来凤一中理科第三轮复习2014柯西不等式&定积分
高考数学理一轮复习 选考3-2 柯西不等式精品课件 新人教A版
可能性．
[例 4]
1 (2010· 全国Ⅰ)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－a .
n
5 1 (1)设 c＝2，bn＝ ，求数列{bn}的通项公式； an－2 (2)求使不等式 an<an＋1<3 成立的 c 的取值范围．
an－2 5 1 1 2an 4 [解] (1)an＋1－2＝2－a －2＝ 2a ， ＝ ＝ ＋2， an＋1－2 an－2 an－2 n n 即 bn＋1＝4bn＋2. 2 2 bn＋1＋3＝4(bn＋3)，又 a1＝1，
1 ． x ， y∈R ， 且 x2 ＋ y2 ＝ 10 ， 则 2x － y 的 取 值 范 围 为
________．
解析：(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－y)2， ∴－5 2≤2x－y≤5 2.
答案：[－5 2，5 2]
2．若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2
满足 b1<b2<…<bn，因为 b1，b2，…，bn 是互不相同的正整数，故 b1≥1， b2≥2，…，bn≥n. 1 1 1 又因为 1> 2> 2>…> 2， 2 3 n a2 a3 an b2 b3 bn 故由排序不等式，得 a1 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 ≥b1 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ≥1×1＋2×22＋3×32＋…＋n×n2＝1＋2＋3＋…＋n. [思维拓展] 应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序
数组，通常可以从函数单调性去寻找．
bc ca ab 即时训练 设 a、b、c 都是正数，求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c
证明：不妨设 a≥b≥c>0， 1 1 1 ∴ab≥ac≥bc，c≥b≥a. 1 1 1 1 1 1 由排序原理，知 ab×c ＋ac×b＋bc×a≥ab×b＋ac×a＋bc×c ， ab ac bc 即 c ＋ b ＋ a ≥a＋b＋c.
高考数学一轮复习课件——柯西不等式与排序不等式1
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量,则 . 当且仅当 是零向量,或存在实数k, 使 k 时,等号成立.
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R, 那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
当且仅当 bi 0( i 1,2,L , n )或存在一个数 k , 使得 a i kb i ( i 1,2,L , n )时 , 等号成立 。
例4 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是
实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当ad bc时,等号成立.
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd) 2 (ad bc)2 (ac bd )2
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 ) (a1b1 a2b2 L anbn )2
课后作业：
1.若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
2.已知x,
y,
z
R ,且x
y
z
1, 求证
1 x
4 y
9 z
36
3.在ABC中,设其各边长为a, b, c, 外接圆半径为R,
例1 已知a,b为实数,证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
例2
已知x,
y, a, b
R
,且
a x
b y
1,Байду номын сангаасx
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修4_5
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22. (2)推论：对于任意的x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，有x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥ x 1－x 22＋y 1－y 22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P 1，P 2，P 3的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，根据△P 1P 2P 3的边长关系有|P 1P 3|＋|P 2P 3|≥|P 1P 2|，当且仅当三点P 1，P 2，P 3共线，并且点P 1，P 2在P 3点的异侧时，等号成立．设m 2x 2＋y2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．∵m 2x 2＋n 2y2＝1， ∴x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x＋y ·n y 2＝(m ＋n )2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式，得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1， ∴|ax ＋by |≤1.2.已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证： a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a 2＋b 2≥a ＋b .同理2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加，得2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥ 2·(a ＋b ＋c ).求函数y ＝ 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． 由柯西不等式，得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0，即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常。
初中数学柯西不等式
初中数学柯西不等式哎呀，今天咱们来聊聊柯西不等式，这个名字听上去是不是很高大上？别担心，听我慢慢说，保证你听了会心一笑，心里也明白了。
这可是数学里的一颗璀璨明珠，光彩夺目得让人忍不住想要靠近。
柯西不等式就是在说，哎，咱们做事情的时候，得把所有的因素都考虑进去。
就像打篮球一样，得考虑到队友的位置、对手的防守，才能把球投进篮筐，不然的话，哎哟，球飞得比我还远，尴尬得很。
柯西不等式最经典的就是“( (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +ldots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 )”，听起来是不是有点绕口？其实它的意思就是，两个“和”的乘积，永远大于等于它们的乘积的平方。
简单说，就是你的努力和队友的努力结合在一起，肯定能得到一个更好的结果。
你想想，要是你自己去打球，光靠自己可不行，得有个默契的搭档一起配合，才能拿下比赛，赢得喝彩。
你知道吗，这个不等式就像是一种奇妙的魔法，能把你的努力和别人努力的结果结合起来，给你带来意想不到的惊喜。
就像小时候和小伙伴一起去捉迷藏，有的人藏得特别隐蔽，而你们几个找的时候，大家一合力，总能把那小子给找出来。
这个过程就是柯西不等式的魅力所在，让我们懂得了团结的力量。
说到这，不禁让我想起了“众人拾柴火焰高”这句老话，真是一点没错。
咱们在生活中其实处处都能看到柯西不等式的影子。
比如说，咱们去参加聚会，大家一起带食物。
你带一盘水饺，我带一碗沙拉，朋友再带一瓶饮料，最后一桌子丰盛的美食摆在眼前，吃得可开心了。
每个人的贡献结合在一起，结果就是一场丰盛的盛宴。
这就像柯西不等式告诉我们的，单打独斗固然精彩，但大家齐心协力，那效果可就绝了。
再说了，学习也是一样啊。
一个人在教室里拼命学习，成绩再好，也未必能比得上一群人一起讨论的火花。
这就是个体和集体的碰撞，碰撞出来的智慧闪烁着光芒。
柯西不等式原始版题型分类
柯西不等式（原始版）的习题分类 柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。
一、柯西不等式（原始版）1、()()()2221122212221b a b a b b a a +≥++，当且仅当向量()21,a a a =ρ，()21,b b b =ρ同向时候成立，如果0,21≠b b 时，那么当且仅当2211b a b a =时成立。
2、()()()2332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。
3、211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ，当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。
由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。
二、常见题型1、()常数次次≥-⨯11。
例1、已知1=+b a ，且0,>b a ，求ba 11+的最小值。
解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。
考虑最后求解的形式一定是k ba ≥+11，k 为某个常数，那么不等式左边1-次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以b a +，这样左边变成了()⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。
()41111112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b b a a b a b a b a ，当且仅当21==b a 时等号成立，所以b a 11+的最小值为4。
显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。
高中数学复习系列---柯西不等式
高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立.变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩ 例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆 的半径，≤例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
第二讲 柯西不等式(教师版)
第二讲：柯西不等式定理： ()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）。
（利用||||||a b a b ⋅≤⋅记忆）构造n 维向量{}n a a a a ，，， 21=，n 维向量{}n b b b b ，，， 21=，则∑==n i i a a 122 ；∑==n i ib b 122；∑==⋅ni i i b a b a 122)()( ，由2222)],(cos [)(ba b a b a b a ⋅≤∠⋅⋅=⋅，即∑∑∑===⋅≤ni i ni ni i i i b a b a 121122)()()(，显然，当1),(cos =∠b a ，即a与b 共线，亦即等号当且仅当)21(n i kb a i i ，，， ==时成立。
柯西不等式的几种变形形式（推论）：1、设(,+∈∈R y R x i i i = 1,2,…, n,) 则有121y x +222y x +…+nn n n y y y x x x y x ++++++≥ 212212)(证: 令ii i y x a =, i i y b = i = 1,2,…, n, 即 依柯西不等式有∑=ni i a 12∑=ni ib12≥∑=ni i i b a 1)(2,即21112)(i n i i i n i i ni i i y y x y y x ⋅≥⋅∑∑∑=== =21)(∑=ni i x ∴121y x +222y x +…+n n n n y y y x x x y x ++++++≥ 212212)(.证毕.2、,R a i ∈∀ i = 1,2,…, n,有2112)(∑∑==≥ni i n i i a a n .证: 依柯西不等式有∑=ni i a 12∑=ni ib12≥21()ni ii a b =∑,取 1=i b ，（i = 1,2,…, n,） 有 2112)(∑∑==≥ni i ni ia a n . 证毕.3、,+∈∀R x i i = 1,2,…, n , 均有.1211n x x ni in i i ≥⋅∑∑== 4、设a 1、a 2、…、a n ，ｂ1、ｂ2、…、ｂn 为实数，则有(利用||||||a b a b +≤+记忆)当且仅当a i ＝λb i （λ为常数i ＝1，2，…，n ）时等号成立．当且仅当ａi ＝λｂi （λ为常数，i ＝1，2，…，n ）时等号成立．5、含参数的柯西不等式： （为求最值开辟了一条道路，主要用在凑定值系数一时难以确定之时）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅=∑∑∑∑===2212221)12)()()(i i n i i i n i i i i i ni i i b a b a b a λλλλ其中),,2,1( 0n i i =>λ例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
高考数学一轮复习课件——柯西不等式与排序不等式PPT优秀课件
xn2 ) ( 1 xn
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xn 1 xn
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xn )2
1
x1 2 Biblioteka 2 2 xn 2 11x 1x 1x n1 22.05.2019 1
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例2 已知 a,b,c,d是不全相等,证 的明 正数 a2b2c2d2 abbccdda
证明:(a2 2 c2 d2)(b2 c2 d2 a2) (abbccdda)2
a,b,c,d是不全相等的正,数a b c d 不成立 bcd a
从平面向量的几何背 能景 得到 ，
将平面向量的坐标代 ， 化 入简后得二维形式 的柯西不等( a :式 1 2 a 2 2 )( b 1 2 b 2 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 )
当且仅当 a1b2 a2b1时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何也 背能 景得到
证 :(1 明 2 1 2 1 2)a (1 2a 2 2 a n 2) (1 a 1 1 a 2 1 a n)2
n ( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) ( a 1 a 2 a n ) 2 n 1(a 1 a 2 a n )2 a 1 2 a 2 2 a n 2
当且仅当bi 0(i 1,2,,n)或存在一个数 k,使得ai kbi (i 1,2,,n)时,等号成立。
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
柯西不等式
1柯西不等式复习一、知识梳理1、二维形式的柯西不等式.,)())((,,,, )( 122222等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bc ad bd ac d c b a d c b a =+≥++二维形式的柯西不等式的变式:.,,,,, )( 2等号成立时使或存在实数向量是零是两个向量设柯西不等式的向量形式定理k k =≤bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(bdac d c b a +≥+⋅+2222)2(2332244)())((,, 1b a b a b a b a +≥++证明为实数已知例4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例的最大值求函数例x x y 21015 3-+-=221221222221212211)()(R,y ,x ,y , )( 3y y x x y x y x x -+-≥+++∈那么设二维形式的三角不等式定理.1,yb ,,,, 1的最小值求且已知例y x x a R b a y x +=+∈+.,94,13222并求最小值点的最小值求若y x y x +=+2 2、一般形式的柯西不等式222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++。
,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理n i kb a k n i b b b b b a a a a i i i n n ====2222122121)(1,,,, 1n n n a a a a a a n a a a +++≤+++ 求证都是实数已知例22122221222)111( ))(111(:n n a a a a a a ⨯++⨯+⨯≥++++++ 证明22221221)(1n n a a a a a a n +++≤+++∴ 22122221)( )(n n a a a a a a n +++≥+++∴ da cd bc ab d c b a d c b a +++>+++2222,,,, 2证明是不全相等的正数已知例dacd bc ab d c b da cd bc ab d c b a a d d c c b b a d c b a da cd bc ab a d c b d c a +++>++++++>+++∴===∴+++≥++++++2222222222222222222a )()(,,,,)( ))((:即不成立是不全相等的正数证明 的最小值求已知例222,132 3z y x z y x ++=++141143,71,141321141)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++=∴++≥++++1111x 1x :1,x x ,R x ,x , 6. 412222121n 21n 21+≥++++++=+++∈+n x x x x x x P n n 求证且设1)()1x 1 1111()x 1x 11()11x (1 )111()1(:2212n 222111n 2n 222121212222121=+++=+⋅++++⋅+++⋅+≥++++++⋅++++++=++++++⋅+n nn n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n 证明3练习：证明：))(1)(1)(1)](()()([333b a c c a b c b a b a c c a b c b a ++++++++++22)()111(ab ac bc c b a ++=++≥23)(23)(21)(1)(1)(132333=≥++≥+++++abc ca bc ab b a c c a b c b a （当且仅当） 36941,1,,, 2≥++=++∈+z y x z y x R z y x 求证且已知例.,21,31,61,914136)321()941)((941:2222等号成立时即当且仅当用柯西不等式证法一======⋅+⋅+⋅≥++++=++z y x z y x z z y y x x z y x z y x z y x .,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等号成立时即当且仅当代入法证法二======+++≥++++++=++++++++=++z y x x z x y zy y z z x x z y x x y z y x zz y x y z y x x z y x 222222236)sin 1sin 1sin 1)((:,,,,,1RC B A c b a R c b a ABC ≥++++∆求证外接圆半径为设其各边长为中在3100)1()1()1(:,1,,,.2222≥+++++=++c c b b a a c b a c b a 求证且为正数设23)(1)(1)(1:,1,,,.3333≥+++++=∈+b a c c a b c b a abc R c b a 试证明且满足设。
高考数学柯西不等式知识点总结
高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。
下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
高考数学《不等式思想-柯西不等式法》
不等式思想--柯西不等式法【2014年辽宁高考理科第16题】对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .切入方式1：直接柯西不等式【分析】柯西不等式【解法】224240a ab b c -+-=即22532232b b a c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由柯西不等式，有()222235331+22+2523222b b b b a a a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+≥-=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2a b +≤2/253/23a b b -=时等号成立，此时32a b =. 此时()()22255231088c a b b b b =+=+=. 从而223452*********a b c b b b b ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭. 当135,,242b ac ===时等号成立，于是所求最小值为2-. 【小结】已知条件配方即2215224b c a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，第一个平方项中已有2a ，为了应用柯西不等式后能凑出2a b +，我们希望第二个平方项能贡献出32b ，因此将第二项改写为25332b ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 接下来应用柯西不等式则是水到渠成. 本小题如何去配系数是一大难点，需要我们利用所掌握的工具，考察条件与结论的差异，慢慢拼凑去消除差异.切入方式2：变式后柯西不等式【分析】【解析】根据条件可转化为：2222(2)3(43)c a b a b =+++. 由柯西不等式：2221(43)(1)(2)3a b a b ++≥+，所以2223(43)(2)4a b a b +≥+即：252(2)4c a b ≥+，其中当且仅当2243113a b =，即23a b =时，max 2a b +=此时有23a b =.所以a b ==.所以234555225a b c c c -+===--≥-. 【小结】柯西不等式作为选修《不等式选讲》内容，给学有余力的学生很大的空间。
柯西不等式
14柯西不等式2013.3.29 UUUF設a D b∈R，求a2+b2+(1−2a−3b)2的最小值。
@WV清水高中A 答.114。
UUVF設x,y均為實數，則(x−2y+5)2+(x−1)2+16y2的最小值為。
答.16。
@WW關西高中AUUWF設x D y∈R+，且2x+y=1，試求2x +1y之最小值。
@WU台中高工A答.9。
UVHF若x D y D z為實數，則2x−y+zx2+4y2+z2的最大值為。
@WV嘉義高工A答.√212。
解.柯西不等式x2+4y2+z222+(−12)2+12≥(2x−y+z)⇒2x−y+zx2+4y2+z2≤√212。
易由柯西等式成立之條件@向量平行A，找到極值點。
UVIF若⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a+b+c+d+e=8a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值。
@WW屏東女中A答.165。
解.(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2⇒4(16−e2)≥(8−e)2，∴5e2−16e≤0⇒0≤e≤165⇒e的最大值165。
評.看到二次和一次想到柯西。
但第一次這樣做也許不是很自然。
或者在做不出來的情況下，應該猜測a=b=c=d。
UVPF已知10∑k=1a k=24且10∑k=1a2k=64；若a1,a2,a3,...,a10均為實數，則a1的最大值為。
@WW師大附中A答.245。
UVQF已知x+2y+3z=14D x2+y2+z2=196，求z之最大值為。
@WW文華高中A答.3+√65。
UVRF 有一個以AB =2為直徑的半圓，若P 為圓周上的動點，如圖所示，試求3AP +4BP 的最大值。
答.10。
@IHH 全國聯招AUVSF 若34≤x ≤2且f (x )=√2−x +√4x −3，則當x =？時f (x )有最大值為多少﹖答.74。
@IHH 全國聯招A提示.令a =√2−x,b =√4x −3則4a 2+b 2=5。
另解.見WV 南港高工Q 。
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来凤一中2014届高三理科数学第三轮复习 柯西不等式1.设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,a b cx y z ++=++ （ ）A ．14B ．13C ．12D ．342.（2013年湖北理）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=___________．3. 设+∈R c b a ,,且9=++c b a ，则cb a 1694++之最小值为4.已知+∈R c b a ,,，则))(111c b a ac c b b a +++++++（的最小值是___________．5.函数x x x f -+-=532)(的最大值为______________6.若2222=++z y x ，则z y x 32+-的最大值为______________7.已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．8已知R c b a ∈,,，2=++c b a ，则222)1()1()1cc b b a a +++++（的最小值为___________9.已知0632222=-++a z y x ，02=-+++a z y x ，则实数a 的取值范围是___________．10.若存在实数x 使a x x >-++1463成立，求常数a 的取值范围11.设x ，y ，z ∈ R 且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x + y + z 之最大值和最小值分别是______________12.设+∈R x i ，,,...2,1n i =且11=∑=ni i x ，若不等式∑=++≤-≤ni ii x x n t 121)1(|13|1对一切正实数n x x x ,...,21恒成立，则实数t 的取值范围______________13.已知正数x,y,z 满足x+y+z=xyz,且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立,求λ的范围14.设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+的最小值为________，又此时=y ________。
15．设x ，y ，z ∈ R ，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为16．已知332,0,0,0=++>>>z y x z y x 那么222)213()612()41xz z y y x +++++（的最小值为_____________17．空间中一向量a与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为α，β，γ（α，β，γ 均非象限角），求γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值______________（提示：sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2 ）18．若正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231231231+++++c b a 的最小值是______________19.已知空间直角坐标系xyz O -中的动点),,(z y x P 满足12=++z y x ，则||OP 的最小值等于______________20．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++定积分1．（2013江西理）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰ 则321,,S S S 的大小关系（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<2.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J3.dx x x x )2(12--⎰等于 （ ）A.42-π B.22-π C ．21-π D.41-π4.定积分dx x x x )sin 24222-2--⎰（的值为 （ ）A. π2B. π22C.1-πD.12-π5．物体A 以速度132+=t v （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ，）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度t v 10=的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是 （ ） A.1 20 m B. 1 30 m C ．140 m D. 1 50 m 6若y ＝x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．－72D ．07.设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎰nmdx x g )(的值是 （ ）A ．－52B ．－43C ．－54D ．－768.甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为 （ ）A ．13B ．23C ．12D ．349.12208(16)x x dx π-+=⎰.10.求定积分20cos 2cos sin xdx x xπ+⎰= .11.关于式子5220254x dx -⎰的结果，有以下结论：①半径为52的圆的面积的二分之一 ②半径为52的圆的面积的四分之一 ③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为258π ⑥该式子的值为2516π 其中正确结论的序号为 . 12设dx x c dx x b dx xa ⎰⎰⎰===5131211,1,1，则5,3,2c b a 的从大到小的顺序是 .13．已知⎰+=20)cos sin πdx x x a （，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．14．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．15．若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________．16如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．柯西不等式 参考答案 1.C2.31473. 94.29 5.10 6.72 7..98.1216911∵14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42+(5)2+22]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-222)23()52()41(z y x ≥．．．2)52(5)41(4++⎢⎣⎡+-y x 2)23(⎥⎦⎤-z ⇒ 25 ⨯ 1 ≥ (x + y + z - 2)2 ⇒ 5 ≥ |x + y + z - 2| ⇒ - 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7 故x + y + z 之最大值为7，最小值为 - 312.}320{， 13.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得x z z y y x +++++111≤)(21212121zy x yzy x xzy x z zxzy xy++++++++=++23))(111(21222=++++++++++≤z y x y z y x x z y x z 故λ的取值范围是［23,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式xz z y y x +++++111≤λ恒成立,等价于(x z z y y x +++++111)max ≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=xz z y y x +++++111的最大值.14.解： 332=+-z y x ⇒ 2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) 解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值718 1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴72-=y15.解： 2x + 2y + z + 8 = 0 ⇒ 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) 222)(v u v u ⋅≤⋅[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ≤ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)⇒ (x - 1)2+ (y + 2) 2+ (z - 3) 2≥9)9(2-= 916. 42717.18 18. 19.20.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++证明：由三角形中的正弦定理得 R aA 2sin =，所以2224sin 1a R A =，同理2224sin 1b RB =，2224sin 1cR C =于是左边= 2222222222236)222()444)((R c R a b R a a R a cR b R a R c b a =⋅+⋅+⋅≥++++。
定积分参考答案 1. 2. 3.A 4.A 5,B6.B 解析：解析：y ＝x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝x ⎰(sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )0x ＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.7.A 解析：由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎰mndx x g )(＝⎪⎪－x 2614＝－52.8 A 解析 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝13.9解析：.1112222088(16)16x x dx x dx x dx ππ-+=-+⎰⎰⎰，1201x dx -⎰等于单位圆面积的14，12088124x dx πππ-=⋅=⎰，11230622x dx x ==⎰，1112222088(16)1622 4.x x dx x dx x dx ππ-+=-+=+=⎰⎰⎰13.解析 ,2=a (2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.14.解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|－42＝18.15.解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由10⎰(ax ＋b )d x ＝5得(12ax 2＋bx )10＝12a ＋b ＝5，① 由10⎰xf (x )d x ＝176得10⎰(ax 2＋bx )d x ＝176，即 (13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝176， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是21⎰f (x )xd x ＝21⎰4x ＋3xd x ＝21⎰(4＋3x)d x＝(4x ＋3ln x )21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln2 16.[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝14.。