新教材人教A数学必修二课件：6.3.5平面向量数量积的坐标表示

(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法， 另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是 等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择 坐标法.
【习练·破】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 =(2，3)， =(3，t)，
| |=1，则
A.-3
B.-2
= (C.Au2uBur )
D.3
4
10
4
类型一 数量积的坐标运算
【典例】1.(2019·岳阳高一检测)已知向量a=(2，1)，
b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k= ( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，
则
的值为________；
的最大值为
________.
uuur uuur DEgCB
(1)向量模的公式：设a=(x1，y1)，则|a|=
.
两= 点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)x，12＋则y12| |
uuur AB
(x2 x1)2＋(y2 y1)2 .
(2)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b= (x2，y2)，a与b 夹角为θ， 则cos θ=
agb ＝ x1x2＋y1y2 . | a |g| b | x12＋y12 x22＋y22
【思考】 | |的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样 吗？为什么？
提式Au示 是uBur ：完全| 一|的致计的算，公实式际与上解| 析|几即何为中A，两B点两间点的间距的离距公离.
uuur AB
uuur AB
3.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则|a|=________，a与 b的夹角为________.
【解析】a·b=3×1+(-1)×(-2)=5，|a|=
|b|=
32＋(1)2＝ 10，
设a与b的夹角为θ，则cos θ=
又0≤θ12≤＋(π2)，2＝所5以，θ=
答案：
agb ＝ 5 ＝ 2 . | a |g| b | 10g 5 2
uuur uuur DEgDC
【思维·引】1.利用数量积的坐标运算列出方程，解 方程可得； 2.建立适当的坐标系求解.
【解析】1.选D.2a-b=(4，2)-(-1，k)=(5，2-k)，由 a·(2a-b)=0，得(2，1)·(5，2-k)=0，所以10+2-k =0，解得k=12.
2.以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐
【解析】(1)√.由向量数量积的定义可知正确. (2)×.a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (3)×.因为当x1y2-x2y1=0时，向量a，b的夹角可能为0° 或180°.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.已知a=(1，-1)，b=(2，3)，则a·b= ( )
A.5
B.4
C.-2
D.-1
【解析】选D.a·b=(1，-1)·(2，3)=1×2+(-1)×3= -1.
3.向量垂直与共线的条件： 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2). (1)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
【思考】 向量垂直与共线的条件很相近，你觉得怎样记忆比较 好呢？ 提示：两个命题比较接近，可以对比记忆，分别简记 为：垂直是横横纵纵积相反，共线是纵横交错积相等.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示： 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
【思考】 向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注 意什么？ 提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在 解题时要注意坐标的顺序.
2.向量的模与夹角的坐标表示：
设P(x，y)，3则 =(-x， -y)，
=(-1-x，-y)， =(1-x，-y).
所以
=(-2xPuu，Aur -2y). 3
uuur AC
uuur
uuur uuur
BC
ABgBC
【又因解为析】| 选C|.=因1，为即Bu1uCur2+(AutuC-ur3)Au2u=Bur12=，(1解，得t-t3=)3， ，
所以 =u(uur1，0)，故
=2.
BC
uuur
uuur uuur
BC
ABgBC
2.已知向量a=(-1，2)，b=(3，2)，则a·b=________， a·(a-b)=________. 【解析】a·b=(-1，2)·(3，2)=(-1)×3+2×2=1， a·(a-b)=(-1，2)·[(-1，2)-(3，2)]=(-1，2)·(-4， 0)=4. 答案：1 4
标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设
E(t，0)，t∈[0，1]，则 =(t，-1)， =(0，-1)，
所以 =(t，-1)·(0，-1)=1.
因为 =(1，0)，所以 =(t，-1)·(1，0)=t
≤1，故 的最大值为1.DuuEur
uuur CB
uuur uuur DEgCB
uuur DC
uuur uuur DEgDC
uuur uuur DEgDC
答案：1 1
【内化·悟】 1.要求两向量的数量积需要求哪些量？ 提示：需要求两个向量的坐标. 2.已知两个向量的数量积怎样求所含参数？ 提示：利用数量积的公式列出关于参数的方程(组)，解 方程(组)即可.
【类题·通】
关于向量数量积的运算 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+ y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的 联系.
【加练·固】
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC
内一点，则
的最小值是 ( )
A.-2
B.-
C.-
D.-1
uuur uur uur PAg(PB PC)
3
4
2
3
【解析】选B.以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立 平面直角坐标系，如图.
可知A(0， )，B(-1，0)，C(1，0).
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
() (2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2-y1y2=0.
()
(3)两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，满足x1y2x2y1=0，则向量a，b的夹角为180°. ( )