08-09高数B(上)B答案

（答案要注明各个要点的评分标准） 一、填空题：（每小题3分，共15分） 1. 3； 2. ()0f x '； 3. sin sin cos ln x x x x x x ⎛

⎫+

⎪⎝⎭； 4. x C + ； 5. 2

3

. 二、选择题：（每小题3分，共15分）

1).B 2).D 3).B 4).A 5).B 三、计算题（本大题共50分）

1．解：原式 01

1lim 2cos 2x x x →+= -------------------------------------------------------- 3分

1

2

= -------------------------------------------------------- 3分 2. 解：当0x ≠时， ()0cos 0

x

e x

f x x

x ⎧<'=⎨

>⎩ -------------------------------------2分

当0x =时，0()(0)(0)lim

x f x f f x --→-'=-01lim 1x x e x -→-== --------------------5分 0

0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x

+

++→→-'===- --------------------------8分 ∴()0cos 0

x

e x

f x x

x ⎧≤'=⎨

>⎩ ------------------------------10分

3．解： 22

1

1122

1dy dy t dt x dx t dx dt t -+===+ -------------------------------------4分

2

2

2

21

12()()2241d y d dy d t t

t dx dx dx dx t t

+====+ ----------------------------8分 4.解： 2111dx dx x x =

++⎰⎰原式 ---------------------------------------3分

a r c t a n l n x x C =+

+ ---------------------------------6分

5.解：（1）原式()sin sin sin x

x

x

e d x e x xe dx ==-⎰

⎰

-----------------------------2分

()sin cos sin s s x

x x x

x

e x e d x e x e co x co xe dx =+=+-⎰

⎰

----------4分

()1s s i n c o s 2

x x

co xe dx e x x C ∴=

++⎰

---------------------------------6分

（2

t =，则2dx tdt = --------------------------------------2分

原式 2

12

1t

dt t =+⎰ 211121t dt t +-=+⎰ --------------------------------------4分

2211221t

dt dt t

=-+⎰⎰

()()2

122ln 121ln 3ln 2t =-+=-+⎡⎤⎣⎦ ----------------------------6分 6.解：函数的定义域为R

()()()261218613f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=得1x =-和3x = ()1212f x x ''=- 令()0f x ''=得1x = ------2分 列表讨论

6分

综上讨论知，函数()f x 的单调递减区间为()1,1-+和(1,3)，单调增区间为(),1-∞-和

()3,+∞，极大值为()117f =-，极小值为(3)47f =-；

凹区间为(1,3)和()3,+∞，凸区间为(),1-∞-和()1,1-+；拐点为()1,15- -----------------8分

四、应用题（10分）

1、平面图形的面积1

31

2

021133

x A x dx ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ ---------------------------------5分

2、所求的体积为()

1

2

20

V dx x ππ

=-⎰1

504

55

x πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ -------------------10分

五、证明题（2个小题，每小题5分，共10分） 1

、解：设1

()1+2

f x x =(0)0f =， ----------------------------2分

又11()1022f x ⎛'=

-=> ⎝，所以当 0x > 时， ()f x 递增， 从而当0x >时，()()00f x f >=. 不等式成立。 ----------------------------5分