分数阶傅里叶变换的离散算法-Ozaktas

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傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。

感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。

/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

分数阶傅里叶变换的原理与应用

分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。

1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。

分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。

1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。

1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。

二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。

通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。

总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。

随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。

分数阶傅立叶变换

分数阶傅立叶变换分数阶傅立叶变换（Fractional Fourier Transform）是一种多阶数学变换，可以将一个函数的时域特征转换到频域特征，同时也具有快速的计算特性。

它能够提供更加准确的信息处理方法，能够在信号处理中有效地应用。

分数阶傅立叶变换是在标准傅立叶变换基础上进行改进，其基本思想是将原始信号的时间域特征转换到频域特征。

转换后的信号可以更好地反映信号的频率分布，并且可以更好地处理诸如正弦波、高斯函数等不同形态的信号。

分数阶傅立叶变换的基本概念是将原始信号的时域特征变换到频域特征，这样就可以有效地处理各种不同形态的信号，而不会损失信号的细节和特征。

分数阶傅立叶变换的基本原理是将一个函数的时域特征转换到频域特征。

它是由一组数学公式组成的，可以将时域信号转换为频域信号，从而使信号可以在频域进行处理。

接下来要介绍的是分数阶傅立叶变换的公式。

首先，变换的基本公式是：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t}dt $$其中，$f$为一个函数，$t$是时间坐标。

要实现分数阶傅立叶变换，需要对这个公式作出改变：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t + i \alpha}dt $$其中，$\alpha$为变换参数，可以改变信号在时域和频域之间的映射关系，从而实现对信号的更加准确处理。

另外，分数阶傅立叶变换也可以通过建立矩阵进行表示：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(2 \pi f t) dt \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(2 \pi f t) dt\end{bmatrix} $$可以看出，分数阶傅立叶变换的矩阵表示其实就是一个二维旋转矩阵。

分数傅里叶变换

分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。

1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。

分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。

当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。

因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。

当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。

此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。

分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。

离散分数阶傅里叶变换快速算法的DSP详细实现

离散分数阶傅里叶变换快速算法的DSP详细实现
陈鹏;侯朝焕;梁亦慧;马晓川
【期刊名称】《应用光学》
【年(卷),期】2007(28)2
【摘要】为满足在数字信号处理器DSP(digital signal processor)上进行离散分数阶傅里叶变换DFRFT(discrete fractional fourier transform) 实时计算的要求,通过对多种DFRFT计算方法进行比较,选择Ozaktas提出的DFRFT快速算法进行基于DSP的详细实现处理.在对该快速算法进行理论分析的基础上,将快速算法的计算过程进行优化配置,并给出完整的计算量统计结果.在保证精度要求的情况下,提出的详细实现方法将快速算法的实数乘法计算量减至最小.工程实际应用表明:该方法满足DSP运算精度和实时性要求.
【总页数】5页(P146-150)
【作者】陈鹏;侯朝焕;梁亦慧;马晓川
【作者单位】中国科学院,声学研究所,北京,100080;中国科学院,声学研究所,北京,100080;船舶系统工程部,北京,100036;中国科学院,声学研究所,北京,100080【正文语种】中文
【中图分类】TN91
【相关文献】
1.基于FPGA离散分数阶傅里叶变换算法的实现 [J], 史兆强;魏增辉;马壮
2.基于离散多项式相位变换和分数阶傅里叶变换的加速目标检测算法 [J], 庞存锁
3.用于计算离散分数阶傅里叶变换的MA-CDFRFT算法改进 [J], 陈鹏;侯朝焕;马晓川
4.基于TMS320C6201的离散分数阶傅立叶变换快速算法详细实现 [J], 陈鹏;侯朝焕;马晓川;梁亦慧
5.基于二维离散分数阶傅里叶变换的视觉注意力算法 [J], 徐海波;史步海
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分数阶傅里叶变换

分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。

跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。

分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。

对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。

当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。

分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。

α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。

分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。

分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。

分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。

基于Ozaktas算法的LFM信号参数估计误差分析

摘
要：Ｏｚａｋｔａｓ算法因其运算复杂度低、精度高、提出时间早而成为目前对ＬＦＭ信号进行处理时最
为常用的离散分数阶Ｆｏｕｉｒｅｒ变换算法，但其附加的量纲归一化对ＩＹｑＶＩ信号参数估计存在影响。为此，在对ＬＦＭ信号参数估计建模基础上，分析了基于Ｏｚａｋｔａｓ算法的参数估计二维离散网格效应，并进一步得到了影响初始频率和调频率估计精度的因素。可以发现：在满足采样定理条件下，基于Ｏｚａｋｔａｓ算法的ＬＦＭ信号参数估计能保持较好的估计精度，且在一定程度上可以通过增大采样频率
或减小采样时长来进一步提高估计精度。最后，通过仿真分析验证了上述理论推导的正确性。关键词：离散分数阶Ｆｏｕｉｒｅｒ变换；Ｏｚａｋｔａｓ算法；ＬＦＭ信号；参数估计；估计精度
中图分类号：ＴＮ９５７．５文献标志码：Ａ文章编号：１００１ —８９３Ｘ（２０１３）０８ —１００１ —０５
（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｉｔｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｇ，ｎＮａｖａｌＡｅｒｏｎｎｆａｉｅｌａｎｄａＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｌａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ２６４００１，Ｃｈｉａ；ｎ

基于FPGA离散分数阶傅里叶变换算法的实现

基于FPGA离散分数阶傅里叶变换算法的实现史兆强;魏增辉;马壮【摘要】In order to implement the DFRFT （discrete fractional 傅里叶transform） algorithm on FPGA （field programmable gate array）, some DFRFT methods are analyzed and the Ozaktas＇s DFRFT fast algorithm is selected to achieve the implementation on FPGA. On the basis of theoretical analysis for the algorithm, the computing process of fast algorithm is optimized, and the simulation results is given. Put forward a detailed program to achieve on FPGA under ensuring the accuracy of the request. The practical application of engineering shows that the solution has excellent performance.%为在可编程逻辑门阵列（FPGA）上实现离散分数阶傅里叶变换（DFRFT），对多种DFRFT算法进行比较分析，并选用Ozaktas提出的离散快速算法做了基于FPGA的实现。

在对该算法进行理论分析的基础上，对快速算法的计算过程做优化处理，并给出仿真结果比较。

在保证精度要求下，提出详细的FPGA实现方案。

工程实际应用表明：该方法具有优良性能。

【期刊名称】《河南机电高等专科学校学报》【年(卷),期】2012(020)002【总页数】3页(P17-19)【关键词】离散分数阶傅里叶变换;现场可编程逻辑阵列;FFT核【作者】史兆强;魏增辉;马壮【作者单位】河南机电高等专科学校电子通信工程系,河南新乡453000;黄河水利职业技术学院信息工程系,河南开封475003;中国电子科技集团公司第二十七研究所,河南郑州450047【正文语种】中文【中图分类】TN911.721 引言分数阶傅里叶变换是对经典傅里叶变换的推广，在分析和处理非平稳信号领域有着广泛的应用。

离散傅里叶变换公式

离散傅里叶变换公式离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简称DFT）是一种重要的数学工具，在生活中有广泛的应用。

它的发明者是法国数学家傅里叶，现在也被称为“傅里叶变换”。

本文的目的是提供有关离散傅里叶变换的概述，以及它的重要应用。

一、离散傅里叶变换的概念简单来说，离散傅里叶变换（DFT）是通过求解微积分方程来计算信号函数的值的一种数学工具。

它可以用来表示信号函数在时间域上的内容，也可以用来表示信号函数在频率域上的内容。

离散傅里叶变换对正交函数求值有很大的优势，因为它把正交函数分解为一个和平方和的形式。

DFT的计算公式如下：$$ X_k=sum_{n=0}^{N-1} x_ncdot e^{-frac{2{pi}ink}{N}} $$ 其中，$x_n$是信号函数的采样值，$X_k$是信号函数时域上和频率域上的系数，$N$是信号函数的采样频率，$k$是离散傅里叶变换后的频率系数，$n$是信号函数在时域上每个采样点的标号。

二、离散傅里叶变换的重要应用1.频处理离散傅里叶变换的强大的数学特性使它成为音频处理的理想工具。

它可以用来将音频信号从时域转换成频域。

换句话说，它可以用来把声音转换成不同的频率的峰值。

因此，离散傅里叶变换可以用来调节、增强或者减弱各个频率的信号，从而获得更好音质的音频信号。

2.像处理离散傅里叶变换也可以用来处理图像，比如，将图像从时域转换成频域。

它可以把图像拆分成不同的频率部分，从而将图像模糊处理、滤除噪声或增强图像。

三、结论离散傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以用来处理音频信号和图像信号，从而获得更好的效果。

它的应用范围可能会扩展到其他领域，例如信号处理，它将会成为更多的工程应用中的绝佳选择。

基于频域滤波的分数阶Fourier变换的目标检测

基于频域滤波的分数阶Fourier变换的目标检测尹德强;李文海;宋有为【摘要】A FRFT weak target detection method based on filtering in frequency-domain is proposed through analyzing the echo signal of the target in sea. The method intercalated a band-pass filter in frequency-domain to filter the echo signal in frequency-domain and filter clutter, and then transformed the signal from FRFT domain to time domain, at this time, FRFT detected the target preferably. Experiment using the IPIX data shows that the method has remarkably advantages in increasing the signal-clutter FRFT peak value difference and enhancing the SCR. When the SCR is reduced to -10 dB, the method can still detect targets easily.%在分析海面运动目标回波的基础上提出了一种基于频域滤波的FRFT海面运动弱目标检测方法.该方法通过在频域设置一带通滤波器,对频域回波信号进行滤波,滤除部分杂波,然后逆变换到时域,此时再进行FRFT检测,就能够较好地检测到目标.利用IPIX 实测数据实验表明,在相同信杂比条件下所提方法在增加目标与杂波FRFT峰值差方面都明显优于仅对回波作FRFT变换.设置适当的恒虚警检测门限,该检测方法能够达到更好的检测效果.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2011(034)019【总页数】4页(P7-10)【关键词】分数阶Fourier变换;杂波抑制;滤波;海杂波【作者】尹德强;李文海;宋有为【作者单位】海军航空工程学院,山东烟台 264001;海军航空工程学院,山东烟台264001;中南财经政法大学工商管理学院,湖北武汉 430060【正文语种】中文【中图分类】TN911-340 引言在信号处理领域中，传统的Fourier变换是一个研究最为成熟、应用最为广泛的数学工具。

基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究与实现

西南交通大学毕业论文基于离散采样型的分数阶FOURIER变换算法研究与实现年级: 2011学号: **********: **专业: 自动化(交通信息工程及控制方向)****: ***二零一五年六月西南交通大学本科毕业设计院系专业年级姓名题目指导教师评语指导教师(签章)评阅人评语评阅人(签章) 成绩答辩委员会主任(签章)年月日(此页为空白)毕业设计（论文）任务书班级学生姓名学号发题日期：2014 年12月1日完成日期：2015年 6 月15 日题目基于离散采样型的分数阶Fourier变换算法研究与实现1、本论文的目的、意义近年来,分数阶Fourier变换因其在光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领的广泛应用得到了越来越多的关注。

分数阶Fourier 变换可以看作是时频平面的旋转,并且与其他时频分布具有密切的联系。

分数阶Fourier变换是传统Fourier变换的推广,不但继承了传统傅里叶变换的基本性质，还具有其他的诸多优点。

能够在介于时域和频域之间的分数域上分析信号，可以展示出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征，从而突出问题的某些方面的本质特征。

由于分数阶Fourier变换的离散算法不像离散Fourier变换那样可以简单地通过在时域直接离散化采样得到, 因此分数阶Fourier变换的离散算法成为近年来的研究重点。

分数阶Fourier变换的离散算法主要有三种类型：离散采样型、线性组合型和特征分解型，本设计主要针对离散采样型算法进行研究和算法实现。

2、学生应完成的任务1、了解分数阶Fourier 变换的应用及离散化算法的发展动态；2、学习和掌握分数阶Fourier变换的机理及离散化算法的基本类型，重点研究和掌握离散采样型算法。

3、基于MATLAB编程实现分数阶Fourier 变换的离散采样型离散算法。

4、通过对一个典型的非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号的特征，并验证程序的可行性和正确性。

离散分数阶傅里叶变换采样和重建学术汇报1

n N N
y n K * m, n K p m, n y k p
n N
N
t 2 2 sin
n N m N
exp( 2j cot k 2 n2 t 2 )exp( j csc m n k t u ) y (n);
对
exp( j t 2 ) s(t )
N 2
采样
2
n n n exp( j t ) s(t ) exp( j )sin c 2x t )s( 2x 2x 2x n N
9
Ozaktas的采样型DFrFT
原信号的最优阶次 p=0.90，信号下采样后最优阶次变成 p=0.82
地震信号的离散分数域采样
地震信号的分数域谱 2 1.5 1 0.5
50
100
150
200
250
分数域下采样的分数域谱
1.5 1 0.5
20
40
60
80
100
120
原信号的最优阶次p=0.90，分数域下采样后最优阶次变成p=0.79
2
csc j cot /2u 2 2 j cot /2 u 2 X s u e X u e * u csc n Ts 2 n
csc j cot /2u 2 2 sin j cot /2 u 2 X s u e X u e * u n Ts 2 n
1 0 2 1 1 2cos S 0 1 2cos 2 M M M 1 0 0 L 0 L 0 O M L 2cos( N 1) L 1

分数阶傅里叶变换的离散算法-Ozaktas

• % do special cases • if (a==0), Faf = f; return; end; • if (a==2), Faf = flipud(f); return; end; • if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end • if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end • % reduce to interval 0.5 < a < 1.5 • if (a>2.0), a = a-2; f = flipud(f); end • if (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end • if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end • % the general case for 0.5 < a < 1.5 • alpha = a*pi/2; • tana2 = tan(alpha/2); • sina = sin(alpha); • f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];
也就是说 Xp() 的Wigner-Ville分布，是由 X (t) 的Wigner-Ville分布旋转а 角得到。
• 所以分数阶Fourier变换有一个重要的性质，分数阶Fourier变换是角度为α的时频面旋转. 这个性质建立起分数阶 Fourier变换与时频分布间的直接联系, 并且为分数阶Fourier域理解为一种统一的时频变换域奠定了理论基础, 同时也为分数阶Fourier变换在信号处理领域中的应用提供了有利条件。

分数阶傅里叶变换讲解

分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法，其MATLAB 计算程序可在.tr/~haldun/fracF.m 上查到。

现在基于该程序，对一方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x 进行计算仿真。

注：网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁，据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。

但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到，Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处，而两个程序的计算结果基本相符。

本文使用较为简洁的计算程序，Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。

程序如下：clearclc%构造方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x dt=0.05;T=20;t=-T:dt:T;n=length(t);m=1;for k=1:n;% tt=-36+k;tt=-T+k*dt;if tt>=-m && tt<=mx(k)=1;elsex(k)=0;endend%确定α的值alpha=0.01;p=2*alpha/pi%调用计算函数Fx=frft(x,p);Fx=Fx';Fr=real(Fx);Fi=imag(Fx);A=abs(Fx);figure,subplot(2,2,1);plot(t,Fr,'-',t,Fi,':');title(' α=0.01时的实部和虚部π'); axis([-4,4,-1.5,2]);subplot(2,2,2);plot(t,A,'-');title('α=0.01时的幅值');axis([-4,4,0,2]);分数阶傅里叶变换计算函数如下：function Faf = frft(f, a)% The fast Fractional Fourier Transform% input: f = samples of the signal% a = fractional power% output: Faf = fast Fractional Fourier transformerror(nargchk(2, 2, nargin));f = f(:);N = length(f);shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1;sN = sqrt(N);a = mod(a,4);% do special casesif (a==0), Faf = f; return; end;if (a==2), Faf = flipud(f); return; end;if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end% reduce to interval 0.5 < a < 1.5if (a>2.0), a = a-2; f = flipud(f); endif (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end% the general case for 0.5 < a < 1.5alpha = a*pi/2;tana2 = tan(alpha/2);sina = sin(alpha);f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];% chirp premultiplicationchrp = exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2);f = chrp.*f;% chirp convolutionc = pi/N/sina/4;Faf = fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f);Faf = Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);% chirp post multiplicationFaf = chrp.*Faf;% normalizing constantFaf = exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);function xint=interp(x)% sinc interpolationN = length(x);y = zeros(2*N-1,1);y(1:2:2*N-1) = x;xint = fconv(y(1:2*N-1), sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2)); xint = xint(2*N-2:end-2*N+3);function z = fconv(x,y)% convolution by fftN = length([x(:);y(:)])-1;P = 2^nextpow2(N);z = ifft( fft(x,P) .* fft(y,P));z = z(1:N);从图中可见，当旋转角度0→α时，分数阶Fourier 变换将收敛为方波信号)(t x ；当2πα→时，收敛为c sin 函数。

分数阶傅立叶变换

时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。利用已有的研究成果研究分数阶傅立叶变换的应用。
FRFT的一般研究思路：
例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在该方向的Radon_Wigner变换。利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。
FRFT的一般研究思路：
2.将FRFT视为时频面上的旋转算子
信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一个旋转。
可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概念。
可以应用于多路复用技术。
FRFT的一般研究思路：
3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短
n
n
逆：
(F p )1 F p
分数阶傅立叶变换的性质：
可交换性：
F F p1 p2 F p2 F p1
可结合性：
(F p1 F p2 )F p3 F p1 (F p2 F p3 )
分数阶傅立叶变换的性质：
特征值与特征函数：
F p k
e jpk / 2 k
2
2
sin
例：
F p[s(t)](பைடு நூலகம்)
u cos（ d F p[s(t)](u)）＋（j2）sin （F p[s(t)](u)]）
dt
证明：
（F ps(u)) 1 j cot s(t) exp( j2 t2 u2 cot j2 tu )dt
主要研究方向和成果
FRFT的基本性质 FRFT与其他时频分析工具的关系 FRFT的光学实现技术和应用 FRFT的数值计算与快速算法 FRFT在信号处理中的应用高维分数阶傅立叶变换的研究

傅里叶变换离散数学

傅里叶变换离散数学
傅里叶变换（Fourier transform）是一种将时域函数（或信号）转换为频域函数（或信号）的重要数学工具。

它在信号处理、图像处理、通信工程、量子力学等领域被广泛应用。

离散数学（Discrete Mathematics）是研究离散对象及其性质、关系、算法和应用的分支学科，包括离散结构、代数结构、图论、概率论等。

在信号处理中，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）是一种将离散时间域信号转换为离散频域信号的方法。

它可以用于信号压缩、滤波、频谱分析等。

离散数学在密码学中也有广泛应用。

例如，RSA公钥加密算法就是基于数论中的欧拉定理和中国剩余定理设计的。

总的来说，傅里叶变换和离散数学都是现代通信和信息处理领域中不可或缺的数学工具和理论基础。

离散傅里叶变换计算流程

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基于某分数阶傅里叶变换地chirp信号全参数估计及代码

摘要线性调频信号即LFM信号是一种在雷达，通信，声纳，地震探测等领域中有着重要作用的非平稳信号。

因为LFM信号是一种非平稳信号，对它进行参数估计会比较复杂，现在的处理方法大多是使用时频面上的二维峰值搜索。

分数阶傅里叶变换是时频变换中的一种，因为它在处理多分量LFM信号时不会产生交叉项，所以在LFM信号的参数估计中得到了广泛的应用。

本文首先介绍了分数阶傅里叶变换的基本定义及性质，然后介绍了变换的离散算法中的采样型算法，即Ozaktas采样型算法和Pei采样型算法，并使用这两种算法在matlab上进行了LFM信号参数估计的仿真实验。

在论文的安排上，首先介绍了题目的背景和所做的工作；然后，介绍了离散分数阶傅里叶变换的定义及计算过程，还有使用这些算法进行参数估计时的计算方法；之后，讲述了的仿真过程和结果；最后，对实验结果进行了分析和主观评估。

关键词：分数阶傅里叶变换；线性调频信号；参数估计；离散算法AbstractThe LFM signal is a kind of non-stationary signal ,which plays an important role in the field of radar, communication, sonar, seismic detection etc.Because of LFM signal is a nonstationary signal, so the parameter estimation for it is more complex. now most of the method to estimation it parameter,is two-dimensional peak search on ime-frequency plane .Fractional Fourier transform is one kind of frequency conversion, because when it's processing the multi-component LFM signal it will not get cross terms. so it has been widely used in the parameter estimation of LFM signal .This article first introduces tthen introduces the discrete fractional Fourier transform algorithm type of sampling algorithm, and use these two kinds of algorithm do parameter estimation of LFM signal simulation experiment on matlab.On the arrangement of the thesis, the author firstly introduces the background of the topic and the authors have done;Then, this paper introduces the definition of discrete fractional Fourier transform and the calculation process, and using these algorithms for parameter estimation method;After, tells the way of the process and results of the author;Finally, the experimental results are analyzed and subjective evaluation.Keywords: FRFT；LFM signal；parameter estimation；disperse calculate目录第1章引言 (1)1.1 应用背景及其意义 (1)1.2 研究的现状 (2)第2章离散分数阶傅里叶变换 (7)2.1 分数阶傅里叶变换 (7)2.1.1 分数阶傅里叶变换的定义 (7)2.1.2 分数阶傅里叶变换的性质 (9)2.2 离散分数阶傅里叶变换 (11)2.2.1 离散分数阶傅里叶变换简介 (11)2.2.2 Ozaktas采样型算法 (12)2.2.3 Pei采样型算法 (16)2.3 基于FRFT的LFM信号参数估计的理论模型 (18)2.3.1 基于Ozaktas算法的参数估计模型 (19)2.3.2 基于Pei算法的参数估计模型 (21)第三章基于DFRFT的LFM信号参数估计 (22)3.1 引言 (22)3.1.1主要技术和方法 (22)3.1.2问题总结与分析 (23)3.2 算法设计及实验分析 (24)3.2.1 使用FFT来对LFM信号进行参数估计 (24)3.2.2 基于Ozaktas算法的参数估计 (27)3.2.3 基于Pei算法的参数估计 (31)第4章对实验结果的分析 (39)4.1两种算法对参数估计的实验结果分析 (39)4.2仿真程序的展示界面 (40)第5章总结与展望 (43)致 (44)参考文献 (45)第1章引言1.1 应用背景及其意义LFM信号是时变信号中的一种的典型代表，线性调频信号（LFM信号）[1]可以说是无所不在的。

离散傅里叶变换表

离散傅里叶变换表离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

它在信号处理、图像处理、通信等领域得到了广泛应用。

离散傅里叶变换表是一个记录了离散傅里叶变换系数的表格，它可以帮助我们快速地进行离散傅里叶变换。

离散傅里叶变换表通常包含两个部分：正变换表和逆变换表。

正变换表记录了将时域信号转换为频域信号所需的系数，而逆变换表则记录了将频域信号转换为时域信号所需的系数。

这两个表格可以互相转换，因为离散傅里叶变换是可逆的。

正变换表的每一行都表示一个频率，从0到N-1，其中N是信号的长度。

每一行的第k个系数表示信号在该频率下的振幅和相位。

逆变换表的每一行也表示一个频率，但是它的系数表示的是在该频率下的信号的振幅和相位对应的时域信号的值。

离散傅里叶变换表的使用可以大大简化离散傅里叶变换的计算过程。

我们只需要查找表格中对应的系数，然后进行简单的乘法和加法运算即可得到变换结果。

这种方法比直接计算离散傅里叶变换的复杂度要低得多，特别是对于大型信号的处理。

除了离散傅里叶变换表，还有一些其他的方法可以加速离散傅里叶变换的计算，例如快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。

快速傅里叶变换是一种基于分治思想的算法，它可以将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。

总之，离散傅里叶变换表是离散傅里叶变换的重要工具之一，它可以帮助我们快速地进行信号处理和频域分析。

在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法来进行离散傅里叶变换的计算，以达到最佳的效果。

分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

*国家自然科学基金资助项目。

收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷　第2期中　国　激　光V o l.A24,N o.2　1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997分数傅里叶变换产生分数泰伯效应*华建文　刘立人(中国科学院上海光机所　上海201800)提要　讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。

这种双重变换有助于光学系统的设计、分析和计算。

最后给出了应用实例。

关键词　光学变换,傅里叶变换,泰伯效应1　引　言分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。

后来由McBride 和Kerr [2]把它发展成一个较为完整的数学理论。

它是傅里叶变换的全族。

后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。

Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。

文献[6～11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。

泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。

分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。

关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。

本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。

这两种过程同时发生有一定的实用意义。

利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。

我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。

分数阶傅里叶变换的离散算法-Ozaktas

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