上海市徐汇区2020届高三二模数学试题(PDF版)
2020届上海市徐汇区高考二模数学模拟试题有答案(加精)
第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何(16区全)
3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，则椭圆C 的长轴长为10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所2ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =u r 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论： （1）||||AP AQ -为定值2 （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52； 其中正确结论的序号是13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ） ① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称； A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A.B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =- D. 116y =-13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 1315（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.20（2020闵行二模）. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q . （1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.20. 已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点),(11y x A ，),(22y x B .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点(2,1)C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是233，证明：△AOB 为直角三角形.20（2020松江二模）. 如图，已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）经过圆22:(1)4N x y ++=与轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足AC DB =uuu r uu u r，求证：线段AB 的中点E 在定直线上.20（2020青浦二模）. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk + 为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.20（2020普陀二模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=的左、右焦点分别1F 、2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与Γ交于另一点N ，过原点的直线l 与Γ交于P 、Q 两点.（1）求△2PQF 周长的最小值；（2）是否存在这样的直线l ，使得与直线MN 平行的弦的中点都在l 上？若存在，求出直 线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积1083613[,]13S ∈，求直线l 的斜率k的取值范围.20（2020嘉定二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.20（2020黄浦二模）. 已知点A 、B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)x y r Γ-+=（0r >）的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P 、Q 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS OP λ=uu r uu u r（λ+∈R ），且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G 、H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =， 求r 的取值范围.20（2020杨浦二模）. 已知双曲线222:1y H x b-=（0b >），经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若2b =，且M 、N 的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒；（3）设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=⋅uuu r uuu r ，EN ND μ=⋅uuu r uuu r，求证：λμ+为定值.20（2020徐汇二模）. 已知椭圆2222:1(0) x ya babΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，1F、2F分别为椭圆Γ的左、右两个焦点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知椭圆Γ的切线l（与椭圆Γ有唯一交点）的方程为y kx m=+，切线l与直线1x=和直线2x=分别交于点M、N，求证：22||||MFNF为定值，并求此定值；（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆Γ相切（即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围.20（2020虹口二模）. 设双曲线2222:1x yCa b+=的左顶点为D，且以点D为圆心的圆222:(2)D x y r++=（0r>）与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求DA DB⋅uu u r uu u r的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：||||OM ON⋅为定值（其中O为坐标原点）.20（2020金山二模）. 已知动直线l与椭圆22:12yC x+=交于11(,)P x y、22(,)Q x y两不同点，且△OPQ的面积22OPQS=V，其中O为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.20（2020奉贤二模）. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=uu u r uur ，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.20（2020崇明二模）. 已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线x t =（(t ∈）与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点(2,0)C ，直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长； （2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .20（2020浦东二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（0a >）的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2019-2020学年上海市徐汇区高三年级二模考试数学试卷
徐汇区高三数学 本卷共4页 第页2019学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2020.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5UA ==,则U C A =_______________．【答案】{}2,4 【解析】{}2,4U C A =2．不等式31≤x的解集是_________. 【答案】()1,0,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】化简分式不等式易得()1,0,3x ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3 ．函数()cos 3xf x π=的最小正周期为_____________．【答案】6 【解析】利用23T ππ=得6T =4．若i +1（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程02=++q px x 的根，则pq =___________．【答案】4-【解析】两根分别为1i +和1i -，所以()()112,112p i i q i i -=++-==+-=，因此2,2,4p q pq =-==-徐汇区高三数学 本卷共4页 第页5．方程1sin 3x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解是__________________． 【答案】1arcsin 3π-【解析】根据三⻆⽅程易得1arcsin 3π-6. 若11()21xf x a=+-是奇函数，则实数a 的值为 ． 【答案】2 【解析】()()1111211,12,120,1,2f f a a a a a a=+-=-+∴+-+=∴==7．二项式25(x +的展开式中的常数项等于____________.（结果用数值表示） 【答案】5【解析】()51021052221555rr r r rrr r r T C xC x C x ----+===，令5100,42r r -==，所以常数项为455C =8．已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 . 【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±9．从数字 1,2,3,4,5,6，7,8中任取2个数,则这2个数的和为偶数的概率为____________. （结果用数值表示） 【答案】37徐汇区高三数学 本卷共4页 第页【解析】224428123287C C p C +===10．在ABC ∆中，若,2,1,AB AC AB AC AB AC +=-==,E F 为BC 边的三等分点，则AE AF •=_____________．【答案】109【解析】AB AC ABAC AB AC +=-⇒⊥，BC∴=BC 中点G，则122AG BC ==，133EF BC ∴==，221551044369AE AF AG EF •=-=-=11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是 . 【答案】34【解析】从A B →，为使相遇人数最少，要保证此人到一点只能向上或者向右，不能回头，那么我们现在考察在交点处的人数，绿笔表示来⾃左边会遇到⾃数，红笔表示来⾃向下⾃会遇到⾃数，则每⾃节点通往下⾃节点时，要保证⾃⾃数最少的路径，则将相遇⾃数标记如图. 故如图所示，最少相遇⾃数为34。
2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） （A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分 所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=， 即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==， 由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分 所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。
上海市徐汇区2020届高三二模数学卷(含答案)
1 俯视图
A. 2 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 5 5
16．若数列
an
, bn
的通项公式分别为 an
1 n2020 a ， bn 2
1 n2019 n
，且 an
bn 对任意 n N 恒成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,1
B.
2,
3 2
C.
记为 mn . 设 bn ni M n mn ，当正整数 n 满足 3 n 2020 时，比较 bn 与 bn1 的大小，并求出 bn 的最大值．
参考答案及评分标准
一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分
2020.本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2 ，
（2）[解法一]如图所示，以 A 点为原点， AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 2 ,0)，E(1, 2 , 1)，-------8
z
分
AE (1, 2, 1) ， BC (0, 2 2, 0) .-----------10
P
分
设 AE 与 BC 的夹角为，则
11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通
过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
2020年上海市徐汇区中考数学二模试卷-(解析版)
2020年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（共6个小题）1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．＝﹣1 D．＝04．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是25．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向250米处D．南偏西60°方向250米处6．下列命题中，假命题是（）A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形二、填空题7．计算：＝．8．分解因式：m2+2m﹣3＝．9．方程组的解是．10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是．（只需写出一个）11．如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．12．已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（1，0）和（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是．13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是．14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是2：3，＝，那么向量（用向量表示）是．15．如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径长是．16．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是．17．已知正三角形ABC的半径长为R，那么△ABC的周长是．（用含R的式子表示）18．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝5，sin A＝，将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A的对应是点A'，联结A'C，如果A'C⊥BC，那么cosθ的值是．三、解答题19．计算：+|﹣2|﹣2cos30°+3．20．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．21．上海全市学生积极响应号召开展“停课不停学”的线上学习活动，某中学为了了解全校1200名学生一周内平均每天进行在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的情况，结果如下表：时间（分）15202530354045505560人数16241410868464完成下列各题：（1）根据上述统计表中的信息，可知这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的众数是分，中位数是分；（2）小李根据上述统计表中的信息，制作了频数分布表和频数分布直方图（不完整），那么：①频数分布表中m＝，n＝；②请补全频数分布直方图．（3）请估计该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有人．频数分布表分组（时间：分钟）频数14.5﹣24.54024.5﹣34.5m34.5﹣44.5n44.5﹣54.51254.5﹣64.510合计10022．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；（2）将抛物线y＝ax2﹣2ax+3向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点B'，D'，联结B'C，B'D'，CD'，求△CB'D'的面积．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE ＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．24．如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．（1）求∠ACO的正切值；（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x 轴，求m的值．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝5，cos B＝，点O是边BC上的动点，以OB为半径的⊙O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN＝∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；（2）分别联结AN、MD，当AN∥MD时，求MN的长；（3）将⊙O绕着点M旋转180°得到⊙O'，如果以点N为圆心的⊙N与⊙O和⊙O'都内切，求⊙O的半径长．参考答案一、选择题1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．【分析】有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．解：A、是无限不循环小数，是无理数；B、是无限不循环小数，是无理数；C、是分数，是有理数；D、是无限不循环小数，是无理数．故选：C．2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．解：（B）原式＝|a+b|，故B不是最简二次根式．（C）原式＝2，故C不是最简二次根式．（D）原式＝|a|，故D不是最简二次根式．故选：A．3．下列方程中，有实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．＝﹣1 D．＝0【分析】A、变形得x2＝﹣1＜0，由此得到原方程无实数根；B、变形得x2＝1，由此得到原方程有实数根；C、根据非负数的性质可得原方程无实数根；D、先把方程两边乘x﹣1得1＝0，由此得到原方程无实数根．解：A、方程变形得x2＝﹣1＜0，故没有实数根，此选项错误；B、方程变形得x2＝1，故有实数根，此选项正确；C、二次根式非负，故没有实数根，此选项错误；D、方程两边乘x﹣1得1＝0，没有实数根，此选项错误．故选：B．4．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是2【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．5．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向250米处D．南偏西60°方向250米处【分析】根据方位角画出图形解答即可．解：如图所示：∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，故选：A．6．下列命题中，假命题是（）A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形【分析】根据三角形中位线定理、菱形、矩形的判定定理判断．解：连接BD，∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF＝BD，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形，A是真命题；当AC＝BD时，EH＝EF，∴四边形EFGH为菱形，B是真命题；当AC⊥BD时，EH⊥EF，∴四边形EFGH为正方形，C是真命题；顺次直角梯形四边中点所得的四边形不是矩形，D是假命题；故选：D．二、填空题7．计算：＝．【分析】直接通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．解：＝﹣＝．故答案为：．8．分解因式：m2+2m﹣3＝（m+3）（m﹣1）．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案．解：m2+2m﹣3＝（m+3）（m﹣1）．故答案为：（m+3）（m﹣1）．9．方程组的解是，．【分析】把①代入②即可把方程组转化成方程，求出x的值，把x的值代入①即可求出y．解：把①代入②得：5x2＝5，x2＝1，x＝±1，把x＝1代入①得：y＝2；把x＝﹣1代入①得：y＝﹣2；故答案为：，．10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是y＝﹣2x．（只需写出一个）【分析】根据正比例函数的性质可得k＜0，然后确定k的值即可．解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，∴k＜0，∴符合条件的正比例函数可以是y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x．11．如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝b2﹣4ac＝0，据此列出关于m的方程，解之可得．解：∵关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4×3×m＝0，解得m＝，故答案为：．12．已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（1，0）和（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜1．【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后解不等式kx+b＜0即可．解：把（1，0）和（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝2x﹣2，解不等式2x﹣2＜0得x＜1．故答案为x＜1．13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是．【分析】利用列举法展示所有6种等可能的结果数，根据三角形三边的关系可判断三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率求解，解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果数，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝．故答案为．14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是2：3，＝，那么向量（用向量表示）是﹣+．【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．解：∵△ABD和△BCD的面积比是2：3，∴AD：DC＝2：3，∴AD＝AC，∴＝，∵＝+，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．15．如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径长是5．【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AE＝AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．解：连接OA，∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，∴AB⊥CD，∴AE＝AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，故答案为：5．16．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（3+x）（4﹣0.5x）＝15．【分析】设每盆多植x株，则平均每株盈利（4﹣0.5x），根据总利润＝株数×每株的盈利即可得．解：设每盆多植x株，可列出的方程：（3+x）（4﹣0.5x）＝15，故答案为：（3+x）（4﹣0.5x）＝15．17．已知正三角形ABC的半径长为R，那么△ABC的周长是3R．（用含R的式子表示）【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得三角形的边长即可求得本题的答案．解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是半径为R的等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，OD＝OB＝R，∴BD＝OD＝R，∴BC＝2BD＝R，∴该三角形的周长为3R，故答案为：3R．18．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝5，sin A＝，将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A的对应是点A'，联结A'C，如果A'C⊥BC，那么cosθ的值是．【分析】连接BD，连接A'D，过点B作BH⊥AD于H，过点A'作A'E⊥AB于E，先证点H 与点D重合，再证四边形A'CBD是矩形，可得∠A'DB＝90°，可得点A，点D，点A'共线，由面积法可求A'E＝，由勾股定理可求解．解：如图，连接BD，连接A'D，过点B作BH⊥AD于H，过点A'作A'E⊥AB于E，∵sin A＝＝，∴BH＝4，∴AH＝＝＝3，∴AD＝AH＝3，∴点D与点H重合，∴∠ADB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，又∵A'C⊥BC，∴BD∥A'C，∵将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴A'B＝AB＝5，∵A'C⊥BC，∴A'C＝＝＝4，∴A'C＝BD，∴四边形A'CBD是平行四边形，∵∠DBC＝90°，BC＝A'D＝3，∴四边形A'CBD是矩形，∴∠A'DB＝90°，∴∠A'DB+∠ADB＝180°，∴点A，点D，点A'共线，∵S△A'BA＝×AB×A'E＝×AA'×BD，∴A'E＝，∴BE＝＝＝，∴cosθ＝＝＝，故答案为：．三、解答题19．计算：+|﹣2|﹣2cos30°+3．【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、分数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣1+2﹣﹣2×+＝﹣1+2﹣﹣+＝1．20．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣4，∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5，21．上海全市学生积极响应号召开展“停课不停学”的线上学习活动，某中学为了了解全校1200名学生一周内平均每天进行在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的情况，结果如下表：时间（分）15202530354045505560人数16241410868464完成下列各题：（1）根据上述统计表中的信息，可知这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的众数是20分，中位数是25分；（2）小李根据上述统计表中的信息，制作了频数分布表和频数分布直方图（不完整），那么：①频数分布表中m＝24，n＝14；②请补全频数分布直方图．（3）请估计该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有720人．频数分布表分组（时间：分钟）频数14.5﹣24.54024.5﹣34.5m34.5﹣44.5n44.5﹣54.51254.5﹣64.510合计100【分析】（1）根据众数和中位数的概念分析；（2）根据各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；可得m＝12，n＝7；由统计表中数据补全直方图即可；（3）用样本估计总体可得答案．解：（1）分析统计表可得：众数即出现次数最多的数据为20，中位数即最中间两个数据的平均数是25；（2）①从统计表知，m＝14+10＝24，n＝8+6＝14；②补全频数分布直方图如图所示；（3）1200×＝720（人），答：计该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有720人．故答案为：20，25；24，14；720．22．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；（2）将抛物线y＝ax2﹣2ax+3向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点B'，D'，联结B'C，B'D'，CD'，求△CB'D'的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，求出a＝﹣1，进而求解；（2）根据新抛物线经过原点O，求出其表达式，利用△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′，进而求解．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a+3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；抛物线的对称轴为：x＝1，点D的坐标为：（1，4），令y＝0，y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点B的坐标为：（3，0）、点C（0，3）；故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）；（2）设抛物线向右平移了m个单位，则B'、D'的坐标分别为：（m+3，0）、（m+1，4），平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+4，∵新抛物线经过原点O，∴当x＝0时，y＝﹣（0﹣m﹣1）2+4＝0，解得：m＝1或﹣3（舍去﹣3），故点B'、D'的坐标分别为：（4，0）、（2，4），如下图，过点D′作D′H∥y轴交B′C于点H，设直线B′C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线B′C的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝2时，y＝﹣1+3＝2，故D′H＝4﹣2＝2；△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′＝×D′H×OB′＝×2×4＝4．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE ＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】（1）利用全等三角形的性质可得EF＝HG，EH＝FG，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，可求∠FEH＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．24．如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．（1）求∠ACO的正切值；（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x 轴，求m的值．【分析】（1）先求出点A，点C坐标，可得OA＝1，OC＝2，即可求解；（2）由余角的性质可得∠ACO＝∠CBF，可得tan∠CBF＝tan∠ACO＝，可求BF＝4﹣2t，即可求解；（3）由“AAS”可证△BCF≌△AEH，可得AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，可求点D坐标，由反比例函数的性质可得（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t），可求t的值，即可求解．解：（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点A（﹣1，0），点C（0，2）∴OA＝1，OC＝2，∴tan∠ACO＝＝；（2）∵四边形ACBE是矩形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF，∵OF＝t，∴CF＝2﹣t，∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，∴BF＝4﹣2t，∴点B（4﹣2t，t）；（3）如图，连接DE，交x轴于H点，∵DE⊥x轴，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF ＝90°，∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，∴△BCF≌△AEH（AAS）∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，∵点A（﹣1，0），∴点H（3﹣2t，0），∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），∵点D，点B都在反比例函数y＝上，∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝；∴点B（，）∴m＝×＝．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝5，cos B＝，点O是边BC上的动点，以OB为半径的⊙O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN＝∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；（2）分别联结AN、MD，当AN∥MD时，求MN的长；（3）将⊙O绕着点M旋转180°得到⊙O'，如果以点N为圆心的⊙N与⊙O和⊙O'都内切，求⊙O的半径长．【分析】（1）如图1中，连接EM．想办法证明EM垂直平分线段AB，推出MB＝MA，再证明AM＝AF，求出BM即可解决问题．（2）想办法证明四边形AMDN是等腰梯形即可解决问题．（3）由点N为圆心的⊙N与⊙O和⊙O'都内切，推出NM⊥BC，此时点E与A重合，求出BM 即可解决问题．解：（1）如图1中，连接EM．∵BM是⊙O的直径，∴∠BEM＝90°，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝，∵cos∠B＝＝，∴BM＝，∵EM⊥AB，EB＝EA，∴MA＝MB＝，∴∠B＝∠BAM，∵AMC＝∠B+∠BAM＝∠AMF+∠CMF，∠CMN＝∠BAM，∴∠AMF＝∠∠B＝∠CMN，∵AD∥BC，∴∠AFM＝∠AMF，∴AF＝AM＝，∴DF＝AD﹣AF＝5﹣＝．（2）如图2中，∵AB＝DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠C，由（1）可知∠AMN＝∠B，∴∠AMN＝∠ADN，∴A，M，D，N四点共圆，∵AN∥DM，∴∠ANM＝∠NMD，∴＝，∴AM＝DN，∵AN∥DM，∴四边形AMDN是等腰梯形，∴MN＝AD＝5．（3）如图3中，∵点N为圆心的⊙N与⊙O和⊙O'都内切，∴NM⊥BC，∵AD∥BC，∴MN⊥AF，∴∠AFM＝90°由（1）可知：∠BAM＝∠CMN＝∠AFM，∴∠BAM＝90°，∴此时点E与A重合，∵cos B＝＝，∴BM＝，∴⊙O的半径为．。
2020上海二模高三数学含答案
浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分。
1.设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案】{}22.某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 . 【答案】1003.若函数12()f x x =，则1(1)f −= .【答案】14.若1i −是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q += .【答案】05.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比 . 【答案】81:6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =−⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 .【答案】相交7.若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()nn x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= .【答案】158.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 . 【答案】12222=−y x9.从(,4)m m N m *∈≥且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = .【答案】1010．已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++−的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 . 【答案】{}1 11、如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+，若ABC 的面积为2，则AP 的最小值为 . .【解析】1323AP t AC AB t AC AB =+=+，21133t t ∴+=∴=设||,||AC b AB C ==11sin 2222ABC S bC A bc ∆==⋅⋅=，6bc ∴=22222c 91112os 26932AP AC AB AC AB b c π∴⎪⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅=++⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1(269)2bc ≥+=||min AP ∴=【点评】此题与2019长宁嘉定二模第10题相似 在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若ABC，3ACB π∠=，则CP 的最小值为 .【解析】4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABCS=可得4,2,CA CBCA CB ⋅=∴⋅=222214148393927CP CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14161642,392793CA CB CP ⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅+=∴≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=++， 1n n n b a b +=+−，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133−【解析】()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+−+=，12n n n a b −=()1122,n n n n n n n a b a b a b ++++∴=+=113323nn n n nn n n n n a b c b b a a ⎛⎫+∴=+==⨯ ⎪⎝⎭2020202120206133313S ⎡⎤−⎣⎦∴==−−二、选择题（本大愿满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分，13．若x y 、满足01,0x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【答案】.B14.如图，正方体1111A B C D ABCD −中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案】.C15.已知函数()cos cos ,f x x x =⋅ 给出下列结论： ① ()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心(),0;2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭③ 若()()12,f x f x =则()12;x x k k Z π+=∈④ 不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,.88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.A ①② .B ②③④ .C ①③④ .D ①②④【答案】D16.设集合{1,2,3,,2020}S =⋯，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集元素个数之和为（ ）7070.711949.21949.2371949.2721949x A B C D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】C【解析】n 和71n +为最小和最大元素的子集有702个其中1,2,,70n n n +++每个元素出现次数是692所以n 和71n +出现次数是702,这些子集元素个数之和为69707070222372⨯+⨯=⨯ -11949n ∴≤≤，所以总的元素个数之和为702371949⋅⋅，故选C .三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120︒得到的. （1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示【解析】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形． 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ． （2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C −．所以，()222−−=,,FP ，()231−−=,,AC设异面直线FP 与CA 所成的角为α=αcos 426+=所以，异面直线FP 与CA 所成角426+=αarccos【点评】考察几何体体积的计算公式，比较常规。
2020上海高三数学二模汇编-排列组合与概率统计含答案
排列组合与概率统计一、排列组合1、【2020年徐汇区二模第11题】如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是【答案：34解析：枚举比较，可知按如图方式行走，遇见行人最少。
】二、二项式定理、组合数运算2、【2020年长宁区二模第3题】()51x +的二项展开式的第三项的系数是 _______________． 【答案：10】3、【2020年嘉定区二模第4题】4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为【答案： 40 】4、【2020年青浦区二模第4题】若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．【答案：2】 5、【2020年徐汇区二模第7题】二项式52x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项等于 . 【答案：5 】6、【2020年松江区二模第5题】若的展开式中项的系数为，则实数= ． 8()x a +5x 56a【答案：1 】7、【2020年宝山区二模第8题】已知1()2n x x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 【答案：638- 】 8、【2020年崇明区二模第6题】241(2)x x +的展开式中含5x 项的系数是 （用数字作答）【答案：32】9、【2020年虹口区二模第7题】若25(ax的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案： 12-】10、【2020年闵行区二模第6题】在 81x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案：28】11、【2020年浦东新区二模第7题】若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()n n x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= . 【答案：15】12、【2020年杨浦区二模第10题】设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案：10解析：(2n +的二项展开式中，有理项系数之和为02222n n nn C C -++⋅⋅⋅，无理项系数之和为113322n n n n C C --++⋅⋅⋅，作差即01122332222(21)1n n n n n n n n n C C C C ----+-+⋅⋅⋅=-=，∴当有理项的系数之和为29525，则无理项的系数之和为29524，即所有项系数之和为59049，令1x =，∴35904910n n =⇒=。
上海市徐汇区2020年高三第二学期期中(二模)学科质量检测数学试题(word解析版)
【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.
2.不等式 的解集是_________
【答案】
【解析】
【分析】
整理不等式为 ,进而求解.
【详解】由题, ,即 ,则 ,
解得 或 ,
故答案为:
【点睛】本题考查解分式不等式,注意分母不为0,属于基础题.
3.函数 的最小正周期为___________
【答案】6
则方程为 ,即 ,
所以 , ,
则 ,
故答案为:
【点睛】本题考查实系数方程的应用,考查复数的运算.
5.方程 在 上的解是________
【答案】
【解析】
【分析】
由 可得 , ,再由 的范围确定结果.
【详解】由 可得 , ,
因为 ,且 ,
所以 ,
故答案为:
【点睛】本题考查已知三角函数值求角,考查反三角函数.
【详解】由题,因为 ,为指数函数,
由 ,所以该函数单调递增,
故选:D
【点睛】本题考查指数函数的图象,考查数学模型的应用.
14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可得该几何体为圆柱的一半,进而求解即可.
【详解】由图,该几何体为圆柱的一半,
【解析】
【分析】
假设从点 往回走到点 处，根据图形，从点 处出发，前两条路遇见的人数可能为 ，或 ，或 ，由此可确定前两条路的走法,进而同理分析，即可得到满足条件的路径，再计算得到结论.
【详解】要使得遇见的行人总数最小，此人应从点 处向上或向右走,即不能后退或向左走，
现在假设从点 往回走到点 处，结合图中数据，观察可得满足条件的路径如图所示：
上海市徐汇区2020届高三数学下学期学习能力诊断卷 理
上海市徐汇区2020届高三第二学期学习能力诊断卷数学（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数()41xf x =-的反函数1()fx -= 。
2、设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃= 。
3、若事件A 与B 相互独立，且1()()2P A P B ==，则()P A B ⋂= 。
4、系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是 。
5、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =，则角C 的大小为 。
6、已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为 。
7、在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则2lim(1)nn a a a →∞++++=L 。
8、一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量ξ表示随机摸得一个球的得分，则随机变量ξ的均值为 。
9、在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．10、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。
11、设a 为非零实数，偶函数2()1()f x x a x m x R =+-+∈在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 。
12、方程0x y +=所表示的曲线与直线y x b =+有交点，则实数b 的取值范围是 。
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为M n，集合M n中的元素个数为a n，求证：；（3）设g（x）=x+a，h（x）=，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．2020年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：23=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ．【分析】求出C的直角坐标系方程，然后根据极坐标方程进行转化即可．【解答】解：，曲线C的标准方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y+4=4，则x2+y2﹣4y=0，则ρ2﹣4ρsinθ=0即ρ=4sinθ，故答案为：ρ=4sinθ【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．【分析】连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE，证明C1O即为所求．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE．∵BD⊥平面A1C1CA，BD⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面A1C1CA，∵平面BDE∩平面A1C1CA=OE，C1F⊥OE，∴C1F⊥平面BDE．△C1OE中，C1E=3，C1O=，EO=，∴C1O2+EO2=C1E2，∴C1O⊥OE，即O，F重合，∴点C1到平面BDE的距离为．故答案为：．【点评】本题考查点C1到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．【分析】由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．【解答】解：由f（x）=（）x+x﹣5=0得（）x=5﹣x，由g（x）=log x+x﹣5的得log x=5﹣x，分别作出函数y=（）x，y=5﹣x和y=log x的图象，∵y=（）x和y=log x的图象关于y=x对称，则（）x=5﹣x，与log x=5﹣x的根关于y=x对称，由得，即两直线的交点坐标为（，），则=，=，即x1+x3=5，x2+x4=5，则x1+x2+x3+x4=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=16．【分析】由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S5的最大值a=1+2+4+8+16=31，最小值为b=1+2+3+4+5=15．则a﹣b=16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3] ．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为9．【分析】设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积的不同数值，比较结果后得答案．【解答】解：∵四面体A1A2A3A4是正四面体，∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为，每一对相对棱的中点连线相等均为．当i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值有：=a2，，，，，，，，．当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，依次求得数量积的不同数值，比较结果后得数量积的不同数值有，0，共9个．故答案为：9．【点评】本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【分析】有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．（2）化简复数z1，z2对应的向量分别是，，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）z1z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得θ=．sec2θ==﹣2．（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（λ﹣）（﹣λ）=0，∵2+2=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（λ﹣）（﹣λ）=λ（2+2）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[，]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】熟练掌握z1z2∈R⇔虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=12n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+ [（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+ [（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+ [（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2020，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2020，故（2m﹣1）=2020﹣m，而（214﹣1）＞2020，（212﹣1）＜2020﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x |μ（x +log 2x ）＞m }，B=（，2），若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围； （2）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ）（n ∈N +）上的值域为M n ，集合M n 中的元素个数为a n ，求证： ；（3）设g （x ）=x +a ，h （x ）=，若对于x 1，x 2（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据μ（x ）的定义，A ∩B ≠∅，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，可得m ＜3；（2）由g （x ）=μ（x μ（x ）），依次求出数列{a n }的前5项，再归纳出a n =a n ﹣1+n ，利用累加法求出a n ，运用数列的极限的计算公式，即可得证；（3）对于x 1，x 2∈（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），即有g （x 1）＞h （x 2）max ，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g （x ）的最大值为4，讨论x ∈（2，3]，当x ∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a 的范围．【解答】解：（1）由题意可得x ＞0，且x +log 2x 在（，2）递增，即有﹣1＜x +log 2x ＜3，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，由A ∩B ≠∅，可得m ＜μ（x +log 2x ）的最大值，即有m ＜3，即m 的范围是（﹣∞，3）；（2）证明：由题意易知：当n=1时，x ∈（0，1]，所以μ（x ）=1，所以μ（x μ（x ））=1，所以M 1={1}，a 1=1；当n=2时，x ∈（1，2]，所以μ（x ）=2，所以μ（x μ（x ））∈（2，4]，所以M 2={1，3，4}，a 2=3；当n=3时，x ∈（2，3]，所以μ（x ）=3，所以μ（x μ（x ））=μ（3x ）∈（6，9]， 所以M 3={1，3，4，7，8，9}，a 3=6；当n=4时，因为x ∈（3，4]，所以μ（x ）=4，所以μ（x μ（x ））=μ（4x ）}∈（12，16]，所以M 4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a 4=10；当n=5时，因为x ∈（4，5]，所以μ（x ）=5，所以μ（x μ（x ））=μ（5x ）∈（20，25]， 所以M 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a 5=15， 由此类推：a n =a n ﹣1+n ，所以a n ﹣a n ﹣1=n ，=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得a n=，可得===；（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由g（x）=，当x=时，x2﹣5x+7取得最小值，sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有3a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有4a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得9，可得4a＞9，即为a＞．综上可得a＞3．【点评】本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．。