高二数学期末考试复习专题四
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． ∅ 2．函数)4(log 3-=x y 的定义域为 （ ）A ．RB ．),4()4,(+∞-∞C ．)4,(-∞D ． ),4(+∞3．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．164．在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知3(,sin ),2a α=1(cos ,)3b α=且//,a b 则锐角α的大小为 （ ） A ．4πB ．3πC ．6πD ．125π6．按照程序框图(如右图)执行， 第3个输出的数是( ).A ．3B ．4C ．5D ．67．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．已知函数b x x x f +-=2)(2在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ． R B ．)0,(-∞ C ．),8(+∞- D ．)0,8(-9.若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是( )A ．5B ．6 C.5 D ．611．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为 （ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<12．设函数x x f 6sin )(π=，则)2009()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于( )A ．21B ．23C ．231+ D ．32+二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数1322(),log (21)2x xe xf x x -⎧<=⎨-≥⎩则=))2((f f ．14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．15. 已知5sin =5α则44sin cos αα-的值是 . 16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝ ． 三、解答题：(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高二数学复习 4 (教师用)
2013-2014学年度品尚学校高二数学复习 4考试范围：--；考试时间：100分钟；命题人：万财文考号：___________一、单选题(注释)1、已知向量，若，则实数m等于( )D．0A．－B．C．－或【答案】C【解析】试题分析：∵，∴．考点：平面向量共线的坐标表示．2、不等式的解集是（）A．B．D．C．【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，即，∴不等式的解集为．考点：分式不等式转化为一元二次不等式．3、执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图的描述，是求使成立的最小a值，故选C．考点：程序框图．4、等腰直角三角形中，是斜边的中点，若，则=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),又∵D是BC的中点，∴D(1,1),∴．考点：平面向量数量积的坐标表示．5、下列命题正确的是（）A．B．C．当且时，D．【答案】D【解析】试题分析：A:当c<0时，错误；B：，∴；C:当即时不成立；D：正确．考点：不等式的性质．6、若变量x，y满足约束条件，则z＝5y－x的最大值是( )A．16 B．30 C．24 D．8 【答案】A试题分析：画出如下图可行域，易得A(4,4),B(0,2),C(8,0),又∵z=5y-x，即，∴问题等价于求直线在可行域内在y轴上的最大截距，显然当x=4，y=4时，．考点：线性规划求目标函数最值．7、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状是 ( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】试题分析：∵，由正弦定理，∴，即，又∵,∴，∴△ABC是直角三角形．考点：1、正弦定理；2、三角恒等变形．8、已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合M和集合N，那么“”是“”的（）A．充分非必要条件B．既非充分又非必要条件C．充要条件D．必要非充分条件【解析】试题分析：取，则可得M=，N=，因此不是充分条件，而由M=N,显然可以得到，∴是必要条件．考点：1、不等式的基本性质；2、简易逻辑．9、在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，化简后可得：，∴，又∵，∴，即周长的范围为．考点：1、余弦定理；2、基本不等式．10、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】试题分析：∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．考点：基本不等式．分卷II分卷II 注释(注释)11、已知等差数列前15项的和=30，则=___________．【答案】6 【解析】试题分析：∵等差数列的前15项的和,∴，而．考点：等差数列的性质．12、下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “”,则整数_______．【答案】7【解析】试题分析：∵程序运行结果为S=28,而1+10+9+8=28，∴程序应该运行到k=7的时候停止，因此整数a=7． 考点：程序框图．13、已知非零向量满足，则向量与的夹角为 ．【答案】【解析】试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．考点：平面向量的数量积．14、已知数集，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．若，则= ．【答案】2n-3【解析】试题分析：根据题意分析，A中最小的两个不同元素的和为1+2=3，最大的为n-1+n=2n-1，显然可以取遍从3到2n-1的所有整数，∴M(A)=2N-3．考点：新定义问题15、设实数满足：,则取得最小值时，．【答案】121【解析】试题分析：∵，∴，上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．考点：1、基本不等式；2、不等式的放缩．(注释)16、在中，角所对的边分别为，且满足，．(1)求的面积；(2)若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据满足，，可以求得bc=5，sinA=，利用三角形的面积计算公式可得；（2）由（1），bc=5，结合b+c=6，易得b=1，c=5或b=5，c=1，从而根据余弦定理,即可求得．（1）∵，∴，又由,得，；（2）对于，又，或，由余弦定理得，．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算；3、余弦定理．17、已知关于的不等式的解集为．(1)．求实数a，b的值；(2)．解关于的不等式(c为常数）．【答案】（1）a=1，b=2；（2）当c>2时解集为{x|x>c或x<2}；当c＝2时解集为{x|x≠2，x R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据题意可以得到1，b为方程的两根且a>0，根据韦达定理可以得到方程组，从而求得a=1，b=2；（2）原不等式等价于(x－c)(x－2)>0，根据一元二次不等式的解法，对c进行分类讨论，即可得到当c>2时解集为{x|x>c或x<2}；当c＝2时解集为{x|x≠2，x R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．（1）由题知1，b为方程的两根且a>0，即，∴a＝1，b＝2；（2）不等式等价于(x－c)(x－2)>0，∴当c>2时解集为{x|x>c或x<2}；当c＝2时解集为{x|x≠2，x R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．考点：1、一元二次不等式；2、分式不等式转化为一元二次不等式．18、在分别是角A、B、C的对边，，且．(1)．求角B的大小；(2)．求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）B=；（2）．【解析】试题分析：（1）由，可得，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得，进一步变形化简可得，∴B；（2）由（1）可得，即，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即，从而可以得到sinA+sinC取值范围是．（1）由，得由正弦定理得：，又又又；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故sin A＋sin C的取值范围是．考点：1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．19、已知数列，设数列满足．(1)求数列的前项和为；(2)若数列，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到等比数列的通项公式为，∵，∴，因此是1为首项3为公差的等差数列，从而可以求得的前n 项和；（2）对一切正整数n恒成立，等价于，可以得到数列从第二项起是递减的，而，因此问题等价于求使不等式成立的m的取值范围，从而得到或．（1）由题意知，，又∵，∴∴，∴；（2）由（1）知，∴当n=1时，；当时，，即；∴当n=1时，取最大值是．又对一切正整数恒成立，∴；即．考点：1、等差、等比数列的前n项和；2、数列单调性的判断；3、恒成立问题的处理方法．20、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】试题分析：（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故∴y max＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE 最长．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．21、设正项数列的前项和为，向量，（）满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；(3)．如果等比数列满足，公比满足，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，求公比的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）由可以得到，即，利用，可得，即是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求得通项公式；（2）由是等差数列可得，即，整理得，根据m,t是正整数，所以t-1只可能是1,2,4，从而解得；（3）易知，因为仍是该数列中的某一项，所以是该数列中的某一项，又是q的几次方的形式，所以也是q的几次方的形式，而，所以，所以只有可能是q，，所以，所以．（1）∵，∴，∴①当n=1，有，是正项数列，∴当，有②，①-②，得，，∴，∴数列以，公差为2的等差数列，；（2）易知，∵是等差数列，即，∴，整理得，∵m,t是正整数，所以t只可能是2,3,5，∴；易知，∵仍是该数列中的某一项，记为第t项，∴，即，∵，∴，，又∵，∴只有t-k=1，即，解得考点：1、数列的通项公式；2、数列综合．。
2021年高二数学第二学期期末复习试卷 文(四)(含解析)
2021年高二数学第二学期期末复习试卷文（四）（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数（i是虚数单位）=（）A． 2 B．﹣2 C． 2i D．﹣2i2．若集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则M∩N=（） A． {x|﹣2＜x＜2} B． {x|x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|1＜x＜3} 3．函f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是（）A．偶函数 B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数4．已知等差数列{an }中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，记Sn=a1+a2+…+an，则S13=（）A． 78 B． 152 C． 156 D． 1685．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（） A． B． C． D．6．已知，则2x+y的最大值是（）A． 3 B． C． 0 D．﹣37．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形8．北京xx年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A． 10米 B． 30米 C． 10米 D．米9．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题10．已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二.填空题（每小题5分，共20分.）11．中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为．12．如图，是一程序框图，则输出结果为K= ，S=（说明，M=N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：=N）13．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．其中正确的序号是．选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.【参数方程与极坐标】14．（参数方程与极坐标）已知F是曲线（θ∈R）的焦点，，则|MF|的值是．【几何证明选讲】15．如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP= °．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．17．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．18．如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分，求这两部分的体积之比．19．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%．（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为a n万元，旅游业收入为b n万元，写出a n，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？20．如图，已知圆C：x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心率．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=﹣2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．21．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．（Ⅰ）已知函数（其中），过f（x）图象是任意一点R的切线l将正方形ABCD截成两部分，设R点的横坐标为t，S（t）表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积，求S（t）的解析式；（Ⅱ）试问S（t）在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，请说明理由．xx学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二（下）期末数学复习试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数（i是虚数单位）=（）A． 2 B．﹣2 C． 2i D．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先利用完全平方差公式计算分子的值，再计算分式的值，注意虚数单位i注意 i2=﹣1．解答：解：复数===﹣2，故选 B．点评：本题考查复数代数形式的乘法和除法法则．2．若集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则M∩N=（）A． {x|﹣2＜x＜2} B． {x|x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|1＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集定义和不等式性质求解．解答：解：∵集合M={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．函f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是（）A．偶函数 B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：综合题．分析：先看函数的定义域是否关于原点对称，否则是非奇非偶函数，在定义域关于原点对称时，考查f（x）与f（﹣x）的关系，依据奇偶函数的定义，做出判断．解答：解：函数的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=2﹣x ﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是奇函数，故选 B．点评：本题考查奇偶函数的定义和判断方法，一定要先看函数的定义域是否关于原点对称，然后考查f（x）与f（﹣x）的关系．4．已知等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，记S n=a1+a2+…+a n，则S13=（）A． 78 B． 152 C． 156 D． 168考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：两式相加结合等差数列的性质可得a7=12，而S13=13a7，代值计算可得．解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，∴（a3+a7﹣a10）+（a11﹣a4）=（a3+a11）﹣（a4+a10）+a7=8+4=12，由等差数列的性质可得a3+a11=a4+a10，∴a7=12，∴S13===13a7=13×12=156故选：C．点评：本题考查等差数列的性质和前n项和公式，属基础题．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故选A．点评：本题是基础题，考查三视图的视图能力，空间想象能力，计算能力，送分题．6．已知，则2x+y的最大值是（）A． 3 B． C． 0 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，1）时的最大值，从而得到z最大值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内点A（1，1）时z最大，最大值为3，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形考点：平面向量数量积的运算；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC 的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．解答：解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴2B=A+C又∵A+B+C=180°∴B=60°设D为BC边上的中点则=2又∵∴=0∴即△ABC为等腰三角形，故△ABC为等边三角形，故选：B点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．8．北京xx年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A． 10米 B． 30米 C． 10米 D．米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．9．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据常用逻辑用语中有关充要条件的判断方法、特称命题否定的叙述、原命题与其否命题真假之间的关系、三角函数运算相关知识进行各命题真假的判断．解答：解：当x=1成立时有x2=1成立，∴“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件，故A错；当“x=﹣1”成立时有（1）2﹣（﹣1）×5﹣6=0即“x2﹣5x﹣6=0”成立当x2﹣5x﹣6=0成立时，不一定有x=﹣1成立故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错；命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定应为：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是正确的，故D正确；故选D．点评：本题考查命题真假的判断，考查常用逻辑用语的基本知识，考查三角函数的运算，解决该类问题的关键是逐一对各个说法进行辨析，考查学生的转化与化归能力．10．已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：利用零点就是两函数图象的交点，再利用图象得结论．解答：解：因为函数在（0，+∞）上是减函数，又因为f（c）＜0＜f（a）＜f（b），所以a＜b＜c，又因为零点就是两函数图象的交点，在同一坐标系内画出函数y=与y=lnx的图象，如图a、b、c，d的位置如图所示只有②③成立．故可能成立的有两个．故选B．点评：本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．二.填空题（每小题5分，共20分.）11．中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：待定系数法．分析：设双曲线方程为 +=1，由5= ①，和 = ②，解方程组求得 a2，b2的值．解答：解：设双曲线方程为 +=1，由题意得 c=5= ①，= ②，由①②得 a2=16，b2=9，故所求的双曲线方程为﹣=1，故答案为：﹣=1．点评：本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程的方法，以及双曲线的简单性质得应用．12．如图，是一程序框图，则输出结果为K= 11 ，S=（说明，M=N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：=N）考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是输出满足条件S=++…++的值．解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+，K=3第2次循环：S=+，K=5第3次循环：S=++，K=7第4次循环：S=++…+，K=9第5次循环：S=++…++，K=11此时，K＞10输出K=11，S=++…++=．故答案为：11，．点评：本题主要考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行，属于基础题．13．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．其中正确的序号是②④．考点：独立性检验；分层抽样方法；线性回归方程．专题：计算题．分析：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位；k2=13.079，其两个变量间有关系的可能性是90%以上．解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，故①不正确，②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确，③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，故③不正确，④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．④正确故答案为：②④点评：本题考查独立性检验，考查分层抽样方法，考查线性回归方程，考查判断两个相关变量之间的关系，是一个综合题目，这种题考查的知识点比较多，需要认真分析．选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.【参数方程与极坐标】14．（参数方程与极坐标）已知F是曲线（θ∈R）的焦点，，则|MF|的值是．考点：椭圆的参数方程．专题：计算题．分析：先利用二倍角公式进行化简，然后消去参数θ得到曲线方程，求出抛物线的焦点坐标，根据两点的距离公式求出|MF|的值即可．解答：解：y=1+cos2θ=2cos2θ=2•化简得x2=2y∴F（0，）而，∴|MF|=故答案为：点评：本题主要考查了抛物线的参数方程，以及两点的距离公式的应用等有关基础知识，属于基础题．【几何证明选讲】15．如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP= 30 °．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据切割线定理写出比例式，代入已知量，得到PE的长，在直角三角形中，根据边长得到锐角的度数，根据三角形角之间的关系，得到要求的角的大小．解答：解：连接OD，则OD垂直于切线，根据切割线定理可得PD2=PE•PF，∴PE=2，∴圆的直径是4，在直角三角形POD中，OD=2，PO=4，∴∠P=30°，∴∠DEF=60°，∴∠DFP=30°，故答案为：30°点评：本题考查圆的切线的性质和证明，考查直角三角形角之间的关系，是一个基础题，题目解答的过程比较简单，是一个送分题目．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；平面向量数量积的运算；单位圆与周期性；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．解答：解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．点评：本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．17．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．分析：（1）由茎叶图中茎表示十位数，叶表示个数数，我们可以列出甲、乙两名篮球运动员各场的得分，进而求出甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）由表中数据，我们易计算出甲、乙两名篮球运动员各场的得分的方差S甲2与S乙2，，然后比较S甲2与S乙2，根据谁的方差小谁的成绩稳定的原则进行判断．（3）我们计算出从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数，然后再计算出其中甲的得分大于乙的基本事件个数，代入古典概率计算公式，即可求解．解答：解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23（2分）（2）∵（3分）（4分）（5分）∴S甲2＜S乙2，从而甲运动员的成绩更稳定（8分）（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是：甲得（14分）有3场，甲得（17分）有3场，甲得（15分）有3场甲得2（4分）有4场，甲得2（2分）有3场，甲得2（3分）有3场，甲得3（2分）有7场，共计26场（11分）从而甲的得分大于乙的得分的概率为（12分）点评：本题考查的知识点是茎叶图，中位数，方差的计算及应用，古典概型等知识点，解题的关键是根据茎叶图的茎是高位，叶是低位，列出茎叶图中所包含的数据，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．18．如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分，求这两部分的体积之比．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）依题意通过计算，以及平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理，证明CD⊥平面PAD．（Ⅱ）设N是AB的中点，连接MN，依题意，证明PA⊥面ABCD，MN⊥面ABCD，计算与，得到V PADCM=V PADCB﹣V MACB，求出V PADCM：V MACB=两部分体积比．解答：证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，∴AD⊥AB，又CD∥AB∴CD⊥AD（3分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由面面垂直的性质定理知，CD⊥平面PAD（6分）（Ⅱ）解：设N是AB的中点，连接MN，依题意，PA⊥AD，PA⊥AB，所以，PA⊥面ABCD，因为MN∥PA，所以MN⊥面ABCD．（8分）（10分）（11分）所以，（12分）V PADCM：V MACB=两部分体积比为2：1（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%．（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为a n万元，旅游业收入为b n万元，写出a n，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列，进而求出a n，b n的表达式．（Ⅱ）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n﹣a n＞0，解得n的取值范围即可．解答：（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列．所以，，（Ⅱ）解，经过n年，总收投入，经过n年，总收入，设经过n年，总收入超过总投入，由此，T n﹣S n＞0，＞0，化简得，设代入上式整理得，5x2﹣7x+2＞0，解得，，或x＞1（舍去），由，n=4时，=，n=5，=，因为在定义域上是减函数，所以 n≥5，答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入．点评：本小题主要考查数列的基本应用、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．如图，已知圆C：x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心率．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=﹣2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）直接求出a再利用离心率求出c即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）先设出点P的坐标，利用条件求出点Q的坐标，再求出k OP和k PQ的表达式，利用点P 在圆上，可以得直线PQ与圆C保持相切．解答：解：（Ⅰ）因为，所以c=1（2分）则b=1，即椭圆E的标准方程为（4分）（Ⅱ）当点P在圆C上运动时，直线PQ与圆C保持相切（6分）证明：设P（x0，y0）（），则y02=2﹣x02，所以，，所以直线OQ的方程为（9分）所以点Q（﹣2，）（11分）所以（13分）又，所以k OP⊥k PQ=﹣1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C相切（14分）点评：本题是对圆和椭圆的综合考查．在做这一类型题目时，一定要画出图象，利用图象来分析问题．21．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．（Ⅰ）已知函数（其中），过f（x）图象是任意一点R的切线l将正方形ABCD截成两部分，设R点的横坐标为t，S（t）表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积，求S（t）的解析式；（Ⅱ）试问S（t）在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，请说明理由．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）讨论切点位置，得到不同的切点位置对应的面积解析式；注意讨论要全面；（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式分析各段的单调性，全等最值．解答：解：（Ⅰ）设R（t，f（t））（其中），f（x）图象上的两端点为又，所以过点R（t，f（t））的切线l的方程为：…（2分）（ⅰ）当切点为时，，切线l为：，切线l与CD的交点坐标为．当切线过点D（0，1）时，…（4分）故当时，切线l与CD相交，此时正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（6分）（ⅱ）当切线过点B（1，0）时，当时，切线l与AD，AB都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S（t）=…（7分）（ⅲ）当切点为时，切线l为：，切线l与BC的交点坐标为故当时，切线l与AD，BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（9分）综上所述：…（10分）（Ⅱ）解：当，，故S（t）在上递增，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（11分）当时，，S（t）在上递减，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（12分）故当，成立…（13分）综上所述：S（t）在定义域上存在最大值，不存在最小值．…（14分）．点评：本题考查了分段函数进行是求法与函数的最值求法；借助于导数的几何意义、利用单调性求最值；考查了学生的计算能力；属于难题．*228394 6EEA 滪UNh'25630 641E 搞<)39110 98C6 飆24375 5F37 強-33667 8383 莃。
高二数学下学期期末复习4苏教版
江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学下学期期末复习4（无答案）苏教版【复习目标】1. 理解二项式定理及其展开式的特点，二项开展式的通项公式及二项式系数的性质；2. 能灵活运用通项公式、组合数的性质解题，提高应用意识和分析问题、解决问题的 能力.【课前温习】一.回归课本，知识梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)， 这个公式叫做_____ _____． ①二项展开式：右边的多项式叫做 (a ＋b )n 的二项展开式．②项数：二项展开式中共有____ ____项．③二项式系数：在二项展开式中_____ _____(r ＝____________)叫做二项式系数． ④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________. 2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ； (4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.二.基础训练1. (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________．2．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________． 3．已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)4. 12323...n nn n n n C C C C ++++= 5. 若多项式21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则=9a .【典型例题】例1已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．例2 在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和；(6)求展开式中二项式系数最大的项；(7)求展开式中系数最大的项．例3 求证：(1)32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2)3n >(n ＋2)·2n －1 (n ∈N *，n >2)【课时小结】江苏省泰兴中学高二(理科)数学复习作业（4） 班级: 姓名: 学号： 1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为________. 2.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值为________.3.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ________.4.(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数为70，则a ＝________. 6.若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________.7.在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有____项.8. (1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________. 9. 若a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4，则a 3－a 2＋a 1＝______.10.对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a 0×2k ＋a 1×2k －1＋a 2×2k －2＋…＋a k －1×21＋a k ×20，当i ＝0时，a i ＝1，当1≤i ≤k 时，a i 为0或1.记I (n )为上述表示中a i 为0的个数(例如：1＝1×20,4＝1×22＋0×21＋0×20，故I (1)＝0，I (4)＝2)，则(1)I (12)＝____ __；(2)12712()n I n =∑＝____ __. 11. 设,0>a 若12(1)n ax +的展开式中含2x 项的系数等于含x 项的系数的9倍,且展开式中第3项等于135x ,求a 的值.12. (1)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4；②求a0＋a2＋a4；③求a1＋a2＋a3＋a4.(2)求证：32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)．13.已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高二数学期末考试复习专题四
高二数学期末考试复习专题四《不等式》第二课时深圳市新安中学 吕正军【知识要点】（Ⅰ）其他不等式1.分式不等式的解法：①移项（使右边为 ）；② ；③因式分解（使最高次项系数为 ）；④转化为整式不等式__________________0)()(⇔ x g x f ⎩⎨⎧⇔≥_________________________________________0)()(x g x f __________________0)()(⇔ x g x f ⎩⎨⎧⇔≤_________________________________________0)()(x g x f 2、高次不等式的解法：_____________________（画出近似的函数图像）步骤：①因式分解（使x 的系数为正）；②标根（注意空心圈、实心圈，穿根的口诀是___ __________________）3、其他可转化为一元二次不等式的不等式，如：1）6-≥x x 2）51-≥+x x 3） 642-≥x x 4）62-≥x x5） 0)(2>+⋅+⋅C a B a A x x 6）0log )(log 2>+⋅+⋅C x B x A a a上述不等式都可利用______________________法转化为一元二次不等式求解。
（Ⅱ）含参数的不等式，对参数分类讨论的原则如下：当二次项系数含参数时，按参数符号进行分类讨论：二次项系数000 ，，=； 否则，若能因式分解（可求根），但两根大小无法判断时，按 进行讨论： ，，=；若又不能因式分解时，按 进行讨论：000 ∆∆=∆，，；不论哪类讨论，最后一定要（Ⅲ）一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔ ．a x f <)(恒成立⇔a x f >)(恒成立⇔（IV ）不等式的证明1． 步骤：①作差；②将差式化简变形；③确定符号2． 以一个显然成立的不等式为基础，利用不等式的性质不断恒等变形得到。
高二数学下学期期末考试试题 理含解析 试题 4
2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.i 是虚数单位，那么12ii-的虚部是〔 〕 A. -2 B. -1C. i -D. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12ii-的虚部是1-． 应选B ．【点睛】此题考察复数的运算和复数的根本概念，解答此题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对根本概念的理解和掌握，属于根底题．2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解〞的假设中，正确的选项是〔 〕A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【答案】C 【解析】分析：把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否认成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕至多有两个解〞的否认是：“至少有三个解〞， 应选：C ．点睛：此题主要考察用命题的否认，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，是解题的打破口，属于中档题．()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，那么'(2)f 的值是〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.【点睛】此题考察对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：那么哪位同学的试验结果表达A 、B 两变量有更强的线性相关性〔 〕A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，那么相关性越强。
高二期末数学试卷复习
一、复习目标1. 巩固和深化对高中数学知识点的理解，提高解题能力。
2. 提升对数学思维方法和技巧的掌握，提高数学思维能力。
3. 培养良好的解题习惯，提高应试能力。
二、复习内容1. 函数与导数（1）函数的概念、性质、图像（2）函数的单调性、奇偶性、周期性（3）函数的复合、反函数、分段函数（4）导数的概念、性质、计算（5）导数的应用：切线、曲线、最值2. 解析几何（1）直线方程、圆方程（2）直线与圆的位置关系（3）圆锥曲线方程、性质、应用（4）参数方程、极坐标方程3. 立体几何（1）点、线、面、体的基本性质（2）空间向量及其运算（3）空间几何体的体积、表面积（4）空间几何体的位置关系4. 概率与统计（1）随机事件、概率、条件概率（2）排列组合、二项式定理（3）离散型随机变量及其分布（4）正态分布、抽样分布（5）统计方法：均值、方差、标准差5. 不等式（1）不等式的基本性质（2）一元二次不等式（3）不等式的解法：分离参数、换元、因式分解、配方法（4）不等式组的解法6. 复数（1）复数的概念、运算（2）复数的几何意义（3）复数的应用三、复习方法1. 系统复习：按照复习内容，逐一梳理知识点，形成完整的知识体系。
2. 重点突破：针对易错点、难点，进行针对性练习，提高解题能力。
3. 总结归纳：对解题过程中遇到的问题和经验进行总结，形成解题技巧和方法。
4. 模拟练习：通过模拟考试，检验复习效果，查漏补缺。
5. 反思总结：对练习过程中的错误和不足进行反思，不断改进。
四、复习时间安排1. 第一阶段（第1周）：全面复习函数与导数、解析几何、立体几何。
2. 第二阶段（第2周）：全面复习概率与统计、不等式、复数。
3. 第三阶段（第3周）：进行模拟考试，查漏补缺。
4. 第四阶段（第4周）：复习重点、难点，巩固知识点。
五、注意事项1. 保持良好的作息，保证充足的睡眠。
2. 合理安排时间，确保复习效果。
3. 保持积极的心态，树立信心。
专题04 高二数学期末考试重组10套【理】【江苏版】第四套(解析版)
专题04 高二数学期末考试重组10套【理】【江苏版】第四套一、填空题1．【江苏省南京市六校联合体2017-2018学年高二下期末理】命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题．．．是____命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题为“若复数为纯虚数，则”，它是真命题.2．【江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下期末】两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．【答案】【解析】在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．3．【江苏省泰州市2017-2018学年高二下期末】某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为______．【答案】【解析】由频率分布直方图得：每天在校平均开销在元的学生的频率为：，每天在校平均开销在元的学生人数为：．故答案为：330．4．【江苏省盐城市2017-2018学年高二下期末】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．【答案】.【解析】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含种基本事件，所以所求概率为.5. 【江苏省泰州市2017-2018学年高二下期末】若展开式中的第7项是常数项，则n的值为______．【答案】【解析】的展开式的第七项为，由于第七项为常数项，则，解得，故答案为：106．6. 【江苏省无锡市2017-2018学年高二下期末理】用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”．【答案】至少有个交点【解析】命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，结论的反面为“与轴至少有个交点”.7．【江苏省宿迁市2017-2018学年高二下期末理】在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为__________．【答案】1 【解析】可化为，点到直线：，的距离为2，，又，.故答案为：1.8.【江苏省淮安市2016--2017学年高二下期末理】已知矩阵，则的逆矩阵_____________.【答案】【解析】由题意可得： ,则的逆矩阵.9. 【江苏省淮安市2016--2017学年高二下期末理】甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为___________. 【答案】【解析】两人译出密码的概率为 ,三人译出密码的概率为,据此有：至少两人译出密码的概率为 .10．【江苏省如皋市2016-2017学年高二下期末理】已知,x y 满足约束条件30{20x x y x y -≤+≥-≥，则2221z x y y =+++的最小值是___________.【答案】92【解析】化简()221z x y =++，由上图可得当圆与可行域相切时得最小值，故 2min92z == .11．【江苏省南京市高淳区2016-2017学年高二下期末】在ABC 中, 2,6,60a b B ===，则c =_____.【答案】1+【解析】22226222cos6023201c c c c c =+-⨯⨯⇒--=⇒=+ （舍负） 12．【江苏省南京市六校联合体2017-2018学年高二下期末理】观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.【答案】【解析】根据题意，观察各式可得： 第①式中，； ②式中，第③式中，；…规律可表示为：即答案为.13．【江苏省南京市高淳区2016-2017学年高二下期末】已知()12,1{32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________．【答案】1【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设[]sin ,0,1t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时， R λ∈ ；当(]0,1t ∈ 时max 133,444t t λλλ⎛⎫≥-=∴≥ ⎪⎝⎭的最小值为1. 14．【江苏省无锡市2017-2018学年高二下期末理】在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上第一象限的点，为坐标原点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则四边形的面积的最大值为__________． 【答案】【解析】，当到直线距离最远的时候取得的最大值，设直线，所以，故的最大值为.二、解答题15．【江苏省如皋市2016-2017学年高二下期末理】已知命题p ：方程220x ax a ++=有解；命题q ：函数()()12,0{221,0xx f x a x x ⎛⎫-≤ ⎪=⎝⎭-->在R 上是单调函数. （1）当命题q 为真命题时，求实数a 的取值范围；（2）当p 为假命题， q 为真命题时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2a >;(2) 28a <<. 【解析】（1）由题意得()020{ 12202a a -<⎛⎫-≥-⋅ ⎪⎝⎭，得2a >.（2）命题p 为真命题时实数a 满足2:420a a ∆=-⋅≥，得8,0a a ≥≤， 若p 为假命题， q 为真命题时，则实数a 满足 08{2a a <<>，得28a <<.16．【江苏省淮安市2016--2017学年高二下期末理】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为，曲线D 的参数方程为（为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线D 的参数方程化为普通方程； （2）若点P 为直线（为参数）上的动点，点Q 为曲线D 上的动点，求P,Q 两点间距离的最小值.【答案】（1）x －y ＋3＝0. （2）【解析】（1）因为曲线的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为：x －y ＋3＝0. 因为曲线的参数方程为 (α为参数).所以曲线的普通方程为（2）将直线方程化为普通方程 ，圆D ：的圆心到直线的距离,所以的最小值为17．16．【江苏省南京市高淳区2016-2017学年高二下期末】在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC＝90°， E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点． （1）求证：直线EF∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD⊥平面BCC 1B 1．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点,所以11////,,,//EF A B AB AB ABD EF ABD EF ABD ⊂⊄∴面面面（2）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以1AB BB ⊥ ,又∠ABC ＝90°，所以11AB BB C C ⊥面 ,因此平面ABD ⊥平面BCC 1B 1．18．【江苏省无锡市2017-2018学年高二下期末理】将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想. 【答案】（1）；（2）见解析．【解析】 （1）解：，，，，猜想；（2）证明：①当时，猜想成立. ②设时，命题成立，即，由题意可知.所以，，所以时猜想成立.由①、②可知，猜想对任意都成立.19．【江苏省宿迁市2017-2018学年高二下期末理】假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X．（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率；（2）求随机变量X的概率分布与数学期望E(X)．【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为.（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5.当时，表示射击两次，且连续击中目标，；当时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，；当时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，；当时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中.；随机变量的数学期望.20．【江苏省南京市六校联合体2017-2018学年高二下期末理】已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）m≥－（2）（3）m∈[－1 ，1]【解析】(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（2），由题或当时，，无极值，舍去.所以（3）由对任意的x1，x2∈[－1，1]，有| f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得f max(x)－f min(x)≤2．且| f(1)－f(0)|≤2，| f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，f max(x)－f min(x)= | f(1)－f(－1)|≤2成立．②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；同理f(x)在(－1，－ m)，(0，1)上单调递增，f(－m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(－m)－f(1)= m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)= m2－1＜0，则h(m)在(0，1] 上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－m)＜f(1)，又f(－1)= m－1+m2≤m2=f(0)，仅当m=1时取等号.所以f max(x)－f min(x)= f(1)－f(－1)=2成立．③同理当m∈[－1 ，0)时，f max(x)－f min(x)= f(1)－f(－1)=2成立．综上得m∈[－1 ，1]．。
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷4
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷高二第二学期期末质量检查第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜．．．．．寻任务的小孩．．．．．．须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．．．．．．．．．．．。
则不同的搜寻方案有（ ） A ．40种 B ．70种 C ．80种 D ．100种2.使得()*1N n x x x n∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中含有常数项的最小的n 是（ ） A.4 B.5 C.6 D.73.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E(X)=（ ）A.125126B. 56C. 125168D. 574.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为（ ）A.73B.35C.53 D ．755.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈，i 为虚数单位，则m ni +=（ ） A. 2i - B.12i + C. 2i + D.12i - 6.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p7.在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若=， =，=，则下列向量中与相等的向量是（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 9.曲线xe y =：在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 直线l ，y 轴围成的图形面积为（ ） A ．312e -B ．12e +C ．2e D ．12e -10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点，记直线AC,BC 的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为A ．2B ．3C 12.+D . 211.已知函数()()e ,0,42,0.xax x f x a x a x ⎧+⎪=⎨-+>⎪⎩若对于任意两个不等实数12,x x ，都有()()12121f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)0,4B.[)1,3C.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．110 B ．220C ．330 D ．440第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.如图，在直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形（阴影部分）绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积211300πππd 21212x V x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线3y x =（ ）0x 与直线8y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =．14.计算12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式： 0122n nn n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法， 计算12223223nn n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________. 15.对于函数f （x ）给出定义：设f ′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f ″（x ）是函数f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=．16.如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a ，BC=b ，CD=c ，yxOy=x2x=1则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）17.（12分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18.（12分）,两种车型的出租情况，他随机抽取为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上A B了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：Ａ型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数14 20 20 16 15 10 5（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．19.（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．20.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，，4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 21.（12分） 已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f （x ）在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数p的取值范围．22.（10分）选修4-4极坐标与参数方程 已知直线l ：（其中t 为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点F 的直角坐标； （2）已知点P （1，0），若直线l 与C 相交于A ，B 两点，且=2，求△FAB 的面积 答题卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
高二期末数学复习卷四(文科)
高二期末数学复习卷四（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知函数若g(x)=f(x)−kx 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）．A. [0,1e 2)B. (1e 2,1)C. (1e 2,e 2)D. [0,e 2)2. M ={x |6x 2-5x +1=0}，P ={x |ax =1}，若P ⊆M ，则a 的取值集合为（ ）A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {0,2，3} 3. 已知函数f （x ）=e x+a +e −x−a2（a ∈R ）满足f （x +2）=f （2-x ），则f （0）=（ ） A.e 2+12eB.e 4+12e 2C.e 2+12D.e 4+124. 已知样本甲：x 1，x 2，x 3，…，x n 与样本乙：y 1，y 2，y 3，…，y n ，满足y i =2x i 3+1（i ＝1，2，…，n ），则下列叙述中一定正确的是 A. 样本乙的极差等于样本甲的极差 B. 样本乙的众数大于样本甲的众数C. 若某个x i 为样本甲的中位数，则y i 是样本乙的中位数D. 若某个x i 为样本甲的平均数，则y i 是样本乙的平均数 5. 如图是为了计算S =11×2+13×4+15×6+⋯+119×20的值，则在判断框中应填入（ ）A. n >19？B. n ≥19？C. n <19？D. n ≤19？6. 设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f(log 314)>f(2−32)>f(2−23) B. f(log 314)>f(2−23)>f(2−32) C. f(2−32)>f(2−23)>f(log 314) D. f(2−23)>f(2−32)>f(log 314) 7. 若正实数x ，y 满足x +y =1，则4x+1+1y 的最小值为（ ）A. 447B. 275C. 143D. 928. 复数z =i 2018+(1+i 1−i)2019(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 函数f(x)=ln|x|e x的大致图象是（ ）A.B.C.D.10. 若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）-g （x ）=e x ，则（ ）A. f(−2)<f(−3)<g(−1)B. g(−1)<f(−3)<f(−2)C. f(−2)<g(−1)<f(−3)D. g(−1)<f(−2)<f(−3)11. 若函数f （x ）=e x -e -x +sin2x ，则满足f （2x 2-1）+f （x ）＞0的x 的取值范围为（ ）A. (−1,12) B. (−∞,−1)∪(12,+∞) C. (−12,1)D. (−∞,−12)∪(1,+∞) 12. 已知函数f （x ）=ax 3+6x 2-3x +1在区间（1，2）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）A. (−∞,−3]B. (−∞,−74]C. [−3,−74]D. (−74,+∞]二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=0，当x ＞0时，xf '（x ）-f （x ）＞0，则不等式f(x)x＞0的解集是______．14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2−x)=f(x)，函数f(x −2019)的图象关于点(2019,0)对称，若当x ∈(0,1]时，f(x)=2x ，则f(1)+f(2)+⋯+f(2019)=__________. 15. 已知复数z 满足等式是虚数单位，则的最小值是______．16. 已知函数f (x )={a x ,x <0(a −3)x +2a,x ≥0为 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）17.已知命题p:∃x ∈R,2x 2+(m −1)x +12≤0，命题q:“曲线C:x 2m2+y 22m+8=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s:“曲线C:x 2m−t+y 2m−t−1=1表示双曲线”（1）若“p ∧q ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围.)．18.已知函数f(x)=log2(2x+1)−kx的图象过点(2,log252（Ⅰ）求实数k的值；x−a>0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f(x)+12（Ⅲ）若函数ℎ(x)=2f(x)+12x+m⋅4x−1，x∈[0，log23]，是否存在实数m<0使得ℎ(x)的最小值为1，若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由．219.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x（10≤x≤20，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．（Ⅰ）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580，760]内的概率．20给定函数f （x ），若对于定义域中的任意x ，都有f （x ）≥x 恒成立，则称函数f （x ）为“爬坡函数”．（Ⅰ）证明：函数f （x ）=x 2+3x +1是“爬坡函数”；（Ⅱ）若函数f （x ）=4x +m •2x +1+x +2m 2-4是“爬坡函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若对任意的实数b ，函数f(x)=x 2+bx +c −b4都不是“爬坡函数”，求实数c 的取值范围．21.已知函数f （x ）=x lnx ，g （x ）=−x 2+ax−32．（1）求f （x ）的最小值；（2）对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≥g （x ）都有恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切x ∈（0，+∞），都有lnx ＞1e x −2ex 成立．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ，y =√3sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为{y =tsinαx=1+tcosα,（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程，（2）设M （1，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若|AM |=2|MB |，求直线l 的斜率23.已知函数f （x ）=|x -2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b =1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x -m ）-（-x ）≤4a +1b 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了分段函数零点的确定，解答本题的关键是由题意求出g(x)的表达式，再由条件g(x)恰有4个零点，分析情况，最终确定出k的值即可. 【解答】解：由题意可知令g(x)=f(x)-kx=0，即，作出y=与y=kx+1的图象如下图，即两函数图象有4个交点.如上图可知直线y=kx+1，恒过点A（0，1），斜率为k，设y=kx+1与y=lnx相切于点D(x0,y0),对y=lnx求导，可得，故在点D(x0,y0)的切线方程为y-lnx0=, 即为y=,对照直线y=kx+1得，解得x0=e2,k=,此时直线与y=lnx相切，故当0<k<时，直线y=kx+1与y=左边有两个交点，与右边也有两个交点，故k的取值范围是0<k<.故选A.2.【答案】D【解析】解：M={x|6x2-5x+1=0}={}，P={x|ax=1}，P⊆M，∴P=∅，P={}或P={}，∴a=0或a=3或a=2．∴a的取值集合为{0，2，3}．故选：D．求出M={x|6x2-5x+1=0}={}，P={x|ax=1}，P⊆M，从而P=∅，P={}或P={}，由此能求出a的取值集合．本题考查实数的取值集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=（a∈R）满足f（x+2）=f（2-x），∴x=2是函数f（x）=（a∈R）的对称轴，∵y=是偶函数，图象关于y轴对轴，∴y=向右平移两个单位，得到f（x），∴a=-2，∴f（x）=，f（0）==．故选：B．x=2是函数f（x）=（a∈R）的对称轴，y=是偶函数，图象关于y轴对轴，从而y=向右平移两个单位，得到f（x），进而f（x）=，由此能求出f（0）．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】根据样本极差，众数，中位数，平均数的定义求解即可，属于基础题.【解答】解：A.显然不正确；B.样本乙的众数等于样本甲的众数，故不正确；C.若某个x i为样本甲的中位数，则y i是样本乙的中位数,正确；D.若某个x i为样本甲的平均数，则y i是样本乙的平均数，不正确；故选C.5.【答案】A【解析】解：模拟程序框图的运行过程，可得：S=0，n=1a=1×2，S=，n=3不满足判断框内的条件，执行循环体，a=，S=+，n=5；不满足判断框内的条件，执行循环体，a=，S=++，n=7；…观察规律可知，不满足判断框内的条件，执行循环体，a=，S=，n=21；此时，由题意，满足判断框内的条件，退出循环，输出S=．所以判断框中的条件应是n＞19？．故选：A．模拟程序框图的运行过程，得出该题是直到型循环结构，模拟程序的运行，从而得出结论．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据题意，模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题．根据log34＞log33=1，，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴，∵log34＞log33=1，，∴0,又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴＞＞，故选C．7.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴x+1+y=2，+=•（+）=（1+4++）≥（5+2）=（当接仅当x=，y=取等号），故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式+=•（+）=（1+4++）后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的运算，属于基础题.由复数的四则运算及几何意义可得答案.【解答】解：, 表示的点在第二象限.故选B.9.【答案】A【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；当x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0，∴当x→-∞时，→+∞，故选：A．由x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0即可得答案．本题考查函数的图象及图象变换，考查极限思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）-g（x）=e x，则2f（-x）-g（-x）=e-x，即2f（x）+g（x）=e-x，与2f（x）-g（x）=e x，联立解得：f（x）=，g（x）=．则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减．函数g（x）在R上单调递减．∴g（-1）＜g（0）=0＜=f（0）＜f（-2）＜f（-3），即g（-1）＜f（-2）＜f（-3），故选：D．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）-g（x）=e x，可得2f（-x）-g（-x）=e-x，即2f（x）+g（x）=e-x，与2f（x）-g（x）=e x，联立解得：f（x），g（x），利用其单调性即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=e x-e-x+sin2x，定义域为R，且满足f（-x）=e-x-e x+sin（-2x）=-（e x-e-x+sin2x）=-f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）=e x+e-x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2-1）+f（x）＞0，得f（2x2-1）＞-f（x）=f（-x），∴2x2-1＞-x，即2x2+x-1＞0，解得x＜-1或x＞，所以x的取值范围是（-∞，-1）∪（，+∞）．故选：B．判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2-1）+f（x）＞0化为2x2-1＞-x，求出解集即可．本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题．对函数f（x）求导，转化成f′（x）在（1，2）上有f′（x）≤0恒成立，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=ax3+6x2-3x+1，∴f′（x）=3ax2+12x-3，又∵f（x）在（1，2）上是减函数，∴f′（x）在（1，2）上恒有f′（x）≤0，即3ax2+12x-3≤0在（1，2）上恒成立．a≤=（-2）2-4，因为x∈（1，2），所以∈（，1），所以：a≤-3．∴实数a的取值范围是{a|a≤-3}．故选：A．13.【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【解析】解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．14.【答案】0【解析】【分析】本题考查函数的对称性，奇函数的判断和性质，周期性，涉及函数的图象的平移变换，属综合题，根据已知条件得出f(x)是奇函数，进而结合f(2-x)=f(x)求出函数是以4为周期的周期函数，进一步结合奇函数和周期函数求出f(0)=0,f(2)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1),进而得到f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,结合周期性得到f(0+4k)+f(1+4k)+f(2+4k)+f(3+4k)=0,（k∈Z）,所求的和正好是2020个和，分四个一组，总和为零【解答】解：由f(2-x)=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称，又∵函数f(x-2018)的图像关于点(2019，0)对称,而y=f(x-2019)的图象是由y=f(x)的图象向右平移2019个单位得到的，∴f(x)的图象关于原点(0,0)对称，即f(x)是奇函数，∴f(x)=f(2-x)=-f(x-2),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2),∴f(x+4)=f(x),即f(x)以4为周期，∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(-1),∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0,f(-1)+f(1)=0,根据奇函数的性质有f(2)=-f(-2),同时根据f(x)以4为周期，∴f(2)=f(-2),∴f(2)=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,∴f(0+4k)+f(1+4k)+f(2+4k)+f(3+4k)=0,（k∈Z）∴=0+0+...+0=0,故答案为0.15.【答案】9√510【解析】【分析】本题考查了复数的z的几何意义，是中档题.【解答】解：设,∵,∴,即,整理得,∴复数z的对应点的轨迹是2x+4y+3=0,∴的最小值即为点（1,1）到直线2x+4y+3=0的距离为.故答案为.]16【答案】(0,12【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性,同时考查一次函数和指数函数的单调性，分段函数递减,必须每一段都要递减,且分段点处左边的图象不能在右边图象的下方. 【解答】解：函数f(x)是R上的减函数，，解得.故答案为.17【答案】解：（1）若p 为真：∆=(m −1)2−4×2×12≥0，解得m ≤-1或m ≥3，若q 为真：则{m 2>2m +82m +8>0，解得-4＜m ＜-2或m ＞4， 若“p 且q ”是真命题，则{m ≤−1或m ≥3−4<m <−2或m >4，解得-4＜m ＜-2或m ＞4.（2）若s 为真，则（m -t ）（m -t -1）＜0，即t ＜m ＜t +1， 由q 是s 的必要不充分条件，则可得{m |t ＜m ＜t +1}⊊{m |-4＜m ＜-2或m ＞4}， 即{t ≥−4t +1≤−2或t ≥4， 解得-4≤t ≤-3或t ≥4.18【答案】解：(I)函数的图象过点(2,log 252)，可得log 2(22+1)−2k =log 252，即有2k =log 25−log 252=1，解得k =12； (II)由(I)知f(x)=log 2(2x +1)−12x ，g(x)=f(x)+12x −a >0恒成立， 即log 2(2x +1)−a >0恒成立令m(x)=log 2(2x +1)， 则命题等价于a <m(x)min ，而m(x)在R 上单调递增，可得m(x)>log 21=0，则；(III)f(x)=log 2(2x +1)−12x ，可得ℎ(x)=2f(x)+12x +m ⋅4x −1=2log 2(2x +1)+m ⋅4x −1=m ⋅4x +2x ，令t =2x ，x ∈[0，log 23]，可得t ∈[1，3]，可得y =mt 2+t ，t ∈[1，3]， 当m <0时，对称轴t =−12m ，①当−12m >3时，函数y 在[1，3]递增，y min =m +1=12，解得m =−12，不符舍去；②当−12m <1时，函数y 在[1，3]递减，可得y 的最小值为9m +3=12，解得m =−518，不符舍去； ③当时，函数y 的最小值在区间的两端，即m +1=12或9m +3=12，解得m =−12或m =−518， 当m =−12时，y =−12(x −1)2+12，x =1时，取得最大值12；当m =−518时，y =−518t 2+t 在[1，3]上的最小值为12，综上可得m 的值为−518，符合题意．故答案为.19【答案】解：（Ⅰ）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：y ={50x −10(14−x),10≤x ≤1450×14+30(x−14),14≤x≤20， 化简，得：y ={60x −140,10≤x ≤1430x+280,14≤x≤20．（Ⅱ）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10，12）的频率是2×0.08=0.16， 海鲜需求量在区间[12，14）的频率是2×0.12=0.24， 海鲜需求量在区间[14，16）的频率是2×0.15=0.30， 海鲜需求量在区间[16，18）的频率是2×0.10=0.20， 海鲜需求量在区间[18，20）的频率是2×0.05=0.10， ∴这50天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：（11×60-14×10）×0.16+（13×60-14×10）×0.24+（15×30+20×14）×0.30 +（17×30+20×14）×0.2+（19×30+20×14）×0.10=698.8（元）．②∵当x =14时，30×14+280=60×14-140=700， 函数y ={60x −140,10≤x ≤1430x+280,14≤x≤20在区间[10，20]上单调递增， y =580=60x -140，得x =12，y =760=30x +280，得x =16，∴日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率， ∴日利润在区间[580，760]内的概率为P =0.24+0.30=0.54．20.【答案】.解：（Ⅰ）∵f （x ）-x =x 2+2x +1=（x +1）2≥0⇒f （x ）≥x 恒成立，∴f （x ）是“爬坡函数”；（Ⅱ）依题意得4x +m •2x +1+2m 2-4≥0恒成立，令t =2x ＞0 即g （t ）=t 2+2mt +2m 2-4≥0在t ＞0恒成立当-m ≤0，即m ≥0，则只需满足g(0)=2m 2−4≥0⇒m ≥√2 当-m ＞0，即m ＜0，则只需满足g （-m ）=-m 2+2m 2-4≥0⇒m ≤-2 综上所述，实数m 的取值范围为(−∞，−2]∪[√2，+∞) （Ⅲ）根据题意可得到，对任意的实数b ， 存在x ，使得f(x)=x 2+bx +c −b4＜x 成立，21.【答案】解：（1）由题意，f ′（x ）=ln x +1；令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1e ，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1e，故f （x ）在（0，1e）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增；且f （1e）=-1e，故函数f （x ）的最小值是-1e；（2）对x ∈（0，+∞），f （x ）≥g （x ）可化为 2x lnx≥-x 2+ax -3； 故a ≤2ln x +x +3x ；令F （x ）=2ln x +x +3x，则F ′（x ）=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2；故F （x ）=2ln x +x +3x在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 故F （x ）≥F （1）=1+3=4；故对∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥g （x ）恒成立可化为a ≤4； 即实数a 的取值范围为a ≤4；（3）证明：不等式ln x ＞1e x -2ex可化为ln x •x ＞x e x -2e；由（1）得：ln x •x ≥-1e，当且仅当x =1e时，取最小值；设m （x ）=x e x -2e；则m ′（x ）=1−x e x，∵x ∈（0，1）时，m ′（x ）＞0，m （x ）单调递增， x ∈（1，+∞）时，m ′（x ）＜0，m （x ）单调递减， 故当x =1时，m （x ）取最大值-1e ；故对一切x ∈（0，+∞），都有lnx ＞1e x −2ex 成立．22.【答案】解：（1）根据平方关系式消去参数θ可得曲线C 的普通方程为：x 24+y23=1，消去参数t 得直线l 的普通方程为：x sinα-y cosα-sinα=0（2）显然M （1，0）在直线l 上，将直线l 的参数方程代入x 24+y 23=1，整理得（3+sin 2α）t 2+6t cosα-9=0， 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=-6cosα3+sin 2α，t 1t 2=-93+sin 2α，由|AM |=2|MB |，得t 1=-2t 2，代入上式，得{−2t 2+t 2=−6cosα3+sin 2α−2t 2⋅t 2=−93+sin 2α， 消去t 2，解得tanα=±√52，所以直线l 的斜率为√52或-√52．【解析】（1）根据平方关系式消去参数θ可得曲线C 的普通方程为：+=1，消去参数t 得直线l 的普通方程为：xsinα-ycosα-sinα=0（2）根据参数的几何意义以及由|AM|=2|MB|，得t 1=-2t 2，可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）+f （2x +1）=|x -2|+|2x -1|={3−3x ，x ＜12x +1，12≤x ≤23x −3，x ＞2当x ＜12时，由3-3x ≥6，解得x ≤-1； 当12≤x ≤2时，x +1≥6不成立；当x ＞2时，由3x -3≥6，解得x ≥3．所以不等式f （x ）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）． （Ⅱ）∵a +b =1（a ，b ＞0）， ∴（a +b ）（4a +1b ）=5+4b a +ab ≥5+2√4b a⋅ab =9，∴对于∀x ∈R ，恒成立等价于：对∀x ∈R ，|x -2-m |-|-x -2|≤9， 即[|x -2-m |-|-x -2|]max ≤9∵|x -2-m |-|-x -2|≤|（x -2-m ）-（x +2）|=|-4-m | ∴-9≤m +4≤9， ∴-13≤m ≤5． 【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
高二数学第二学期期末复习卷4
高二数学期末复习卷4一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 设全集U R =，集合{}{}1,2,A x x B x x =>-=>则U A C B ⋂=( ) A. {}12x x -≤< B. {}12x x -<≤ C. {}1x x <- D. {}2x x > 2. 在ABC ∆中“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知复数z 满足()234z i i +=-(i 为虚数单位)，则z = ( )A. 3B. 5C. 23D. 5 4. 已知直线a ，b 和平面,αβ，已知//,a b αβ⊥，( )A. 若 //a b ，则 //αβB. 若 //a b ，则 αβ⊥C. 若 a b ⊥，则 //αβD. 若 a b ⊥，则 αβ⊥5. 实数x ，y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则 2x y -的最大值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数cos x y x e =⋅的图象可能是 ( ) A. B. C. D.7. 若0,0a b >>且11ab a b+=22a b +的最小值为 ( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 28. 已知三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC APB BPC CPA ==∠>∠>∠PO 垂直平面ABC O 于，设二面角,,P AB O P BC O P CA O ------分别为,,αβγ，则 ( )A.αβγ>>B. γβα>>C. βαγ>>D. 不确定9. 已知椭圆的两焦点12,F F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2221e e +的最小值为( ) A. 151 B. 15 C. 14 D. 1510. 如图，已知白纸上有一椭圆C ，它焦点为12,F F ，长轴12A A ，短轴12B B ，P 是椭圆上一点，将白纸沿直线12B B 折成90︒角，则下列正确的是( )①当P 在1B (或2B )时，12PF PF +最大． ②当P 在1A (或2A )时，12PF PF +最小． A. ①② B.① C. ② D. 都不正确二、填空题（本大题共7小题，共36分）11. 杨辉在<<详解九章算法>>中给出了三角垛垛积公式： ()()()111361226n n n n n +++++=++(其中n 为正整数),据此公式，则136********++++++=______； 2221210+++=______． 12. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积为______2cm ，体积为______3cm13. 已知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()f x 向左平移6π得曲线()g x ，则()g x 的 解析式为 ，()()f x g x +的最大值为 ． 14. 已知点()4,4A 在抛物线()220y px p =>上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线l ： 2px =-的垂线，垂足为B ，则p =______， BAF ∠的平分线所在的直线方程为15. 已知,a b R ∈，函数22()2x ax b x ax bf x +++--=的最小值为2b ，则b 的范围是 16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，且1212122,AF AF AF F F BF =∠=∠，则下列结论正确的有______ ．①双曲线C 的离心率233e=； ②双曲线C 的一条渐近线斜率是3； ③线段6AB a =； ④12AF F ∆的面积是215a ．17.如图，已知圆O 半径为2，P 是圆内一定点，1OP =，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是______．A BD（第19题图） 三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18. 已知函数2()sin cos cos =+f x x x x .(1) 求函数()f x 的最小正周期，并写出()f x 图象的对称轴方程；(2) 若将函数()=y f x 图象向右平行移动π8个单位，得到函数()=y g x 的图象，求满足0()1≥g x 的实数0x 的集合.19.如图，在三棱锥-D ABC中，==CA CB，==DA DB 2=AB . (1) 求证：⊥AB CD ；(2) 若顶点D 在底面ABC 上的射影落在ABC 的内部，当直线AD 与底面ABC 所成角的正弦值为6时，求二面角--C AD B 的平面角的余弦值.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为355,6,3,n S a S a n N *==∈． (1) 求n n a S 与；(2)设n b =证明：12311222n b b b b n n +++<+-+．21.已知函数32()23(1)6=-++f x x m x mx ，R ∈m .(1) 若2=m ，写出函数()f x 的单调递增区间；(2) 若对于任意的[1,1]∈-x ，都有()4<f x ，求m 的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是32，且点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． (1) 求椭圆C 的方程；(2)将椭圆C 上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M 的方程.直线()0y kx m m =+≠与椭圆M 交于A ，B 两点，与椭圆C 的一个公共点为点P ，连接PO ，并延长PO 至交椭圆M 于点N.设NAB ∆的面积为1S ，OAB ∆的面积为2S ．①求12S S 的值； ②求1S 的最大值．。
2024_2025学年高二数学上学期期末复习专题1_9数列性质的综合运用17类题型教师版
专题1-9 数列性质的综合运用17类题型学问点梳理一、基本量计算方法a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要留意等差数列性质的应用．二、等差数列重要性质若数列{a n }是等差数列，公差是d ，则等差数列{a n }有如下性质：(1)当d >0时，{a n }是递增数列；当d <0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列． (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *，n ≠m )． (3)a m －a n m －n＝d (m ，n ∈N *且n ≠m )． (4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特殊地，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .三、求等差数列前n 项和S n 最值的方法(1)找寻正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来找寻．(2)运用二次函数的图象求最值．四、等差数列奇偶项问题(1)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. (2)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.五、等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m也成等差数列，公差为m 2d .(3) 设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·a n .(2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列．七、等比数列的前n 项和性质1.在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．模块一 等差数列【题型1】等差中项与前n 项和1．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．13B ．26C ．8D ．162【解答】解：在等差数列{}n a 中若m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+， 因为351024a a a ++=，所以351041011322()2()4a a a a a a a ++=+=+=， 所以1132a a +=． 所以1131313()132a a S ⨯+==．2．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足22225678a a a a +=+，则12S = 0 ．【答案】0【解答】解：依据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，又由22225678a a a a +=+，则有222285760a a a a -+-=， 变形可得85857676()()()()0a a a a a a a a -++-+=， 即8576763()()4()0d a a d a a d a a +++=+=， 因为0d ≠，则760a a +=，由等差数列的性质得1124()0a a +=，即1120a a +=， 所以120S =3．两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知723n n S n T n +=+，求55ab 的值． 【解答】两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，满足723n n S n T n +=+， ∴195919599()7926529()93122a a a Sb b b T +⨯+====++．【详解】由等差数列的性质可得：3966468662233a a a a b b b b b +==⨯++，1212234n n n n na S n T nb n +++==+，则611116111121311311437a S T b +===⨯+，即661337a b =，39646862213263337111a a ab b b b +∴=⨯=⨯=++【答案】(1)3n a n =，(2)50d =【分析】（1）依据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501a b -=，分类探讨即可得解.【详解】（1）21333a a a =+，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=， 339621S T d d∴+=+=， 即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去）， 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+， 2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d >，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=， 505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >冲突，无解； 当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.【题型2】等差数列 片段和 2024新高考2卷T86．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-【答案】C【分析】方法一：基本量计算依据等比数列的前n 项和公式求出公比，再依据48,S S 的关系即可解出； 方法二：依据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ， 若1q =-，则405S =≠-，与题意不符，所以1q ≠-；若1q =，则611263230S a a S ==⨯=≠，与题意不符，所以1q ≠； 由45S =-，6221S S =可得，()41151a q q-=--，()()6211112111a q a q q q--=⨯--①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =， 所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．方法二：利用片段和性质计算设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =-，6221S S =，所以1q ≠-，否则40S =， 从而，2426486,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以有，()()22225215S S S --=+，解得：21S =-或254S =， 当21S =-时，2426486,,,S S S S S S S ---，即为81,4,16,21S ---+， 易知，82164S +=-，即885S =-； 当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>， 与45S =-冲突，舍去．7．（2024·广东深圳二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2010S =，则30S =（ ）A ．0B ．10-C ．30-D ．40-【答案】C【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1020)2010S ∴⨯-=+-，解得3030S =-．2025届·江苏连云港&、南通质量调研(一)8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5k S =，2145k a +=-，12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=-，其中正整数2k ≥，则该数列的首项1a 为（ ） A ．-5 B ．0C ．3D ．5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可. 【详解】12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=-， 又125k k S a a a ++⋅⋅+=⋅=，两式相减得：250,kd kd kd k d ++⋅⋅⋅+==-221115045k a a k d a +=+=-=-，解得：1 5.a =2024年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和9．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、其次层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.【题型3】等差数列及其前n 项和的基本量计算10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，210n S =，4130n S -=，则n 等于( ) A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】14【解答】解：由题意可得421013080n n S S --=-=，1444()4080120n n n a a S S S -∴+=+-=+=， 130n a a ∴+=，1()152102n n n a a S n +∴===，解得14n =11．在等差数列{}n a 中，公差0d >，1614a a +=，2540a a =，则数列{}n a 的前9项之和等于 ． 【答案】90【解答】解：由公差0d >，1614a a +=，2540a a =，12514a d ∴+=，11()(4)40a d a d ++=， 联立解得：12a =，2d =， 故91899902S a d ⨯=+⨯=．【题型4】通过等差数前n 项和的比值相关运算数的正整数n 的个数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】依据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a -=-，进而可求解. 【详解】由于()()()()12121212212122n n n n a a n a n S n a --+--===-所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n ---++===-+=+++， 要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n 的个数为7个13．两等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则2945a ab b +=+ ． 【答案】28855【解答】解：两等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+， ∴11029110101845188()1084471022882()8105583552a a a a a a S b b b b a a T +⨯++⨯+==⨯=⨯=⨯=++++【分析】利用等差数列前n 项和公式求得n n a b 的表达式，结合nna b 为整数求得正整数n 的值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++， 由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14.【题型5】等差数列奇偶项和相关运算15．在项数为21n +的等差数列中，全部奇数项的和为165，全部偶数项的和为150，则n 等于 10 ． 【答案】10【解答】解：等差数列中，全部奇数项的和为165，全部偶数项的和为150 设奇数项和1211()(1)1652n a a n S +++==，数列前21n +项和1212()(21)1651503152n a a n S +++==+=，∴12111212()(1)11652()(21)213152n n a a n S n a a n S n +++++===+++，解得：10n =．16．已知等差数列{}n a 共有21n +项，全部奇数项之和为132，全部偶数项之和为120，则n 等于 ． 【答案】10【解答】解：1321132n S a a a +=++⋯+=奇数，242120n S a a a =++⋯+=偶数，21112n n S S a nd a -+∴-=-==奇数偶数，()()()()121211212522112212522n n n n a a S S S n a n +++++∴=+===+=+=奇数偶数，解得10n =．31．已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 4 ． 【解答】解：依题意，111111(2)(4)(6)(8)5(4)10a a d a d a d a d a d ++++++++=+=， 同理，15(5)30a d +=， 两式相减得：4d =， 故答案为：4．【题型6】等差数列前n 项和的单调性与最值17．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是 A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C【解答】解：依题意，数列{}n a 是等差数列，其前n 项和是n S ，90S >，100S <，所以556900a a a >⎧⎨+<⎩，所以50a >，60a <，所以公差0d <，所以当69n 时0n n S a <，当15n 时0n nSa >，又因为当15n 时，n S 单调递增，n a 单调递减， 所以当15n 时，n n S a 单调递增，所以55S a 最大 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且10110,0S S ><，若n k S S ≤对N n +∈恒成立，则正整数【详解】由题意可知，()()()110101105610550,2a a S a a a a +==+=+>所以560a a +>， 同理得116110S a =<，所以60a <. 结合560a a +>，可得50a >. 当5n =时，n S 取得最大值为5S ，要使n k S S ≤对N n +∈恒成立，只须要()max n k S S ≤，N n +∈即可， 所以5k S S ≤,N n +∈，即5k =. 所以正整数k 的值为5.则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024C ．2024D ．2024【答案】C【分析】依据等差数列的前n 项和公式以及数列的单调性得出结果. 【详解】依题意()14043404320222022404340430,02a a S a a +==>>，又()140444044404402a a S +=<，即404410a a +<，则202220230a a +<则20230a <，且20222023a a <，所以等差数列{}n a 单调递减，1220212022202320240a a a a a a >>⋅⋅⋅>>>>>>⋅⋅⋅， 所以对随意正整数n ，都有n m a a ≥，则2022m =．【分析】依据等差数列的通项公式及前n 项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断. 【详解】对于A ，1(1)2n n n S na d -=+，112n S n a d n -=+，1111101222n n S S n n a d a d d n n +-⎛⎫-=+-+=> ⎪+⎝⎭，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，A 正确； 对于B ，()()()()11111121n n a na n a nd n a n d a n n d +-=++-+-=+⎡⎤⎣⎦+，∵1R a ∈，∴12a nd +不愿定是正实数，即数列{}n na 不愿定是递增数列，B 错误； 对于C ，()()11111111n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++， ∵1R a ∈，∴()11d a n n -+不愿定是正实数，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不愿定是递增数列，C 错误；对于D ，()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>， 故数列{}3n a nd +是递增数列，D 正确21．设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知251a a +=，1575S =，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和*()n N ∈．（1）求n S ；（2）求n T ，及n T 的最小值．【解答】解：（1）{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差设为d ，则依题意有111()(4)1151415752a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得121a d =-⎧⎨=⎩，∴21(1)(1)52222n n n n n n nS a n d n ---=+=-+=．（2）252n n n S -=，∴52n S n n -=．设52n n S n b n -==，则1(1)551222n n n n b b ++---=-=， ∴数列{}n b 是公差为12的等差数列，首项为11121S b a ===-， n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴2(1)192224n n n n nT n --=-+=．又294x xy -=图象开口向上，对称轴为92x =，且*n N ∈，4n ∴=或5n =时，2494()54n minT -⨯==-．【题型7】等差数列性质推断与综合运用 2024新高考1卷·T7——数列性质的推断A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理推断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}n Sn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ， 即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥， 两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.23．（雅礼中学月考）（多选）设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B ．若数列{}n S 有最小项，则0d >C ．若数列{}n S 是递减数列，则对随意的：*N n ∈，均有0n S <D ．若对随意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列 【答案】BD【分析】取特殊数列推断A ；由等差数列前n 项和的函数特性推断B ；取特殊数列结合数列的单调性推断C ；探讨数列{}n S 是递减数列的状况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误； 对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，确定存在实数k ，当n k >时，之后全部项都为负数，不能保证对随意*N n ∈，均有0n S >.故若对随意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确【分析】依据等差数列的通项公式及前n 项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断. 【详解】对于A ，1(1)2n n n S na d -=+，112n S n a d n -=+， 1111101222n n S S n n a d a d d n n +-⎛⎫-=+-+=> ⎪+⎝⎭，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，A 正确； 对于B ，()()()()11111121n n a na n a nd n a n d a n n d +-=++-+-=+⎡⎤⎣⎦+，∵1R a ∈，∴12a nd +不愿定是正实数，即数列{}n na 不愿定是递增数列，B 错误；对于C ，()()11111111n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++， ∵1R a ∈，∴()11d a n n -+不愿定是正实数，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不愿定是递增数列，C 错误；对于D ，()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>， 故数列{}3n a nd +是递增数列，D 正确25．（多选）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若n n S a =，则{}n a 是等差数列B ．若12a =，123n n a a +=+，则{}3n a +是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列 【答案】ABC【分析】求出通项公式推断AB ；利用数列前n 项和的意义、结合等差数列推理推断C ；举例说明推断D 作答.【详解】对于A ，n n S a =，2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-，解得10n a -=，因此N n *∈，0n a =，{}n a 是等差数列，A 正确；对于B ，12a =，123n n a a +=+，则132(3)n n a a ++=+，而135a +=，{}3n a +是等比数列，B 正确； 对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++，()()()2212212+n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=+++++=+，232212231222()()()()n n n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S S n d ++++-=+++=++++++=-+，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-，则 n S ，232,n n n n S S S S --成等差数列，C 正确；对于D ，若等比数列{}n a 的公比1q =-，则 242640,0,0S SS S S =-=-=不成等比数列，D 错误.【题型8】等比数列及其前n 项和的基本量计算【答案】4【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项1a 和公比q ，再利用求和公式求5S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由31a =，3227S a =，可得211a q =，11225a a q +=，解方程得，11,24a q ==或114,2a q ==，当11,24a q ==时，()()551511213114124a q S q --==⨯=--，当114,2a q ==时，()5515111231411412a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⨯=--，所以5314S =.【答案】4-【解析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和其次项，再通过赋值2n =求λ的值.【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==， 当2n =时，()321233a S a a λ+==+，解得34λ=-.模块二 等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算 2024乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组【答案】2-【分析】依据等比数列公式对24536a a a a a =化简得11a q =，联立9108a a =-求出52q =-，最终得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，明显0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =-，则89118a q a q ⋅=-， 则()()3315582q q ==-=-，则52q =-，则55712a a q q q =⋅==-2024年全国甲卷(理)——基本量计算：解一元三次方程29．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）【分析】依据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q .所以4124815S =+++=.2024·全国乙卷（理）——基本量计算30．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，依据题意求出首项与公比，再依据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意冲突， 所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==.【题型10】等比数列的基本性质【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+= ()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴==32．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++=（ ）A ．23283-B ．13283-C ．20213-D ．25283-【答案】A【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，推导出数列{}1n n a a +为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为12n n S a +=+，所以114a S a ==+，()()32221224a S S a a =-=+-+=，()()43332228a S S a a =-=+-+=，又{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即()2484a =+，解得2a =-，所以122n n S +=-．当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，又12a =满足2n n a =，所以，22121242n n n n n n n n a a a a a a +++++===，故数列{}1n n a a +是公比为4，首项为12248a a =⨯=的等比数列， 所以()10231223101181428143a a a a a a --+++==-．【答案】1(2)3--【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后依据定义可推断1(1)n n n b a +=-为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为q ，则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=， 记111(1)(1)2n n n n n b a ++-=-=-，因为2111(1)22(1)2n nn n n n b b +++--==--，所以{}n b 是1为首项，2-为公比的等比数列， 所以()()()11231212(1)123nnn n a a a a +-----+-⋅⋅⋅+-==--.故答案为：1(2)3n--34．（2024·江苏·统考高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.【题型11】等比数列 片段和 2024年全国Ⅰ卷（文）T1035．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】依据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.A ．13B ．16C ．9D ．12【答案】A【分析】依据等比数列的性质，可得484128,,S S S S S --仍成等比数列，得到8443S S S -=，即可求解. 【详解】设()40S x x =≠，则84S x =， 因为{}n a 为等比数列，依据等比数列的性质， 可得484128,,S S S S S --仍成等比数列.因为84443S S x x S x --==，所以1289S S x -=，所以1213S x =，故12413S S =.深圳市宝安区2025届高三上学期10月调研37．（多选）设数列{}n a 的前n 项和为n S .记命题p ：“数列{}n a 为等比数列”，命题q ：“n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【分析】依据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，设公比为q ， 则当1q =时1n S na =，所以21112n n S S na na na -=-=，3211132n n S S na na na -=-=， 明显10a ≠，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列， 当1q ≠时()111n n a q S q-=-，所以()()()21121111111n n n n n n a q a q a q q q q q S S ---=----=-，()()()13232211111111n n n n n n a q a q a q q q q qS S ---=----=-， 所以()()2232n n n n n S S S S S -=⋅-，但是当1q =-且当n 为正偶数时，此时0n S =，20n n S S -=，320n n S S -= 则n S ，2n n S S -，32n n S S -不成等比数列，故充分性不成立， 若n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，当1n =时11S a =，221S a S -=，323S S a -=成等比数列， 当2n =时2S ，42S S -，64S S -成等比数列，不妨令()10a m m =≠，22a m =，34a m =，42a m =，55a m =，67a m =，明显满足2S ，42S S -，64S S -成等比数列，但是1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 不成等比数列，故必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件38．（多选）设数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则（ ）【分析】依据给定条件，利用等比数列定义推断ABD ；举例说明推断C 作答. 【详解】数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，设公比分别为1212,(0)q q q q ≠， 对于A ，由n n n c a b =，得11112n n n n n nc a b q q c a b +++==，所以数列{}n c 为等比数列，A 正确；对于B ，由n n n a d b =，得1111111221n n n n n n nn n na db a b qq a d a b q q b +++++==⋅=⋅=，所以数列{}n d 为等比数列，B 正确； 对于C ，令(1)nn a =-，则224640S S S S S =-=-=，不成等比数列，C 错误；对于D ，111k n k na q a +++=为常数，D 正确【题型12】等比中项的运用【答案】122n --【分析】先推断出{}n a 是等比数列，求得公比q ，依据等比数列前n 项和公式求得正确答案.【详解】依题意，正项数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，0q >，由9872a a a =+得27772a q a q a ⋅=⋅+，由于0n a >，所以()()22210q q q q --=-+=，由于0q >，所以解得2q ，所以111111112n n n n a a a a q q ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以数列1n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列，所以数列1n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111*********n n n -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭-.40．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面3节的容积之积为3，最下面3节的容积之积为243，则第5节的容积是 . 【答案】3【分析】设第()9,n n n *≤∈N 节的容积为n a ，依据等比数列的性质可求得5a 的值，【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，设第()9,n n n *≤∈N 节的容积为n a ，则{}()9,n a n n *≤∈N 为等比数列，且0n a >，上面3节的容积之积3，下面3节的容积之积为243，∴31232378983243a a a a a a a a ⎧==⎨==⎩，解得1233a =，138243a =，∴第5节的容积为：53a =．41．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“2q ”是“{}1n S a +为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】应用等比中项的性质，由{}1n S a +为等比数列，解出q 值，即可推断. 【详解】依题，“{}1n S a +为等比数列”，所以()()()2211131S a S a S a +=+⋅+，得()()2121123222a a a a a a +=⋅++，化简得()22(2)22q q q +=++，解得2q ，则“2q”是“{}1n S a +为等比数列”的充要条件.【分析】由题意可知{}n a 为等比数列，利用等比数列求出 2212m n m na a a +-⋅=，然后依据基本不等式求出最值.【详解】因为212n n n a a a ++=，所以{}n a 为等比数列，设{}n a 的公比为q ，又因为9872a a a =+，所以27772q a qa a =+，解得2q 或1q =-，因为0n a >，所以2q，所以112112211222m n m n m n a a a a a a --+-⋅⋅==， 因为912m n+=，且m ，*n ∈N ， 所以()191199122n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11082⎛≥+= ⎝， 当且仅当9129m nn mm n⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即26n m =⎧⎨=⎩时等号成立，所以26212264m n m n a a a +-⋅=≥=．【答案】AB【分析】AB 选项，先依据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，结合226416a a a ==进行求解.【详解】正项等比数列{}n a 中，44a =，故432516a a a ==，由基本不等式得：358a a +≥=，当且仅当354a a ==时，等号成立，此时4n a =，故A 正确；310a >，540a >，由基本不等式得：35141a a +≥，当且仅当3514a a =，32a =，58a =时等号成立，此时公比2q满足题意，B 正确；因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以26264211111242222aaa a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎝⎭=当且仅当262a a =即2a =6a =C 错误； 因为20a >，60a >，所以2264416a a a =++≥=，当且仅当26a a =时等号成立，故2442a a qq =，且0q >，解得：1q =4≥4，故D 错误.故选：ABA ．01q <<B ．202120231a a ⋅>C ．n S 的最大值为2023SD ．n T 的最大值为2021T【答案】AD【分析】推导出0q >，20211a >，202201a <<，可推断A 选项的正误；利用等比中项的性质可推断B 选项的正误；由数列{}n a 为正项等比数列可推断C 选项的正误；由20211a >，202201a <<可推断D 选项的正误.【详解】若0q <，则22021202220210a a a q =<不合乎题意，所以，0q >，故数列{}n a 为正项等比数列，11a >，202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-，20211a ∴>，202201a <<，所以01q <<，故A 正确；22021202320221a a a ⋅=<，故B 错误；11a >，01q <<，所以，数列{}n a 为各项为正的递减数列，所以，n S 无最大值，故C 错误； 又20211a >，202201a <<，所以，2021T 是数列{}n T 中的最大项，故D 正确. 故选：AD.【题型13】等比数列性质推断与综合运用45．(多选)已知等比数列{a n }的公比为q ，首项为a ，前n 项和为S n ，则下列结论错误的是 ( ) A ．若a ＞0，则a n S n ＞0B ．若q ＞0，则a n S n ＞0C ．若a ＜0，则a n S n ＜0D ．若q ＜0，则a n S n ＜0 【答案】ACD因为{a n }为等比数列，所以a ≠0．当q ＝1时，a n ＝a ，S n ＝na ，故a n S n ＝na 2＞0， 当q ≠1时，a n ＝aq n －1，S n ＝，故a n S n ＝，若q ＞1，则q n －1＞0，1－q n ＜0，1－q ＜0，故a n S n ＞0， 若0＜q ＜1，则q n －1＞0，1－q n ＞0，1－q ＞0，故a n S n ＞0， 若q ＜0，则a n S n ＝，其中q (1－q )＜0，取－1＜q ＜0，则当n 为偶数时，a 2q n(1－q n )＞0，即a n S n ＜0，当n 为奇数时，a 2q n (1－q n)＜0，即a n S n ＞0，故B 中结论正确，A 、C 、D 中结论错误．46．（多选）已知数列{}n a 为等比数列，首项10a >，公比()1,0q ∈-，则下列叙述正确的是（ ）A ．数列{}n a 的最大项为1aB ．数列{}n a 的最小项为2aC ．数列{}1n n a a +为递增数列D ．数列{}212n n a a -+为递增数列【答案】ABC【分析】分别在n 为偶数和n 为奇数的状况下，依据项的正负和2n n a a +-的正负得到最大项和最小项，知AB 正误；利用()2212110n n n n n a a a a q q a +++-=->和()()21222120n n n n a a a a ++-+-+<可知CD 正误.【详解】对于A ，由题意知：当n 为偶数时，10n a a <<；当n 为奇数时，0n a >，()2210n n n a a a q +-=-<，1a ∴最大；综上所述：数列{}n a 的最大项为1a ，A 正确；对于B ，当n 为偶数时，0n a <，()2210n n n a a a q +-=->，2a ∴最小；当n 为奇数时，20n a a >>；综上所述：数列{}n a 的最小项为2a ，B 正确；对于C ，21n n n a a a q +=，2121n n n a a a q +++=，()()222212111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++++∴-=-=-，10q -<<，210q ∴-<，1210n n n n a a a a +++∴->，∴数列{}1n n a a +为递增数列，C 正确；对于D ，()212211n n n a a a q --+=+，()2122211n n n a a a q ++++=+，()()()()()()22122212212121111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++-+--∴+-+=+-=+-；10q -<<，10q ∴+>，210q -<，又210n a ->，()()21222120n n n n a a a a ++-∴+-+<，∴数列{}212n n a a -+为递减数列，D 错误.【分析】依据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，探讨数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD.48．（多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（ ）A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}Tn 中的最大项D ．40451T >【答案】AC【分析】依据题意先推断出数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义干脆推断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可推断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可推断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可推断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩.而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，全部20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a =()()()240441111a a q a q a q =404512340441a q +++=4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误. 故选：AC49．（多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（ ） A ．1q >B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】AD【分析】由题意可推出等比数列公比01q <<，推断A ；结合题意推断202020211,01a a ><<，即可推断B ；推断等比数列的增减性，结合前n 项积为n T ，可推断C ；利用等比数列性质可推断D.【详解】由题意知202020211a a >，即()()()()22019202040391111a qa q a q =>， 因为11a >，可得0q >，即等比数列{}n a 的各项都为正值， 又()()20202021110a a --<，故若1q ≥，结合11a >可知1n a >， 则()()20202021110a a --<不成立，故01q <<，即数列{}n a 为递减数列，则202020211,01a a ><<，A 错误； 因为202101a <<，故20202020202120211S S a S +>+=，B 正确； 由以上分析可知122020202110a a a a >>>>>>>，故2020T 是数列{}n T 中的最大项，C 正确； 由等比数列性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ====，202101a <<，故4041124042404110211T a a a a ==<，D 错误【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值50．已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 【答案】 12【解析】∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝－2＋a 2，2a 2＝a 1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，a 2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 22＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4，∴a 2－a 1b 2＝－6－(－4)－4＝12.51．有四个实数，前3个数成等比数列，且它们的积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 【答案】9，6，4，2【解答】解：设此前3个数分别为：aq，a ，aq ， 216aa aqq=，3216a ∴=，解得6a =． 设后三个数分别为：b d -，b ，b d +．12b d b b d -+++=，解得4b =． 46d ∴-=，46q =，解得2d =-，23q =． 52．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列.若数列{}n n a b +的前n 项和【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】解：设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211221()22nn n n d d S A B n n a n n nb =+=-+-=-++，明显没有出现2n ，所以1q ≠，所以221112212211n n b b q d d a n n n n q q ⎛⎫-++-=-+- ⎪--⎝⎭，由两边的对应项相等可得111,2,2,1221b d da q q-=-===--， 解得111,4,2,1a d q b ====，所以6d q +=模块三 其它综合问题 【题型15】周期数列【详解】由132n n n a a a +--=+可得1121n n a a +=--+， 由于11a =，所以2141231a a =--=-+，3412351,,2111122a a a a a =--=-=--==++，因此{}n a 为周期数列，且周期为3， 故5203173111a a a ⨯+===【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-， 由此可知数列{}n a 的周期为4， 故202345053312a a a ⨯+===55．（2024·哈师大附中校考期中）在数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2024a =（ ） A ．1- B ．2- C ． 2 D ．1【答案】C【详解】由题意知数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-， 故3211a a a =-=，4321a a a ，5432a a a =-=-，6541a a a =-=-，7658761,2a a a a a a =-==-=，则{}n a 为周期为6的周期数列，。
人教A版必修四高二下期末复习理科数学--(四).docx
2010-2011学年岳口高中2011春高二下期末复习理科数学--（四）一、选择题（每小题5分，共50分）1、复数133ii+-等于 （A ）i （B ）i - （C ）3i + （D ）3i -2、命题“存在0x ∈R ，02x≤0”的否定是（ ）A ．不存在0x ∈R, 02x>0 B. 存在0x ∈R, 02x ≥0C. 对任意的x ∈R, 2x ≤0D. 对任意的x ∈R, 2x >0 3、若η～)31,6(B ，则==)4(ηP（A ）163 （B ）24320 （C ）24313 （D ）24380 4、从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加， 星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( )A ．120种B ．96种C ．60种D ．48种 5、甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为54，乙及格概率为52，丙及格概率为32，则三人中至少有一人及格的概率为 （A ）7516 （B ）7559 （C ）251 （D ）25246、设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。
则有（ ） (A)1212,μμσσ<< (B)1212,μμσσ<> (C) 1212,μμσσ>< (D)1212,μμσσ>>7、连掷两次骰子得到点数分别为m 和n ，记向量)1,1(),(-==b n m a 与向量的夹角为)2,0(,πθθ∈则的概率是（A ）125 （B ）21 （C ）127 （D ）658、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性？（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 9、在下列命题中：①若向量a 、b 共线，则向量a 、b 所在的直线平行； ②若向量a 、b 所在的直线为异面直线，则向量a 、b 不共面； ③若三个向量a 、b 、c 两两共面，则向量a 、b 、c 共面；④已知空间不共面的三个向量a 、b 、c ，则对于空间的任意一个向量p ,总存在实数x 、y 、z ,使得p xa yb zc =++； 其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10、点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是图(1)Ｂ＇A ＇PAB12x y =y1S2S图(2)C ＇A ＇Ｂ＇PABCa=0 j=1WHILE j<=5 a=(a+j) mod 5j=j+1WENDPRINT aEND（第13题）（A ）)2π,0( （B ）)π,π43[)2π,0[ （C ）)π,π43[ （D ）]π43,2π( 二、填空题（每小题5分，共25分）11、 函数x x y ln 232-=的单调减区间为 ． 12、已知⎰+=π)cos (sin x x a ，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 展开式中含 2x 项的系数是 .13、右边的程序运行后的结果为__________14、在空间直角坐标系中，已知)2,1,1(),2,0,2(),0,2,2(C B A ，则坐标原点O 到平面ABC 的距离是15、由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由图(2) 有体积关系:.P A B C P ABCV V '''--=三、解答题（共6个小题，共75分） 16、（12分）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率. （Ⅲ）求选择甲线路旅游团数的期望.17、（12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2x y =，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积21S S +最小.PQABCEDF18、如图，在五面体ABCDEF 中，⊥FA 平面A B C D ，ADAB FE BC AD ⊥,////，AD EF BC AB AF 21==== （1）求异面直线AC 和DE 所成的角 （2）求二面角E CD A --的大小（3）若Q 为EF 的中点，P 为AC 上一点，当PCAP为何值时，//PQ 平面EDC ？ 19、（本12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： （Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（20）（13分）设函数21)(ax x e x f x ---=.性别是否需要志愿者男女 需要40 30 不需要160270)(2k K P ≥ 050.00.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828（Ⅰ)若0=a ,求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围.21、（14分）已知离心率为2=e 的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离是3 （1）求双曲线C 的方程（2）过点)0,5(M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，交y 轴于N 点，当 BM AM NM μλ==，且2225711⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛μλ时，求直线l 的方程高二(下)期末复习---四数学参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）ADBBC AADBB 二、(11) (0,33) (12) -192 (13) 0 (14)2 (15)PCPB PA C P B P A P ⋅⋅'⋅'⋅' 三、解答题（共6个小题，共70分，注：请在指定位置答题否则无效．．．．．．．．．．．．） 16、解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：8343341==A P .(3分)（Ⅱ）恰有两条线路没有被选择的概率为169432223242=⋅⋅=A C C P .…(6分) （Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为X ，则0=X ,1,2,3.X0 1 2 3x O 1 2x y =yt 1 1S2S 642743)0(33===X P 642743)1(3213=⋅==C X P ;64943)2(313=⋅==C X P ;6414)3(333===C X P . ………………(10分)∴X 的分布列为： ∴期望43641364926427164270)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .……………(12分)17解： 3022132t dx x t t S t=-⋅=⎰ 3132)1(232122+-=--=⎰t t t t dx x S t ……(4分) )10(31342321≤<+-=+=∴t t t S S S …(6分) )21(424)(2'-=-=t t t t t S 令0)('=t S ，得21=t 或0=t （舍去）当210<<t 时，0)('<t S ；当121≤<t 时，0)('>t S ；∴当]21,0(∈t 时,)(t S 为减函数, 当]1,21(∈t 时,)(t S 为增函数…(10分)所以，当21=t 时，41)21(min ==S S ……………(12分)18、（1）以AF AD AB ,,所在直线为坐标轴建立坐标系如图设2=AD ，则,)0,2,0(,)0,1,1(,)0,0,0(--D C A )1,0,0(,)1,1,0(F E -P64276427 649 641)1,1,0(,)0,1,1(=-=DE AC 21221,cos -=⋅->=<DE AC ∴异面直线AC 和DE 所成的角为 60………4分（2）)0,1,1(,)1,1,0(--==CD DE 设平面CDE 的法向量为),,(1z y x n = ⎩⎨⎧=+=+0y x z y ，取1,1,1=-==z y x ，)1,1,1(1-=n平面CDA 的一个法向量为)1,0,0(2=n 33131,cos 22=⨯>=<n n 所以二面角E CD A --的大小为33arccos ……8分 （3）)1,21,0(-Q ,设)0,,(y x P ，)1,21,(y x PQ ---= 由PC AP λ=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=11λλλλy x ，)1,121,1(++-+-=λλλλPQ令PQ mDE nCD =+，求得3=λ，因此PCAP的值为3时， //PQ 平面EDC …12分19解：（Ⅰ）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因为该地区老人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为1450070=℅.…（4分） （Ⅱ）967.943070300200)1603027040(50022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K . 由于635.6967.9>，所以有99℅的把握认为该地的区老人是否需要帮助与性别有关. ……………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地的区老人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据看出该地区男性老年人与女性老年人需要帮助的比例有明显的差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样的方法更好. ……………………（12分）20、解（Ⅰ）当0=a 时，x e x f x --=1)(，1)(-='xe xf .当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x f ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x f .故)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增.…………………（4分）（Ⅱ）ax e x f x 21)(--='.由（Ⅰ）知x e x+≥1，当且仅当0=x 时等号成立，故x a ax x x f )21(2)(-=-≥'.…………（6分） 从而当021≥-a ，即21≤a 时，)0(0)(≥≥'x x f ，而0)0(=f ， 于是当0≥x 时0)(≥x f .……………………（8分） 由)0(1≠+>x x e x可得)0(1≠->-x x ex.从而当21>a 时， )2)(1()1(21)(a e e e e a e x f x x x x x --=-+-<'--.……………（10分）故当)2ln ,0(a x ∈时，0)(<'x f ，而0)0(=f ，于是当)2ln ,0(a x ∈时，0)(<x f .综合得a 的取值范围为]21,(-∞.………（12分）21解：（1）22=∴=ace ………1分右焦点)0,(c F 到渐近线0=-ay bx 的距3||22==+=b ba cb d 3分从而得1=a ∴双曲线方程是1322=-y x ……5分 （2）设),(,),(2211y x B y x A ，直线)5(:-=x k y l ，则)5,0(k N -AM NM λ= 11(5,5)(5,)k x y λ∴=-- 11555x k y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩),(11y x A 是双曲线1322=-y x 上的点1325)5(2225=--∴λλk 整理得 025********2=-+-k λλ同理025*********=-+-k μμ……9分μλ,∴是方程025*********=-+-k z z 的两个根122572150==+∴μλ，7225752k -=⋅μλ…………① 2549)(2)()1()1(2222=-+=+λμλμμλμλ ……② ①代入② 解得3±=k l ∴方程为0153=--y x 0153=-+y x …12分解法二：设),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)5(1322x k y y x 得032510)3(2222=--+-k x k x k )3(0)325)(3(4100224±≠>+-+=∆k k k k ………………①222122213325,310k k x x k k x x -+-=--=+ 由AM NM λ=得5111x -=λ，同理5112x -=μ221365211kx x -=+-=+μλ，)3(257225511122121k x x x x -=++-=⋅μλ 2549)3(25144)33621111222222=---=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛k k （λμμλμλ 解得3±=k 满足①l ∴方程为0153=--y x 或0153=-+y x。
2021年高二下学期期末复习(4)数学(理)试题含答案
2021年高二下学期期末复习（4）数学（理）试题含答案刘希团 xx年6月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.1．若将一颗质地均匀的骰子（一种六个面分别注有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是；3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是；4.从1,3,5,7,9中任取 3 个数字,从2,4,6,8中任取2个,一共可以组成(用数字作答)多少个没有重复的五位数字。
5.在中，则外接圆的半径，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为则其外接球的半径为= ；6．已知复数满足则复数对应点的轨迹是；7.平面内一条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，1个交点；3条相交直线最多把平面分成7部分，3个交点；试猜想：n条相交直线最多把平面分成______________部分，____________个交点．8．在平面直角坐标系xOy 中，若D 表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 内随机地投一点，则落在E中的概率 ．9. 分别是曲线和上的动点，则的最小值为 ．10．已知直线 与抛物线交于A 、B 两点，则线段AB 的长是 ．11．将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 ．12．已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为 ．13．已知整数数对如下排列： )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1(，按此规律，则第个数对为__________ ．14．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则实数a 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）(1)在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．(2)设a ，b ，c 为正实数，求证：．16. （本题满分14分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）n ；（2）展开式中的所有的有理项。
高二数学期末复习题四含答案
1高二数学期末复习题四1．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ）（A ）28 （B ）21 （C ）14 （D ）35 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或1503．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.4．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =所示，则()y f x =的图像最有可能的是（5．不等式2601x x x ---＞的解集为（ ）．（A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）．(B) (C) (D) 347．已知命题"0cos 2cos ,2.0:"=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃m x x x p π的否定为假命题，实数m 的取值范围（ ） A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,89 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,89 C 、[]2,1- D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,898．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （ ）（A ）1 （B （C （D ）29．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）610、函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，f （x ）＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（ ）（A ）(-1,1) (B)(-1，+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞) 二、填空题：11．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且过点P （-2，22），则抛物线的方程为 。
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高二数学期末考试复习专题四
《不等式》第二课时
深圳市新安中学 吕正军
【知识要点】
（Ⅰ）其他不等式
1.分式不等式的解法：
①移项（使右边为 ）；② ；③因式分解（使最高次项系数为 ）；④转化为整式不等式 __________________0)()(⇔ x g x f ⎩⎨⎧⇔≥____________________
_____________________0)()(x g x f __________________0)()(⇔ x g x f ⎩
⎨⎧⇔≤_________________________________________0)()(x g x f 2、高次不等式的解法：_____________________（画出近似的函数图像）
步骤：①因式分解（使x 的系数为正）；②标根（注意空心圈、实心圈，穿根的口诀是___ __________________）
3、其他可转化为一元二次不等式的不等式，如：
1）6-≥x x 2）
51-≥+x x 3） 642-≥x x 4）62-≥x x
5） 0)(2>+⋅+⋅C a B a A x x 6）0log )(log 2>+⋅+⋅C x B x A a a 上述不等式都可利用______________________法转化为一元二次不等式求解。
（Ⅱ）含参数的不等式，对参数分类讨论的原则如下：
当二次项系数含参数时，按参数符号进行分类讨论：二次项系数000 ，，
=； 否则，若能因式分解（可求根），但两根大小无法判断时，按 进行讨论： ，，=； 若又不能因式分解时，按 进行讨论：000 ∆∆=∆，，；
不论哪类讨论，最后一定要
（Ⅲ）一元二次不等式恒成立情况小结：
20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔
20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔ ．
a x f <)(恒成立⇔
a x f >)(恒成立⇔
（IV ）不等式的证明
1． 步骤：①作差；②将差式化简变形；③确定符号
2． 以一个显然成立的不等式为基础，利用不等式的性质不断恒等变形得到。
3． 要证……只要证……因为成立所以原不等式成立
【热身训练】
1. 已知0x ≠，则22(1)x + 421x x ++（填<,>,或=）
2. 不等式02≤-x
x 的解集是 3. 不等式0)12(22<+++-a a x a x 的解集为 ( )
A ．{}1+<<a x a x B.{}1+><a x a x x 或 C.{}a x a x <<2 D. {}
2a x a x <<
4. 已知关于x 的不等式012a 2<-+x x 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是
5. 已知不等式0c bx x 2<++的解集为}31{<<-x x ，则b=__________，c=_________
【题型与方法】
例1（不等式的证明）、已知0,0,a b c >><求证c c a b
>.
题后反思：比较两个实数（代数式）大小的方法：
例2（分式不等式，高次不等式）解不等式
1）03422≤+--x x x 2）22331
x x x ->++
题后反思：
例3（“三个二次”间的关系）
若不等式220ax x c ++>的解集是}2
131{<<-x x ，求不等式220x cx a -->的解集。
题后反思：
例4
（含参数的不等式）
已知关于x 的不等式：04)1(22
>++-x a ax ，试讨论此不等式的解集。
题后反思：
例5（不等式恒成立问题）
1) 已知012
<-+ax ax 在R 上恒成立，求a 的取值范围。
2) 的取值范围
恒成立，求在区间已知不等式a ]4,1[342-≥+-a x x 。
3) 已知不等式240x mx ++<在(1,2)x ∈时恒成立，求m 的取值范围。
题后反思：
【针对训练】 1. 不等式03
22322<--+-x x x x 的解集 （ ） A ．(-∞, -1)∪(1, 2)∪(3, +∞)
B ．(-1, 1)∪(2, 3)
C ．(-1, 1) ∪(1, 2)
D ．(1, 2)∪(2, 3) 2. 不等式343->-x x 的解集是：
（ ） A ．(3, +∞) B ．），（∞+34 C ．），（∞+2
1 D ．(2, +∞) 3. 已知不等式01-k 2-22≤+x x 的解集是空集，则实数k 的取值范围是 （ ）
A .
( B .(,)-∞+∞ C .)+∞ D .(2,2)-
4. 二次不等式220ax bx ++>的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312
1x x ，则a b +的值是___________
5. 若不等式
2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的范围是_________ 6. 的取值范围是：
时恒成立，则在已知不等式a ]3,2[x 342-∈≥+-a x x 7. 设0>a ，解关于x 的不等式
21<-x ax
8. 解不等式：1）
11≥x ；2）302x x
-³-；3）51x 2<-
9. 不等式322+-x x 122--≤a a 在R 上的解集是∅，求实数a 的取值范围。