平面与圆锥面的截线(课堂PPT)
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圆锥的投影、截交线及轴侧图
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面 与圆锥面的交线有五种形状。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶
θ=90° 90°＞θ＞α
两相交直线
圆
椭圆
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
2 . 圆锥体的截交线
轴 测 图
PV
投 影 图
形式
圆
PV
PV PV
PV
椭圆
抛物线 双曲线 三角形
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法）
素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
上一级
4.辅助素线法求截交线
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投 影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求
解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
截交线的
空间形状
截？C交E线D的B 投影特性
A？源自文库
a●
●
c
e
●
●d
●
b
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶
θ=90° 90°＞θ＞α
两相交直线
圆
椭圆
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
2 . 圆锥体的截交线
轴 测 图
PV
投 影 图
形式
圆
PV
PV PV
PV
椭圆
抛物线 双曲线 三角形
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法）
素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
上一级
4.辅助素线法求截交线
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投 影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求
解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
截交线的
空间形状
截？C交E线D的B 投影特性
A？源自文库
a●
●
c
e
●
●d
●
b
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
平面与圆锥面的截线 课件
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
在截口上任取一点 P，连接 PF1、PF2，过点 P 和圆 锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q1、Q2，
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
OF1＝tanO∠O1F1O1 F1＝tanr
. β
在 Rt△O2F2O 中，
OF2＝tanO∠O2F2O2 F2＝tanR
. β
所以 F1F2＝OF1＋
R＋r
OF2＝ tan
. β
R＋r
同理，O1O2＝ sin
则 PF1＝PQ1，PF2＝PQ2， 所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2. 由于 Q1Q2 为两圆 S1、S2 所在平行 平面之间的母线段长， 因此 Q1Q2 的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对 值为常数．
归纳升华 判断平面与圆锥面的截线形状的方法如下： 1．求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹 角 β； 2．判断 α 与 β 的大小关系； 3．根据定理 2 判断交线是什么曲线．
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修21
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
抛物线
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
教材内容概述
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平面与圆柱面、 圆锥面的截线： 人教A选修(9)中 的主要内容
截线的定义：平 面与圆柱面、圆 锥面的交线
截线的分类：直 线、曲线、点
截线的性质：长 度、角度、面积 、体积等
教材结构及特点
特点：以几何图形为基础， 通过图形的截线来理解几何 体的性质
教材结构：分为平面与圆柱 面、圆锥面的截线两部分
曲线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线不平行， 则截线为曲线
点截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线垂直，则 截线为点
平面与圆锥面的截线 课件
当 β>α 时，由上面的讨论可知， 平面 π 与圆锥的交线是一个封闭曲 线．设两个球与平面 π 的切点分别为 F1、F2，与圆锥相切于圆 S1、S2.
在截面的曲线上任取一点 P，连接 PF1、PF2.过 P 作母线 交 S1 于 Q1，交 S2 于 Q2，于是 PF1 和 PQ1 是从 P 到上方球的 两条切线，因此 PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正 射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的 正射影．
1．下列说法正确的是
()
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆 解析：正射影是平行射影的特例，则选项 A 不正确，选项 B
答案：3 2 2
5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为 2 的 圆，另一平面与圆柱的轴成 30°角，求截线的长轴、短轴和 离心率．
解：由题意可知椭圆的短轴为 2b＝2×2， ∴短轴长为 4. 设长轴长为 2a，则有22ba＝sin 30°＝12，
∴2a＝4b＝8.e＝ac＝ 23.
Leabharlann Baidu
∴长轴长为
平行射影
[例 1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行
射影是
()
A．椭圆
B．圆
在截面的曲线上任取一点 P，连接 PF1、PF2.过 P 作母线 交 S1 于 Q1，交 S2 于 Q2，于是 PF1 和 PQ1 是从 P 到上方球的 两条切线，因此 PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正 射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的 正射影．
1．下列说法正确的是
()
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆 解析：正射影是平行射影的特例，则选项 A 不正确，选项 B
答案：3 2 2
5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为 2 的 圆，另一平面与圆柱的轴成 30°角，求截线的长轴、短轴和 离心率．
解：由题意可知椭圆的短轴为 2b＝2×2， ∴短轴长为 4. 设长轴长为 2a，则有22ba＝sin 30°＝12，
∴2a＝4b＝8.e＝ac＝ 23.
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∴长轴长为
平行射影
[例 1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行
射影是
()
A．椭圆
B．圆
高中数学 3.3平面与圆锥面的截线课件 新人教A版选修41
数形结合的主要途径：
栏
目
(1)形转化为数，即用代数方法研究几何问题，这是解决几何问题的
链
接
基本特点．
(2)数转化为形，即根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应
的几何图形，用几何方法解决代数问题．
(3)数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得
直观、简洁．
第十九页，共22页。
在运用数形结合解题时，要注意两点：
目
面 π 与圆锥交线的离心率是___2_____，该曲线的形状是_双__曲__线___．
链 接
第六页，共22页。
栏 目 链 接
第七页，共22页。
题型1 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)的判定
例1 如图，已知平面 π 与圆锥的轴的夹角为 β，圆锥母线与轴的夹角
为 α，求证：β＜α 时，平面 π 与圆锥的交线为双曲线．
①“形”中觅“数”．很多数学问题，需要根据图形寻求数量关
系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．
②“数”上构“形”．很多数学问题，本身是代数方面的问题，
但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现
数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解． 栏
目
在本讲知识的学习中，数形结合发挥了十分重要的作用．
Q1Q2.
栏
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修9
截线的分类： 根据截线的位 置和形状进行
分类
截线的性质： 截线的长度、 角度、面积等
性质
重点难点解析
平面与圆柱面、圆锥面的截线：理解截线的定义和性质 截线的分类：理解截线的分类和特点 截线的计算：掌握截线的计算方法和技巧 截线的应用：理解截线在几何学中的应用和意义
教学方法建议
采用直观教学法，通过实物模型或动画演示，帮助学生理解截线的形成过程。 采用启发式教学法，引导学生思考截线的性质和特点，激发学生的学习兴趣。
的交点
截线与圆锥面的关系
截线与圆锥面的交点：圆锥面的顶点、圆锥面的轴线、圆锥面的侧面 截线与圆锥面的交点：圆锥面的顶点、圆锥面的轴线、圆锥面的侧面 截线与圆锥面的交点：圆锥面的顶点、圆锥面的轴线、圆锥面的侧面 截线与圆锥面的交点：圆锥面的顶点、圆锥面的轴线、圆锥面的侧面
平面与圆柱面、圆锥面 的截线课件制作
课件内容设计
介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线概念 讲解平面与圆柱面、圆锥面的截线分类 举例说明平面与圆柱面、圆锥面的截线应用 提供练习题和答案，帮助学生巩固知识
课件制作技巧
利用图形和动画 来展示截线的形 成过程
制作互动式课件， 让学生自己动手 操作截线
加入实例和练习题， 帮助学生理解和掌 握截线知识
条平行线。
截线与圆柱面的交点：截线与 圆柱面相交时，会产生一个交 点。
4.3.3平面与圆锥面的截线PPT课件
平行射影的概念：
直线 l与平面α相交------ l的方向称投影方向。 点的平行射影：过点A作平行于 l的直线（称 投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 的l方向在
平面 α上的平行射影。
lA
A
.
5
图形的平行射影：
一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。
正射影是平行射影的特例。
G 1 ,交BC于G 2 ，设EF
与BC,CD的交角分别
为φ，θ。
G1 F1
D
F 2Φ G2
ΘF
O2
C
.
11
(1)G 2F 1G 2F2AD
G 2 F 1 G 2 F 2 G 2 B G 2 C B A CD
(2)AD G1G2
G1G 2 G1D F2G 2
EA
O1
G1D G2C
G1D G1 A ?
B A
M
A´
N
点在直线上的正射影
拓展延伸
A
M
A´
B´ N
线段在直线上的正射影
A´
点在平面上的正射影
. 图形在平面上的正射影3
思考：
一个圆所在的平面β与平面α平行时，该圆 在α上的正射影是什么图形？
当β与α不平行时，圆在α上的正射影是什 么图形？
如果 β与α垂直，圆在α上的正射影又是 什么图形？
平面与圆锥面的截线 课件
(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实
轴长2a);
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.
4.圆锥曲线的几何性质
(1)焦点:Dandelin球与平面π的切点.
(2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.
cos
(3)离心率:e=cos.
平面与圆锥面的截线
1.等腰三角形底边上的高线与一条直线的关系
如下图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,∠BAD=α,直线l与AD
相交于点 P,且与 AD 的夹角为 β 0 < <
2
(1)当β>α时,l与AB(或AB的延长线),AC都相交;
(2)当β=α时,l与AB不相交;
(3)当β<α时,l与BA的延长线、AC都相交.
面之间的母线线段长,因此Q1Q2为定值.故由双
曲线的定义知,平面与圆锥的交线是双曲线.
探究二平面截圆锥面截线的几何性质
【例2】一平面截圆锥的截线为椭圆,椭圆的长轴长为8,长轴的
两端点到顶点的距离分别为6和10,则椭圆的离心率为(
)
3
A.5
4
B.5
1
C.2
2
D. 2
解析
如图所示为截面的轴面,则 AB=8,SB=6,SA=10.
cos60°
轴长2a);
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.
4.圆锥曲线的几何性质
(1)焦点:Dandelin球与平面π的切点.
(2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.
cos
(3)离心率:e=cos.
平面与圆锥面的截线
1.等腰三角形底边上的高线与一条直线的关系
如下图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,∠BAD=α,直线l与AD
相交于点 P,且与 AD 的夹角为 β 0 < <
2
(1)当β>α时,l与AB(或AB的延长线),AC都相交;
(2)当β=α时,l与AB不相交;
(3)当β<α时,l与BA的延长线、AC都相交.
面之间的母线线段长,因此Q1Q2为定值.故由双
曲线的定义知,平面与圆锥的交线是双曲线.
探究二平面截圆锥面截线的几何性质
【例2】一平面截圆锥的截线为椭圆,椭圆的长轴长为8,长轴的
两端点到顶点的距离分别为6和10,则椭圆的离心率为(
)
3
A.5
4
B.5
1
C.2
2
D. 2
解析
如图所示为截面的轴面,则 AB=8,SB=6,SA=10.
cos60°
平面与圆锥面的截线 课件
形，叫做这个图形的平行射影．
3．椭圆的定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点 的轨迹叫 做椭圆．
4．两个定理 定理 1：圆柱形物体的斜截口是 椭圆 ． 定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线 的圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行 时，记 β＝0)，则 (1)β>α，平面 π 与圆锥的交线为 椭圆 ； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为 抛物线 ； (3)β<α，平面 π 与圆锥的交线为 双曲线 ．
【解析】 求阴影部分在平面 ADD1A1 上的正射影，则 投影光线与面 ADD1A1 垂直，显然点 D 的正射影为点 D，点 N 的正射影为边 AD 的中点，点 M 的正射影为边 A1A 的中 点．故选 A.
【答案】 A
如图 3－1－3 所示， AB、CD 是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直 的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截面．已知圆 锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，求截面与圆锥的轴线所 夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
图 3－1－3
【思路探究】
【自主解答】 设⊙O 的半径为 R，母线 VB＝l，
Fra Baidu bibliotek
则圆锥侧面展开图的中心角为2πlR＝ 2π，
3．椭圆的定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点 的轨迹叫 做椭圆．
4．两个定理 定理 1：圆柱形物体的斜截口是 椭圆 ． 定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线 的圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行 时，记 β＝0)，则 (1)β>α，平面 π 与圆锥的交线为 椭圆 ； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为 抛物线 ； (3)β<α，平面 π 与圆锥的交线为 双曲线 ．
【解析】 求阴影部分在平面 ADD1A1 上的正射影，则 投影光线与面 ADD1A1 垂直，显然点 D 的正射影为点 D，点 N 的正射影为边 AD 的中点，点 M 的正射影为边 A1A 的中 点．故选 A.
【答案】 A
如图 3－1－3 所示， AB、CD 是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直 的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截面．已知圆 锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，求截面与圆锥的轴线所 夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
图 3－1－3
【思路探究】
【自主解答】 设⊙O 的半径为 R，母线 VB＝l，
Fra Baidu bibliotek
则圆锥侧面展开图的中心角为2πlR＝ 2π，
平面与圆锥面的截线 课件
{"code":"InvalidRange","message":"The requested range cannot be satisfied.","requestIdΒιβλιοθήκη Baidu:"83923026-9278-4ecf-9560-17c6d9863400"}
3.3平面与圆锥面的截线ppt
S1
Q1 F1 F2
S2
P
Q2
当 时,由上面的讨论可知 , 图3 11 平面 与圆锥的交线是一个封 闭曲线 .设两个球与平面 的切 点分别为 F1、F2 , 与圆锥相切于圆 S1、S2 .
在截口的曲线上任取一 点 P, 连接 PF1、PF2 .过 P 作母线交 S Q S1 于 Q1 , 交 S2于Q2 , 于是 PF1和 F PQ1是从 P到上方球的两条切 F P S 线,因此 PF1 PQ1 . Q 同理, PF2 PQ2.所以 PF1 PF2 PQ1 PQ2 Q1Q2 . 图3 11 由正圆锥的对称性 , Q1Q2长度 等于两圆 S1、S 2 所在平行平面间的母线 段的 长度, 与点 P的位置无关 .由此可知截口的曲线 是以 F1、F2为焦点的椭圆 .
1 1 1 2 2 2
探究 如图 3 12 ,
Fra Baidu bibliotek
1 找出椭圆的准线; 2 探讨P到焦点 F1 的距离与 A
到两平面交线m的距离之比.
m
S Q1 B
F1
`
P 如图 3 12, 上面一个 Dandelin 球与圆锥的交线为圆 S , 记圆 S 图3 12 所在的平面为 `.设 与 `的交 线为 m.在椭圆上任取一点 P, 连接 PF1 .在 中过 P作m 的垂线 , 垂足为 A.过P作 `的垂线 , 垂足为 B, 连接 AB, 则AB是PA在平面 `上的射影 . 容易证明, m AB.故 PAB是平面 与平面 `交成的二面角的平面角 .
平面与圆锥面的截线 课件
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
在 Rt△ACB 中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF= 3 PA=2 3 ，
2
2
由面积关系，得 OH= OF OP = 2 6 .
PF
3
已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平 面π与圆锥的交线．
解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
在 Rt△ACB 中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF= 3 PA=2 3 ，
2
2
由面积关系，得 OH= OF OP = 2 6 .
PF
3
已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平 面π与圆锥的交线．
解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
最新人教A版选修4-1高中数学3.3平面与圆锥面的截线公开课课件
图形 语言
作用
确定交线的形状
1
2
3
名师点拨
1.特殊情况:β= , 平面π 与圆锥的交线为圆,如图. 2 2.圆锥曲线的统一性,椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭 图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,因此, 圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的 点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e.
1
2
3
3.圆锥曲线的几何性质 (1)焦点:Dandelin球与平面π的切点. (2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.
(3)离心率:e =
cos������ . cos������
1
2
3
(4)圆锥曲线的几何性质
项目 焦点 准线 离心率 焦距 离心率 椭圆 2个 2条 e=
������������������ β ������������������ α
双曲线 2个 2条 <1 e=
������������������ β ������������������ α
抛物线 1个 1条 >1 e=1
F1F2=2c c2=a2-b2 e=
c a
F1F2=2c c2=a2+b2 e=
c a
2a2 2a2 准线间距 c c 曲线上的点与焦点的关系 PF1+PF2= 2a |PF1-PF2|= 2a
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又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面
CDE 与圆锥的截线为一抛物线． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆
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1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°， 则截面所截得的截线是( A )
是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4. (1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
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解析：(1)∵∠APC=60，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 金品质•高追求 我们让你更放心！
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研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面 π与圆锥的交线．
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A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则截线是( B )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2 π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
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解析：设⊙O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的
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解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
定理，得 cos∠ADE=- 3 . 3
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(2)取 AC 的中点 F，连接 PF、OF，则 AC⊥平面 POF， 从而平面 PAC⊥平面 POF.
过点 O 作 OH⊥PF，垂足为 H，则 OH⊥平面 PAC，故 OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离．
(C )
A. 3
B. 4
5
5
C. 1
D. 2
2
2
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4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通 过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、 ________和________．
5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 ______、________.
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1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β
0
π 2
，则：
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在 Rt△ACB 中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF= 3 PA=2 3 ，
2
2
由面积关系，得 OH= OF OP = 2 6 .
PF
3
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(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹 角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任 取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
中心角为 2πR = 2 ，∴圆锥的半顶角= π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面 VAB，
∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB 为截面 CDE 的轴
面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为 π . 4
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三 平面与圆锥面的截线
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1．理解圆锥面的概念． 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．
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由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
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◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆ 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB
CDE 与圆锥的截线为一抛物线． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°， 则截面所截得的截线是( A )
是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4. (1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
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解析：(1)∵∠APC=60，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 金品质•高追求 我们让你更放心！
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研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面 π与圆锥的交线．
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A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则截线是( B )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2 π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
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解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
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(2)取 AC 的中点 F，连接 PF、OF，则 AC⊥平面 POF， 从而平面 PAC⊥平面 POF.
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(C )
A. 3
B. 4
5
5
C. 1
D. 2
2
2
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4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通 过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、 ________和________．
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1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,
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0
π 2
，则：
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在 Rt△ACB 中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF= 3 PA=2 3 ，
2
2
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(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹 角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任 取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
中心角为 2πR = 2 ，∴圆锥的半顶角= π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面 VAB，
∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB 为截面 CDE 的轴
面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为 π . 4
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由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
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