14学年第一学期高二数学(文)期末模拟考试卷
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”， 故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（ ） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==， 则椭圆方程为2211612x y +=， 当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯， 因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ， 因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点 所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =， 不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+， 在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=， 得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（ ）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确； 动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误； 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确； 由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个， 故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件． 答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件， 所以④错误， 故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________． 答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ）， 联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解； （2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤． 因为{}14B x x =<<， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集． 解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点， 则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <， 若q 真得：52m >或12m <， 由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <； 若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ） 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程； （2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+， 联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =， 且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2， 所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-， 即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----， 约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--， 因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
浙江省台山市2013-2014学年度高二第一学期期末学业水平调研测试数学(文)试卷
台州市2013-2014学年度第一学期期末学业水平调研测试高二数学（文科）试卷 （必修5、选修1-1的第1、2章）说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1．命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题是A ．若b a >，则11-≤-b aB ．若b a ≤，则11->-b aC ．若b a <，则11-<-b aD ．若b a ≤，则11-≤-b a2．双曲线142522=-y x 的渐近线方程是A ．x y 52±=B ．x y 25±=C ．x y 254±=D ．x y 425±=3．下列是全称命题并且是真命题的是A ．R x ∈∀，02>xB ．x ∀，R y ∈，022>+y xC ．Q x ∈∀，Q x ∈2D ．Z x ∈∃0，12>x 4．如果0<<b a ，那么下面一定成立的是 A ．0>-b a B ．bc ac < C ．ba 11< D ．22b a > 5．设p ：31<<-x ，q ：5>x ，则p ⌝是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若方程15222=---ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是A ．52<<kB ．5>kC ．2<k 或5>kD ．以上答案均不对 7．若实数a ，b 满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 A ．18 B ．6 C ．32 D ．4328．已知抛物线x y 42=的焦点F ，该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．在等差数列}{n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则数列}{n a 的前9项的和为 A ．180 B ．405 C ．450 D ．81010．如图，椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为 A ．41 B ．21C ．55D ．25-第Ⅱ卷（非选择题部分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)11．命题：N x ∈∀，x x ≥2的否定是 ．12．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3=a ，2=b ，045=B ，则=A ．13．一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（）A ．1y =-B ．=2y -C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】B【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线28x y =的准线方程为422y =-=-.故选：B.2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A ．34A 种B ．34C 种C ．34种D ．43种【正确答案】D【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有43种故选：D3．已知椭圆过点()0,2，焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【正确答案】A【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为22221y x a b +=，右焦点为(),0c ，由题有.2222411aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩则2a =，故离心率为12c e a ==.故选：A4．已知空间向量()2,1,4a =-- ，()1,1,2b =- ，()7,5,c m =-- 若，a ，b，c 共面，则实数m 的值为（）A ．14-B ．6C ．10-D ．12【正确答案】A【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由a ，b ，c 共面，可设a xb yc =+ ，则271542x yx yx my -=-⎧⎪=--⎨⎪-=+⎩，由2715x y x y -=-⎧⎨=--⎩，解得1712112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入第三个方程可得：174612m -=-+，解得14m =-.故选：A.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则二面角11E B C C --的平面角的正切值为（）A ．1B ．5C ．2D．【正确答案】C【分析】由题可得1EC C ∠为二面角11E B C C --的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则11B C ⊥面11C CDD ，1C C ⊂面11C CDD ，则111B C C C ⊥，又1C E ⊂平面11C CDD ，则111B C C E ⊥，故1EC C ∠即为二面角11E B C C --的平面角.过E 做直线1C C 垂线，交1C C 于F ，则F 为1C C 中点.故112tan EFEC F C F∠==.故选：C6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B．0x =C ．0x y ±=Dy ±=【正确答案】C【分析】由点到直线距离公式可得a b ，间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为by x a =，右焦点为(),0c ，a b a =⇒=，故渐近线方程为0x y ±=.故选：C7．如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（）A ．216B ．144C ．128D ．96【正确答案】B【分析】依次确定区域B 、A 、D 、C 、E 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域B 有4种颜色鲜花可供选择，区域A 有3种颜色鲜花可供选择，区域D 有3种颜色鲜花可供选择，区域C 、E 各有2种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为43322144⨯⨯⨯⨯=种.故选：B.8．已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【正确答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A 二、多选题9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）A ．12219C C ⋅B ．1221218218C C C C ⋅+⋅C ．332018C C -D ．1221219218C C C C ⋅-⋅【正确答案】BCD【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法12219C C ⋅；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法21218C C ⋅；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221218218C C C C ⋅+⋅，A 错误，B 正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为320C ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为318C ，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为332018C C -，C 正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为12219C C ⋅，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为21218C C ⋅，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221219218C C C C ⋅-⋅，D 正确；故选：BCD.10．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=- D ．012320221a a a a a -+-++= 【正确答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.11．已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【正确答案】ABD【分析】A 选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B 选项，将直线方程整理为()4120k x y -+-=，由此可得直线所过定点；C 选项，由题可得1k =-，后由平行直线距离公式可判断选项；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则围成三角形面积为1141422k k ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，后由基本不等式可判断选项.【详解】A 选项，当2k =时，直线方程为2270x y --=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45 ，故A 正确；B 选项，由题可得()4120k x y -+-=，则直线过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，因直线l 与直线240x y +-=平行，则221828k k k =-⎧⇒=-⎨-+≠⎩，则直线方程为：250x y --+=，即250x y +-=.则l 与直线240x y +-=之间的距离为5=，故C 错误；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又交点在两坐标轴正半轴，则14020140kk k-⎧>⎪⎪⇒<⎨⎪->⎪⎩.故围成三角形面积为()1141142424224k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+-+≥+= ⎪-⎝⎭，当且仅当144k k-=-，即14k =-时取等号.即面积最小值为4，故D 正确.故选：ABD.12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，且满足BE BA λ=，[]0,1λ∈，BF BC μ=，[]0,1μ∈．则（）A ．当1λμ==时，正方体各棱与平面1D EF 夹角相等B ．当12λ=时，存在μ使得直线1B D 与平面1D EF 垂直C ．当12μ=时，满足12ED EF =的点E 有且只有两个D ．当12λμ==时，异面直线EF 与1B D 的距离为2【正确答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，当1λμ==时，()2,0,0E ，()0,2,0F ,()12,0,2D E =- ，()10,2,2D F =-，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则11220220n D E x z n D F y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则()1,1,1n = ，()10,0,2DD = ，()2,0,0DA = ，()0,2,0DC = ，故1113cos ,23DD n DD n DD n ⋅==⨯⋅，同理3cos ,cos ,3DA n DC n == 由此可得正方体各棱与平面1D EF 夹角相等，A 正确；当12λ=时，()2,1,0E ，()12,1,2D E =- ，()12,2,2B D =--- ，则114240B D D E ⋅=--+≠ ，即1D E 与1B D不垂直，所以直线1B D 与平面1D EF 不垂直，B 错误；当12μ=时，()1,2,0F ，设()()2,,002E b b ≤≤，由12ED EF =()2222222212b b ++=+-，化简得2316120b b -+=，21643120∆=-⨯⨯>，121643b b +=>，所以这样点E 不可能有两个，C 错误；当12λμ==时，()2,1,0E ，()1,2,0F ，EF 的中点为33,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，1DB 的中点为()1,1,1H ，11,,122HG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0EF =-，()12,2,2DB = ，则11022HG EF ⋅=-+= ，11120HG DB ⋅=+-= ，所以HG 是异面直线EF 与1B D 的公垂线段，且()2221161222HG ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以异面直线EF 与1B D 的距离为62，D 正确.故选：AD三、填空题13．已知异面直线AB 和CD 的方向向量分别为()1,1,1AB = ，()2,0,4CD =-则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】15【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos 15AB CD AB CD θ⋅===⋅ .故答案为.1514．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3:5:5，则这一行是第______行．【正确答案】7【分析】设这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，利用组合数公式可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，由题意可得()()()()()1212121!!1!C 3C 1!2!21!25n n n n n n n n n n n n -+++⋅+=⋅==-⋅+++，解得3n =，因此，这一行是第2317⨯+=行.故答案为.715．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，线段1AC的长度为cos DAB ∠=______．【正确答案】12##0.5【分析】利用空间向量基本定理得到11AC AB AD AA =++，平方后，利用数量积公式列出方程，求出cos DAB ∠.【详解】因为11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅因为2AB AD ==，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，1211AC =，所以444168cos 16cos 16co 0s 6064BAD +++∠++︒︒=，解得.1cos 2BAD ∠=故12四、双空题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 与C 在第一象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴和y 轴分别交于M ，N 两点，且MA NB =，点E 为AB 的中点，直线OE 倾斜角的正切值为22，3OE =，则直线l 的方程为______；椭圆C 的离心率为______．【正确答案】2232y =+22【分析】利用几何知识求出直线l 的斜率，利用中点E 坐标求出点M 坐标，即可得出直线l 的方程.设出点,A B 坐标，利用点差法，即可得出椭圆C 的离心率.【详解】由题意，在2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，MA NB =，BA BE =，由几何知识得，直线l 与直线OE 关于点E 所在x 轴对称，∵直线OE 22，3OE =∴直线l 的斜率为22-，设(),E E E x y ，则32E E Ey y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩E E x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴E，(0,M∴:2l y =-+设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，122E x x x +==，122E y y y +==∴22221212220x x y y a b --+=，∴()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，∴22122b a ⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴222a b =，即a =，∴c b ===，∴离心率.2c e a ==故2y =-+2.五、解答题17．已知圆C 的圆心在直线260x y +-=上，且与直线y x =相切于原点．(1)求原点()0,0关于直线260x y +-=对称点的坐标；(2)求圆C 的方程．【正确答案】(1)2412 ,55⎛⎫⎪⎝⎭(2)22(6)(6)72x y -++=【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆C 与直线y x =相切于原点，则圆C 过原点，且圆心在直线y x =-上，又圆心在直线260x y +-=上，可求得圆心坐标与圆的半径.【详解】（1）设原点()0,0关于直线260x y +-=对称点坐标为()00,x y ，则两个点的中点坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵中点在直线260x y +-=上，得到：002120x y +-=①.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴021y x -⨯=-，得002y x =②.联立①②解得对称点坐标为2412,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过原点且与直线y x =垂直的直线方程为y x =-，由题圆心在y x =-上.又圆心在直线260x y +-=上，联立直线：62606y x y x y x =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即圆心为()6,6-.由题原点在圆C上，则半径r =.22(6)(6)72x y -++=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===．(1)求点1B 到平面1ABC 的距离；(2)若点M 是棱BC 的中点，求直线1B M 与平面1ABC 所成角的正弦值．【正确答案】(2)5【分析】如图，建立以C 为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面1ABC 的法向量n，设点1B 到面1ABC 的距离为d ，则1n BB d n ⋅= ；（2）设直线1B M 与平面1ABC 成角正弦值为sin θ，则111sin cos ,n B M n B M n B M θ⋅==∣.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -底面三角形ABC 满足：AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，则以C 为坐标原点，CA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.则B （0，2，0），A （2，0，0），C （0，0，2），1B （0，2，2），()0,1,0M ，()2,2,0AB =- ，()12,0,2C A =- .设面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则1220220n AB x y n C A x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .又()10,0,2BB = ，设点1B 到面1ABC 的距离为d，则13n BB d n ⋅==.（2）由题可得()10,1,2B M =--，设1B M 与面1ABC 的夹角为θ，则111sin cos ,∣n B M n B M n B M ⋅==θ19．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且经过点(A ．(1)求C 的方程；(2)O 为坐标原点，过双曲线C 上一动点M （M 在第一象限）分别作C 的两条渐近线的平行线为1l ，2l 且1l ，2l 与x 轴分别交于P ，Q ，求证：OP OQ ⋅为定值．【正确答案】(1)22139x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线12,l l 的直线方程，求出,Q P 的坐标，整理OP OQ ⋅的表达式，利用整体思想，可得答案.【详解】（1）∵渐近线为y =，则b a =b =，∴222213x y a a-=，A 在双曲线C 上，得224313a a -=解得23a =，∴曲线C 的标准方程为22139x y -=.（2）设点M 坐标为()00,x y则)100:l y y x x -=-，得P ⎛⎫⎪⎪⎭，则OP =同理：)200:l y y x x -=-，得Q ⎫⎪⎪⎭，则OQ =则220033x y OP OQ -⋅=又∵点M 在曲线C 上，∴2200 139x y -=，∴220039x y -=则2200333x y OP OQ -⋅==，∴得证OP OQ ⋅为定值3．20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的动直线与C 交于A ，B 两点．(1)若直线AB 的倾斜角为45 ，求弦AB 的长度；(2)设A ，B 两点到x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【正确答案】(1)8(2)4【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立可得343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以12344d d y y ⋅==，然后用基本不等式进行求解即可【详解】（1）由抛物线2:4C y x =可得焦点()1,0F ，当直线倾斜角为45 时，直线AB 的方程为1y x =-，联立214y x y x =-⎧⎨=⎩化简得：2440y y --=，经验证Δ0>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，此时121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，∴128AB y y =-=（2）由题可知，直线AB 的斜率不为0，又焦点()1,0F ，所以设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩化简得：2440y my --=，经验证Δ0>成立，设()33,A x y ，()44,B x y ，此时343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，由题可得：13d y =，24d y =，则12344d d y y ⋅==，又12d d +≥124d d +≥，当且仅当122d d ==，直线AB 与x 轴垂直，即弦AB 为通径时等号成立，所以12d d +的最小值是4．21．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 上的动点．(1)若OE ∥平面PAC ，请确定点E 的位置，并说明理由；(2)若30ABO CBO ∠∠== ，4BO =，当E 是PB 中点，且二面角P AB C --的正切值为32时．求二面角C AE B --的正弦值．【正确答案】(1)E 是BP 中点，理由见解析(2)1113【分析】（1）通过证明POA POB ≅△△，得到OA OB =，再通过线面平行的性质，即可确定点E 的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB 和面AEC 的法向量，即可求出二面角C AE B --的正弦值.【详解】（1）由题意，E 是BP 中点，理由如下：延长BO 交AC 于点D ，连接PD 、OA ，取AB 中点M ，连接OM .∵PO ⊥面ABC ，∴90∠=∠= POA POB .又∵PA PB =，∴POA POB ≅△△，∴OA OB =.∵M 是AB 中点，∴OM AB ⊥.∵AC AB ⊥，∴OM AC ∥，∴O 是BD 中点.又∵OE ⊂面BPD ，面BPD 面PAC PD =，若OE ∥面PAC ，则由线面平行性质定理得OE PD ∥.∵O 是BD 中点，∴E 是BP 中点.（2）由题意，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由（1），可知z 轴在平面AOP 内．∵4BO =，30OBA OBC ∠∠== ，∴28BD OA ==，∴4=AD ，AB =12AC =，∴()2,0O ，()B ，()0,12,0C ，由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OM AB ⊥，∴PM AB ⊥，∴PMO ∠为二面角P AB C --的平面角，∴3tan 2PO PMO OM ∠==.又2OM =，∴3PO =，∴()2,3P .∵E 是PB中点，∴32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,0AB =，()0,12,0AC = .设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取()0,3,2n =- ．设平面AEC 的法向量为(),,m a b c=，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取)6m =- ．设二面角C AE B --的平面角为θ，则sin θ==1113=.22．已知动点P 到点()1,0F 的距离与到直线:4l x =的距离之比为12，记点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)曲线E 与x 轴正半轴交于点M ，过F 的直线交曲线E 于A ，B 两点（异于点M ），连接AM ，BM 并延长分别交l 于D ，C ，试问：以CD 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【正确答案】(1)22:143x y E +=(2)圆恒过定点()1,0和()7,0【分析】（1）设动点(),P x y12=，化简后可得E 方程；（2）由（1）设:1AB l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭，2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，后设以CD 为直径的圆上一点为Q ，由0QC QD ⋅= 可得圆方程，即可得圆所过定点.【详解】（1）设动点(),P x y12=，化简得22:143x y E +=；（2）设:1AB l x my =+，与22143x y +=联立可得：()2234690m y my ++-=，由题Δ0>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又由（1）可得()2,0M ，则()11:22AM y l y x x =--，令4x =，得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理可得2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.令以CD 为直径的圆上动点为(),Q x y ，则0QC QD ⋅=.又2121224422,，,y y QC x y QB x y x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，则()()2212121212224(4)02222y y y y x y y x x x x ⎛⎫-+-++= ⎪----⎝⎭.注意到()()()()()212121212242211134xx my my m y y m y y m --=--=-++=+，()()()1221121222422224234my x y x my y y y m --+-=-+=+.则可得()()2222243640469044m x y y x y my ---+-+=⇒-++-=.因所过定点与参数m 无关，则0y =，则()24901x x --=⇒=或7x =.故圆恒过定点()1,0和()7,0.关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.。
安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C.D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 5. “”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 即不充分也不必要条件6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）.{}1,0,1,2,3,{2}A B x x =-=<∣()R A B =I ð{}3{}2,3{}1,0,1-{}1,0,1,2-12i 2iz=+i z =42i --42i -+42i-42i+22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0F c -12c ()()221ln 11f x x x=+-+()()211f x f x -<-22,33⎛⎫-⎪⎝⎭()0,∞+(),0∞-20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5a =-:0l x a ++=()(2215x y -+-=4,x y 2420x xy +-=x y +A.B.C.D.7. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，则此球的表面积等于（ ）A.B. C. D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ）A. 36B. 42C. 72D. 84二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，则下列命题正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. D. 的最大值为310. 已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是（ ）A. 平面B. 平面平面C. 三棱锥D. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为圆的一部分11. 已知函数及其导函数，若，则（ ）A. B. C.D. 111ABC A B C -3,5,120AB AC BAC ∠=== 1AA =256π376π78π96π1114,3,2,,,,2,3234A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭,,a b c A ∈x y a =log b y x =c y x =()0,∞+(),,a b c ())sin ,cos ,1a b θθ==-π6θ=a b ⊥ 2π3θ=a b ∥ a b= a b -1111ABCD A B C D -,,,M N P Q 111111,,,AA CC C D D A E ABCD PQ //MBN PMN ⊥11BB D P MBN -E 1BB AD E ()f x ()f x ',x ∀∈R ()()33,f x f x +=-()()8f x f x '=-'()()17f f -=()()132f f ''-+=20241()i f i ='=∑()()042f f +=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为__________．13. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________.14. 已知椭圆左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值.16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.17. 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，若，求的面积（为坐标原点）.的的mm [5.12,5.28]X ()25.2,N σ( 5.28)0.08P X >=()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x π6()g x ()g x ()f x ()0,πω=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,,F F A B 12AF BF 2AF C P 243AP BF =C ()21exx x f x -+=()y f x =()()0,0f ()f x P ABCD -ABCD ABP V E PB 4,AB BC DP ===BDP ⊥ADE D BP C --2:2(0)C y px p =>F l C ,A B l π3163AB =C ()1,2P -PA PB ⊥OAB V O18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.参考公式及数据：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.8791082819. 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；（2）若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和..22⨯0.01α=X X Y Yk =k ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α{}n a (),i j i j ≠k k i j a a a =⋅{}n a P {}n a n n S 241,12,120q S S >=={}n a P {}n b 11b =d ∈Z {}n b P d ∈N {}n c P 131215122,5,4,10{}n c 1c阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】4【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）极小值，极大值【16题答案】【答案】（1）证明略 （2【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）依据的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联 （2）分布列略，数学期望 （3）875【19题答案】【答案】（1）证明略； （2）证明略；（3），为840210x y +-=1e 23e24y x =0.01α=94132154。
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷考试时间：120分钟；满分：150第I 卷（选择题）一、选择题1．已知向量2(4,1),(,2)a x b x =+=r ,则4x =是//a b r r 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题：“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是 （ ）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b4．设e 是椭圆224x y k +＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0,3) B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2) 5．已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x ，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是 （ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）6．抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ）A.1B.12 C. 14 D. 18 7．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．A ．2000x 0,x x 0>+>∃B ．2000x 0,x x 0>+∃≤C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞08．、若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于A．6 B ．6πC ．D ．第8题9．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长AB=2BB 1，则异面直线AB 1与BC 所成的角的余弦值是（ ）A ．53B ．55C ． 32D ．36 10．已知双曲线2222x y a b－＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝的焦点重合，且双曲( ) A ．x 2－29y ＝1 B ．x 2－y 2＝15 C.29x －y 2＝1 D.29x －29y ＝1第II 卷（非选择题）二、填空题11．（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）12．以椭圆1222=+y x 的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于_____ ___.14．已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为 .15．已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与直线:2l y x =+相切，且圆D 与圆C 关于直线l 对。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
什宁县第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文
A． 1 2
B． 8 15
C． 16 29
D． 16 31
9．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最
省,则水桶底面圆的半径为（ ）
A．
3 2
B． 3
C． 2 3
D． 6
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为
， F1
F2
，过
点 F1 且斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 2
值为（ )
A．6
B．7
C．10 D．13
12．若函数
f
(x)
kex
1 2
x2
在区间
(0, )
上单调递增，则实数
k
的取值
范围是
A．
(1 e
,
)
B． (0, )
C．
[1 e
,
)
D．[0, )
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分)
13．双曲线 x2 y2 1的焦点到渐近线的距离为__________． 3
甘肃什宁县第一中学 2020_2021 学年高二数学上学期期末考试试题文
甘肃省静宁县第一中学 2020—2021 学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分)
1．已知命题 p： xR, x2 x 1 0，下列 P 形式正确的是（
）
.A． ，使得 p:x0R
x02 x0 1 0
OA
a,
OB
b,所以
a
b
3，且
1 2
ab
1,
四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)
成都树德中学高2021级高二上期期末检测数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用系统抽样法，②用分层抽样法C.①用分层抽样法，②用随机抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.下面命题正确的是A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1≥x ，则21x ≥”；C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.3.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为A.3π B.3π-或3πC.3π或23π D.6π或56π4.执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A.1B.32C.53D.525.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.3y x =±C.12y x =±D.2y x=±6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球7.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为A ．24B ．25C ．25.5D ．26取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.7511.已知O 为坐标原点，双曲线)0(14:222>=-b b y x C 的右焦点为F ,以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点,,B A 若||332||||AB OB OA =+，则ABF ∆的周长为A.6B.36C.324+D.344+12.已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为________.14.已知“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.在区间[0,1]上随机取两个数x、y ，则满足13x y -≥的概率为___________.16.已知直线y kx =与椭圆C ：222212x yb b+=交于,A B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有__________.①椭圆C 的离心率为2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B .x2223242526y2324▲2628三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆C 上有两个点()()2,3,4,9A B ，且AB 为直径.(1)求圆C的方程；(2)已知()0,5P ，求过点P 且与圆C 相切的直线方程.18.（本小题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．20.(本题满分12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．（1）求y 关于x 的回归直线方程；附：=J1 (−p(−p(−p2，=−．（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？22.(本小题满分12分)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．公众号高中僧试题下载高2021级期末考试数学（文）试题参考答案一、1-5CDCCA6-10BCABD11-12BD二、13、11614、2m≤15、9216、②③④18、(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a+⨯+++⨯=，解得a=0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得()()0.004 0.006 0.023210700.0280.5m++⨯+-⨯=，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a，()11,a b，()12,a b，()13,a b，()21,a b，()22,a b，()23,a b，()12,b b，()13,b b，()23,b b，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b，()13,b b，()23,b b，有3种情况，所以概率为P=310.…………………………………12分19、（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x y a ba b-=>>，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C的一条渐近线为y x=，所以3ba=，②又222+=a b c，③联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213x y-=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x+-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x+=-，1224x x=-，即AB===20、（1）由表格数据得=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+455=52．则J15 （i−）（y i−）＝﹣40，J15 （i−）2＝10，则=−4010=−4，=−=52﹣（﹣4）×20＝132，则y关于的回归直线方程为=−4x+132；（2）获得的利润z＝（x﹣10）（﹣4x+132）＝﹣4x2+172x﹣1320，对应抛物线开口向下，则当x=−1722×(−4)=21.5时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．22、（1）由题意得12p=，即2p=，所以抛物线的准线方程为1x=-．（2）设(,),(,),(),A AB B c cA x yB x yC x y，重心(,)G GG x y．令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=．由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得222(1)40ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212(,Bt t-．又由于11(),(3)3G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得422211222((),2()),(3t tC t t Gt t t-+--．所以直线AC方程为222()y t t x t-=-，得2(1,0)Q t-．由于Q在焦点F的右侧，故22t>．从而424222124422242221|1||2|||223221222211||||1||||2||23Act t tFG yS t t ttt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-．令22m t=-，则0m>，1221223434S mS m m mm=-=-++++3212≥-=+．当m=12SS取得最小值12+，此时(2,0)G．。
河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析)
河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10ax y +-=的倾斜角为30°，则=a （）A ．3-B C ．D 2．若a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，那么1a ，1b ，1c（）A ．不一定是等比数列B ．一定不是等比数列C ．一定是等比数列，且公比为1qD ．一定是等比数列，且公比为q3．圆221:4240C x y x y +-+-=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．已知四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB a = ，AD b =，c AP = ，则下列向量中与PM相等的向量是（）A ．12a b c+-B ．12a b c+- C ．12a b c--+ D ．12a b c++ 5．已知点(4,0)A -到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为125，则C 的离心率为（）A ．54B ．53C ．43D ．26．已知1F ，2F 是椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.当12PF F △的面积最大时，12PF F △的内切圆半径为（）A ．12B C ．1D 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知n S 和n T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且满足112n n S a =-，45n b n =-+，若对*n ∀∈N ，使得53(2)n n T S a a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（）C ．2a ≤-或4a ≥D ．3a ≤-或1a ≥二、多选题9．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =-，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（）A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，70a >，80a <，6890a a a ++=，则()A ．130S <B ．10a >，0d <C ．780a a +<D ．当7n =时，n S 有最大值12．已知双曲线22:13y C x -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则（）A ．若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为1B ．若A ，B 同在双曲线右支上，则lC ．AB 的最短长度为6D ．满足8AB =的直线l 有4条三、填空题13．已知直线230x y +-=与直线(3)240a x y --+=平行，则=a ______.14．数列{}n a 的通项公式为()*(1)(21)n n a n n =--∈N ，其前n 项和为n S ，则15S =______.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为PC 的中点，则点P 到平面ABD 的距离等于______.16．已知点(2,2)E -和抛物线2:8C x y =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于P ，Q 两点.若90PEQ ∠=︒，则k =______.四、解答题17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1)A -和()1,3B 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(3,2)P 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.18．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，22a b =，135b b a +=(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若{}n a 的前n 项和为n S ，1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，M ，N 分别为11A C ，1BB 的中点.(1)求证：//MN 平面1A BC ；(2)求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且()*132n n n a a n ++=⨯∈N ，2nn n b a =-.(1)计算1b ，2b ，3b 的值，并证明{}n b 是等比数列；(2)记(1)nn n c a =--，求数列{}(23)n n c -⋅的前n 项和n S .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，CD PB ⊥，122PD AD AB BC ====.(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30°，点E 在线段AP 上，且3PA PE =，求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点到右顶点的距离为3，且过点()2,1P .(1)求椭圆E 的方程；(2)O 为坐标原点，点Q 与点P 关于x 轴对称，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且满足APQ BPQ ∠=∠，求OAB 面积的最大值.参考答案：1．A【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到a 的值.【详解】由已知得直线的斜率tan 30k =︒a=-,∴a =,故选:A.2．C【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断.【详解】因为a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，所以b q a =，2b ac =，可得211b ac =，111a b b qa ==，由等比数列的中项可判断得1a ，1b ，1c成等比数列，并且公比为1q .故选：C 3．C【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:219C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径123,2r r ==,12125C C r r ==+，故两圆外切，故选：C 4．B【分析】由平面向量的线性运算与基底表示计算可得答案.【详解】如图，因为四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，所以()1122PM AM AP AB BM AP AB AD AP a b c ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B5．A【分析】利用点到直线的距离公式求得a ,b 的关系，转化为a ,c 的关系，进而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=,由已知得125=,即()222925c c a =-,221625c a =,45c a =,54c e a ==,故选：A 6．B【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质得到P 的坐标，由椭圆的定义求得三角形的周长，利用面积法求得内切圆半径.【详解】解：由已知得224,3,2,1,a b a c ==∴==∴()()121,0,1,0F F -,∵点P 在椭圆C 上,当12PF F △的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P12PF F △周长为222226l c a =+=+⨯=，面积为S设内切圆半径为r ,则S =12rl ,∴r =23S l =,故选B.7．D【分析】设1,,AB a BC b CC c === ，则1,AC a b DC a c =++= ，根据空间向量夹角公式即可求解．【详解】设1,,AB a BC b CC c === ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,60AA A AB A AD =∠=∠=，()()1AC DC a b a c∴⋅=+⋅+ 112cos6011cos9012cos603a a a c b a b c =⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，()222221102AC a ba b a b =+=++⋅=++=，()2222121427DC a c a c a c =+=++⋅=++=111cos ,,14AC DC AC DC AC DC ∴=⋅=⋅=异面直线AC 与1DC所成角的余弦值为14，故选：D 8．D【分析】利用和与项的一般关系求得数列{}n a 的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到113n n S =-，利用等差数列的求和公式得到223nT n n =-+,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，求解即得.【详解】由112n n S a =-得111112a S a ==-,∴123a =,()111122n n S a n --=-≥,∴111122n n n n n a S S a a --=-=-,∴()1123n n a a n -=≥,∴数列{}n a 为首项为123a =，公比为13q =的等比数列，∴23n n a =,∴113nn S =-，∵45n b n =-+，∴{}n b 为等差数列，∴()2145232n n T n n n +-+=⨯=-+,21553110133n n n n T n S -=-+-+-,记211()101533n f n n n -=-+-+当n ∈N*时，()f n 为n 的单调递减函数，∴()()max 13f n f ==53(2)n n T S a a -≤+恒成立的充分必要条件是()32a a ≤+,解得3a ≤-或1a ≥，故选：D 9．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A ，根据0A n B ⋅≠ 判断B ，根据0PA PB ⋅=判断C ，利用空间向量法求点到直线的距离判断D ；【详解】解：对于A ：因为(1,1,1)P ，所以点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-，故A 正确；对于B ：因为(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，所以()1,1,1AB =--，因为平面α的法向量(2,2,2)n =- ，所以()()12121260AB n =-⨯+⨯-+-⨯=⋅-≠，所以直线AB 与平面α不平行，故B 错误；对于C ：因为()0,1,0PA =- 、()1,0,1PB =-- ，所以0PA PB ⋅= ，因为PA ，PB分别为平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C 正确；对于D ：因为()0,1,0AP = ，()1,1,1AB =-- ，所以1AP AB ⋅=，所以点P 到直线AB的距离d =D 正确；故选：ACD 10．BC【分析】A 选项，利用抛物线定义进行求解04x =，进而求出04y =±；B 选项，与抛物线相切的线有两条，与x 轴平行的有一条；C 选项，利用两点之间线段最短进行求解；D 选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.【详解】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线=1x -于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由Δ0=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d =D 选项错误.故选：BC 11．BD【分析】由等差数列前n 项和公式即可判断A ；由等差数列的单调性可判断B ；由6890a a a ++=可判断C ；由等差数列前n 项和的性质可判断D.【详解】70a > ，()113137131302a a S a +∴==>，故选项A 错误；70a > ，80a <，10a ∴>，0d <，故选项B 正确；6897880a a a a a a ++=++= ，且80a <，780a a ∴+>，故选项C 错误；由70a >，80a <知，当7n =时，n S 有最大值，故选项D 正确；故选：BD ．12．AD【分析】由双曲线的方程求出,,a b c 的值，A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为c a -可判断A ；求出双曲线的渐近线方程，由直线l 的斜率与渐近线斜率的关系可判断B ，讨论l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，即可得AB 的最短长度可判断C ，由l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，结合双曲线的对称性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:13y C x -=可得1a =，b =，所以2c ==，对于A ：若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为211c a -=-=，故选项A 正确；对于B ：双曲线的渐近线方程为：by x a=±=，若A ，B 同在双曲线右支上，则l 的斜B 不正确；对于C ：当A ，B 同在双曲线右支上时，AB x ⊥轴时，AB 最短，将2x =代入2213y x -=可得3=±y ，此时6AB =，当A ，B 在双曲线两支上时，AB 最短为实轴长22a =，所以AB 的最短长度为2，故选项C 不正确；对于D ：当A ，B 同在双曲线右支上时，min 68AB =<，当A ，B 在双曲线两支上时，min 28AB =<，根据双曲线对称性可知：满足8AB =的直线l 有4条，故选项D 正确；故选：AD.13．1-【分析】先利用直线平行的一般式的计算公式代入求解a 的值，然后再将结果分别代入验证两条直线是否平行．【详解】由题意可知，(3)220a -+⨯=，得1a =-，当1a =-时，直线230x y +-=与直线4240x y --+=平行；故答案为：1-．14．15-【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.【详解】由题意得1351,5,9a a a =-=-=-⋅⋅⋅，即奇数项为首项为-1，公差为-4的等差数列，所以1315878(1)(4)1202a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-=-，2463,7,11a a a ===⋅⋅⋅，即偶数项为首项为3，公差为4的等差数列，所以2414767341052a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，所以15121512010515S a a a =++⋅⋅⋅+=-+=-.故答案为：15-15【分析】根据线面垂直的性质定理，可证,PA AB PA BC ⊥⊥，即可求得各个边长、面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，所以在Rt PAB 中，12222PAB S =⨯⨯= ，在Rt ABC 中，2222AC AB AC =+=，在Rt PAC △中，2223PC PA AC =+=，因为D 为PC 中点，所以132AD BD PC ===，所以2211222ABDS AB BD AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为,BC AB BC PA ⊥⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以C 到平面PAB 的距离即为BC =2，因为D 为PC 的中点，所以D 到平面PAB 的距离即为112BC =，设P 到平面ABD 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以11133ABD PAB S h S ⨯⨯=⨯⨯ ，解得2h =，所以点P 到平面ABD 的距离等于2.故答案为：216．12##0.5【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理得到两根之和，两根之积，根据垂直得到斜率的等量关系，代入后求得结果.【详解】设直线:2PQ y kx -=，与2:8C x y =联立得：28160x kx --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=，1216x x =-，因为90PEQ ∠=︒，所以1PE QE k k ⋅=-，即121222122y y x x ++⋅=---，整理得：()()()21212142200kx x k x x ++-++=，即()2210k -=，解得：12k =.故答案为：1217．(1)22(2)10x y -+=(2)3x =或3410x y --=【分析】（１）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据已知条件列出方程组求解即得；（２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,220,3100,E D E F D E F ⎧-=⎪⎪-+++=⎨⎪+++=⎪⎩解得4,0,6.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的方程为22460x y x +--=，即()22210x y -+=.（2）因为直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离1d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为3x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=则1d ==.解得34k =.此时直线l 方程为()3234y x -=-，即3410x y --=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3410x y --=.18．(1)2n a n =，2nn b =(2)11211n n T n +=--+【分析】（1）列式计算等差数列的公差d 与等比数列的公比q ，从而写出通项公式；（2）计算n S ，从而表示出1nS ，利用分组求和法与裂项相消法求和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则22222224d qd q q d +=⎧⇒==⎨+=+⎩.所以2n a n =，2n n b =.（2）(22)(1)2n n n S n n +==+，则1111(1)1n S n n n n ==-++，()2121211111111......1...(22...2)2231nn n n T b b b S S S n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112211211121n n n n ++-=-+=--+-+.19．(1)证明见解析(2)310【分析】（1）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，通过证明平面MNE //平面1A BC 可得结论；（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO ，以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，M ，E 分别为11A C ，1CC 的中点，1ME //AC ∴.又ME ⊄ 平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，ME //∴平面1A BC .又N Q ，E 分别为1BB ，1CC 的中点，NE //BC ∴，又NE ⊄ 平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，NE //∴平面1A BC .又ME NE E ⋂= ，∴平面MNE //平面1A BC .又MN ⊂ 平面MNE ，MN //∴平面1A BC .（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO .ABC 是边长为2的正三角形，.OC AB ∴⊥.以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz则()3,0C ，()11,0,3A -，()1,0,0B ，31,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0CB =- ，()1132,0,3,2,0,2BA A N ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，由100CB n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30230x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,2n = 设直线1A N 与平面1A BC 所成的角为θ，则11133sin cos ,51042n A N n A N n A N θ⋅====⨯∴直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值为310.20．(1)11b =-，21b =，31b =-，证明见解析(2)1(25)210n n S n +=-⨯+【分析】（1）由132n n n a a ++=⨯，分别计算出23,a a ，可得1b ，2b ，3b ，132nn n a a ++=⨯转化得()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）写出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在132n n n a a ++=⨯中，令1n =得，126a a +=，2165a a ∴=-=.同理可得，37a =.1121b a ∴=-=-，22221b a =-=，33321b a =-=-.由132nn n a a ++=⨯得，()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，又110b =-≠ ，{}n b ∴是以1-为首项，1-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，(1)n n b =-，2(1)2n n nn n a b =+=-+.则(1)2n nn n c a =--=.23(1)21232(23)2n n S n =-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，23412(1)21232(23)2n n S n +=-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，上述两式相减，得()23122222(23)2n n n S n +-=-+++⋅⋅⋅+--⨯2112222(23)212n n n ++-=-+⨯--⨯-1(25)210n n +=--⨯-1(25)210n n S n +∴=-⨯+【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．21．(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD ⊥平面PBD ,得到CD PD ⊥,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】（1）（1）证明：取BC 中点F ，连接DF .//AD BF ，且AD BF =，∴四边形ABFD 为平行四边形.则12DF AB BC ==，于是CD BD ⊥.又CD PB ⊥ ，PB BD B ⋂=，CD ∴⊥平面PBD .又PD ⊂ 平面PBD ，CD PD ∴⊥.又 平面PCD ⊥平面ABCD 且交线为CD ，PD ∴⊥平面ABCD .（2）（2）PD ⊥ 平面ABCD .PCD ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，30PCD ∴∠=︒.又2PD =，CD AF ∴==2BD =.以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0B，()1,A ，()0,0,2P.()1,2PA =- ，()2,0,0DB =，()0,0,2DP =.3PA PE = ，()()11140,0,21,2,,33333DE DP PA ⎛⎫∴=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(),,n x y z =，由0,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,140,333x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(0,n = .由（1）可知，DC ⊥平面PBD ，所以平面PBD的法向量()0,DC =,19DC n cos DC n DC n ⋅∴〈〉==.∴平面PBD 与平面BDE.【点睛】22．(1)22163x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出k ，求出弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，22229,411,a b ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）依题意，直线AB 斜率一定存在，设AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222124260k x kmx m +++-=，()()2222Δ16412260k m k m=-+->，得22630k m -+>，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+.APQ BPQ ∠=∠ ，0PA PB k k ∴+=，121211022y y x x --∴+=--.()()()()211221210x y x y ∴--+--=，()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m kk---∴---=++.化简得，22310k k km m -++-=，即()()1210k k m -+-=1k ∴=或12m k =-.将12m k =-代入y kx m =+中，得()12y k x -=-，即直线AB 经过点P ，不合题意，所以12m k =-舍去，AB 分别位于PQ 的两侧，31m ∴-<<-，且1243m x x +=-，212263m x x -=.12AB x =-==O 到AB 的距离d =OAB ∴ 的面积为()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=⨯=当且仅当229m m =-，即m =.OAB ∴ 面积的最大值为2.【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等.。
13--14学年高二数学(上)期中考试模拟题(文)
知识点回顾:第6题图 2013—2014学年高二数学(上)中段测试模拟题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1、在答卷前，考生务必将自己的姓名、考号用2B 铅笔涂写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、在命题“若,12=x 则x=1”的逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个2、等差数列}{n a 满足4,1262==a a ，则其公差d=( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-33、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ）A 、042,2≥+-∈∀x x R xB 、042,2>+-∈∃x x R xC 、042,2≤+-∉∀x x R xD 、042,2>+-∉∃x x R x 4、函数)32sin(π+=x y 的图像( )A 、关于点)0,3(π对称 B 、关于直线4π=x 对称 C 、关于点)0,4(π对称 D 、关于直线3π=x 对称5、下列结论正确的是（ ）A 、当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时B 、x x x 1,2+≥时当的最小值为2C 、函数1222++=x x y 最小值为2 D 、当xx x 1,20-≤<时无最大值 6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A 、3-B 、12-C 、13D 、27、某中学从已编号(1~60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间 隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( )A 、6,16,26,36,46,56B 、3,10,17,24,31,38C 、4,11,18,25,32,39D 、5,14,23,32,41,50 8、平面上有不共线的两个向量,，满足x -=+=,23，//则x=( ) A 、23-B 、32C 、23D 、32-9、一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A 、身高一定是145.83cmB 、身高在145.83cm 以上C 、身高在145.83cm 以下D 、身高在145.83cm 左右10、在⊿ABC 中，满足222a bc c b =-+，且3=ba，则角C 的值为( ) A 、3π B 、2π C 、6π D 、4π二、填空题(每题5分，共20分)11、已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比 从左到右依次为1:3:4:2，则第2组的频数是_____12、若||1a =，||2b = ，c a b =+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为_____13、椭圆C:13422=+y x ，21,F F 为椭圆C 的两焦点，P 为椭圆C 上一点，连接1PF 并延长交椭圆于另外一点Q ，则⊿2PQF 的周长_______14、将函数x y sin =图像上点纵坐标不变，横坐标变为原来的21，再向右平移6π个单位，得到)sin(θω+=x y 的图像，)sin(θω+=x y 的解析式为___________三、解答题（解答过程要有必要的推理步骤，否则只有答案分） 15、（12分）设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16、（12分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．17、（14分）. 已知数列{}n a 满足121+=-n n a a ，13=a ；(Ⅰ)求证：数列{1}-n a 是等比数列；(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .18、（14分）已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解：命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．19、（14分）设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a <<<，(1)83,0,21===c b a ，求2221x x + 的值；（2）设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102xx <；（3）当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ；20、(14分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1Q →|＝2a .点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT →·TF →2＝0，|TF →2|≠0.(1)设x 为点P 的横坐标，证明|F 1P →|＝a ＋c ax ；(2)求点T 的轨迹C 的方程；(3)试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积2b S =？若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．2013—2014学年高二数学上学期中段测试（文）模拟题参考答案：一、选择题:1—5:C 、B 、B 、A 、C; 6—10:B 、A 、A 、D 、B; 二、填空题:11、12; 12、32π; 13、8 ; 14、)32sin(π-=x y 三、解答题:15、解：记事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. -----------------6分(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为 P (A )＝3×2－12×223×2＝23.---------------------12分16、解：（1）2()2cos sin 21cos 2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ 则()f x 的最小正周期2T ππω==， ……………………………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不 扣分）．…………6分 （2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤， 当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．所以max ()121f x a a =+=⇒= ……………9分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴． ……12分17、(Ⅰ)依题意有1122n n a a +-=-且112a -=， 所以1121n n a a +-=-所以数列{1}-n a 是等比数列 …………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知111(1)2n n a a --=-即12n n a -=， 所以21n n a =+ …………10分 而12n n S a a a =+++ 22(21)(21)(21)(21)n =++++++++22(2222)nn =++++ 2(12)12n n -=+-122n n +=-+ …………14分 18、解：由题意知a ≠0，若p 正确，----------------------2分a 2x 2＋ax －2＝(ax ＋2)(ax －1)＝0的解为1a 或－2a ，---------------------4分若方程在[－1,1]上有解，又⎪⎪⎪⎪1a <⎪⎪⎪⎪2a .---------------------6分只需满足－1≤1a ≤1.即a ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．----------------------9分若q 正确，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，-----------------10分 则有Δ＝0，即a ＝0或2.----------------------12分 若p 或q 是假命题，则p 和q 都是假命题，有⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠0且a ≠2，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．-------------------------14分19、解：（1）212212221212122)(,2,4308321)(x x x x x x x x x x x x x x f -+=+∴=+=⇒=+-=-=25 ------3分 （也可以求出两根进行计算）（2）a b x 20-= ---------4分 )(212121210x x a b a x +=--=+----------6分 a x a x 212122<⇒<a x a x a x x x 2121212121212110121+<+⇒+<+∴210x x <∴----------------8分 （3）设))(()(21x x x x a x x f --=-----------9分 ))(()(21x x x x a x x f --=-0,0,0),0(211><-<-∴∈a x x x x x x )(0)(x f x x x f <⇒>-∴ -------------------11分 ]1)()[()())(()()(2112111+--=-+--=-+-=-x x a x x x x x x x x a x x x x f x x f -------131122)(0)(0)(101x x f x x f x x a x x a<⇒<-⇒<-<-∴<-<-------------14分20.（1）设),(y x P ，满足x 2a 2＋y 2b 2＝122)(y c x ++=，又)1(2222ax b y -=x a c a a xc x ac a x b c cx x y c x +=++=-+++=++=222222222222)1(2)(---3分（2）∵PT →·TF →2＝02TF PT ⊥⇒a 2=+，|F 1Q →+＝2a= ∴T 是2QF 的中点，连接TO ，则TO//1QF ∴TO 是1QF 的中位线----5分a TO = ∴T 点的轨迹是圆 ，则T 点的轨迹方程为222a y x =+-----7分（3）设点M 的坐标为),(00y x ∵ca y c y c S MF F ≤=⋅⋅=∆0022121 若ca b >2，不存在M 点满足条件--------9分 若ca b ≤2，则存在点M 使得使△F 1MF 2的面积S ＝b2221sin 2121b MF F S MF F =∠=∆21000021cos ),)(,(MF F y x c y x c MF MF ∠=-----=-----11分210000cos ),)(,(MF F y x c y x c ∠-----=------12分21210000221sin cos ),)(,(21sin 2121MF F MF F y x c y x c b MF F S MF F ∠∠-----⋅==∠=∆22020a y x =+ ∴2tan 21=∠MF F -----------------14分2013—2014学年高二数学上学期中段测试（文）模拟题双向细目表（针对大型考试及“交叉命题”使用）。
昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末考试数学试卷(文科)
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科） 2014.1（满分150分，考试时间120分钟）考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C ){0,5} (D){0,2,4}(2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B )31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B ) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ(6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D ) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30x a x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C ) 30a -≤≤ (D) 30a -<<(8)已知函数()xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是(A)直线2x π= (B) 直线12x =(C)直线x π=- (D )直线1x =-第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ .(14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=xf f x ；③(1)1()-=-f x f x . 则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos 3C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.C 1B 1A 1DCBA （1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积.(18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()f x 的最大值.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N*，均有2n m n a a +=成立. (Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】C【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在x 轴上且122p =，∴其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.2．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（）A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样【答案】B【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.3．点(0,0)与点(2,2)-关于直线l 对称，则l 的方程是（）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】B【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点(0,0)与点(2,2)-直线的斜率为20120-=---，则直线l 的斜率为111-=-，点(0,0)与点(2,2)-的中点为(1,1)-，所以直线l 的方程为11y x -=+，即20x y -+=.故选：B4．下列叙述中，错误的是（）A ．数据的标准差比较小时，数据比较分散B ．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响C ．数据的极差反映了数据的集中程度D ．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变【答案】A【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A 错误；样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B 正确；数据的极差反映了数据的集中程度，故C 正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D 正确.故选：A.二、多选题5．已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A ．ab ac>B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．三、单选题6．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）记忆能力x46810识图能力y 3568A ．9.2B ．9.7C ．9.5D ．9.9【答案】C 【分析】求出,x y ，线性回归方程 45y x a =+恒过(),x y ，代入即可求出a ，再令x ＝12，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14681074x =⨯+++=，()13568 5.54y =⨯+++=，线性回归方程为45y x a =+，则45.575a =⨯+，解得0.1a =-，故41510y x =-，当x ＝12时， 41129.5510y =⨯-=.故选：C.7．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，给出下列三个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若α⊥β，β⊥y ，则α∥y ；③若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，则l ∥m ∥n .其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由线面、面面的平行、垂直的判定与性质逐一判断即可.【详解】l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，对于①，若m ∥l ，且m ⊥α，则由线面垂直的判定定理得l ⊥α，故①正确；对于②，若α⊥β，β⊥y ，则α与y 相交或平行，故②错误；对于③，如图，若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，结合图形得l ，m ，n 交于同一点，故③错误.故选：B.8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a ＝12，b ＝8，i ＝0，则输出的结果为（）A ．a ＝6，i ＝2B ．a ＝5，i ＝3C ．a ＝4，i ＝2D ．a ＝4，i ＝3【答案】D 【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.【详解】初始值a ＝12，b ＝8，i ＝0，第一次执行循环体后，i ＝1，a ＝4，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i ＝2，b ＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i ＝3，a ＝b ＝4，满足退出循环的条件；故输出i ＝3，a ＝4，故选：D.9．直线l 经过点()1,2A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线l 的方程，得到其在x 轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，则方程为()21y k x -=-，令0y =，解得21x k=-，故直线l 在x 轴上的截距为21k-，∵在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，∴2313k-<-<，解得1k <-或12k >.故选：C.10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度|AB |＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A ．3.1mB ．3.3mC ．3.5mD ．3.7m【答案】B 【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则()4,4C -，设抛物线方程()220x py p =->，将点C 代入抛物线方程得2p =，∴抛物线方程为24x y =-，行车道总宽度6m AB =，∴将3x =代入抛物线方程，则 2.25m y =-，∴限度为6 2.250.5 3.25m --=.故选：B.11．已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的33倍，若其外接球的表面积为60π，则该棱柱的底面边长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先设底面边长为a ，从而用a 表示出棱柱的高（它的一半即为球心到底面的距离d ）和底面外接圆的半径r ，再由球的表面积求出球的半径，然后利用222R r d =+即可列式求解.【详解】设该棱柱的底面边长为a ，则该棱柱的高为33a ，设正三角形的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得2πsin 3ar =，即3a r =，设其外接球的半径为R ，则24π60π=R ，即215R =，又22236a R r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以236a =，即6a =，则该棱柱的底面边长为6，故选：C.12．已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【分析】因为1//OQ PF ，O 是12F F 的中点，所以Q 为PF 2的中点．又2QF OP ⊥，2F 到渐近线b y x a =的距离为b ，得出21QF F ∠的余弦值，在△QF 2F 1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】根据对称性不妨设P 为第一象限的点，∵O 为F 1F 2的中点，又1//OQ PF ，∴Q 为PF 2的中点，又F 2（c ，0）到b y x a=的距离22bc d b a b ==+，∴|PF 2|＝b ，∴|QF 2|＝2b ，连接1QF ，所以12222b QF QF a a =+=+，又|F 1F 2|＝2c ，∵PO 的斜率为b a，又QF 2⊥PO ，∴QF 2的斜率为a b -，∴21tan a QF F b ∠=，∴21cos b QF F c∠=，在△QF 2F 1中，由余弦定理可得：224242222b b c a b b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⋅⋅，化简可得a ＝b ，∴双曲线C 的离心率为221b a+＝2.故选：A.四、填空题13．写出使“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值___.【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）【分析】由双曲线焦点在x 轴上的特征求解即可.【详解】∵方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则030m m >⎧⎨-<⎩，即3m >，∴“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.14．已知变量x ，y 满足约束条件320x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____.【答案】5【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+得1122y x z =-+，平移直线1122y x z =-+，由图象可知当直线1122y x z =-+经过点A 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由23y x x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，此时1225z =+⨯=，故答案为：5.15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台O ′O 的母线长为________cm.【答案】9【分析】设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，利用相似知识，求出圆台的母线长．【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得334x y x=+．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm ．故答案为9cm ．【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.16．关于曲线:1C x x y y +=有如下四个命题：①曲线C 经过第一、二、四象限；②曲线C 与坐标轴围成的面积为π2；③直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点；④直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分0,0x y ≥≥，0,0x y <>，0,0x y ><，0,0x y <<四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当0,0x y ≥≥，可得曲线方程为221x y +=，为圆的一部分；当0,0x y <>，可得曲线方程为221y x -=，为双曲线的一部分；当0,0x y ><，可得曲线方程为221x y -=，为双曲线的一部分；当0,0x y <<，曲线方程为221x y --=，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C 经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S ＝21ππ144S =⋅⋅=，故②不正确；③中，因为直线x y m +=的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O 到直线的距离||12m d ==，0m >，则2m =时，直线与曲线相切，只有一个交点，当()0,2m ∈时，直线与曲线有两个交点，当2m >或0m ≤时，直线与曲线无交点，所以直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.五、解答题17．已知函数2()1f x x x m =-+，R m ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()10f x x m --+<.【答案】(1)()2,2-(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出m 的范围；（2）化简不等式，然后讨论1m =，1m >，1m <三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为R ，则240m ∆=-<，解得22m -<<，所以实数m 的范围为()2,2-；（2）不等式()10f x x m --+<化简为2(1)0x m x m -++<，即(1)()0x x m --<，因为方程2(1)0x m x m -++=的两根分别为11x =，2x m =，当1m =时，不等式化为2(10)x -<，此时不等式无解，当1m >时，解不等式可得1x m <<，当1m <时，解不等式可得1m x <<，综上可得：当1m =时，不等式的解集为∅，当1m >时，不等式的解集为(1,)m ，当1m <时，不等式的解集为(,1)m ．18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为SD 、BC 的中点.(1)证明：//EF 平面SAB ；(2)若平面SAD ⊥平面ABCD ，且△SAD 是边长为2的等边三角形，120BAD ∠=︒.求四棱锥S ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据题意，取SA 中点M ，连接BM ，EM ，即可证明MEFB 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，取AD 的中点N ，连接SN ，由线面垂直的判定定理即可得到SN ⊥平面ABCD ，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.【详解】（1）证明：取SA 中点M ，连接BM ，EM .又E 分别为SD 的中点，所以//ME AD ，且ME ＝12AD ，因为底面ABCD 为菱形，F 分别为BC 的中点，所以BF ＝12AD ，//BF AD ，所以//ME BF ，且ME ＝BF .所以MEFB 为平行四边形.所以//EF BM .又因为EF ⊄平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，所以//EF 平面SAB .（2）取AD 的中点N ，连接SN ，因为SAD 是边长为2的等边三角形，所以SN ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SN ⊂平面SAD ，所以SN ⊥平面ABCD ，因为菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AD ＝2，所以3sin 22232ABCD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=，因为SA ＝AD ＝SD ＝2，N 是AD 的中点，易得SN ＝3.所以三棱锥S ﹣ABC 的体积V ＝11233233ABCD S SN ⋅=⨯⨯=.19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析【分析】（1）根据概率和为1算出a 的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a +0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a ＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：x ＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x ，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x ）×0.1+0.08＝0.2，解得x ＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.20．已知圆心为C 的圆过点()3,0A ，()2,3B ，在①圆心在直线10x y --=上；②经过点()1,2M -这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C 的方程；(2)经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，已知切线长为4，求点P 的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，()2214x y -+=(2)()3,4或()5,2【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线AB 垂直平分线所在直线方程，然后与直线10x y --=联立，即可得到圆心，从而得到圆C 的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.【详解】（1）若选①，∵圆过点()3,0A ，()2,3B ，则直线AB 的斜率为3323k ==--，所以与直线AB 垂直的直线斜率32k '=，且AB 的中点为323,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，即53,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则AB 的垂直平分线所在直线方程为335232y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即310x y --=，又知圆心在直线10x y --=上，∴31010x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得1,0x y ==，所以圆心()1,0C .半径为2r AC ==.所以圆的标准方程为()2214x y -+=.若选②，设圆的方程为220x y Dx Ey F +++==，（其中2240D E F +->），则930432301420D F D E F D E F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得2,0,3D E F =-==-，所以，圆方程为22230x y x +--=，化为标准方程为()2214x y -+=.（2）设(),7P x x -，∵经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，切线长为4，∴()()()22221744x x -+-=+，化简得22165020x x -+=，∴28150x x -+=，解得3x =或5x =，∴点P 的坐标为()3,4或()5,2.21．已知曲线C 上任意点到点F （1，0）距离比到直线x +2＝0的距离少1.(1)求C 的方程，并说明C 为何种曲线；(2)已知A （1，2）及曲线C 上的两点B 和D ，直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝1，求证：直线BD 经过定点.【答案】(1)y 2＝4x ，抛物线；(2)证明见解析.【分析】（1）设曲线C 上的点P （x ，y ），化简方程22(1)1|2|x y x -++=--，即得解；（2）由直线AB ，AD 的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线BD 的方程，将求出C 的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标．【详解】（1）设曲线C 上的点(,)P x y ，由题意22(1)1|2|x y x -++=--，且2x >-，整理可得：24y x =；可得曲线C 的方程为24y x =,曲线为抛物线；（2）证明：显然直线AB ，BD 的斜率存在，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，11121y k x -=-，22221y k x -=-，利用齐次式方程，所以设直线BD 的方程为(1)(2)1m x n y -+-=，设抛物线的方程为2[(2)2]4[(1)1]y x -+=-+，整理可得：2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，将(1)(2)1m x n y -+-=代入2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，整理可得：2(2)4(2)[(1)(2)]4(1)[(1)(2)]0y y m x n y x m x n y -+--+----+-=，即22(14)(2)(44)(1)(2)4(1)0n y m n x y m x +-+-----=，两边同时除以2(1)x -可得：222(14)()(44)4011y y n m n m x x --+⋅+-⋅-=--，△0>，设方程的根为1k ，2k ，则124414m n k k n-+=-+，由题意可得44114m n n --=+，整理可得41m -=，与(1)(2)1m x n y -+-=对应项相等，可得14x -=-且20y -=，解得3x =-，2y =，即直线(1)(2)1m x n y -+-=恒过定点(3,2)-，即可证得直线BD 恒过定点(3,2)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为105，短轴长为23.(1)求C 的方程；(2)过C 的右焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB += ，过点M 作AB 的垂线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点.记MFD △，△OED （O 为坐标原点）的面积分别为1S ､2S ，求1221S S S S +的取值范围.【答案】(1)22153x y +=(2)97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由短轴长可求出b ，由离心率的值可求出a ，即可求出椭圆方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点M 的坐标，由直线MD 的方程可求出点D ,E 的坐标，求出MFD △，△OED 的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.【详解】（1）由题意可得223b =，解得3b =，221015c b e a a ==-=，解得，25a =，所以椭圆的方程为：22153x y +=；（2）由（1）得右焦点(2F ，0)，由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为点M 满足0MA MB += ，所以M 为AB 的中点，联立222153x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(53)6290m y my ++-=，因为F 在椭圆内部，显然0∆>，1226253m y y m +=-+，122953y y m -=+，所以AB 的中点M 的纵坐标为23253m m -+，代入直线l 的方程为22325225353m x m m m -=⋅+=++，即252(53M m +，232)53m m -+，即直线ME 的方程为225232()5353m y m x m m =---++，令0x =，解得22253E m y m=+，即222(0,)53m E m +，令0y =，解得22253D x m =+，即222(53D m +，0)，12DOE S OD OE =⋅ ，12MFD S MF MD = ，由题意可得△DOE ∽△DMF ，所以DOOEDM MF =，设DO OEk DM MF ==，则212S k S =，而2222222222228||84(53)||18(1)9(1)522232()()535353OD m k DM m m m m m m +====++--++++，所以21222149(1)9(1)4S S m S S m ++=++，设211t m =+>，令12211649981()944S S t f t t S S t t ⎛⎫ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，1t >，函数在()1,+∞单调递增，所以4997()9436f t >+=，所以1221S S S S +的取值范围为97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年北京市昌平区高二年级上册学期数学期末模拟测试(一)试题【含答案】
2022-2023学年北京市昌平区第二中学高二上学期数学期末模拟测试（一）试题一、单选题1．已知点，则线段的中点坐标为（ ）(1,1),(2,5)M N -MN A ．B ．C ．D ．(3,4)3(,2)2(1,6)1(,3)2【答案】B【解析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】由点，(1,1),(2,5)M N -则线段的中点坐标为，即.MN 1215(,)22+-+3(,2)2故选：B2．圆心为，半径为的圆的方程为（ ）(1,2)-5A ．B ．22(1)(2)5x y -++=22(1)(2)5x y ++-=C ．D ．22(1)(2)25x y -++=22(+1)(2)25x y +-=【答案】D【解析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】圆心为，半径为的圆的方程为.(1,2)-522(+1)(2)25x y +-=故选：D.3．已知直线和互相平行，则（ ）1:70l x ay ++=2:(2)310l a x y -++=A ．B ．C ．或D ．或3a =1a =-1a =-3a =1a =3a =-【答案】C【解析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．0a =0a ≠12231//17a l l a -⇔=≠1a =-3a =故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由直线平行求参数值，解题时要注意在由条件求参数12210A B A B -=时，求得的参数值一般需代入直线方程检验，去除两直线重合的可能，否则易出错．如果采取分类讨论方法：先考虑系数为0，然后在一个方程中系数全不为0时，用比值进行求解，一般不会出4．在的展开式中，的系数为（ ）4(x 2x A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】由展开式的通项，由得出的系数.4(x 2r =2x【详解】展开式的通项为4(x (44rr rC x-由，解得，则的系数为42-=r 2r =2x (2246212C =⨯=故选：B5．如图所示,在正方体中,点F 是侧面的中心,设,则1111ABCD A B C D -11CDD C 1,,AD a AB b AA c ===（ ）AF =A ．B ．C ．D ．1122a b c++ 1122a b c++1122a b c-++1122a b c ++【答案】A【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.AF,,a b c 【详解】解:由题知, 点F 是侧面的中心,11CDD C 为中点,F ∴1DC 则AF AD DF=+112AD DC += ()11112AD DD D C =++ ()112AD AA AB=++ ,1122a b c=++6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.44A 44372A =【解析】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．7．设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）R a ∈3a =-1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．重要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据直线垂直求出的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.a 【详解】直线与直线垂直1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=则，解得或，()120a a a ++=0a =3a =-则“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.3a =-1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=故选：A.8．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）2221(0)x y a a -=>22183x y +==aA B ．C ．2D ．4【答案】C【解析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出．a【详解】椭圆的半焦距为，22183x y +=c ==∴双曲线中，∴（∵）．215a +=2a =0a >故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数，但它们的关系不相同：椭圆中，,,a b c 222a b c =+双曲线中，不能混淆．这也是易错的地方．222+=a b c 9．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）10l kx y k -+-=：C 2240x y x +-=l C A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【解析】求出直线过的定点坐标，确定定点在圆内，则可判断．P 【详解】直线方程整理为，即直线过定点，(1)10k x y --+=(1,1)P 而，在圆内，22114120+-⨯=-<P C ∴直线与圆相交．l C 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆的一般方程为，点，C 22(,)0f x y x y Dx Ey F =++++=00(,)P x y 则点在圆内，点在圆上，00(,)0f x y <⇔P C 00(,)0f x y =⇔P C 点在圆外．00(,)0f x y >⇔P C 10．如图，P 是边长为1的正方体对角线上一动点，设的长度为x ，若1111ABCD A B C D -1AC AP 的面积为，则的图象大致是（ ）PBD △()f x ()f xA ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】设正方体的棱长为，连接交于，连接，则是等腰的高，1AC BD O PO PO PBD △的面积为，代入，即可PBD △1()2f x BD PO =⨯PO =PO 得到函数解析式，即可得到答案.【详解】设正方体的棱长为，连接交于，连接，则是等腰的高，1AC BD O PO PO PBD △故的面积为PBD △1()2f x BD PO =⨯在中，PAOPO ==()102f x x ∴==≤≤画出其图象如图所示故选：A.二、填空题11．的二项展开式中的常数项为_______．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】160-【分析】先求出展开式的通项公式，令可得答案.()62162C rrrr T x -+-=620r -=【详解】的二项展开式的通项为．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6621662C 2C rr r rr r r T x x x --+⎛⎫=-= -⎪⎝⎭令得．所以的二项展开式的常数项为．620r -=3r =62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()336216C 0-=-故答案为：160-12．若空间向量，，共面，则______________.()5,3,a m =()1,1,2b =--()0,2,3c =-m =【答案】22-【解析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数a xb yc =+x y m 的值.m 【详解】由于、、共面，设，a b ca xb yc =+ 因为空间向量，，，()5,3,a m =()1,1,2b =--()0,2,3c =-则，解得，52323x x y x y m =⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩5422x y m =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为：.22-13．如图，在正方体中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异1111ABCD A B C D -面直线EF 与GH 所成的角等于_________．【答案】##60︒3π【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所EF 1A B GH 1BC 11A BC ∠EF GH 成角或其补角，最后求角即可.【详解】如图，连接，，，1A B 1BC 11A C 因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为E F G H 1AA AB 1BB 11B C EF 1A B GH 1BC 11A BC ∠异面直线与所成角或其补角，EF GH 因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.1111ABCD A B C D -11A BC 1160A BC ∠=︒故答案为：.60︒14．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．24y x =1【答案】1【解析】设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即()00,x y 0x0y 可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，()00,x y 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.24y x ==1x -011x +=00x =00y =因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.24y x =11故答案为：.1【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.15．已知曲线，，其中.2221:+=W x y m 4222:+=W x y m 0m >①当时，曲线与有4个公共点；1m =1W 2W ②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；01m <<1W 2W ③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；1∃>m 1W 2W ④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域0m ∀>1W 2W 内整点个数.其中，所有正确结论的序号是________.【答案】①③④【解析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知1m =2224x y x y +=+01m <<，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方(),0,1x y ∈x 2212y y <1m >(),0,x y m ∈1W 2W 程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比x 12212y y >01m <≤1m >较可判断④，进而可得正确答案.【详解】对于①：当时，曲线， ，令可得1m =2211:W x y +=4222:+=W x y m 2224x y x y +=+，当时，，当时，，所以与有4个公共点分别为，()2210x x -=0x =1y =±1x =±0y =1W 2W ()0,1，，，共个，故①正确；()0,1-()1,0()1,0-4对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时，01m <<1W 2W (),0,1x y ∈x ，，当时，，所以，22211:W y m x =-24222:W y m x =-01x <<24x x >2212y y <所以曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确；1W 2W 对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，所1m >(),0,x y m ∈1W 2W x 12212y y >以，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确；1∃>m 1W 2W 对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当01m <≤1W 2W 时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，所以1m >x 12212y y >1W 曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；1W 2W 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，01m <≤1m >x 两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.y 三、双空题16．已知双曲线（其中）的渐近线方程为，则________，的右焦222:14-=x y W a 0a >y x =±=a W 点坐标为________.【答案】 2()【分析】由双曲线的渐近线方程为可得：a =b ，再求出焦点坐标.y x =±【详解】∵双曲线（其中）的渐近线方程为222:14-=x y W a 0a >y x=±∴，∴24a =2a =∴，∴2228c a b =+=c =即的右焦点坐标为W ()故答案为：2，.()四、解答题17．已知圆的圆心坐标为，且与轴相切，直线过与圆交于、两点，且C ()2,0y l ()0,4C M NMN =(1)求圆的标准方程；C (2)求直线的方程．l 【答案】(1)()2224x y -+=(2)或40x y +-=740x y +-=【分析】（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；C C （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为C l l l ，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.4y kx =+k k l 【详解】（1）解：由题意可知，圆的半径为，故圆的标准方程为.C 2C ()2224x y -+=（2）解：设圆心到直线的距离为，则.C ld d ==若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意.l l 0x =C l 2所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l 4y kx =+40kx y -+=由点到直线的距离公式可得，解得或，d 1k =-7k =-所以，直线的方程为或，即或.l 4y x =-+74y x =-+40x y +-=740x y +-=18．如图长方体中，，，点为的中点.1111ABCD A B C D -1AB AD ==12AA =E 1DD （1）求证：平面；1//BD ACE （2）求证：平面；1EB ⊥ACE（3）求二面角的余弦值.1--A CE C 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【分析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；1//OE BD （2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即11, B O AB 1EB OE ⊥1EB AE ⊥可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接BD AC O OE四边形为正方形，点为的中点ABCD ∴O BD 又点为的中点，E 1DD ∴1//OE BD 平面，平面OE ⊂ ACE 1BD ⊄ACE平面1//BD ∴ACE（2）连接11, B O AB 由勾股定理可知，1EB1B O =OE ==22211B O OE EB =+1EB OE∴⊥同理可证，22211B E AE AB +=1EB AE ∴⊥平面,,AE OE E AE OE ⋂=⊂ACE平面1EB ∴⊥ACE（3）建立如下图所示的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)(0,1,2),(1,1,,,2)A C E CB 显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为1CC E yDz (1,0,0)m =由（2）可知平面，即平面的法向量为1EB ⊥ACE ACE 1(1,1,1)nEB ==cos ,||m n m n m n ⋅==⋅又二面角是钝角1--A CE C 二面角的余弦值为∴1--A CEC【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.19．已知直线l 过，且与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原(0,3)-2:8C x y =-||AB =点．(1)求直线l 的方程以及线段的中点坐标；AB (2)判断与是否垂直，并说明理由．OA OB【答案】(1)直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =-AB ()4,7--直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =--AB ()4,7-(2)不垂直于，理由见解析OA OB 【分析】（1）讨论直线的斜率存在或不存在，当直线的斜率不存在时，直线的方程为与抛l l l 0x =物线只有一个交点，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，C l l 3y kx =-，，联立直线和抛物线的方程得到，利用韦达定理和弦长公()11,A x y ()22,B x y l C 28240x kx +-=式得到关于的方程，即可求解；k （2）结合（1）的韦达定理得到，从而得到，即可判断.129y y =0OA OB ⋅≠【详解】（1）当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个交l l 0x =l C 点，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，l l 3y kx =-()11,A x y ()22,B x y 联立直线和抛物线的方程，得，l C 238y kx x y =-⎧⎨=-⎩28240x kx +-=又，()()22842464960k k ∆=-⨯-=+>则，，128x x k +=-1224x x =-，==解得：或，1k =1k =-当时，直线的方程为，1k =l 3y x =-此时，，128x x +=-()12121233614y y x x x x +=-+-=+-=-所以线段的中点坐标为，即，AB 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭()4,7--当时，直线的方程为；1k =-l 3y x =--此时，，128x x +=()12121233614y y x x x x +=----=-+-=-所以线段的中点坐标为，即，AB 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭()4,7-综上：直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =-AB ()4,7--直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =--AB ()4,7-（2）不垂直于，理由如下：OA OB 由（1）得：，()()()()22121212123339243899y y kx kx k x x k x x k k k =--=-++=--⨯-+=又，，()11,OA x y =()22,OB x y=则，1212249150OA OB x x y y ⋅=+=-+=-≠所以不垂直于.OA OB 20．在四棱锥中，为正三角形，平面平面，E 为的中点，P ABCD -PAD PAD ⊥ABCD AD ，，．//AB CD AB AD ⊥224CD AB AD ===（Ⅰ）求证：平面平面；PCD ⊥PAD （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；PB PCD （Ⅲ）在棱上是否存在点M ，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明CD AM ⊥PBE DMDC 理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（ⅡⅢ）在棱上存在点M 满足题意，．CD 14DM DC =【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可证得平面，由面面垂直的判定定理证得结论；CD ⊥PAD （Ⅱ）取中点，可证得两两互相垂直，由此以为坐标原点建立空间直角坐标系，BC E ,,PE DE EF E 根据线面角的向量求法可求得结果；（Ⅲ）假设存在点满足题意，由线面垂直的性质可知，，由此得到(),1,0M m AM PB ⊥AM PE ⊥，解出后即可得到结果.00AM PB AM EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m 【详解】（Ⅰ），，，//AB CD AB AD ⊥CD AD ∴⊥平面平面，平面底面，平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =CD ⊂ABCD平面，又平面，平面平面.CD \^PAD CD ⊂PCD ∴PCD ⊥PAD （Ⅱ）取中点，连接，BC F EF 分别为中点，，平面；,E F ,AD BC //EF CD ∴EF ∴⊥PAD 为等边三角形，为中点，，PAD E AD PE AD ⊥∴平面平面，平面底面，平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PE ⊂PAD 平面，PE ∴⊥ABCD 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，E ,,EF DE PE ,,x yz 则，，，，(P ()0,1,0D ()4,1,0C ()2,1,0B -，，，(2,1,PB →∴=-(0,1,PD →=()4,0,0DC →=设平面的法向量，PCD (),,n x y z →=则，令，则，，040n PD y n DC x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1z =0x=y =()n →∴=设直线与平面所成角为，.PB PCDθsin θ∴=即直线与平面PB PCD （Ⅲ）假设在棱上存在点，使得平面，则，，CD M AM ⊥PBE AM PB ⊥AM PE ⊥设，又，，(),1,0M m ()0,1,0A -(),2,0AM m →∴=，，(2,1,PB →=- (EP →=，解得：，即，2200AM PB m AM EP ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=⎪⎩1m =1DM =在棱上存在点，使得平面，此时.∴CD M AM ⊥PBE 14DM DC =【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解线面角和存在性问题；利用空间向量法求解存在性问题的关键是首先假设存在，采用待定系数法的方式得到所求点所满足的方程，解方程求得系数即可.21．已知椭圆的各顶点均在椭圆上，且对()2222:10x y E a b a b +=>>ABCD E 角线、均过坐标原点，点，、的斜率之积为．AC BD O ()2,1D AC BD14-(1)求椭圆的方程；E (2)过作直线平行于．若直线平行于，且与椭圆交于不同的两点、，与直线D l AC l 'BDE M N 交于点．l P ①证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；l E ②证明：存在常数，使得，并求出的值．λ2PM PN PD λ=⋅λ【答案】(1)22182x y +=(2)①证明见解析；②存在，且1λ=【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆a b c 的标准方程；E （2）①求出直线的方程，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由可证得结论成立；l l E Δ0=②设直线的方程为，其中、，将直线的方程与椭圆的方程，列l '12y x m =+()11,M x y ()22,N x y l 'E 出韦达定理，求出点的坐标，利用弦长公式并结合韦达定理可求得的值.P λ【详解】（1）解：由已知可得，解得，22411c aabc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩因此，椭圆的标准方程为.E 22182x y +=（2）解：①，又因为，则，12BD DO k k ==14AC BD k k =-12AC k =-因为，且直线过点，则直线的方程为，即，//l AC l ()2,1D l ()1122y x -=--122y x =-+联立可得，，2212248y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=因此，直线与椭圆有且只有一个公共点；l E ②，不妨设直线的方程为，其中、，//l BD ' l '12y x m =+()11,M x y ()22,N x y 联立可得，，221248y x mx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩222240x mx m ++-=()22244241640m m m '∆=--=->由已知不与直线重合，则，所以，，l 'BD 0m ≠()()2,00,2m ∈- 由韦达定理可得，，122x x m +=-21224x x m =-联立可得，即点，12212y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2112x m y m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩12,12P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，，()2221512244m PD m ⎛⎫=+⋅--=⎪⎝⎭()()()()()2121212151222244PM PM x m x m x x m x x m ⎛⎫⋅=+⋅--⋅--=+-++- ⎪⎝⎭，()()222552422244m m m m m =---+-=由可得，解得，2PM PN PD λ=⋅225544m m λ=⋅1λ=综上所述，存在使得.1λ=2PD PM PN=⋅【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
广东省惠州市2013-2014学年高二第一学期期末考试数学(文)
惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（文科）试题说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。
2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。
3、考试结束后，考生将答题卷交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．椭圆13610022=+y x 的焦距等于（ ）． A ．20B ．16C ．12D ．82．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）．A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3．已知函数()2xf x =，则'()f x =（ ）．A ．2xB ．2ln 2x ⋅C ．2ln 2x +D ．2ln 2x4.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2， 则||PF =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：①若A 为必然事件，则()1P A =． ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+． 其中真命题有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．36．“0a >”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是( )．A ．2,210x R x ∀∈+≤ B ．200,210x R x ∃∈+> C ．200,210x R x ∃∈+≤ D ．200,210x R x ∃∈+< 8．函数32y x x x =--的单调递增区间为( ) ．A ．[)1,1+3⎛⎤-∞-∞ ⎥⎝⎦和， B ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．[)1,1+3⎛⎤-∞-⋃∞ ⎥⎝⎦， D ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，9．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ()．A ．2B ．3 C ．4D ．510．已知椭圆22219x y b+=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）． A ． B C D二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答卷相应位置上．)11的渐近线方程为 ．12．样本2-，1-，0，1，2的方差为 ．13．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合 0.90.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．14．函数32()31f x x x =+-在1x =-处的切线方程是 ．三、解答题：(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分12分）某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．16．（本小题满分12分）已知22x -≤≤，22y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．17．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； 命题q ：实数x 满足2560x x -+≤；（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．19．（本小题满分14分）已知3()f x ax bx c =++图象过点1(0,)3-，且在1x =处的切线方程是31y x =--． （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =在区间[]3,3-上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两个不同的点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆，其中O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？ 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（文科）试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCBBCACABD1．【解析】由8c ===，所以焦距为16.∴选B ．2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ． 3．【解析】()2x f x =，则'()2ln 2xf x =⋅，∴选B ． 4．【解析】抛物线24y x =知12p =，||2132P pPF x =+=+=，∴选B ． 5．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C ．6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2y ax =表示的曲线为抛物线，∴选A ． 7．【解析】“2,210x R x ∀∈+>”的否定是“200,210x R x ∃∈+≤”，∴选C ． 8．【解析】322'321y x x x y x x =--⇒=--，2'03210y x x ≥⇒--≥1(31)(1)013x x x x ⇒+-≥⇒≤-≥或，单调递增区间为[)1,1+3⎛⎤-∞-∞ ⎥⎝⎦和，， ∴选A ．9．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：p15 20 结束 q5 25 n23∴选B ．10．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=6，|BF 1|+|BF 2|=6，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=12；若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，此时|AB|=22223b b a =，故221283b b -=⇒=．∴选D ． 二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．)11. 12.2 13.18.2 14.32y x =--11． 12．【解析】222222(20)(10)(00)(10)(20)25s --+--+-+-+-==．13．【解析】 0.9200.218.2y =⋅+=14．【解析】2'()36f x x x =+，在1x =-处的切线斜率k =23(1)6(1)3⋅-+⋅-=-又∵32(1)(1)3(1)11f -=-+⋅--=，切点为()1,1-，所以切线方程为1(3)(1)y x -=-+化简得32y x =--三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为51204=………………………2分 ∴年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分其中恰有1人年龄大于40岁的事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分∴恰有1人年龄大于40岁的概率63105P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）满足22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率211244416P ππ⨯==⨯． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且22x -≤≤，22y -≤≤的整点有25个 …………（8分）满足,x y ∈Z ，且22(2)(2)4x y -+-≤的整点有6个，……………（11分）∴所求的概率2625P =． ………………………………（12分）解 (1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<.……………………………1分 又0a >，所以3a x a <<，………2分当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<……4分 由2560x x -+≤得23x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂…………………………………………12分所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2．………14分18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切得b ==2分由e =得3a == 4分 ∴椭圆方程为22132x y +=…………………………………………………6分 （2）2222123(2)60322x y x x y x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩251260x x ⇒++=…………8分 21245624∆=-⋅⋅=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y ………9分则1212126,,55x x x x +=-⋅=…………………………………………………11分从而||5AB ==所以弦长||AB =14分解：（1）11(0)33f c =-⇒=-，………………………………………………1分 2'()3f x ax b =+，∴()2'(1)31f a b =+，∴33a b +=-…………3分又∵切点为(1,4)-，∴1(1)43f a b =+-=-………………………5分 联立可得1,43a b ==-………………………………………………6分 ∴311()433f x x x =--………………………………………………7分（2）311()433f x x x =--2'()4f x x ⇒=-，………………………………8分令2'()0402f x x x =⇒-=⇒=±， 令2'()0402f x x x >⇒->⇒<-或2x >，令2'()04022f x x x <⇒-<⇒-<<，………………………………10分………12分由上表知，在区间[]3,3-上，当2x =-时，max (2)5y f =-=当2x =时，min 17(2)3y f ==-………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅= ②由①、②得11||| 1.2x y ==此时222212123,2,x x y y +=+=…………… 2分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知0m ≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以2||23PQ k==+ 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅223k =+=又2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
2014-2015学年第一学期期末考试高二数学试卷(文科)
2014-2015学年第一学期期末考试高二数学试卷（文科）注意事项：1．本卷答题时间90分钟，满分100分。
2．本卷不能使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题：本小题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的．1、设合集的值为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62、已知m ,a 都是实数，且，则“”是“成立的” A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .不充分也不必要条件3、设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<4、用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥. A. ①②B. ②③C. ①④D.③④5、等差数列,}{中n a n S a a a a ,,0,05665>><且为数列}{n a 的前n 项和，则使0>n S 的n 的最小值为（ ）A ．11B ．10C ．6D ．56、若0m n ->，1a >，则（ ）A. m m a a -- > n n a a --B. m m a a -- < n n a a --C. m m a a --≥ n n a a --D. m m a a -- ≤ n n a a --7、已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是 A.3+2B.3-2C.6D.48、已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则x+y 的最大值是（ ）A.2B.5C.6D.8a A C a A U U 则集合},4,2{},5,2,1{},5,4,3,2,1{=-==0≠a },{a a m -∈a m =||abc y a b b c a c a b b c a c a y b y a b a y b y a b9、双曲线222x y a -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠等于（ ）A ．36πB ．18π C ．12π D ．6π 10、设平面向量a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2) ,定义运算⊙：a ⊙b =x 1y 2-y 1x 2 .已知平面向量a ，b ，c ，则下列说法错误的是(A) (a ⊙b )+(b ⊙a )=0 (B) 存在非零向量a ，b 同时满足a ⊙b =0且a •b =0 (C) (a +b )⊙c =(a ⊙c )+(b ⊙c ) (D) |a ⊙b |2= |a |2|b |2-|a •b |2二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卷上． 11、椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），则k ＝＿＿＿ 12若，则的取值范围是13、一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为14、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S = 15在中，PC BP BAC AC AB ABC ,,60,3,20==∠==∆16若)11(cos 12014220144)(≤≤-+++⋅=x x x x f xx 设的最大值是 最小值是 则=+N M17已知直线:21l y x =-与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A 、B 两点，若抛物线上存在点M ，使△MAB 的重心恰好是抛物线C 的焦点F ，则p =02,sin απαα≤≤>α()f x ,M ,N 第 5 题NMAB DCO三．解答题：本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18（本小题满分10分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（A>0，ω>0，||2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示。
浙江省中职卓越联盟2023-2024学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)
浙江省中职卓越联盟2023学年第一学期2022级期末考试数学试卷本试卷共三大题．全卷共4页．满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：1．所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分．在试卷和草稿纸上作答无效。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上。
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上。
4．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的错涂、多涂或未涂均无分。
1．下列说法：（1）零向量是没有方向的向量；（2）单位向量的方向是任意的； （3）零向量与任意一个向量共线；（4）方向相同的向量叫平行向量 其中，正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．设x ∈R ，则“2x >22x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知两点(3,5),(2,1)A B −−，则与向量AB 同向的单位向量为（ ） A ．6161⎛⎝B ．6161⎛ ⎝C ．6161D ．61614．某班有男生23人，女生15人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数为（ ） A ．345 B ．23 C ．15 D ．38 5．若()2*P 56n n =∈N ，则5C n =（ ）A ．21B ．50C ．56D ．126 6．cos104cos16sin104sin16︒︒−︒︒的值为（ ） A ．12 B ．12− C ．3 D ．37．抛物线220y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．20 B ．10 C ．5 D ．528．如图所示．在ABC △中、6BD DC =，则AD =（ ）A ．1677AB AC + B ．6177AB AC + C ．1566AB AC + D ．5166AB AC + 9．将(1)(2)(4)(5)x x x x −+−−展开，则3x 的系数等于（ ） A ．10− B ．8− C ．8 D ．1010．已知中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在x 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．45y x = C ．43y x =− D ．34y x =±1l ．已知tan 2θ=，则cos 2θ=（ ）A ．35− B ．817 C ．817− D ．817−或81712．在ABC △中，已知3223a b c bc =+，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒13．美丽的新疆让不少旅游爱好者神往，某人计划去新疆旅游、在火焰山、喀纳斯村、卧龙满、观鱼台、阿克库勒湖、那仁草原、天山天池、赛里木湖、那拉提、葡萄沟这10个景点中选择4个作为目的地．已知天山天池必选，则不同的选法种数为（ ）A ．210B ．120C ．84D ．36 14．函数π3sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．ππ2π,2π,22k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z B ．(2π,2ππ),k k k +∈Z C ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z15．若地物线24y x =上的点M 到焦，点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．716．二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．15−B ．6−C ．6D ．1517．双曲线2212y x −=的离心率为（ ） A 6 B ．32 C ．62D 318、已知圆22(2)9x y −+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）19．已知向量(4,3),(,1)a b x ==，且a b ∥，则实数x 的值为__________．20．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后站成一排合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有__________种．（用数字作答）21．设点12,F F 为椭圆22159x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PF F △的周长为__________． 22．若4sin 5α=−，且α是第三象限角，则2sin 2cos αα−=_________． 23．已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为3y =±，则该双曲线的标准方程为__________．24．已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =−+，则()f x 的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．25．（本题6分）已知nx x ⎛ ⎝二项展开式中，二项式系数之和是64，求：（1）n 的值；（3分） （2）含3x 的项．（3分）26．（本题6分）已知α为第一象限角，且π3sin 25α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求： （1）sin 2cos 2αα−的值；（3分） （2）πtan 4α⎛⎫−⎪⎝⎭的值．（3分） 27（本题6分）设a 为实数，已知双曲线223:1x y C a −=与椭圆22215x y a+=有相同的焦点12,F F ．（1）求a 的值；（2分）（2）若点P 在双曲线C 上，且12PF PF ⊥，求12F PF △的面积．（4分） 28（本题6分）已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+−，求： （1）()f x 的最小正周期；（3分）（2）()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合（3分）29．（本题7分）已知抛物线2:2(0)C y px p =−>过点(1,2)A −． （1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（3分）（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为135︒的直线，交抛物线于A ，B 两点，求弦AB 的长度．（4分）30．（本题7分）设椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率与双曲线22:1E x y −=的离心率互为倒数，且椭圆的右顶点是抛物线2:8C y x =的焦点． （1）求椭圆M 的方程；（3分）（2）已知点(1,0)N ，若点P 为椭圆M 上任意一点，求||PN 的最值．（4分）31．（本题8分）如图所示，已知村庄B 在村庄A 的东北方向，且村庄A ，B 之间的距离是4(31)千米，村庄C 在村庄A 的西偏北15︒方向，且村庄A ，C 之间的距离是8千米．现要在村庄B 的北偏东30︒方向建立一个农贸市场D ，使得农贸市场D 到村庄C 的距离是到村庄B 3D 到村庄B ，C 的距离之和．浙江省中职卓越联盟2023学年第一学期2022级期末考试数学答案一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）1．B 【解析】由零向量的定义及性质知，其方向任意，且与任意向量共线，方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量，故（1）（2）（4）错误，（3）正确．故选B ． 2．A 【解析】幂函数2y x =，当2x =±222,22,x x x =∴>⇒>∴“2x >22x >”的充分不必要条件．故选A ．3．A 【解析】因为点(3,5),(2,1)A B −−，所以(5,6)AB =−，所以与AB 同向的单位向量为||6161AB AB ⎛= ⎝．故选A ． 4．D 【解析】由分类加法计数原理可知，共有231538+=种选法．故选D ．5．C 【解析】2P (1)56n n n =−=，即2560n n −−=，解得8n =或7n =−（舍），则558C C 56n ==．故选C ．6．B 【解析】()1cos104cos16sin104sin16cos 10416cos1202︒︒−︒︒=︒+︒=︒=−．故选B ． 7．B 【解析】因为220p =，所以10p =，抛物线220y x =的焦点到其准线的距离为10．故选B ． 8．A 【解析】661()777AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+−=+．故选A ． 9．B 【解析】(1)(2)(4)(5)x x x x −+−−展开式中含3x 的系数为12458−+−−=−．故选B ．10．A 【解析】由已知可设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>．由已知可得53c e a ==，所以53c a =，则2222169b c a a =−=，所以43b a =，所以双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±．故选A ． 11．A 【解析】因为tan 2θ=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ−−=−===−++．故选A ． 12．D 【解析】由2223a b c bc =++，变形为2223b c a bc +−=，22232b c a bc +−∴=，3cos A ∴=而A 为三角形内角，150A ∴=︒．故选D ．13．C 【解析】因为天山天池必选，所以从另外9个景点中选3个的选法有39C 84=种．故选C ．14．C 【解析】由πππ2π2π,262k x k k −≤+≤+∈Z ，得2ππ2π,2π,33x k k k ⎛⎫∈−+∈ ⎪⎝⎭Z ，即函数的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z ．故选C ． 15．B 【解析】由已知得抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程1x =−，设点()00,M x y ．由题意可知，||10MF =，00||1102pMF x x ∴=+=+=，09x ∴=，即M 到y 轴的距离为9．故选B ． 16．D 【解析】因为二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式通项为66316621C (1)C rr r r r rr T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，令630r −=，则2r =，所以二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中常数项为226(1)C 15−=．故选D ．17．D 【解析】由双曲线方程2212y x −=得1,2a b ==21123c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭D ．18．C 【解析】圆22(2)9x y −+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，32p∴−=，解得6p =±．又0,6p p >∴=．故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）19．43【解析】因为向量(4,3),(,1)a b x ==，且a b ∥，所以4130x ⨯−=，即43x =．20．144【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有2323P P 12=种情况； ②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有24P 12=种情况． 则有1212144⨯=种排法．21．10【解析】根据题意，12PF F △的周长为226410a c +=+=． 22．35（或填0.6）【解析】因为4sin 5α=−，且a 是第三象限角，所以23cos 1sin 5αα=−−=−，所以2224333sin 2cos 2sin cos cos 25555ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=⨯−⨯−−−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．23．2213y x −=【解析】渐近线方程为3,y x =±∴设双曲线的方程为22(0)3y x λλ−=≠，代入点(2,3)，1λ∴=，∴双曲线的标准方程为2213y x −=． 24．22−因为2111cos 212π()sin cos cos sin 22222224x f x x x x x x +⎛⎫=−+=−+=− ⎪⎝⎭，所以当πsin 214x ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭时，函数()f x 有最小值，最小值为22−． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）25．解：1）由二项式定理可知，在nx x ⎛⎝展开式中，264n =， 2分所以6n =． 1分（2）由二项式定理可知，在6x x ⎛− ⎝展开式中，第1r +项为3662166C C (2)rr r r r r r T x xx −−+⎛=⋅⋅=⋅−⋅ ⎝， 令3632r −=，则2r =， 1分 所以6x x ⎛ ⎝展开式中含3x 的项为22336C (2)60x x ⋅−=． 2分26．解：（1）α为第一象限角，且3cos 5α=，24sin 1cos 5αα∴=−=， 1分 ()231sin 2cos 22sin cos 12sin 25ααααα∴−=−−=． 2分 （2）sin 4tan cos 3ααα==， 1分πtan tan πtan 114tan π41tan 71tan tan 4ααααα−−⎛⎫∴−=== ⎪+⎝⎭+． 2分 27．解：（1）根据题意，显然0a >，且双曲线C 的焦点在x 轴上， 故235a a +=−，即220a a +−=，即(2)(1)0a a +−=，解得2a =−或1a =，又因为0a >，所以1a =． 2分（2）由（1）可得双曲线C 的方程为2213y x −=, 如图所示，设其左、右焦点分别为12,F F ，故可得12(2,0),(2,0)F F −．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在双曲线C 的左支上，设1PF x =．由双曲线定义可得212PF PF −=，即22PF x =+． 1分 又因为12F PF △为直角三角形，所以2221212PF PF F F +=，即22(2)16x x ++=，即22260,26x x x x +−=+=， 2分 故12F PF △的面积()211(2)2322S x x x x =+=+=． 1分 28．解：（1）2π()2sin cos 12sin sin 2cos 2224f x x x x x x x ⎛⎫=+−=+=+ ⎪⎝⎭， 1分∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 2分 （2）π()22,24f x x A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭min ()2f x ∴=−， 2分此时ππ3π22π,π428x k x k +=−∴=−， ∴()f x 取得最小值时x 的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=−∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 1分 29．解：（1）22(0)y px p =−>过点(1,2)A −，24p ∴=，即2p =， 1分 ∴抛物线的方程为24y x =−， 1分准线方程为1x =． 1分（2）由（1）知，抛物线的焦点为(1,0)F −，则直线:(1)AB y x =−+，设点()()1122,,,A x y B x y ， 1分 由2(1),4y x y x=−+⎧⎨=−⎩得2610x x ++=， 由韦达定理可知，12126,1x x x x +=−=， 1分212||1AB k x ∴=+−()2121224x x x x =+−2364=−242=8=． 2分30．解：（1）由题意可知，双曲线22:1E x y −=2， 抛物线2:8C y x =的焦点为(2,0)， 则椭圆M 的离心率222c e a ===， 1分 由2222,22a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，得2,2,2a c b === 故椭圆M 的方程为22142x y +=． 2分 （2）设点P 的坐标为()00,x y ，则()2200012242x y x +=−≤≤， ()()()222220000011||1122122PN x y x x x =−+=−+−=−+ 2分 因为022x −≤≤，所以当02x =时，||PN 取得最小值，即min ||1PN =；当02x =−时，||PN 取得最大值， 即max ||3PN =． 2分31．解：由题意可得434,8,120,3AB AC BAC CD BD =−=∠=︒=． 在ABC △中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+−⋅∠， 则222131)]8284(31)962BC ⎛⎫=−+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭， 2分 故46BC =即村庄B ，C 之间的距离为6 1分 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠， 则38sin 22sin 246AC BAC ABC BC ⨯∠∠===，从而45ABC ∠=︒， 故村庄C 在村庄B 的正西方向． 2分 因为农贸市场D 在村庄B 的北偏东30︒的方向，所以120CBD ∠=︒．在BCD △中，由余弦定理可得2222cos D BC BD BC BD CBD =+−⋅∠，因为3CD BD =，所以2223(46)46BD BD BD =++，解得46BD =122CD = 2分 故46122BD CD +=即农贸市场D 到村庄B ，C 的距离之和为(46122)+千米． 1分。
江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷含解析
2022-2023学年高二期末模拟检测 数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知点(1,0)A ，直线:24l y x =-，点R 是直线l 上的一个动点，若P 是RA 的中点，则点P 的轨迹方程为( )A ． 2y x =-B ． 26y x =-C ． 23y x =-D ． 24y x =+2. 已知在圆22:()(2)20C x a y a -+-=上恰有两个点到原点的距离为5，则a 的取值范围是( )A ． (1,3)B ． (1,9)C ． (1,3)(3,1)⋃--D ． (1,9)(9,1)⋃--3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，椭圆C 的面积为23π，且短轴长为23，则椭圆C 的标准方程为( )A ． 22112x y += B ． 22143x y += C ． 22134x y += D ． 221163x y += 4. 已知(2,0),(2,0),||||3M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是( )A ． 双曲线B ． 双曲线左边一支C ． 一条射线D ． 双曲线右边一支5. 对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n n a f =，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =( )A ．23122n n - B ．23122n n + C ． 232n n - D ．29322n n - 6. 若正项数列{}n a 中，12311()2n n na a a a a a +++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，则2021a 的值是( ) A ．20212020-B ． 20212020+C ． 20222021-D ． 20222021+7. 函数()=(1)xf x x e -的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8. 已知函数()sin f x x a x =-，则“2a =”是“3x π=是()f x 的极小值点”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14学年第一学期高二数学（文）期末模拟考试卷第1卷（选择题部分 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线30l y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30B 、60C 、120D 、1502、双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是 （ ）A 、4B 、2 2C 、8D 、与m 有关3、若向量(1，0，z )与向量(2，1，2)的夹角的余弦值为32，则z 等于 （ ） A 、0 B 、1 C 、－1D 、24、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）A 、平行B 、相交或异面C 、异面D 、平行或异面。
5、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ ） A 、9πB 、10πC 、11πD 、12π6、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线；B 、一点和一条直线；C 、两条相交直线；D 、两个点。
7、 圆22(1)1x y -+=与直线3y x =的位置关系是 （ ） 俯视图正(主)视图 侧(左)视图A 、相交B 、相切C 、相离D 、直线过圆心8、以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）A 、x 216＋x 212＝1 B 、x 212＋y 216＝1 C 、x 216＋y 24＝1 D 、x 24＋y 216＝19、已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A 、34k ≥或4k ≤- B 、34k ≥或14k ≤-C 、434≤≤-kD 、443≤≤k10、如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）A B C 、2 D第Ⅱ卷（非选择题部分 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11、已知A （1，-2，1），B （2，2，2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为 ； 12、已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为 ；13、已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ；14、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；15、如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ；16、棱长为2的正四面体的外接球表面积为 ；14学年第一学期高二数学（文）期末模拟考试卷二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11._________________________________；12.______________________________； 13._________________________________；14.______________________________； 15._________________________________；16.______________________________．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、（本题满分10分）已知△ABC 三边所在直线方程为AB ：3x +4y +12=0，BC ：4x －3y +16=0，CA：2x +y －2=0，求AC 边上的高所在的直线方程.班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿考号＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ………………………………装………………………………………………订………………………………………………线………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18、(本小题满分10分)如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，画出梯形ABCD 水平放置的直观图并求其面积．19、（本题满分10分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程； （2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长。
20、（本题满分11分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点． (Ⅰ)证明：AE PD ⊥；(Ⅱ)若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦值．PBECFA21．(本小题满分11分)如图，椭圆C：2222+1x ya b=(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求∆ABP的面积取最大时直线l的方程．CCADD DADAA11. (0,0,3) 12.221412x y -= 13. 相离 14. y=2x 或x+y-3=0 15. (-1,2) 16. 6π17、解.由⎩⎨⎧=+-=++016364012463x x 解得交点B （－4，0），211,=-=∴⊥ACBD k k AC BD . ∴AC 边上的高线BD 的方程 为042),4(21=+-+=y x x y 即18、(12)42S +==19、解：（1）设圆O 方程为222x y r +=．圆22:(3)(4)4C x y ++-=， ||2r OC =-23==，所以圆O 方程为229x y +=． （2）O 到直线a的距离为d ==故弦长l ===．20. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥． （7分）（Ⅱ）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，sin 302EO AE ==3cos302AO AE ==， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 454SO AO ==，又SE ===在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===，．PBECFAO S解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)12AE AF ⎫==⎪⎪⎝⎭ ，，，，．设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，m m因此11110102x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ， 所以BD ⊥平面AFC ，故BD为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =，，所以cos BD BD BD<>===，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．B21.(Ⅰ)由题：12c e a ==； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：d == (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =．(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12x 0．∵A ，B 在椭圆上， ∴220220+12333434422+143A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒==-=-=-⎨-+⎪=⎪⎩．设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32x m +(m ≠0)， 代入椭圆：2222+143333032x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+⎪⎩＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->．mm ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝233m -．∴|AB |A B x x -|． ∵点P (2，1)到直线l的距离为：d∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝12|m ＋当|m ＋2|m ＝﹣3 or m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12．此时直线l 的方程y ＝﹣3122x +．。