诱导公式五、六讲课教案

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2πsi－n ααc＋os32π32cπo－s ααc＋os32π6π－α＝－tan
α.
[思路探索] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行
化简推出右边．
证明 左边＝sintan2π－－απ2·－－αsi·ncoαs·2cπo－s － π2－αα
＝sin－－tanπ2－α·α－csoisn
α·cos α －π2－α
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解 (1)f(α)＝－sin－αc·coossααs·i－n αcos α＝－cos α.
(2)∵cos α－32π＝－sin α，∴sin α＝－15， 又 α 是第三象限的角，
∴cos α＝－ 1－－152＝－25 6，
∴f(α)＝2
5
6 .
(3)f－313π＝－cos －313π＝－cos－6×2π＋53π＝－cos 53π＝ －cos π3＝－12.
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探究点 2 tanπ2＋α与 tan α 有何关系？
提示
∵tanπ2＋α＝csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－csoin1s
α ＝－tan1 α
α，∴
tanπ2＋α＝－tan1 α.
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类型一 利用诱导公式求值 【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值． (2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值．
[思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题．
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解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，
∴cos α＝12，又 α 为第一象限角．
则 cos π2＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－ 23.
(2)cos 56π＋α·sin 23π－α＝cosπ－π6－α·sin π－π3＋α＝－
【例 3】
已知
sin f(α)＝
αc－os3π－coπs－2απs－inα－sinπ－－αα＋32π.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限的角，且 cos α－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－313π，求 f(α)的值． [思路探索] 本题充分利用诱导公式进行化简求值．
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题型探究Leabharlann Baidu
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＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
右边＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11＝ttaann
θθ＋－11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
∴左边＝右边，故原式成立．
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类型三 诱导公式的综合应用
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【活学活用 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cos π3－α＝cos π2－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
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类型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】
tan 求证：
诱导公式五、六
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1．诱导公式五、六
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温馨提示：利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相 互转化．
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2．诱导公式五、六可用语言概括 (1)函数值：π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的 余弦 (正弦) 函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
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【活学活用 2】 求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1 ＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11. 证明 左边＝－2sin32π1－－θ2s·in－2θsin θ－1
＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ
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[规律方法] 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三 角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
【活学活用 3】 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三 象限角，求sinco－sαπ2－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)的值． 解 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 由 α 是第三象限角，得 sin α＝－35，则 cos α＝－45，
cos π6－α·sin π3＋α ＝－13sin π2－π6－α＝－13cos π6－α＝－19.
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[规律方法] 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于 这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与 π6＋α，π3＋α 与π6－α，π4－α 与π4＋α 等互余，π3＋θ 与23π－θ，π4＋ θ 与34π－θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善 于利用角的变换来解决问题．
温馨提示：判断函数值的符号时，虽然把α看成锐角，但实际上α 可以为任意角．
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互动探究 探究点 1 你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos π2＋α＝cos π2－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos π2＋α＝－sin α.
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＝ －sin
sin2α π2－αcos
π2－α
＝－cossinα2·αsin α
＝－csoins αα＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
[规律方法] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活 应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一 边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一 个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进 行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．