2020-2021学年江苏省如皋市第一中学高二上学期9月调研数学试题 word版

江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研
数学试卷
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．双曲线2
214
y x -=的渐近线方程为( )
A ．4y x =±
B ．14
y x =±
C ．2y x =±
D ．12
y x =±
2．已知椭圆22
1102
x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
3．已知双曲线22
221x y a b -=一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于
）
A B ．
12
C D ．1
4．设P 是椭圆22
116925
x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121
x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A ．18，24 B ．16，22 C ．24，28 D ．20，26
5．点P 在曲线2
4y x =上，过P 分别作直线1x =-及3y
x 的垂线，垂足分别为G ，
H ，则PG PH +的最小值为（ ）
A ．
2
B ．
C ．
12
+ D 2+
6．已知F 为抛物线()2
:20C y px p =>的焦点，过F 作垂直x 轴的直线交抛物线于M 、
N 两点，以MN 为直径的圆交y 轴于C 、D 两点，且3CD =，则抛物线方程为（ ）
A ． 2y =
B ．22y x =
C ．2y =
D ．26y x =
7．设,,a b R a b ∈≠且0a b ⋅≠，则方程0bx y a -+=和方程22ax by ab -=，在同一坐标系下的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .2F 也是抛物线E ：
()220y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的
离心率为（ ）
A B 1 C ．3 D 1
二、多选题
9．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为1
10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，
其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A
．1
4
B ．
12
C ．6
D ．
34
11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬
间无处寻觅．已知点()1
0M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段
B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)
C ．26y x =+不是“最远距离直线”
D ．1
12
y x =+是“最远距离直线”
12．已知P 是双曲线C ：22
14x y m
-=上任意一点，
A ，
B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k （120k k ≠），若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A ．双曲线的方程为2
214
x y -=
B
C ．函数log (15)a y x =++（0a >，1a ≠）的图象恒过双曲线C 的一个焦点
D ．直线0x y -=与双曲线C 有两个交点
第II 卷（非选择题）
三、填空题
13．椭圆22
143
x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，
则A 点到右准线的距离为________． 14．有一座抛物线形拱桥，已知拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽为___________m .
15．已知双曲线C ：22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)与椭圆2
16x ＋212
y ＝1的焦点重合，离心率互为
倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则2
12
PF PF 的最小值为
________．
16已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点
分别是1F 、2F ，且1F AB 的面积为
23
2
-_______；若点P 为椭圆上的任意一点，则12
11PF PF +的取值范围是_________. 五、解答题
17．如图，点12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点．点A 是椭圆C 上
一点，且满足1AF x ⊥轴，2130AF F ∠=︒，直线2AF 与椭圆C 相交于另一点B ．
（1）求椭圆C 的离心率e ；
（2）若1ABF
的周长为C 的标准方程．
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点. （1）如果直线l 的方程为1y x =-，求弦AB 的长； （2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值.
19． 已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
的离心率e =双曲线C 上任意一点到其
1. （1）求双曲线C 的方程.
（2）过点()1,1P 是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l 存在，请求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监
测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早0
40V 秒（注：信号
每秒传播0V 千米）
.
（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心
O 的距离；
（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？
21．已知斜率为1的直线交抛物线C ：22y px =（0p >）于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）记点(1,2)P ，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：直线MN 的斜率为定值.
22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，
2MB BF λ=，求12λλ+的值.
江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．C
5．B
6．A
7．B
8．B
9．ACD
10．BD
11【答案】BCD
12【答案】AC
13【答案】3
14
．
15．8
16【答案】
2
21
4
x
y
+=[]
1,4
17．（1）
3；（2）
22
1
32
x y
+=
【详解】
（1）
12Rt AF F △中，2130AF F ∠=︒，122F F c =，
∴112tan 30AF F F ︒=
1
2AF c
=
，解得1AF =， 122cos30F F AF ︒=
，即222c AF =
，解得2AF =， ∴
由椭圆的定义，得12233a AF AF =+=+
，即a =，
∴
离心率3
c e a
==
； （2）1ABF
的周长1111224AF BF AB AF BF AF BF a =++=+++==
∴a =
3
c e a =
=
，∴
1c =，∴2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22
132
x y +=.
18．（1）8（2）-3 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y .
（1）联立241
y x
y x ⎧=⎨=-⎩得：2610x x -+=.
由韦达定理得：126x x +=，121x x =. ∴
AB =
8==.
（2）由直线l 过抛物线焦点()1,0且与抛物线有两个不同交点， 故可设方程为：1x my =+，
联立241
y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2
440y my --=，
由韦达定理：124y y m +=，124y y =-， ∴()()11221212,,OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+
()()121211my my y y =+++
()
()2121211m y y m y y =++++ 2244413m m =--++=-.
19．（1）2
2
12
y x -=（2）不存在,详见解析
【详解】
解：（1
）由离心率e =
c
a
= 又双曲线C
1
，则1c a -=.，
由，，
，解得1c a ==，则2222b c a =-=，
，双曲线Γ的方程为2
2
12
y x -=.
（2）假设存在过点()1,1P 的直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.
设()()1122,,,R x y T x y ，则有2
2
11
2
22
212
12
y x y x ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
两式作差，得()()
()()1212121202
y y y y x x x x +-+--=，即
()
()
121212
122x x y y x x y y +-=
-+.
又点P 是线段RT 的中点，则12122,2x x y y +=+=，
，直线l 的斜率()()
1212121222x x y y k x x y y +-=
==-+， 则直线l 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，
代入双曲线C 的方程2
2
12
y x -=，得22430x x -+=，
162480∆=-=-<，方程没有实数解.
，过点()1,1P 不存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.
20【答案】（1）221(0)400500
x y x -=<（2
）(P OP -=（3
）
【详解】
（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y
因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早
40V 秒 故00
40
4060PB PA V AB V -=
⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22
221(0)x y x a b
-=<
由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，
故点P 的轨迹方程为22
1(0)400500
x y x -=<.
（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()
300
1030k -⨯
=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-
联立22
1(0)400500
x y x -=<
可得2x =
x y =-=
故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O
=.
（3）设轨迹上一点为(),P x y ，
则
PC==
又因为
22
1
400500
x y
-=，可得22
4
400
5
x y
=+
代入可得：
PC==≥=
当且仅当
50
3
y
=时，取得最小值
故扫描半径
r至少是.
21．(1) 2=4
y x;(2)见解析.
【详解】
(1)设()()
,,,
A A
B B
A x y
B x y,则22
2,2
A A
B B
y px y px
==,两式相减,得:
2
2
A
B
B
A
p
y y p
k
+==
由弦AB中点的纵坐标为2,得4
A B
y y
+=,故=2
p.所以抛物线C的标准方程2=4
y x. (2)由MPN
∠的平分线与y轴垂直,可知直线PM，PN的斜率存在,且斜率互为相反数,且不
等于零,设()()
1122
,,,
M x y N x y直线:(1)2,0
PM y k x k
=-+≠由
2
(1)2
4
y k x
y x
=-+
⎧
⎨
=
⎩
得()
2222
244(2)0
k x k k x k
--++-=由点(1,2)
P在抛物线C上,可知上述方程的一个根为22
122
(2)44
1,1
k k k
x
k k
--+
∴⨯==.即
2
12
44
k k
x
k
-+
=,同理
22
1212
22
22
+442888
,,
k k k k
x x x x x
k k k k
++--
=∴+=-==
()()
1212
1212
y y k x k x
⎡⎤⎡⎤
∴-=-+---+
⎣⎦⎣⎦()
2
122
288
22
k
k x x k k k
k k
+
=+-=⋅-=.
12
MN
12
8
1.
8
y y k
k
x x
k
-
∴===-
--
∴直线MN的斜率为定值1
-.
22．（Ⅰ）2
215
x y +=（Ⅱ）-10 【详解】
（，）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>， 抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为()0,1 则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，
由5
c e a ===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
215
x y += （，）证明：∵椭圆C 的方程为2
215
x y +=， ∴椭圆C 的右焦点()2,0F
设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2
215
x y +=， 并整理，得()222215202050k x k x k +-+-=， ∴21222015k x x k
+=+，212220515k x x k -=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，
即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=-，222
2x x λ=-， ∴()()12121212121212
22102242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++.。