1－2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )点击观看解答视频A.(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3]答案 C解析由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x －a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x≥a－x 2＋ax ，x<a ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0<a≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．[2015·长春质监(三)]对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M 函数：(1)对任意的x ∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立．则下列3个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f(x)＝x 2②f(x)＝x 2＋1 ③f(x)＝2x－1 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 (1)在[0,1]上，3个函数都满足．(2)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，对于①，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；对于③，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选B.二、填空题11．[2015·唐山一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是__________．答案 (－∞，－1]解析由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1， ∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．12．[2015·陕西质检(二)]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>01－x ，x≤0，则f(f(－99))＝________.答案 2解析 f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg 100＝2.13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥01，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范围是________．答案 (－1，2－1)解析由题意f(1－x 2)>f(2x)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>01－x 2>2x ，∴不等式的解集为(－1，2－1)．14．[2015·山东高考]已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－＝0＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－＝－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.。

2016届高考数学(浙江版)二轮专题能力训练专题二函数2.1函数的图象与性质

专题能力训练3函数的图象与性质(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2015北京,文3)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x2.(2015陕西,文4)设f(x)=则f(f(-2))=()A.-1B.C.D.3.(2015浙江重点中学协作体二适,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),则f(-1)=()A.3B.1C.-1D.-34.(2015天津,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a5.函数f(x)=的图象大致是()6.函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点共有()A.0对B.1对C.2对D.3对7.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是()A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2015浙江第一次五校联考,文14)已知偶函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x-1,则f=.9.(2015浙江宁波镇海中学5月模拟,文9)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.10.(2015浙江温州三适,文14)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=-log2x,则f=;使f(x)<0的x的取值范围是.11.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)的值为.三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)求函数的值域.13.(本小题满分15分)定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断k为何值时f(x)为奇函数,并证明;(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.14.(本小题满分16分)(2015浙江嘉兴教学测试(二),文20)已知函数f(x)=x2-|ax+1|,a∈R.(1)若a=-2,且存在互不相同的实数x1,x2,x3,x4满足f(x i)=m(i=1,2,3,4),求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.参考答案专题能力训练3函数的图象与性质1.B解析:根据偶函数的定义f(-x)=f(x),A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B.2.C解析:f(f(-2))=f=1-.3.D解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),所以f(0)=0,则f(0)=20+2×0+m=0,解得m=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.4.B解析:∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.5.A解析:因为f(-x)==f(x),所以函数f(x)=是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D.令x=,f(x)=>0,排除B.故选A.6.D解析:因为y=cos πx是偶函数,图象关于y轴对称,所以,本题可转化成求函数y=log3x与y=cos πx图象的交点个数的问题.作函数图象如图,可知它们有三个交点,即函数f(x)图象上关于y轴对称的点有3对.7.C解析:令t=x2+2x,则t≥-1,函数f(t)=由题意可得,函数f(t)的图象与直线y=a有3个不同的交点,且每个t值有2个x值与之对应,如图所示.由于当t=-1时,f(t)=8,此时,t=-1对应的x值只有一个x=-1,不满足条件,故a的取值范围是(8,9],故选C.8.-解析:∵函数f(x)为偶函数且图象关于直线x=1对称,∴f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),∴f=f=f-1=-.9.(-∞,0]∪[2,+∞)0≤a≤1解析:当a=1时,f(x)=≥1,即-1≥1,所以x2-2x+1≥1,即x≥2或x≤0,所以解集为(-∞,0]∪[2,+∞);因为函数f(x)的定义域为R,所以-1≥0在R上恒成立,即x2-2ax+a≥0在R上恒成立,即Δ=(-2a)2-4a≤0,解得0≤a≤1.10.-2-1<x<0或x>1解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f=-f=-=-2.当x<0时,-x>0,所以-f(x)=f(-x)=-log2(-x),所以f(x)=log2(-x),由f(x)<0得解得-1<x<0或x>1.11.4解析:∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=4,∴f(2 012)+f(2 014)=f(2 012)+f(2 012+2)=f(2 012)-f(2 012)=0,∴f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=4.12.解:(1)∵f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,解得a=1.(2)由(1)知,f(x)==1-,∴f(x)为增函数.证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2.f(x1)-f(x2)=1--1+,∵x1<x2,∴<0,且+1>0,+1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)为R上的增函数.(3)令y=,则2x=,∵2x>0,∴>0.∴-1<y<1.∴函数f(x)的值域为(-1,1).13.解:(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,∴k=0.证明:令a=b=0,由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)是奇函数.(2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.又f(x)是R上的增函数,∴mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0<m<1.∴实数m的取值范围是[0,1).14.解:(1)若a=-2,则f(x)=x2-|-2x+1|=当x≤时,f(x)min=f(-1)=-2;当x>时,f(x)min=f(1)=0.f,此时,f(x)的图象如图所示.要使得有四个不相等的实数根满足f(x)=m,即函数y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,因此m的取值范围为.(2)①若a=0,则f(x)=x2-1,在[1,2]上单调递增,满足条件;②若a>0,则f(x)=只需考虑x≥-的时候,此时f(x)的对称轴为x=,因此,只需≤1,即0<a≤2.③若a<0,则f(x)=结合函数图象,有以下情况:(ⅰ)-≤-,即-≤a<0时,此时f(x)在内单调递增,因此在[1,2]内也单调递增,满足条件; (ⅱ)->-,即a<-时,f(x)在内均单调递增,只需-≥2或-≤1,解得-2≤a<-;由(ⅰ)(ⅱ)可得,a的取值范围为-2≤a<0.由①②③得,实数a的取值范围为-2≤a≤2.。

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题23 选择题解题技能训练(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014²中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015²河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2²17a2a 2＋17b 2＝217 a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173，整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015²新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．3 1[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45，解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12³π6－sin π6＝12³(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015²南昌市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014²长春市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015²辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2³2－1＝3，n ＝2³(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015²安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014²石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确．方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n 1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014²浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015²四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A.2B.823833C.3 [答案] BD.[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a≠18，求得a＝－1，2∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝2231＋－1 82＝.故选B.3(理)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝02222|6－312.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－＋m(k≠0)；k与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2022年安徽文，8)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 C．－2或－12 [答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1 b＝2或12，故选D. 3＋4B．2或－12 D．2或1222(理)(2022年辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2 C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直|2a||2a－4|线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得22得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr 点在圆外，d＝r 点在圆上；dr 点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或0)时，点在圆外；等于r(或0)时，点在圆上；小于r(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r0)的位置关系如下表.2222222222222222关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2022年安徽文，6)过点P(3，－1)的直线l与圆x＋y ＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )πA. (0，]6πC. [0，]6[答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，ππ在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，∠OPA66πB．(0，]3πD．[0，]322∴∠MPA＝，∵直线l倾斜角的范围是[0．33[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2022年山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )53A3532B．－或－232254C45[答案] DD．－或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆(x＋|－3k－2－2k－3|42223)＋(y－2)＝1相切，∴1，∴12k＋25k＋12＝0，解得kk＝3k2＋13－故选D. 44．(文)(2022年湖南文，6)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y －6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 C．9 [答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x＋y＝1，C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，2222222B．19 D．－11r1＝1，r225－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系2(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x上，且恒与定直线l相切，则直线l的4方程为( )A．x＝1 1C．y＝－32[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x＝4y的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C21B．x＝32D．y＝－1与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2022年哈三中一模)直线x＋y2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.C.π 62π3B.D.π35π622[答案] D|2|[解析] 弦心距d＝1，半径r＝2，22π∴劣弧所对的圆心角为3(理)(2022年福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为”的( )2A．充分而不必要条件C．充分必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝＝2|k|1＋k，11＋k222B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件弦长为|AB|＝1－d21|k|1∴S△OAB＝|AB|d＝2，∴k＝±1，2k＋121因此当“k＝1”时，“S△OAB”，故充分性成立．21“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，2∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.6．(2022年太原市一模)已知在圆x＋y－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 C．15 [答案] DB．65 D．21522[解析] 圆的方程为(x－2)＋(y＋1)＝5，圆的最长弦AC为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝2－1 ＋－1－0 ＝2，∴BD＝R－ME＝3，11故S四边形ABCD＝ACBD＝53＝215.227．(2022年重庆理，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 C．6 [答案] C[解析] 易知圆的标准方程C：(x－2)＋(y－1)＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝2＋4 ＋1＋1 ＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA－OB＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A．1条C．3条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2022年江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )4A.π 5C．(6－25)π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C 上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝4242R＝S＝πR＝π.选A.5553B. 45D. 4B．2条D．4条222222222222B．42 D．210(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则222a的取值范围是( )A．a7或a－3 B．a6或a－6C．－3≤a66≤a≤7 D．a≥7或a椋3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|525得－6a6，两条直线都和圆相离时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|52得a－3，或a7，所以两条直线和圆“相切”时a5的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x ＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.[答案] 02222[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m ＋1|m＋1＝1，解得m＝0.1222(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA ＋sinB＝sinC，则直线2ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 271222[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，2∴圆心到直线距离d＝|c|a＋b22＝c2，12c2∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．222即|c|12＋522，解|c|13，∴－13c13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2022年福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 22222222(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由2p2y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0，211解得x＝2或x＝，从而B(2)．22又G(－1,0)，2－022－2－022所以kGA＝kGB＝＝－，2－－1 313－－1 2所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0.21 1 解得x＝2或x＝，从而B2 . 2 2又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0，|22＋22|42从而r＝ .8＋917又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，2＋2|2所以点F到直线GB的距离d＝＝r.8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r0)经过点(13)．(1)求圆C的方程；→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4，所以圆C的方程为x＋y＝4.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，y＝k x＋1 ＋1，联立22x＋y－4＝0.22222222222222消去y得，(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋221＋k1＋kk2＋2k－32k－4x1x2＝＝1＋221＋k1＋ky1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，222222222k＋42－3，1＋k由于点M也在圆C上，则(整理得2x21＋y1x1＋3x222y1＋3y22＝4，242x22＋y2433x1x2y1y2＝4，222k－42k＋4即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为2y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.②若直线l的斜率不存在，－1－33－3则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()－1323－32)＋)＝4－3≠4，22故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为2222椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a2，e＝2c＝1，2则b＝1，即椭圆C＋y＝1.21(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．x22∴kPQ＝－1，kOP＝1，∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y0＝2－x0，kPF＝22x0＋1kOQ＝－，x0＋1y0x0＋1x，y0y0∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2∴点Q(－2)，y0y0－∴kPQ＝22x0＋2y0x0＋2y20－2x0＋2x0＋2 y0－x0－2x0x0y0＝，又kOP＝x0＋2 y0y0x0∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ 始终与圆O相切．15．(文)(2022年石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C 的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得x2＋y－2 2＝y2＋4，化简得x＝4y.(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b22消去y得x－4kx－4b＝0.2x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝－4b，且Δ＝16k＋16b211以点P为切点的切线的斜率为y′11，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，__即y＝1x－x1.24112同理过点Q的切线的方程为y＝x2x2.24两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，x＋xx＝2k 2解得__12A12A2，即A(2k，－b)．则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k＋16b＝16k＋32－32k＝16(k－1)＋160，|PQ|1＋k|x1－x2|＝1＋k2222k2＋b，2|2k＋2b|A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝k2＋1S△APQ＝PD|d＝4|k2＋b|k2＋b＝4(k2＋b)3322＝4(k－2k＋2)＝4[(k－1)＋1].当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x＝4y11上，则以点P为切点的切线的斜率为y11，其切线方程为y －y1＝x1(x－x1)，221即y＝1x－y1，21同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.21y＝__－y，2设两条切线均过点A(x，y)，则1y＝2__－y.1012021232点P，Q的坐标均满足方程y0＝__0－y，即直线PQ的方程为：y＝0x－y0，代入抛物线方程x＝4y消去y可得：21212x2－2x0x＋4y0＝0|PQ|＝1210|x1－x2| 41221＋x04x0－16y0 412|x0－2y0|2A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝12x0＋14S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y01212312＝(x0－4y0) 2 2331212＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．3(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲4线C.(1)求曲线C的方程；→→→→(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x，y)，3则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，4y3x≠±2)，x＋2x－24整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．yx2y2x1y1→→y1－y1由OM⊥ON得＝－1，又＋1.x1x143解得直线MN方程为x＝±12.原点O到直线MN的距离d＝712. 722若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.y＝kx＋m 22由xy＋＝1 43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.222－8km4m－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2(*)4k＋34k＋3→→y1y222由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝0.2x1x2代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ0. 此时原点O到直线MN的距离22222。

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题4 函数与方程、函数的应用(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题4 函数与方程、函数的应用一、选择题1．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 [答案] C[解析] 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，f (1)＝12－1＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12内有零点． 2．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240B ．200C ．180D ．160[答案] B[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx ≥2x10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B.3．(文)(2014·山东理，8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图，当y ＝kx 在l 1位置时，过A (2,1)，∴k ＝12，在l 2位置时与l 3平行，k ＝1，∴12<k <1.(理)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8[答案] B[分析] 函数y ＝f (x )－sin x 的零点转化函数f (x )y ＝f (x )与y ＝sin x 图象交点――→转化f (x )的范围――→函数f x 的性质确定f ′(x )的正负――→分类讨论(x －π2)·f ′(x )>0.[解析] ∵(x －π2)f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，π2)上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在(π2，π)上单调递增． ∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1. ∴当x ∈[π，2π]时，0≤2π－x ≤π. 又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数，知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]内有4个交点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]内有4个零点．4．已知a 、b ∈[－1,1]，则函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为( )A.12B.14C.18D.116[答案] C[解析] 如图，由图形可知点(a ，b )所在区域的面积S ＝4，满足函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的点(a ，b )所在区域面积S ′＝12×12×1×2＝12，故所求概率P ＝124＝18.5．(2015·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2 2，x ＞2，)函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2[答案] D[解析] 考查求函数解析式；函数与方程及数形结合的思想．由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2 2，x >2，得f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，所以y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |＋x 2，x <0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋ x －2 2，x >2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个公共点，由图象可知74π，x 1、x 2、x 3、x 4、x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ，设两图象交点横坐标从左向右依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5，由对称性知x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π，又π<x 5<10，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5∈(π，10)．(理)(2014·百校联考)已知f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20132013，设函数F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)，且F (x )的零点均在区间[a ，b ](a 0，f (－1)＝1－1－12－13－14－…－12013<0，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2012，当x ≤0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )＝1－－x20131＋x＝1＋x 20131＋x>0，∴f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又f (－1)f (0)<0，∴f (x )只有一个零点，记作x 1，则x 1∈(－1,0)，g (1)＝1－1＋12－13＋…＋12012－12013>0， g (2)＝1－2＋222－233＋…＋220122012－220132013<0，又当x >0时，g ′(x )＝－1＋x －x 2＋x 3＋…－x 2012＝－1·[1－－x 2013]1＋x＝－ 1＋x20131＋x<0，∴g (x )单调递减，∴g (x )也只有一个零点，记为x 2，x 2∈(1,2)，F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)有两个不同零点x 3、x 4，x 3∈(－4，－3)，x 4∈(5,6)，又F (x )的零点均在区间[a ，b ]内，且a <b ，b ∈Z ，∴当a ＝－4，b ＝6时，b －a 取最小值10.[方法点拨] 1.求f (x )的零点值时，直接令f (x )＝0解方程，当f (x )为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知f (x )在区间[a ，b ]上单调且有零点时，利用f (a )·f (b )<0讨论；3．求f (x )的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点个数，即方程f (x )＝g (x )的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．7．(文)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)[答案] C[解析] f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，若a >0，则f (x )在(－∞，0)和(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，又f (0)＝1，∴f (x )不可能存在唯一零点；由选项知a ＝0不必考虑；a <0时，f (x )在(－∞，2a )和(0，＋∞)上单调递减，在(2a，0)上单调递增，欲使f (x )落在唯一零点x 0>0，应有极小值f (2a)>0，即a ·(2a )3－3·(2a)2＋1>0，∴a <－2.[点评] 可以用验证法求解．(理)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A ．①④②③ B ．①④③② C ．④①②③ D ．③④②①[答案] A[解析] ①y ＝x sin x 为偶函数，对应第一个图；②y ＝x cos x 为奇函数，且x >0时，y 可正可负，对应第三个图；③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时，y >0，对应第四个图；④y ＝x ·2x为增函数，对应第二个图，故选A.8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 为( )A.192 B ．9 C.172D.334[答案] C[解析] 由条件知f (－x )＝f (x ) ①，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ②，在②式中给x 赋值x ＋1得f (－x )＝－f (x ＋2)，将①代入得f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4.在②中令x ＝0得f (1)＝0，∴方程f (x )＋1＝f (1)，化为f (x )＝－1，由于f (x )的图象关于点(1,0)对称，当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，∴当1<x <2时，f (x )>0，令f (x )＝－1，(0<x <1)得x ＝12，即f (12)＝－1，∴f (172)＝f (12＋8)＝f (12)＝－1，故选C.9．(文)已知定义在R 上的函数f (x )的对称轴为x ＝－3，且当x ≥－3时，f (x )＝2x－3.若函数f (x )在区间(k －1，k )(k ∈Z )上有零点，则k 的值为( )A ．2或－7B ．2或－8C ．1或－7D ．1或－8[答案] A[解析] ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，∴f (x )在(1,2)上有零点，又f (x )的图象关于直线x ＝－3对称，∴f (x )在(－8，－7)上有零点，∴k ＝2或－7.(理)(2015·长沙一模)使得函数f (x )＝15x 2－45x －75(a ≤x ≤b )的值域为[a ，b ](a <b )的实数对(a ，b )有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．无数对[答案] B[解析] 配方得f (x )＝15(x －2)2－115，当a ≥2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调增函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a ，f b ＝b ，即a ，b 是方程f (x )＝x 的两根，方程化简得x 2－9x －7＝0，易知方程不可能存在两个不小于2的实根；当b ≤2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调递减函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧15a 2－45a －75＝b ，15b 2－45b －75＝a ，消元化简得a 2＋a －2＝0，∴a ＝－2或a ＝1，代入原方程组解得满足条件的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，即实数对(－2,1)满足条件；当a <20在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[答案] A[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x的图象有一个交点，所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点，所以当x >0时，f (x )没有零点．当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A.(理)已知定义域为(－1,1]的函数f (x )，对任意x ∈(－1,0]，f (x ＋1)＝11＋f x，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][答案] D[解析] ∵x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，又x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1，又f (x ＋1)＝11＋f x ，∴x ∈(－1,0]时，f (x )＝1x ＋1－1，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ∈[0，1]，1x ＋1－1， x ∈ －1，0 .的图象，由于y ＝m (x ＋1)过定点(－1,0)，∴要使y ＝m (x＋1)与y ＝f (x )的图象有两个交点，应有0<m ≤12，∴选D.11．(文)如果函数y ＝|x |－2的图象与曲线C ：x 2＋λy 2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．{－1,0}C ．(－∞，－1]∪[0,1)D ．[－1,0]∪(1，＋∞)[答案] A[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x ≥0 ，－x －2 x <0 .当λ＝1时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝4有三个不同公共点，当0<λ<1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，满足题设要求，当λ>1时，不满足；当λ<0时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线斜率k ＝－1λ，由题意应有－1λ≥1，∴－1≤λ<0，综上知－1≤λ<1.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤4，x 2－12x ＋34，x >4.若方程f (x )＝t (t ∈R )有四个不同的实数根x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围为( )A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)[答案] C[解析] 设四个实数根满足x 1<x 2<x 3<x 4，则易知0<t <2，∴x 1＝2－t，x 2＝2t ，由(x －6)2－2＝t 得x －6＝±2＋t ，∴x ＝6±2＋t ，∴x 3＝6－2＋t ，x 4＝6＋2＋t ，∴x 1x 2x 3x 4＝2－t·2t·[6－2＋t ][6＋2＋t ]＝36－(2＋t )＝34－t ∈(32,34)，故选C.12．(2015·石家庄市质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ∈[0，1 ，4－2x ， x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( )A ．(log 232，54)B ．(0，log 232]∪[54，＋∞)C ．[0，log 232]∪[54，2]D ．(log 232，1)∪[54，2][答案] C[解析] 利用分段函数建立不等式组求解．f (x 0)≤32⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 0<1，2x 0≤32或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 0≤2，4－2x 0≤32解得0≤x 0≤log 232或54≤x 0≤2，故选C.二、填空题13．已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sin πx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．[答案] 7[解析] 易知在(－32，32)内，有f (－1)＝0，f (0)＝0，f (1)＝0，即f (x )在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f (x )的2个周期，而两端点都是f (x )的零点，故f (x )在[0,6]内有7个零点．14．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)．若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n∈Z )，则n ＝________.[答案] 1[解析] 由函数图象知，1<x 0<2，∴n ＝1..15．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．[答案] 32[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.(理)已知f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b＝2，则n 等于________．[答案] －1[解析] ∵2a ＝3,3b＝2，∴a ＝log 23，b ＝log 32， ∴f (－1)＝a －1－1－b ＝log 32－1－log 32＝－1<0，f (0)＝a 0－b ＝1－log 32>0，∴f (x )在(－1,0)内存在零点，又f (x )为增函数，∴f (x )在(－1,0)内只有一个零点， ∴n ＝－1. 三、解答题16．(文)设函数f (x )＝13x 3＋a －12x 2－ax ＋a ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝0在(0,2)内恰有两个实数根，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在[t ，t ＋3](t ∈(－3，－2))上的最大值为H (t )，最小值为h (t )，记g (t )＝H (t )－h (t )，求函数g (t )的最小值．[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x －a ＝(x ＋a )(x －1)，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝－a <0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而方程f (x )＝0在区间(0,2)内恰有两个实数根等价于f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0，13)．(3)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x ＋1，由(1)知f (x )在(－3，－1)上单调递增，(－1,1)上单调递减．所以，当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，所以f (x )在[t ，－1]上单调递增，[－1，t ＋3]上单调递减，因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值H (t )＝f (－1)＝53，而最小值h (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．∵f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故h (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )，而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝13，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝53－13＝43.即函数g (x )在区间[－3，－2]上的最小值为43.(理)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a 、b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝1x＋2ax ＋b .因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为(0，2)和(1，＋∞)，单调递减区间为(2，1)．(2)因为f ′(x )＝2ax 2－ 2a ＋1 x ＋1x ＝ 2ax －1 x －1x，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，当12a<0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2，当a >0时，x 2＝12a>0，当12a <1时，f (x )在(0，12a )上单调递增，(12a ，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f (12a )＝ln 12a ＋a (12a )2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a －1<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2；当1≤12a <e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，(1，12a )上单调递减，(12a ，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<x 2＝12a<e 矛盾；当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，矛盾．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题27转化与化归思想、数形结合思想(含解析

ax＋b( 理)(2021 ·XX理，9) 函数f ( x)＝2的图象如下列图，那么以下结论成立的是x＋c()A．a＞0，b＞ 0，c＜ 0B．a＜ 0，b＞ 0，c＞0C．a＜0，b＞ 0，c＜ 0D．a＜ 0，b＜ 0，c＜0[答案]C[解析]考察函数的图象与应用．ax＋ b b 由 f ( x)＝x＋c2及图象可知，x≠－c，－c>0，那么c<0；当x＝0时，f(0)＝c2>0，所b以 b>0；当 y＝0， ax＋ b＝0，所以 x＝－a>0，所以 a<0.故 a<0， b>0， c<0，选C．[ 方法点拨 ]1. 给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩、对称变换，结合特殊点 ( 与坐标轴的交点、最高( 低) 点、两图象的交点等) 作出判断．2．由函数图象求解析式或求解析式中的参数值( 或取值X围 ) 时，应注意观察图象的单调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断．3．数形结合的途径(1) 通过坐标系“形〞题“数〞解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．在高考中主要以解析几何作为知识载体来考察．值得强调的是，“形〞“题〞“数〞解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧( 这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理) ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的构造含有明显的几何意义．如等式( x－ 2) 2＋( y－ 1) 2＝ 4.(2) 通过转化构造“数〞题“形〞解许多代数构造都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进展巧妙地转化．例如，将>0 与距离互化，将 2 与面积互化，将a 2＋b2＋＝2＋2－ 2|a|||cos θ( θ＝60°) 与余a a ab a b b弦定理沟通，将a≥ b≥c>0且 b＋ c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对( 或复数 ) 和点沟通，将二元一次方程与直线对应，将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数构造向几何构造的转化常常表现为构造一个图形( 平面的或立体的 ) ．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．4．( 文 ) 函数f ( x )满足下面关系：① f ( x ＋1)＝ f ( x －1)；②当 x ∈[－1,1]时， f ( x )＝x 2，那么方程 f ( x )＝lg x 解的个数是()A ．5B ． 7C ．9D ． 10[答案]C[ 分析 ]由 f (x ＋ 1) ＝f (x － 1) 可知 f (x ) 为周期函数，结合f ( x )在[－1,1]上的解析式可画出 f ( x )的图象，方程 f ( x )＝lg x 的解的个数就是函数y ＝f ( x )与 y ＝lg x 的图象的交点个数．[ 解析 ]由题意可知，f ( x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．由方程 f ( x )＝lg x 知 x ∈(0,10]时方程有解，画出两函数y ＝ f ( x )与 y ＝lg x 的图象，那么交点个数即为解的个数．又∵lg10 ＝ 1，故当x >10 时，无交点．∴由图象可知共9 个交点．[ 方法点拨 ]数形结合在函数、方程、不等式中的应用(1) 用函数的图象讨论方程( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程) 的解的个数是一种重要的解题思路，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2) 解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以防止繁琐的运算，获得简捷的解答．(3) 函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值( 值域 ) 经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．(理)、是三次函数f ( x ) ＝ 1 3＋ 12＋ 2 ( 、∈ R) 的两个极值点，且 ∈(0,1) ，m n3x2axbx a bmb ＋3n ∈(1,2)，那么a ＋2 的取值X 围是 ()2A ． ( －∞，5) ∪ (1 ，＋∞)2B ．( ， 1)C ． ( －4,3)D ． ( －∞，－ 4) ∪ (3 ，＋∞)[答案] D[解析]′()＝x 2＋＋2，fx axbf>0，b由题意知f ∴ a ＋2b ＋1<0，(*)f＋＋ 2>0.a bb ＋3 表示的平面区域内的点与点( － 2，－ 3) 连线的斜率，由图形易知＋2表示不等式组 (*)a选 D ．5．( 文) 直线x ＋3y －m ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，那么 m 的取值X 围是 ()A ． 1<m <2B ． 3<m <3C ． 1<m < 3D ． 3<m <2[答案] D[分析]动直线x ＋ 3 －＝ 0 是一族平行直线，直线与圆在第一象限内有两个不同交y m点，可通过画图观察找出临界点，求出m 的取值X 围．k ＝－3A (0,1)时， m ＝[解析] 直线斜率为定值 3 . 如图，平移直线到过点 3，到相切时，| m |＝1，2∴ m ＝2，∴3<m <2.( 理 ) 假设直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝ 3－ 4x －x 2有公共点，那么b 的取值X 围是 () A ．[1 － 2 2，1＋ 2 2] B ．[1 － 2，3] C ．[ －1,1 ＋2 2] D ． [1 －2 2，3][答案] D[ 解析 ]此题考察了直线与圆的位置关系问题，考察数形结合思想的应用．曲线 y ＝3－4x －x 2对应的图象如下列图，为圆( x － 2)2＋ ( y －3) 2＝ 4 的下半圆，假设直线y ＝x ＋b 与此半圆相切，2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题25 审题技能训练课件

[ 解析 ]
(1) 由频率分布直方图可知： (0.004 ＋ a ＋ 0.018 ＋
0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006. (2) 由频率分布直方图可知，评分不低于 80 分的频率为
(0.022 ＋ 0.018)×10 ＝ 0.4 ，所以评分不低于 80 分的概率的估计
值为0.4.
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
[立意与点拨]
考查频率分布直方图与古典概型，运算求
解能力、数据处理能力和逻辑思维能力；解答本题一要抓住频率分布直方图的性质；二要明确可用频率估计概率；三要会用列举法计数基本事件．
住“三位递增数”的含义；二要注意“将三位数字之积”被 5(或10)整除合理转化．
[解析] (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145, 235,245,345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C3 9＝84，随机变量 X 的取值为：0，－1,1，因此
C3 2 8 P(X＝0)＝C3＝3， 9 C2 1 4 P(X＝－1)＝C3＝14， 9 1 2 11 P(X＝1)＝1－14－3＝42. 所以 X 的分布列为 X P 0 2 3 －1 1 14 1 11 42
[警示]
一熟记基础知识；二是注重基本方法的掌握与训
练；三是注意掌握证明否定性命题的一般方法，特别是寻找矛盾的一般规律．
(理)(2015·北京东城练习)对于数列{an}(n＝1,2，„，m)，
令bk为a1，a2，„，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新
数列 ” ．例如数列 2,1,3,7,5 的创新数列为 2,2,3,7,7. 定义数列 {cn}：c1，c2，c3，„，cm是自然数1,2,3，„，m(m>3)的一个排

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题17 推理与证明(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题17 推理与证明（含解析）一、选择题1．(文)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第第第第第一二三四五列列列列列1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列[答案] D[解析]正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．(理)(2014·广州市综合测试)将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2014，则i＋j的值为( )A．C．254 D．253[答案] C[解析]依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j ＝252＋2＝254，故选C．[方法点拨] 归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．(2015·广东文，6)若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交[答案] D[解析] 考查空间点、线、面的位置关系．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，假如l 与l 1、l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，∴l 1∥l 2，与l 1、l 2异面矛盾，因此l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D ．[方法点拨] 演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．(文)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，则数列{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n[答案] D[解析] 通过审题观察，对比分析得到：[方法点拨] 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项．(理)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n a 1＋a n2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝( )A ．n b 1＋b n2B ． b 1＋b nn2C ．n b 1b nD ．(b 1b n )n2[答案] D[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，两式相乘得T 2n ＝(b 1b n )n，即T n ＝(b 1b n )n2.4．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…………则第( )行的各数之和等于20112.( ) A ．2010 B ．2009 C ．1006 D ．1005[答案] C[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2011，解得n ＝1006.[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n 行从n 开始，有2n －1个数，因此第n 行各数的和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝ 2n －1 [n ＋ 3n －2 ]2＝(2n －1)2.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15[答案] C[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C ．6．(文)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．(理)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否定¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D ．[方法点拨] 1.反证法的定义一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．2．反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．7．(文)在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.( )A ．1b －1cB ．1a －1bC ．1c －1bD ．1c －1a[答案] C[分析] 观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．[解析] 方法1：类比法E 在AC 上，OE 的方程为(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0.F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换．因而OF 的方程应为 (1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.∴括号内应填：1c －1b.方法2：画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b.事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线AP ：x c ＋y p＝1，两式相减得(1c －1b)x＋(1p －1a)y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[方法点拨] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质．(理)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为( )A ．1h 2＝1AB 2＋1AC 2＋1BC2B ．h 2＝PA 2＋PB 2＋PC 2C ．1h 3＝1AB 3＋1AC 3＋1BC3D ．1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2[答案] D[解析] 本题考查了合情推理的能力．连接CO 并延长交AB 于点D ，连接PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ，则PD 2＋PC 2·h ＝PD ·PC ，所以1h 2＝PD 2＋PC 2PD 2·PC 2＝1PC2＋1PD 2.容易知道AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD ，在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB ，所以PA 2＋PB 2·PD ＝PA ·PB ，1PD 2＝PA 2＋PB 2PA 2·PB 2＝1PA 2＋1PB 2，故1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)． [点评] 上述解答完整的给出了结论1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2的证明过程，如果注意到所给结论是一个真命题，可直接用作条件，则在Rt △PAB 中，有1PD2＝1PA2＋1PB 2，在Rt △PDC 中，有1h2＝1PD2＋1PC 2，即可得出结论．8．(文)正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A ．10232048a 2B ．1023768a 2C ．5111024a 2D ．20474096a 2[答案] A[解析] 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－ 12 10]1－12＝1023a22048.(理)对于大于1的自然数m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m 3的分裂共有m 项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m －2)(m ＋1)＋3，当m ＝8时，第一个奇数为57，故m ＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.二、填空题9．(文)(2015·南昌市二模)观察下面数表： 1， 3,5， 7,9,11,13，15,17,19,21,23,25,27,29.设1027是该表第m 行的第n 个数，则m ＋n 等于________． [答案] 13[解析] 由数表知第P 行最后一个数为第S P 个奇数，其中S P ＝1＋2＋22＋…＋2P －1＝2P－1，易得第9行最后一个奇数为2(29－1)－1＝1021，故1027为第10行的第3个数，∴m ＋n ＝13.(理)(2015·河南八市质量监测)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，…，照此规律，总结出第n (n ∈N *)个不等式为________．[答案] 1＋122＋132＋142＋…＋1 n ＋1 2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) [解析] 由于1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，所以可以写为1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，照此规律，所以第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1 n ＋1 2<2n ＋1n ＋1. 10．(文)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×b a (a 、b为正整数)，则a ＋b ＝________.[答案] 89[解析] 观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n ＋nn 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89.(理)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________． [答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n n ＋12，所以第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)．三、解答题11．(文)(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[分析] 考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理．(1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平行四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行的判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直的判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[证明] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.(理)(2015·商丘市二模)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝ 2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)求二面角B －PC －D 的余弦值．[解析] (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，AC ． ∵AP ＝BP ，∴PO ⊥AB ．又四边形ABCD 是菱形，且∠BCD ＝120°， ∴△ACB 是等边三角形，∴CO ⊥AB ．又CO ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面PCO ，又PC ⊂平面PCO ，∴AB ⊥PC ．(2)由AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝2，易求得PO ＝1，OC ＝3， ∴OP 2＋OC 2＝PC 2，OP ⊥OC ．以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (0,1,0)，C (3，0,0)，P (0,0,1)，D (3，－2,0)，∴BC →＝(3，－1,0)，PC →＝(3，0，－1)，DC →＝(0,2,0)．设平面DCP 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则n 1⊥PC →，n 1⊥DC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝3－z ＝0n 1·DC →＝2y ＝0，∴z ＝3，y ＝0，∴n 1＝(1,0，3)．设平面BCP 的一个法向量为n 2＝(1，b ，c )，则n 2⊥PC →，n 2⊥BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝3－c ＝0n 2·BC →＝3－b ＝0，∴c ＝3，b ＝3，∴n 2＝(1，3，3)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝42×7＝277，∵二面角B －PC －D 为钝角，∴二面角B －PC －D 的余弦值为－277.12．(文)(2015·昆明质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为S n ，证明：S n <n 2n ＋1.[解析] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋1n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1n＝a n ＋1n n ＋1 ＋1＋1n ＋1－a n －1n＝1n n ＋1 －1n n ＋1＋1＝1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是公差为1的等差数列．又a 1＋1＝1，故a n ＋1n＝n .即数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n .(2)由(1)知a n ＝n －1n ，则a n n＝1－1n2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2∵1n 2>1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1.∴n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2<n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n －1＋1n ＋1＝n 2n ＋1. ∴对∀n ∈N *，S n <n 2n ＋1成立．(理)(2015·湖南文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n－S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[分析] (1)依据已知等式利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)用构造法求解，然后验证当n ＝1时，命题成立即可； (2)利用(1)中的结论先求出数列{a n }的通项公式，然后通过求解数列{a n }的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式．[解析] (1)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，(n ∈N *)，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3，(n ∈N *)，两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，(n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项 a 1＝1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，所以a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1，于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝3 3n－12从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3 3n－1 2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)，综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32 5×3n －22－1 ， n ＝2k ＋1，k ∈N *32 3n2－1 ， n ＝2k ，k ∈N *.[方法点拨] 直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．13．(文)(2015·邯郸市二模)设函数f (x )＝ln x －a (x －2)，g (x )＝e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)过原点分别作曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的切线l 1，l 2，且l 1，l 2的斜率互为倒数，试证明：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(附：ln2＝0.693)．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)①当a ≤0时，对一切x >0，恒有f ′(x )>0，f (x )的单增区间为(0，＋∞)；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.∴f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)设过原点与函数f (x )，g (x )相切的直线分别为l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x ，切点分别为A (x 1，ln x 1－ax 1＋2a )，B (x 2，e x 2)， ∵g ′(x )＝e x，∴k 2＝e x 2＝e x 2x 2，∴x 2＝1，k 2＝e ，∴k 1＝1e又f ′(x )＝1x －a ，∴k 1＝1x 1－a ＝ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e ，得a ＝1x 1－1e ，并将它代入ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e 中，可得ln x 1－1＋2x 1－2e＝0设h (x )＝ln x －1＋2x －2e ，则h ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x 2∴h (x )在(0,2]上单减，在(2，＋∞)上单增若x 1∈(0,2]，∵h (1)＝1－2e >0，h (2)＝ln2－2e ≈0.693－2e <0，∴x 1∈(1,2)而a ＝1x 1－1e 在x 1∈(1,2)上单减，∴12－1e <a <1－1e，若x 1∈(2，＋∞)，h (x )在(2，＋∞)上单增，且h (e)＝0，即x 1＝e ，得a ＝0，综上所述：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(理)(2015·安徽理，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n.[分析] 考查1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式；4.考查运算求解能力和推理论证能力，分析和解决问题的能力．解答本题(1)可利用导数的几何意义求解，(2)根据数列的通项公式用放缩法证明不等式．[解析] (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0.解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝(12)2(34)2…(2n －12n )2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝(2n －12n )2＝ 2n －1 2 2n 2> 2n －1 2－1 2n 2＝n －1n ，所以T n >(12)2×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.14．(2015·新课标Ⅱ文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b 2k 2＋1，于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．15．(文)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0. (1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A 、B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．[解析] (1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点．∴P (0，y2)，M (－x,0)．∴PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)．∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 ，y 2＝4x消去x 得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)， CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2 ＝(y 1y 24)2－m (y 21＋y 224)＋m 2－4＝－m4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m (4k2＋2)－3＝0.∵Δ＝(4k2＋2)2＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m (4k2＋2)－3＝0有解．∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．[方法点拨] 1.在证明问题时，我们可以使用分析法，寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时分析法与综合法交替使用．2．有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．即“正难则反”．反证法的步骤是：(1)假设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果； (3)结论：肯定原命题的正确性．(理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b 、r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [解析] (1)由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由于b ＝2，则根据(1)得a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32 k ＋1 >k ＋1·2k ＋32 k ＋1 ＝2k ＋32k ＋1 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥ k ＋1 k ＋2 ，由基本值不等式2k ＋32＝ k ＋1 ＋ k ＋22≥ k ＋1 k ＋2 成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [方法点拨] 1.与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．2．数学归纳法的主要步骤 (1)归纳奠基证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或2等)时结论正确； (2)归纳递推假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确(归纳假设)，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．综合(1)(2)知，对任何n ∈N *，命题均正确．在用数学归纳法证题中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时一定要用到归纳假设，可以对n ＝k ＋1时的情况进行适当变换，突出归纳假设，这是证题的关键．3．归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想．。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第2章第1节函数及其表示(含解析)新人教B版

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第2章第1节函数及其表示新人教B 版一、选择题1．(文)设集合M ＝{x|－2≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )[答案] B[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中x ∈(0,2]时没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.(理)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 [答案] C[解析] 由x2＝1得x ＝±1，由x2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2，1,2}，故选C.2．(2015·某某一中期中)设全集U ＝R ，A ＝{x|y ＝1－x2＋2x }，B ＝{y|y ＝－1x2＋1}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x|x≥1}B ．{x|1≤x<2}C ．{x|0<x≤1}D ．{x|x≤1} [答案] B[解析] A ＝{x|0<x<2}，B ＝{y|y<1}，阴影部分表示A ∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}，故选B.3．(文)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≤0，f x －3，x>0，则f(2015)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3 [答案] A[解析] f(2015)＝f(2012)＝f(2009)＝f(2006)＝……＝f(2)＝f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1.(理)(2015·某某百所重点中学联考)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f(32＋x)，且当0<x≤32时，f(x)＝log2(3x ＋1)，则f(2015)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] 由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，再由条件可得f(－x)＝f(32＋x)，所以，f(3＋x)＝f(x)，所以，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选B. 4．(2014·某某市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是( ) A ．y ＝(12)xB ．y ＝sinxC ．y ＝x3D ．y ＝log 12x[答案] C[解析] A 、D 中的函数为非奇非偶函数，B 中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y ＝x3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C.5．(文)(2013·某某模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x ＋6>3，解之得－3<x<1或x>3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 x<1，lgx x≥1.若f(x0)>1，则x0的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x0<1，21－x0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0≥1，lgx0>1.⇒x0<0或x0>10.6．(2014·某某阶段训练)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ∈－∞，2]，log2x x ∈2，＋∞.则满足f(x)＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16 [答案] C[解析] 当f(x)＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f(x)＝log2x 时，log2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C. 二、填空题7．若f(a ＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则f2f 1＋f3f2＋f4f3＋…＋f 2013f 2012＋f 2014f 2013＝________. [答案] 2013[解析] 令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f(1)＝1， ∴f 2f1＋f 3f2＋f4f3＋…＋f 2013f 2012＋f 2014f 2013＝2013.8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．[答案] 1[解析] 结合f(x)与g(x)的图象，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x 0<x≤2－x ＋3x>2，易知h(x)的最大值为h(2)＝1.9．(2013·某某省内江市一模)设函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f(x)在R 上有最小值；②当b>0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要条件是b2>4|c|； ⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋bx ＋cx≥0－x2＋bx ＋c x<0取b ＝0知，①⑤错；容易判断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c －b24<0且c ＋b24>0，∴b2>4c 且b2>－4c ，∴b2>4|c|，故填②③④. 三、解答题10．(2015·某某市名校联考)对于函数f(x)＝log 12(x2－2ax ＋3)，解答下述问题： (1)若函数的定义域为R ，某某数a 的取值X 围； (2)若函数的值域为(－∞，－1]，某某数a 的值． [解析] 记u ＝g(x)＝x2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a2， (1)∵u>0对x ∈R 恒成立，∴umin ＝3－a2>0， ∴－3<a<3，∴a 的取值X 围是(－3，3)．(2)要使f(x)的值域为(－∞，－1]，则log 12u ∈(－∞，－1]， ∴u≥2，∴3－a2≥2，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.一、选择题11．(文)具有性质f(1x )＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有① [答案] B[解析] ①f(1x )＝1x －x ＝－f(x)满足． ②f(1x )＝1x ＋x ＝f(x)不满足． ③0<x<1时，f(1x )＝－x ＝－f(x)， x ＝1时，f(1x )＝0＝－f(x)，x>1时，f(1x )＝1x ＝－f(x)满足．故选B.(理)(2014·淮阳中学检测)如果函数f(x)对于任意实数x ，存在常数M ，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函．下面有4个函数： ①f(x)＝1； ②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx ＋cosx)x ； ④f(x)＝xx2＋x ＋1.其中有两个属于有界泛函，它们是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④ [答案] D[解析] 由|f(x)|≤M|x|对x ∈R 恒成立，知|f xx |max≤M. ①中⎪⎪⎪⎪f x x ＝|1x|∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ②中⎪⎪⎪⎪f x x ＝|x|∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ③中⎪⎪⎪⎪f x x ＝|sinx ＋cosx|＝2|sin(x ＋π4)|≤2，故存在M 使不等式恒成立；④中⎪⎪⎪⎪f x x ＝⎪⎪⎪⎪1x2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋122＋34≤43，故存在M 使不等式恒成立．[点评] 作为选择题判断①后即排除A 、C ，判断②后排除B ，即可选出D. 12．(文)(2014·乌鲁木齐地区诊断)若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( ) A ．a<b<c B ．c<a1)，则f ′(x)＝1－lnx x2，当x>e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)， ∴ln33>ln44>ln55，∴ln33>ln22>ln55，∴b>a>c.(理)(2015·某某某某期中)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] B[解析] y ＝x 为增函数；y ＝2x ＋1为增函数；y ＝log 12(x ＋1)在定义域上为减函数；y ＝|x －1|在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴满足条件的函数序号为②③. 13．(文)(2015·某某期中)若函数f(x)＝kax －a －x(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x ＋k)的图象是( )[答案] C[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴ka －x －ax ＋kax －a －x ＝(k －1)ax ＋(k －1)a －x ＝(k －1)(ax ＋a －x)＝0，∵上式恒成立，∴k ＝1，∴f(x)＝ax －a －x ，又f(x)为增函数，∴a>1，∴g(x)＝loga(x ＋k)为增函数，且g(x)是由函数y ＝logax 的图象向左平移一个单位得到的，故选C. (理)(2014·某某省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x2－1B ．y ＝2xsinx 4x ＋1C ．y ＝(x2－2x)exD ．y ＝xlnx[答案] C[解析] 由图象可知，x<0时，函数值恒大于0，排除A 、B 、D ，故选C. 14．(文)(2015·某某教学合作十月联考)已知四个函数①y ＝xsinx ，②y ＝xcosx ，③y ＝x|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数符号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① [答案] A[解析] ①y ＝xsinx 是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝xcosx 是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x>0时，y≥0；④y ＝x·2x 为非奇非偶函数，且当x>0时，y>0；当x<0时，y<0，故选A. (理)(2014·某某省九校联合体摸底)已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的增函数，函数y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x ，y ∈R ，f(x2－6x ＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值X 围是( ) A ．(3,7) B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49) [答案] C[解析] ∵y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y ＝f(x)是奇函数，又∵y ＝f(x)是增函数，∴不等式f(x2－6x ＋21)＋f(y2－8y)<0⇔f(x2－6x ＋21)<f(8y －y2)⇔x2－6x ＋21－8y ＋y2<0⇔(x －3)2＋(y －4)2<4.即点(x ，y)是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图当x>3时，点(x ，y)是右半圆内部分，x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49. 二、填空题15．(文)(2013·某某模拟)函数f(x)＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [解析] ∵要使函数f(x)＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(理)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有________个． [答案] 5[解析] 由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．16．(2013·某某模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x ∈[－2,2]，则函数(x)的值域为________． [答案] [－4,6][解析] 由题意知，当x ∈[－2，－1]时，1⊕x ＝1,2⊕x ＝2，当x ∈(1,2]时，1⊕x ＝x2,2⊕x ＝2，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2， x ∈[－2，1]，x3－2， x ∈1，2].当x ∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．三、解答题17．(文)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x)2＋1192·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax ＝7958(万元)，前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x2＋1192x)×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)． ∵39758＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．(理)已知函数f(x)＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f(x)的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值X 围． [解析] (1)由x ＋ax －2>0，得x2－2x ＋a x >0， a>1时，x2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a ＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x)＝1－a x2＝x2－ax2>0恒成立， ∴g(x)＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x －x2，而h(x)＝3x －x2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max ＝h(2)＝2，∴a>2.18．(文)(2014·某某某某联考)函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D ，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．[解析] (1)令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，又∵f(1)＝0，∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 令x1＝x ，x2＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在定义域D 上为偶函数． (理)(2014·某某某某质检)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f(x ＋12)<f(1x －1)；(3)若f(x)≤m2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数， ∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝fx1＋f －x2x1＋－x2·(x1－x2)，由已知得fx1＋f －x2x1＋－x2>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[－1,1]上单调递增． (2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x<－1.∴不等式的解集为{x|－32≤x<－1}． (3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增， ∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am ＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．下面来求m的取值X围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值X围是m＝0或m≥2或m≤－2.。

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