第七章 生活中的轴对称 复习
第七章生活中的轴对称期末复习课_课件
复习目标 列表 讲解 题型 达标 归因 强化
谈谈收获
6. ① 如图, AB//CD,∠ACD的角
平分线交AB于E,想一想△ACE
是什么三角形.
A
EB
3
1 2
C
D
讲解
复习目标 列表 讲解 题型 达标 归因 强化
谈谈收获
7. ②如图, ∠ABC、∠ACB的平分 线相交于F, 过F作DE//BC交AB于D, 交AC于E,若AB=9cm, AC=8cm, 则 △ADE的周长是多少?
第七章生活中的轴对称 期末复习课
本章知识结构
轴
线段
对
称
角
生
图
活
形
等腰三角形
中
的 轴
两个图形成轴对称
对
称
镜面对称
轴 对 称 轴对称 的 的应用 性 质
特殊的轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、 等腰梯形和圆都是轴对称图形。有的 轴对称图形有不止一条对称轴。
4. 小明照镜子的时候，发现T恤上的英
——数学就在你身边
2、社区服务部为了方便居民取 奶，要在街道上修建一个奶站， 给住宅A区和B区的居民供奶
B区
A区
街道
（1）奶站建在街道的什么位 置才能使它到A区和B区的距离 之和最短？
B区
A区 街道 O M
C
怎么建 呢？为 什么？
（2）如果想使这个奶
站到A区和B区的距离相等，
应将它建在街道的什么位置
A
AB=AD+DB=AD+DF
AC=AE+EC=AE+EF D FE
B
C
题型
复习目标 1.如图: 点B、C、D、E、F在 列 表 ∠MAN的边上, ∠A=15o, 讲 解 AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF
复习课：生活中的轴对称
【知识梳理】2. 等腰三角形的判定：①②③3.等腰三角形性质：①等边对；②三线合一：③对称轴：条.4.等边三角形判定：①②③5.垂直平分线：①性质定理：；②判定定理：；6.角平分线：①性质定理：；②判定定理：；【典例解析】例1．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使P A+PC最小；【变式】1．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，（在图形中标出点P）例2．如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为．【变式】2．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为．3．已知等腰三角形的两边之和为8，且这两边之差为2，则该等腰三角形周长是．例3．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．（1）如图①，求证：ABDACDS ABS AC=△△；（2）如图①，求证：AB DBAC DC=（3）如图②，若BD＝CD，求证：AB＝AC；（4）如图③，若AB＝5，AC＝4，BC＝6．求BD的长．例4．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点I，过点I作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N.若AB＝14cm,AC＝10cm,求△AMN的周长.【变式】4．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC 于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．【变式】5．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？1．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为cm．2．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC＋PD最小时，∠PCD ＝°．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB 上的动点，则BM＋MN的最小值是．A。
北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总
北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB求作：AB的垂直平分线。
作法：（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径作弧两弧相交于点和D；（２）作直线D．则直线D就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AB，求作：射线P,使∠AP＝∠BP（即P平分∠AB）。
作法：（1）在A和B分别截取，N使=N（2）分别以、Ｎ为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交∠AB内于Ｐ；（3）作射线P。
射线P就是∠AB的角平分线。
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)知识要点梳理轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线线段的垂直平分线轴对称实例等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【例2】下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（）三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
【例3】如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB 于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A. ①B. ②C. ①②D.①②③四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
【例4】下列各语句中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等【变式4】有公路l1异侧、l2同侧的两个村庄A，B，如图．高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有（）处．五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识讲解
数学是科学的大门和钥匙--培根
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚。
生活中的轴对称(复习)
第七章生活中的轴对称<复习）一、知识点：1、<1）、轴对称：对于—————个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成————————，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
b5E2RGbCAP<2）、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做，这条直线叫做p1EanqFDPw2、常见简单的轴对称图形：<完成填空）3、轴对称的性质：<1）对应点所连的被对称轴<2）对应线段； <3）对应角。
如图，是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB的对应线段是，EF的对应线段是。
∠C的对应角是连结CE交L于O，则⊥，且=4、等腰三角形的性质：<1）<2）；<3）是图形,它的对称轴是。
<4）“三线合一”指顶角的、底边上的、底边上的重合。
5、等边三角形的性质：<1）三边； <2）三角且都为度；<3）具有三角形的一切性质。
6、角平分线的性质：角的平分线上的，到的相等。
如图1，BM平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，则= ；若PD=3，则PE=——7、线段的垂直平分线<即中垂线）性质：线段的垂直平分线上的，到的相等。
如图，MN是AB的中垂线，点P在MN上，则PA=8、利用轴对称设计图案：要求：会设计图案，会说出一些图案的含义9、镜面对称的有关性质：<1）任何一个平面图形<物体）在镜子中的像与它是可以重合的。
因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。
DXDiTa9E3d<2）若一个平面图形正对镜面，则其左<右）侧在镜中的像是其———<<<———）侧；<3）若一个平面图形<物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；像与物体到镜面的距离—————；像与物体的对应点连线被镜面———————。
北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观． 举一反三：【变式】如图，△ABC 的内部有一点P ，且D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠C ＝50°，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝（ ）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P 1（3，0）．（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径； （2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．【答案】 解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， ∴点P 的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm ，求BD 的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵D E是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF +12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+P F=CH ，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°，ACD123B 5 E∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10° ∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形 ∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10° ∴AD ＝BD ＝DE ＝EC ∴∠AEC ＝160°， ∴∠DEC ＝140° ∴∠DCE ＝20° ∴∠ACD ＝30° 类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.。
生活中的轴对称(复习课)
课题
生活中的轴对称<复习课一）
设计者
马庚飞
授课人
使用班级
使用人姓名
学习
目标
１、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结的归纳，构建本章知识结构框架，使所学知识系统化；
２、巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形的性质，并能运用这些性质解决问题.
求证：BC+DC=AC.
7、如图，△ABC是等边三角形，D是AB上的一点，以CD为一边作等边三角形CDE，
使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，试说明：AE∥BC
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
重点、难点
重点：巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形
难点：进一步地学习有条理地思考和表达能力
教学过程
一、等腰三角形性质及应用
<）等腰三角形是图形；
<2）等腰三角形的两个底角；<等边对等角）
<3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高(简称“”>，它们所在直线都是等腰三角形的。
1、如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM=
2、如图，已知：在 中，D、E是BC上的两点，且 ， ， ， ，则 _____
3、如图，若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20o,则∠FEB=______
4、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36o，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交
BC于E，EF∥BD交CD于F，则图中等腰三角形的个数为
7下 生活中的对称轴知识点 盛哥版
第七章生活中的轴对称一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
注意：有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．2、理解轴对称图形要抓住以下几点：1）指一个图形；2）存在一条直线（对称轴）；3）图形被直线分成的两部分互相重合；4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；3、简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．3、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
但全等图形不一定成轴对称。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、对称轴是对应点的垂直平分线，对应点的连线互相平行。
6、如果两点所连线段被一条直线垂直平分，那这两点关于这条直线对称。
如果轴对称的两个图形看作二、角是轴对称图形1）角是轴对称图形如图（1），设OC是∠AOB的角平分线，若沿着OC将∠AOB对折，则∠AOC与∠BOC 能够完全重合，因此，角是轴对称图形，而角平分线所在直线就是它的对称轴，也只有这一条对称轴。
2）点到直线的距离如图（2），设A为直线l外一点，过点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB的长叫做点A到直线l的距离，而当A在直线l上时，我们认为A到直线l的距离为0。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
生活中的轴对称知识点总结基础变式提高
生活中的轴对称知识点基础变式提高1. 轴对称的定义和特点轴对称是指物体相对于某条直线呈镜像对称的性质。
在轴对称中，对称轴是将物体分成两个完全对称的部分的直线。
当物体沿对称轴旋转180度后，两个部分重合。
轴对称的特点包括: - 对称轴将物体划分成两个完全对称的部分。
- 物体沿对称轴旋转180度后，两个部分完全重合。
- 对称部分的形状、大小和位置完全相同。
常见的生活中的轴对称物体包括: - 人类的身体，如左右两半身体的对称性。
-动物中的某些部分，如蝴蝶的翅膀、鱼的鳞片等。
- 自然界中的某些物体，如树木、花朵等。
2. 轴对称的基础变式在轴对称的基础上，可以进行一些变化和变式。
以下是常见的轴对称基础变式:(1) 缩放缩放是指物体在保持形状不变的情况下，按比例调整大小。
在轴对称中，可以通过缩放操作改变物体的大小，但保持对称性不变。
例如，可以通过改变身体的大小来使得左右两个部分保持对称。
(2) 旋转旋转是指围绕某个中心点进行旋转操作。
在轴对称中，可以通过旋转操作改变物体的朝向，但保持对称性不变。
例如，可以通过旋转翅膀的朝向来改变蝴蝶的姿态，但仍然保持左右对称。
(3) 平移平移是指将物体沿着某个方向移动一定距离。
在轴对称中，可以通过平移操作改变物体的位置，但保持对称性不变。
例如，可以通过将花朵从一侧移动到另一侧来改变其位置，但仍然保持轴对称。
(4) 反射反射是指将物体沿着与对称轴垂直的方向进行镜像翻转。
在轴对称中，可以通过反射操作改变物体的形状，但保持对称性不变。
例如，可以通过将人的左右半身进行镜像翻转来改变其形状，但仍然保持轴对称。
3. 轴对称的提高要提高轴对称的认知和能力，可以进行以下练习和活动:(1) 观察生活中的轴对称物体通过观察周围的事物，找出其中具有轴对称性的物体。
例如，找出家具、建筑物、植物等中具有轴对称性的部分，并思考它们的特点和变化。
(2) 绘制轴对称图案使用纸和铅笔，绘制具有轴对称性的图案。
生活中的轴对称复习课
谈谈你对本章的学习图 形
角 等腰三角形
中
的
两个图形成轴对称
轴
对
称 镜面对称
轴
对 称 轴对称 的 的应用
性 质
1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称
图形的是（ C）
A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
2、小明照镜子的时候，发现T恤上的英
文单词在镜子中呈现“
”的样子，
请你判断这个英文单词是（ A ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则
∠C是多少度？
L
A
40
C
B
D
65
F E
判断 1、 一个角的角平分线就是
这个角的对称轴.( ×)
2、 直线BD是长方形
ABCD的对称×轴.( )
A
D
B
C
3、“有一个等腰三角形的两条边长 分别是4cm和8cm，则当腰长为4cm时， 这个等腰三角形的周长为16cm；当腰 长为8cm时，这个等腰三角形的周长 为20cm。”这个说法正确吗？为什么？
4 、如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线
交AC于P,一个同学马上就得到PA=PC,你
A
D FE
AB=AD+DB=AD+DF AC=AE+EC=AE+EF
AD+DE+AE=AD+DF+
B
C FE+AE=AB+AC=9+8=
17
2、某居民小区搞绿化,要在一块长方形 空地上建花坛,现征集设计方案,要设计 的图案由圆和正方形组成( 圆与正方形 的个数不限),并且使整个长方形场地成 轴对称 ,请在下边长方形中画出你的设 计方案.
第7课时 《生活中的轴对称》单元复习
数学
解:因为 AB=AC,AD⊥BC, 所以∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°. 又因为 AD=AE,所以∠ADE=������������������°���−��� ������������°=70°. 所以∠CDE=90°-70°=20°.
返回
数学 3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=36°,DE 是线段 AB 的垂直 平分线,DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E.求∠EBC 的度数.
他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律?请叙
述出来与同伴交流.
返回
数学
解:(1)对称点有A和A',B和B',C和C'. (2)连接AA',直线m是线段AA'的垂直平分线. (3)延长线段AC与A'C',它们的交点在直线m上,其他对应线段 (或其延长线)的交点也在直线m上,即若两线段关于直线m对 称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴 上.
返回Biblioteka 数学解:因为 M,N 分别是点 P 关于 AO,BO 的对称点, 所以 ME=PE,NF=PF, 所以 MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF 的周长. 因为△PEF 的周长等于 20 cm,所以 MN=20 cm.
返回
数学 13.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD,CE 是高,BD 与 CE 相交于点 O.
第一章 三角形的证明
第7课时 《生活中的轴对称》单元复习
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01 精 典 范 例 02 变 式 练 习 03 巩 固 训 练
数学
精典范例
【例1】如图,△ABC和△A'B'C'关于直线m对称.
生活中的轴对称复习(改)
03
轴对称在生活中的应用
建筑艺术中的轴对称
古代建筑
古代建筑如故宫、颐和园等， 广泛采用轴对称布局，彰显出 庄重与和谐之美。
现代建筑
现代建筑如摩天大楼、体育场 馆等，也常运用轴对称设计， 营造出平衡与稳定的感觉。
园林设计
园林设计中，轴对称布局能够 形成明确的视觉焦点，引导视 线，增强空间层次感。
自然界中的轴对称现象
轴对称与中心对称联系与区别
对称轴与对称中心
旋转角度
轴对称是关于一条直线（对称轴）的 对称，而中心对称是关于一个点（对 称中心）的对称。
轴对称图形可以通过沿对称轴翻折来 重合，而中心对称图形需要绕对称中 心旋转180度来重合。
对称பைடு நூலகம்的位置
在轴对称中，对称点位于对称轴的两 侧且等距；在中心对称中，对称点以 对称中心为原点，方向相反且等距。
01
02
03
植物
很多植物的花朵、叶子等 部分呈现出轴对称特征， 如蝴蝶兰、百合等。
动物
一些动物的身体结构也体 现了轴对称，如蝴蝶的翅 膀、蜻蜓的体态等。
晶体
晶体结构中常常出现轴对 称现象，如雪花、钻石等。
科技产品中的轴对称设计
交通工具
汽车、飞机等交通工具的 设计中，轴对称有助于提 高稳定性和视觉效果。
电子产品
手机、电脑等电子产品的 外观和界面设计，也常采 用轴对称元素，营造出简 洁、时尚的感觉。
机械设计
在机械设计中，轴对称结 构有助于提高机械性能和 使用寿命。例如，轴承、 齿轮等零部件的设计。
04
轴对称与中心对称关系
中心对称定义及性质
定义
对称中心的唯一性
若一个二维图形关于某一点旋转180度后， 能与自身重合，则该图形称为中心对称图 形，该点称为对称中心。
北师大版七年级数学《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识讲解(含答案)
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）责编：康红梅【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．【答案】解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为（5，0）．故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•P E ，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ， 则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°， ∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE =又,AB AC AE =Q ∴垂直平分BC ． ∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全ACD123B 5 E等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.11。
生活中地轴对称(知识点总结材料 基础 变式 提高)
实用标准文案知识要点梳理轴对称分类轴对称图形 轴对称生活中的轴对称轴对称实例角平分线 线段的垂直平分线 等腰三角形 等边三角形轴对称的性质轴对称的性质 镜面对称 的性质图 案设计 轴对称的应用镶边与剪纸 一、轴对称图形 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴。
2 、理解轴对称图形要抓住以下几点： （1）指一个图形； （2）存在一条直线（对称轴）； （3）图形被直线分成的两部分互相重合； （4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条； （5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； 【例 1】要 在 一 块 长 方 形 的 空 地 上 修 建 一 个 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的花坛，下列图案中不符合设计要求的是（ ）文档大全实用标准文案二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段 ；轴对称图形轴对称区别 是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作 一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【例 2】下 列 四 个 判 断 ： ① 成 轴 对 称 的 两 个 三 角 形 是 全 等 三 角 形 ； ② 两 个 全 等 三角 形 一 定 成 轴 对 称 ；③ 轴 对 称 的 两 个 圆 的 半 径 相 等 ；④ 半 径 相 等 的 两 个 圆 成 轴 对称，其中正确的有（ ）三、角平分线的性质 1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
北师大版生活中的轴对称复习
（3）等腰△ABC中有一
个角为50°，那么
另外两个角分别是
多少？
B
C
2、如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)∵AD⊥BC ∴∠ B__A_D_= ∠_C_A_D__;_B__D_=__C_D_ (2) ∵AD是中线
∴_A__D_⊥_B__C_; ∠_B__A_D_= ∠_C_A__D_ B
(3) ∵ AD是角平分线 ∵_A__D_ ⊥_B__C_;__B_D__=_C__D_
线段垂直平分线性质
• 线段的垂直平分线是线段的一条对称轴 • 线段垂直平分线上的点到这条线段的两
端距离相等
如图，已知AD是BC的中垂线，所能 得到的结论是：
你能根据现有条件，推得 ∠ABD=∠ACD
如图，在△ABC中，AB=AC=16cm， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AC 于 D， 如 果 BC=10cm， 那 么 △ BCD 的 周 长 是 _______cm.
• 对称轴：这一条直线叫对称轴
• 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 则称这个图形是轴对称图形。
• 成轴对称：如果两个图形沿一条直线对 折后，它们能完全重合，则称这两个图 形成轴对称
• 对称轴：这一条直线叫对称轴
常见图形的对称轴
• 角：1条。（角平分线所在的直线） • 线段：2条。（线段的垂直平分线和它本身） • 等腰三角形：1条。（底边上的中线或高或顶角平分线） • 等边三角形：3条。（三边上的“三线合一”） • 长方形（矩形）：2条。（对边中点所在直线） • 正方形：4条（两对边中点和两对角线所在直线） • 正n边形：n条 • 圆：无数条
A DC
如图，P、Q是△ABC边上的两点， BP=PQ=QC=AP=AQ，
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第七章 生活中的轴对称（复习）
一、 知识点：
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相
重合，那么这个图形叫做 ，这条直线叫做 . 2、常见简单的轴对称图形：（完成填空）
3、等腰三角形的性质：
（1）两腰 ； （2）两底角 ； （3）是 图形；
（4）“三线合一”。
指顶角的 、底边上的 、底边上的 重合。
4、等边三角形的性质：（1）三边 ； （2）三角 且都为 度；
（3）具有等腰三角形的一切性质。
5、角平分线的性质：角的平分线上的一点，到这个角的两边的 相等。
如图1，BM 平分∠ABC ，PD ⊥AB ，PE
⊥
BC
，
则
= ；若PD=3，则PE= . 6、线段的垂直平分线（即中垂线）性质：
线段的垂直平分线上的一点，到线段的两端点
的 相等。
如图2，MN 是AB 的中垂线，点P 在MN 上，则PA= 7、轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴
（2）对应线段 ； （3）对应角 。
如图，是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的 两个图形，则AB 的对应线段是 ，
EF 的对应线段是
∠C 的对应角是 连结CE 交L 于O ， 则 ⊥ ，且 = . 8、利用轴对称设计图案：
要求：会设计图案，会说出一些图案的含义. 9、镜子改变了什么：会从镜中物体推断现实物体。
二、 巩固练习：
1、下列各图哪些是轴对称图形，是轴对称图形的画出它的对称轴：
D
2、将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺平，
你可见到（ ）
3、下列图形中,不是轴对称图形的是( )
(A)线段MN (B)等边三角形ABC (C)钝角∠ADB (D)直角三角形 4、△ABC 中，AC=BC ，∠A=30°，则∠C= . 5、△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，则∠B= . 6、等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为 . 7、等腰三角形的一个角为96°，则它的底角为 . 8、如图，△ABC 中，AB=AC.
（1）若∠1=∠2，BD=3cm ，则BC= cm; （2）若AD ⊥BC ，CD=5cm ，则BD= cm; （3）若BD=CD ，∠1=20°，则∠BAC= . 9、裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠， 使D 点落在BC 边上的F 点处，若∠BAF=60°， 则∠DAE= .
10、在△ABC 中，∠C=90°，AD 的平分∠BAC 交BC
于D ，点D 到AB 的距离为7 cm ，CD= .
11、在△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，∠A=40°，
则∠CDB= ，∠CBD= .
12、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°，则∠DAC= .
13、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠CAD=10°，则∠B= .
14、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，DE 是AB 的中垂线，则∠DBC= .
15、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=6 cm ，BC=5 cm ，则△BDC 的周长为 .
16、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果 △BDC 的周长为9cm ，且AB=5 cm ，则△ABC 的周长为 .
17、在0~9中不管如何放置，镜中的像都和原来数字一样的是
18、在“工、木、口、民、公、晶、离”这几个汉字中，是轴对称的有 . 19、一位足球运动员穿着 号球衣走到镜子前，他发现在镜中球衣号码变成了
20. 字符 在水中的倒影为 .
21、在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图示，这时的时间应是( )
（A）21：05 （B）21：15 （C）20：15 （D）20：05
三、解答下列各题：
1、分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半，并说明完成后的图形可能代表什么含义.
2、利用两个圆、两个三角形、两条平行线设计一个轴对称图案，并加上一两句贴切、诙谐的解说词。
3、你见过打台球吗？某同学打台球时想通过打击主球A，经过桌边MN反弹回撞击彩球B，请画出主球A击打在桌边MN何处才能达到目标？。